장음표시 사용
211쪽
rallelogramma HLXM , FGNO reciprocam sibi mutuo ba
ses, di altitudineS. c OROLLARIUM III. t . . .
Triangula aqualia reciprocant sibi mutuo bases, . oe altitudines.
III si nimirum aequalia inter se mutuo fuerint triangula' , ab e , erit altitudo ae ad altitudinem AE, ut es basis BC ad basim be. Constitutis namque super easdem S L ses, & sub iisdem altitudinibus parallelogrammis DBC Α ,π- - dbea, haec erunt Mualia I a γ, utpote eandem rationem habentia ad aequalia ipsa triangula b . Parallelogramma autem DBCA , db ea reciprocant sibi mutuo bases, & ab titudines c): Ergo ipsa quoque triangula bases, &altitudines, cum istae Au ilus diversae non sint, sibi mutuo recia
si quadratum fuerit reuangulo aequale , latiis quadrati erit . media proportionalis inter latera ipsius rectanguli. 118 Si nimirum quadratum ABCD suerit aequale recta gulo EG . latus BC ipsius quadrati erit meia proportiona- inter latera EG, GN dati reianguli. Constat enim , lanis sive basim GN rectanguli EGNF esse ad latus, sive V V V. ad basim BC quadrati ABCD, ut est ejusdem quadrati Ia--Iid. tus sive altitudo DC ad latus sive ad altitudinem EG ipsius, , ,. rectanguli d . Est autem latus M lateri DC aequale se . Ergo latus BC quadrati ABCD erit media naportu tis inter latera EG, rectanguli EG . . .
212쪽
aradrilatera , σ pes nona similia m totidem ex apta milia tri Ha resolvi possint 1rs Sint duo quadrilatera similia ABCD , abed, habentia nimirum aequales angulos D ΑΒ , dab ABC , ab e BCD, bed ' CD Α , eda , & latera circa illos proportio. nalia . Ab angulis autem aequalibus D, d ad aequales προ sitos B , b ducantur rectae DB , db , atque adeo duo ipsa quadrilatera in duo triangula sint divisa. Dico , triangulum DBA similo esse triangulo dba, & triangulum DBC triangulo dbe.
Angulus namque BAD trianguli DBΑ miualis positus est ansulo bad trianguli dba , de latera circa illos proportio natia . Ergo duo triangula DBA , dba sunt similia a . Eodem modo ostendam , similia esse duo quoque triangula BDC , bde. Igitur M.
I in Duo pentagona ABCDE, ab ede sint similia, aequales nempe sint ipsorum anguli ABC , abe ' BCD , bed 'CDE, ede ' Dra , dea ' EAB , e ab , & latera circa illos proportionalia. Dico, ipsa pentagona in totidem ex ae quo similia triangula relalvi posse.
Supra homologa ipsorum latera CD, ed habeantur duo Ce simi-
213쪽
similia triangula CMD, emd, quorum aequales anguli sint MDC , xnde ' Μm, med ' CΜD , c md , & homologa latera MD , md ' - , me CD, cd . Tum ex illorum apicibus M , m ad singulos ipsorum pentagonorum angulos ducantur rectae ME, M A , MB , me , m g , mb . Quinniam igitur duo anguli CDE, ede aequales sunt intor se, sicuti etiam duo CDM , edm , reliquus itidem ΜDE reliquo m de aequalis erit Q. Sunt autem latera circa illos prin
.rtionalia , videlicet MD . DE md . de quandoquidem , cum propter triangulorum C MD, emd similitudinem jam sit MI . md CD. ed, scuti etiam propter similitudinem polygonorum habeatur hD . ed CD. ed b , erit quoque MD . md ED . ed sc) ; ac proinde MD. ED ra m d. ed sQ. Igitur duo triangula MED, med erunt sibi mutuo similia ce . Eodem modo hinc ostendam , sim, lia esse etiam duo GA , ema , tum duo Α- , a ac
demum duo BMC, b me . Haec autem triangula tot sunt in utroque pentagono, quot sunt iplarum latera. Ergo duo
similia pentagona ABCDE , ab ede in totidem ex aequo similia triangula resolvi possunt. Quadrilatera igitur, & ρο-Iygona similia die. quod erat ostendendum.
milium in triangula numero aequalia, & magnitudine sim, , lia. Sint enim duo similia pentagona ABCDE , ab ede , Fit is . quorum aequales anguli sint ABC, alie BCD, bed vino CDE, ede ' Din, dea ' EAB , ea b, & latera circa il
los proportionalia. Ducantur autem ab amualibus angulis
Α, a ad aequales C, e, necnon ad aequales D, d rectae M , ac ' AD , ad . 'niam igitur ansuli ABC, ab e sunt quales, & latera circa illos proportionalia , duo triangula ACB , ae b erunt similia f . Rursus eum, ob similitudinem ipsorum triangulorum ACB , ae b , anguli Bra, b casnt Quales g , S per hypothesim aequius sint anguli BCD s
214쪽
BCD , bed , ablatis ariualibus BCA , bca, erit relicium ΑCD reliquo aed ariualis sa . Constat autem , esse BC . CD . ed b , eum hujusmodi latera sint homolaga, eandemque ob causam etiam AC . ae BC . be. Ergo erit quoque AC . CD. cd se) s ac proinde AC . CD mae. ed d . Quamobrem duo triangula Α CD, aed habent angulos A , ac d a uales, & latera circa illos proportionalia. Igitur sunt sibi mutuo similia Θ . Eodem mmdci demonstrabuntur similia duo quoque triangula ADE ,
ade. Igitur&cic OROLLARIUM. PMdetona regularia e fidem generis is totidem ex quos lia triangula rota
122 Polygona siquidem regularia ejusdem generis sunt sibi mutuo similia si . LEMMΛ m.
Pol gonum quodcuaque regalare in totidem triangula VHelia aqualia resuriri potes , quot sunt ipsus latera. 1M Esto peningonum Mutare MCDE, cujus centrum, is sit punctum M . Dico, illud in quinque triangula isoscelia Tis. v aequalia restavi posse.
Ex illius centio M ad singulos ejusdem an os ducantur radii MA, O , - , MD , ME. Manliustum est, pen
lagonum divisiam esse in quinque triangula, quot nimirum sunt ipsius latera. Bases autem horum omnium triansulo
rum , videlicet AB, BC, CD, DE, in aequales sunt inter g , etiam ipsorum latera ΜΑ, ΜΒ, MC, MD, Ce 2 ME
215쪽
ME 0 . Ergo bmnia illa triangula sunt isoscelia b , atque
omnino inter is aequalia sc ). Polygonum itaque regula ire M. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM Looguli verticales Moselium triangulorum , in qua pol unum regulare dividitur , sunt omnes inter se aquales.
I2 AEquales nimirum sunt omnes anguli verticalesCΜD, i, DME, ΕΜΑ, AMB, BΜC isoscelium triangulorum, in quae Tib. divisum est pentagonum regulare ABCDE. Habent enim ipsa triangula tum bases, tum latera inter se aequalia. COROLLARIUM II.
malus verticalis singularum i scelium triangularum , is quacionum regulare dividitur , eam babet. rationem ad quatuor rectos, quam ipsius trianguli basis, sive polumi latus ad totum ejusdem perimetrum.
Iis An ilus nempe verticalis C- trianguli CMD eam
habet rationem ad quatuor rectos, quam latus, sive basis vltis. CD ipsius trianguli ad totum pentagoni A BCDE perim γ ν trvin . Cum enim omnes anguli verticales is cellum triangulorum , in quae pentagonum ABCDE resolvitur, sint ab quales inter se d , totque sint ipsa triangula, atque adeo . tot sint ipsi anguli verticales ad centrum M existentes, quot sunt Ipsius pentagoni latera, quae itidem omnia inter se sunt requalia e . , erit angulus C MD quinta pars quatuor re ctorum , qui circa punctum M fieri possunt D, quema modum latus CD est quinta pars totius perimetri ABCDE . Ergo ratio anguli C MD ad quatuor rectos diversa ab ea non est , quam habet latus CD ad totum pentagoni perbmetrum ABCDE.
216쪽
Si ex eratro pingonorum regularium e usdem generis ad singulas ipsorum anulos radii ducantum , dissa erurit ipsa μυ-gona in totidem ex aequo triangula sibi mutuo semilia.
I in Sint duo pentagona regularia ABCDE , ab ede. Ex e ζ'
centro autem M pentagoni ABCDE ducantur ad singulos Tacri ipsius angulos radii ΜΛ, ΜΒ, MC, MD, ΜΕ, & ex centro m pentagoni ab c de ad ejus angulos radii ma,mb, me,md, me ; ut proinde divisum sit utrumque pentagonum in quinque triangula. Dico, hujusmodi ut nHu esse sibi m tuo similia.
Cum enim triangula, in quae divisum est pentas unx CDE sint isos lia aequalia, sicuti etiam triangula, in quae Pentagonum ab ede est divisum ' , angulus verticalis CMDtrianguli C- erit ad quatuor rectos, ut est basis CD ad totum perimetrum ABCDE b) . Eadem ratione angulus verticalis em d trianguli e md erit ad quatuor rectos, ut ejus hasis ed ad totum perimetrum ab ede. Eadem est autem ratio utriusque lateras CD, ed ad suum respective perime trum , nempe fia quintupla . Ergo eadem quoque erit ratio utriusque anguli CMD, emd ad quatuor rectos; atque adeo duo ipsi anguli erunt aequales cc . Constat autem, esse latus MC ad latus MD , ut est latus me ad latus md ; cum sit MC m MD, time m md ω . Ergo duo triangula CMD, emd sunt sibi mutuo similia ce . Singula porro triangula, in quas divisum est pentagonum ABCDE, isoscelia sunt, &omnino inter se aequalia, sicuti etiam singula, in quae divisum est pentagonum ab ede D . Ergo singula singulis sunt similia. DHue si a centro polygonorum ecta quod erat occ.
217쪽
c OROLLARIUM. Radii piaricinoris regularium e Udem generis sinu latera homologa triangularum i Ucesium sentiam, in qua illorum ope ipsa pol una resolvuntae . ix Radii nimirum MC, me pentagonorum regularium ABCDE , ab ede sunt latera homologa triangulorum similium CMD, em d. AEqualibus namque angulis MDC, mdcopponuntur. Idipsum de aliis dicito.
dii, σ ea uti mogonorum regularium Uusdem generis sunt directe inter se, ut duo qualibet bomisia. forum latera. Fig. ra. Sint duo pentagona regulafia ABCDE , abcde, quo-- ghs meo primo, radium vi esse ad radium me, ut latus CD ad latus sibi homologum cd.
Ductis radiis MD, md, duo triangula CMD, emd sunts milia μ), eorumque latera homologa sunt radii MC, m c M. Eadem autem est ratio omnium laterum homologorum in triangulis similibus co . Eigo erit M. me CD. d.
I 29 Dico secundo , caterum quoque MN esse ad cat tum mn, ut latus CD ad latus sibi homologum ed.
218쪽
Cateti MNI mn sunt altitudines triangulorum similium D, emd a . Ergo ipsi caleti MN, mn erunt inter se, ut latera Iumologa .ed U. Iraque radii, di careti&c. quod erat Ostendendum.. c OROLL ARIUM.cauti pes unorum regularum pusdem x eris finis. directe inter se, ut imrum radu.I3o Cum enim tam radii, quam inreti sint inter se, ut duo quaelibet homologa iplarum polygonorum latera , radiorum, & eatetorum in polygonis regularibus ejusdem generis eadem quoque erit ratio te .
Perimetri duarum figura m rectilia rum sinuitium sunt directe inter se, ut duo qualibet homolaga ipsara m latera.
iri Sint duae figurae rectilineae similes ABCDE, abede, Finitiquorum homologa latera sint AB, ab BC,' ' CD , ed DE, de ' ΕΑ, ea. Dico , perimetrum ABCDE esse ad perimetrum ab ede, ut duo quaelibet homologa ipserum lan
219쪽
med is dein ea ab--be sain. Ergo erit ABCDE. ab edem CD. ed. Perimetri ergo &c. quod erat ostendendum. COROLLARIUML '
. . Permetri pes gremm πνω tum H dem generis sunt 'directe inter se, ut duo qualibet imorum latera. ι132 Polygona siquidem' regularia cusdem generis sunt similia b), & quodlibet patus unius est homolosum cuil, bet latori Eterius c .c OROLLARIUM RPerimetri pol et reum regularium ejusdem generis sura directe inter se, us ipsorum rara, ct cauti. . ,
r33 Videlicet perimeter pentagoni regularis ABCDE est ad perimetrum . pentagoni itidem regularis a de , ut radius MC ad radium me, sicuti etiam ut caletus MN ad c telum mn. Cum enim sit ABCDE. ab edem CD. ed cd ,&MC. mc .ed se , nec non ΜΝ .mn CD.ed ij, erit quoque ABCDE. ab ede MC . me , sicuti etiam
Inaequalium circalarum aquales anguli tum ad eratrem , tum ad peripheriam semilibas areabus issistunt; σ visissiman uli tam ad emirum , quam ad peripseriam, qui similibus arcubus is stunt, inter se sunt aquales.
i3 sint duo iii quales circuli ADC, adc, ad quorum
220쪽
centrum E, e habeantur aesuales anguli AEC, aee. Dico, arcus ABC, abe, quibus illi insistunt, esse inter se aequales .ari
. Cum enim anguli AEC, ae e sint aequales, eandem ad quatuor rectos rationem habebunt a) . Est autem arcus ABC ad totam peripheriam ADB, ut angulus AEC ad quatuor rectos, sicuti etiam arcus abc ad totam peripheriam adb, ut angulus aec ad quatuor rectos b . Erso eadem erit ratio utriusque arcus ABC, abe ad totam sui circuli peripheriam ; atque adeo arcus ipsi ABC, ab e sunt sibi m tuo similes cc .
AEquales modo sint anguli ADC, ade ad periph riam. Dico , arcus ABC, abe, quibus insistunt, esse sibi
. Constitutis namque ad centrum angulis AEC, aec, qui . iisdem arcubus N , abe insistant, cum angulus AEC duplus sit anguli ADC, & angulus aec ansuli ad c s), quemadmodum duo anguli ΑΙ , a de positi sunt inter se aequales , ita duo MC, aec inter se Quales erunt ce) . Ergo arcus ABC, ab e erunt sibi mutuo umiles D. ii L 'aeta vicissim autem similes sint sibi mutuo arcus Me,abe. Dico, angulos ad centrum AE , aee illis insistentes esse