장음표시 사용
91쪽
ga ELEMENTA evidenti habebit angulum contactus & minorem esse quovis rectilineo, & in infinitos curvilineos dividi posse. PROP. IV. ANGULus BAD, TANGENTE BAETCEORDA AD COMPREMENSUS HABET PRO MENSURA ,
DIMIDIUM ARCUM AFD . Etenim ducta diametro GE, chordae AD parallela Fig. g.) ductaque alia diametro F F eidem chordae perpendiculari , rectus erit angulus BAC tangente & radio comprehensius c prop. praeced.), itemque rectus est angulus FCG, ae proinde utriusque anguli mensura est arcus FG. Sed angulus BAD et: BAC - DAC, vel - ACG, ob parallelas DA EG. Quare cum A CG pro mensura habeat arcum AG, erit angulus BAD.FAG AG aer FA m AD. . . PROP. U. ANGULUs C AD ( Fig. s.) AD CIRCUMFERENTIAM HABET PRO MENSURA DIMIDIUM
ARCuM CD , LATERIBUs AC , AD INTERCEPTUM . Etenim ex anguli vertice A, ducatur tangens EB, summa trium angulorum BAU-CADDAEm rgo' et: O AC - - - CD --. P DA . Sed angulum BAC metitur Q- AC, & angulus EAD G AD ( ex prop. praeced. . Ergo angulus CADCOR. I. Angulus DFG ad centrum duplus est au- .guli DAC ad circumferentiam, eodem arcu CD,
subtensi. COR. II. Angulus rectus in circumferentia circumli, semicircumferentiam lateribus suis comprehendit totaque diametro subtenditur . Angulus acutus ar- eum semicircumferentia minorem , obtusius autem majorem intercipit, uterque chorda subtenditur.
vel extra circulum pro mensura habet q- BD CE . Siguum valet pro angulo intra circulum , signum - pro angulo extra. Per E agatur chorda EF
rectae AD parallela, erit angulus BEF m BAD ( ob
92쪽
& secante AD interceptus et: Db - bC. Si enim circa pu actum A revolvi intelligatur recta AB, donec id agens evadat in b , puncta E , B con- 'venient in b . Simili ratione angulus dAb, inter duas tangentes Ad, Ab comprehenius, pro mentura ha
De lineis rectis quae alium claudunt, ea de figurarum rectilinearum , proprietatibus. , PROP.I. IN TRIANGULO QUOLIBET SUMMA TRIUM ANGULORUM AEQUALIS EST DUOBUS RECTIS . Etenim per tres angulorum vertices describatur circulus si cor. a. prop. a. cap. a. b triangulum erit inscriptum circulo, culus chordae erunt tria latera ; anguli autem habent pro mensura dimidium arcum lateribus oppositis subtensium c prop. s. cap. a.) . Quare trium a gulorum summa aequalis est dimidiae trium areuum summae. Hoc est, dimidiae circumferentiae seu gradibus I 8o . COR. I. In triangulo unicus esse potest angulas rectus vel obtusus, reliqui duo sunt acuti. Quare in triangulo rectangulo, angulus acutus est complemen
COR. II. Datis duobus angulis in triangulo datur& tertius qui est differentia inter datam duorum au. gulorum lummam de gradus Iso. Si autem unicus datus sit angulus, data est reliquorum duorum summa , quae est complementum ad duos rectos, & supplementum simpliciter appellari solet . e . latCOR. III. In triangulo quolibet ABC c Fig. g. F a Prorum
93쪽
8 ELEMENTA producto latere BC, angulus externus ABI aequalis est duobus angulis internis oppositis ACB, CAB . , Etenim summa anguli externi ABI, & interni contio fui ABC aequalis est duobus rectis i prop. I. cap. I. .ed summa trium angulorum ACB, CAB, ABC aequalis etiam est duobus rectis. Ergo angulus exteris nus ABI aequalis est duobus internis oppositis ACB, CAB ; dempto scilicet communi angulo ABC.
PROP. II. IN OMNI TRIANGULO MAIUX LATUS OP PONITUR MAIORI ANGULO , MINUS AUTEM MINORI , ET UICEUERSA ANGULUS MAJOR MAIORI LATERI ET Ni NOR MINORI OPPONITUR . Triangulum circulo in. scribatur, majorem angulum metitur arcus maloi, &majorem arcum subtendit major chorda & contrac eor. a. prop. a. cap. a. COR. I. In triangulo aequilatero singuli anguli aequales sunt inter se, & viceversa si tres anguli sunt aequales inter se , triangulum est aequilaterum . Inscripto enim, ut ante, triangulo in circulo , tria latera aequalia,fient tres aequales chordae circuli quae proinde tres arcus aequales iubtendent; ideoque & tres anguli aequales sunt. Evidens autem est unumquemque a gulum dine tertiam partem grad. 18o, hoc est aequa
COR. II. In triangulo isoscete aequales sunt anguli lateribus aequalibus oppositi; & contra si duo anguli in triangulo aequales iuvi, triangulum est isoscete .
Patet ut in Coroll. Haec. - PROP. III. SI IN DUOBUs TRIANGULIS TRIA LATERA AEQUALIA SINT , TOTA TRIANGULA ERUNT IE-
Ex punctis A , B , tanquam centris describantur areus FCG, DCE, se invicem secantes in C. Triangulum a , ita imponatur triangulo ABC , ut punctum A conveniat cum a , punctum b cadet etiam
terminabitur tu aliquo puncto arcus FCG. Similiter ob
94쪽
GEOMETRIAE CAP. III. gs ob be m BC, recta be terminabitur in aliquo puncto artus DCE ; quia vero rectae ac, be, se mutuo jungunt in e , utraque terminabitur in puncto intersectionis C . Ergo ac congruet cum AC, becum BC ; totumque triangulum abe cum triangulo A C. i
latus ABetet ab , erit triangulum ABC mi triangulo e. Latus ab imponatur lateri AB; ob angulum
quare latera duo ac, bc, & AC, BC in eodem puncto jungentur, hoc est, c cadet in C, totumque triangulum abc congruet cum triangulo ABC. Eodem modo comparari inter se possunt latera duo ac, AC , quae respondent angulis aequalibus ; & haec dicuntur,omologa. Quare aequalia sunt triangula duo, si anguli unius aequales sint angulis alterius, & praeterea si triau-gula latus unum homologum aequale habeant. COR. II. Si duo triangula latera duo habuerint aequalia & angulos his lateribus interceptos aequales, tota triangula erunt aequalia. Sit AC ret ac, AB rei ab & angulus Ama. Imponatur latus AB lateri ab ,& latus AC lateri ac ; ob angulos A, a aequales, latera illa congruent. Praeterea eum sit AC m ac, de AB m ab , punctum c cadet in C, & b in B, ac pr inde congruet cum BC.
PROP. IV. SI DUO TRIANGULA INAEQUALIA AD
QUALEi ΗABEANT ANGULOs , PONATURQUE ANGULUS UNUS SUPRA ALTERUM AEQUALEM ANGULUM , ITEMQUE sIBI MUTUO IMPONANTUR LATERA HOMOL AQUAE AEQUALEM IN UTROQUE TRIANGULO ANGULUM COMPREHENDUNT , ERIT TERTIUM LATUS TERTIO
LATERI PARALLELUM . Ponatur angulus D (Fig. io.
supra angulum aequalem B , latus DF supra latus homologum BC, & latus DB supra latus EA itidem homologum , erit latus FE vel te parallelum lat ri A C. Cum enim angulus feB aequalis sit angu-
95쪽
86 ELEMENTAM CAB, erit recta se rectae AC parallela ( prop. a.
cap. I. b. Si angulus F Poneretur supra aullulum
aequalem C, simili modo demonstratur rectam DE esse rectae AB parallelam. Idem dicendum de retactis FD, BC. viceversa si per punctum f, pro arbitrio sumptum in latere trianguli agatur recta se parallela rectae AC; aequales sunt angvii Ese, ECA ; & Bef, BAC . cloe.cit. b. Triangula illa quae angulos habent respective
aequales dicuntur similia. PROP. U. QUODLIBET POLYGONUM RESOLVI PO
TEsT IN TOT TRIANGULA QUOT SUNT POLYGONI LA
TERA . Etenim ex puncto C intra polygonum ac Fig. ii.) ad singulos angulos duci possunt rectae; evidens autem est tot esse triangula quot polygoni
Alia ratione in triangula dividi possunt polygonac Fig. ia.). Si nempe ex polygoni angulis ducantur
tot rectae , quot duci possunt, quae tamen se mutuo non secent. Illae autem rectae quae ab angulo polygoni ad alium ducuntur, diagonales vocantur patet in hoc casu tot esse triangula quot latera polygoni, demptis duobus. COR. I. Summa angulorum polygoni aequalis est producto ex Igo' in numerum laterum , demptis duobus, hoc est demptis sco'. Etenim anguli polygoni simul iumpti aequales sunt angulis omnibus triau-gulorum in quae reductum est polygonum, demptis angulis quorum vertex est in C. Ηorum autem augulorum simima est 36 c prop. I. cap. S.). Sed tot sunt triangula quot latera ; quare summa omnium augulorum polygoni aequalis est producto ex Igo' innumerum laterum, binario mulctatum . Ita si polygonum habuerit septem latera, summa angulorum est mi go' R Z -- a Tet OOD.
Idem quoque evidens est, si polygonum per diagonales in triangula dividatur ; erit enim in his trian- gulis
96쪽
GEOMETRIAE CAP. III. 8γgulis angulorum summa angulis polygoui aequalis, ac proinde summa illa aequalis est proaucto ex idoqiu numerum triangulorum, hoc est, in numerum laterum polygoni, demptis duobus. COR. II. Polygonum quodlibet regulare circulo inscribi potest . Dividantur in duas partes aequales anguli polygoni per rectas AC , BC , DC, EC &c. grectae illae se mutuo secabunt in C , & erunt inter se, aequales . Etenim rectae AC, BC sibi occurrentes in puncto aliquo C, essiciunt triangulum ABC, item- que rectae BC, DC aliud efformant triangulum a BCD. Sed triangula illa sunt aequalia ; nam cum anguli polygoni regularis aequales sint & bifariam aequaliter dividantur, aequales sunt anguli CAB, CBAinter se , & angulis CBD , CDB ; praeterea aequalia sunt latera AB, BD . Ergo ita scelia sunt & aequalia triangula ACB , BCD, ( cor. a. prop. g. b . Uydre AC m DC die BC ; & propter latus commune BC , punctum intersectionis rectarum AC, BC , cadet iupunctum C. Idem valet de aliis rectis EC , FC &c. COR. III. Radii e centro polygoni regularis ad angulos ducti polygonum dividunt in tot triangulaisoscelia & aequalia,quot sunt polygoni lateras& quodlibet polygoni latus sit chorda arcus qui aequalis est quo to ex gradibus 36o per numerum laterum divisis. Ita latus decagoni est chorda arcus erad. 36. COR. l . Latus hexagoni regularis circulo inscripti aequalis est circuli radio. Nam si eX centro C, in sex triangula dividatur libagonum , aequilatera sunt triangula illa ob radios CA, CB aequales & angulum dis. 1 or .
ACB-6o'. Quare singuli anguli CAB, ABG sunt etiam Go', ac proinde Ca m AB . COR. U. Quodlibet polygonum regulare et rculo scircumscribi potcst, hoc ei , intra polygonum regu lare describi potest circulus qui singula tangat polygoni latera. Etenim cum latera polygoni regularis circulo inscripti, totidem sint chordae aequales, chor-
97쪽
88 ELEMENTAdae illae a centro aequaliter distant (cor. I. prop. a. cap. I. b. Quare si ex centro C , agantur perpendiculares CI , CΚ , hae chordas aequaliter divident, atque aequales erunt. Ergo per singulas perpendiculavium extremitares describi poterit circulus qui singula polygoni latera in puncto medio tanget ( cor. I. Frop S. cap. a. . COR. VI. riinc polygono regulari dato circulus circumscribi potest . Quaeratur polygoni centrum, quo invento , circulus facile circumscribitur. Item polygono regulari circulus facile inscribitur; invento polygoni centro, ad latu, aliquod demittatur perpendicularis , haec erit circuli radius. Uiceversit polygonum regulare circulo dato ci cum scribi potest. Dividantur 36o' per duplum numerum laterum polygoni, sumptoque arcu iΚ , qui
sit quoio aequalis, per extremitates fi , i, ducatur radius CΚ agaturque recta indeterminata CB; ad punctum Κ erigatur perpendicularis D ΚB , occurrens CB in puncto B, transferatur RB in XII, erit Diu latus polygoni quaesiti. Simili modo inveniuntur alia latera. vel etiam radio CB describatur circulus & per
totum circumferentiam transferatur corda DB atque
inscribatur polygonum DBAGFED, quod erit circulo dato circumscriptum, ut patet ; cum per constructionem tot habeantur tangentes aequales & aequaliter divisae in puncto contactus, quot sunt latera tu polygo-uo quaesito. Simili constructione circulo dato polygonum regu- lare inscribitur. Dividatur numerus 3 - per nume- rum laterum polygoni quaesiti, sumatur in circulo dato arcus huic quoto aequalis, chorda hujus arcus erit latus solygoni ; transferatur chorda illa per totam circumferentiam , habebitur polygonum quaesitum . Hic autem diligenter observandum est per Geometriam elementarem circulo inscribi posse duntaxat triangulum aequilaterum, quadratum, pentagonum, - pcn-
98쪽
GEOMETRIAE CAP. III. go pentedecagonum, hoc est, figuram quindecim l rerum , & polygona regularia in quibus numerus laterum se habet in progressione geometrica dupla. Ita triangulum aequilaterum praebet polygona regularia laterum G, Ia,2q, AB &e. quadratum praebet polygona laterum 8 , 16 , Sa , fg &e. Ex pentagono oriuntur polygona laterum IO,ao , go, BO &c. Iandem ex pentedecagono oriuntur polygona laterumgo , Go, iaO, ago &c. Alia polygona ut eptagonum , Euneagonum , endecagonum &c. deseribi non possunt geometrice , nisi per constructionem aequationum quae ad sublimiorem gradum assurgunt SCHOL. Cum polygonum regulare circulo iu- scribi & circumscribi possit, quo major est in polygono inscripto vel circumscripto laterum numerus, eo magis polygonum ad circulum accedit. Itaque augeatur numerus laterum polygoni in infinitum, ita ut differentia inter polygonum & circulum sit data quavis differentia minor, jam circulus considerari poterit tanquam polygonum regulare ex lateribus numero infinitis & infinite parvis compositum . Haec circuli consideratio pendet ex principio omnino evi denti. Si nempe duarum quantitatum A , B, disterentia sit qualibet assignabili minor , quantitates illae velut aequales haberi debent. Etenim ponatur inter ibias quantitates differentia aliqua data , jam quantitam tum illarum differentia non est qualibet assignabili mi nor , quod est contra hyp. Quantitas autem, quae ad aliam accedit pro differentia qualibet data minori, hujus alterius quantitatis limes appellatur . Methodus autem illa vocatur methodus Exhaustiontim , seu primarum & vltimarum rationum . Hanc methodum aquam fusius explicabimus in prima parte physices, ubi sermo erit de extensionis divisibilitate , in proximo capite , quantum hactenus nobis satis est , brevi
99쪽
De linearem rationesti de proportionibus . PROP. I. IN TRIANGULis sIMILIBUS acb, ACB, c Fig.i3.) LATERA HOMOLOGA SUNT PROPORTIO. AE NALIA. Ponatur ab pars dimidia rectae ABG agabeturove cg parallela rectae AB, erit m :et: bA . Quod c id evidens est ex linearum parallelismo , ducta enim ibneahg , erit ob angulos inter parallelas aequales & oblatus commune bg , triangulum bcg aequale triangulo bgB, & latus cg m bB (cor. I. prop. S. cap. praec.) . Ergo eg m bB m Ab. Praeterea triangulum Ccg , aequale est triangulo cAb c loco cit.). E go Cc etet Ac, & Cg m cb m gB . Quare Ae vel Ce, erit pars dimidia rectae AC, sicut cb est pars dimidia rectae CB. Si Ab sit tertia vel quarta aut quaelibet alia pars rectae AB ( Fig. iq.b simili modo evidens est rectasAe,cb, esse tertiam, quartam &c. partem rectarum,
AC, CB. Etenim ex divisionum punctis b, f in recta AB, ducantur bc , α &c. rectae BC parallelae, &. eadem ratiocinatione patet triangula Acb , chg,hCi &c. aequalia esse triangulo acb. Si recta Ab, accurate non contineatur in AB, sed
cum fractione aliqua, E. G. bis cum dimidio, sinibli ratione Ac bis cum dimidio continebitur tu AC, & bc in BC. Etenim factis duobus triangulis Acb, ehq aequalibus triangulo reb ; inter parallelas hs&CB construi poterit triangulum Chi , cujus latera erunt dimidia pars laterum trianguli cAb ; quod est evidens , cum sit fB pars dimidia rectar Ab ( per hypoth. & recta hi aequalis rectae FB , ob parallelas hs, CB. Tandem ponamus in triangulis ACB, hCi, rectas AB, hi, esse inter se iurammei stragiles ; divisa intelligatur recta hi, tu partes 1 , jam recta AB
100쪽
GEOMETRIAE CAP. IV. preertum continebit partium numerum eum aliquo re siduo, cum lineae illae sint incommensurabies. Rura sus te sta hi divisa singatur in partes Io , certum earumdem partium numerum continebit recita AB, sed cum residuo quod priori residuo minus est ; atque ita deinceps minus perpetuo fiet residuum, quo plures erunt partes . Quare ponatur partium numerus insinitus, jam residuum fit nullum. Ergo generatim tri ngula quaelibet similia , latera homologa habent proportionalia. COR. Numerus quilibet partium in C B erit adnumerum partium in CA inter easdem parallelas, ut numerus quilibet alius partium in CB ad numerum partium in CA inter easdem parallelas. Etenim Chrhc m Cir im , & Ch e Ci m hc r im . Item he: cAmim et mB, & hc: im etet ca et mB. Ergo Ch e Citra he et im m ca e mB . Quare CB est ad CA ut numerus quilibet partium in CB ad eundem numerum yartium in CA. PROP. II. Duo TRlANGULA IN QUIBUs LATERA
HOMOLOGA FUNT PROPORTIONALIA , AEQUI ANGULA
SUNT . Si ( Fig. io.) ponatur Aor BC FE: FD,& AC : AB ra FE : ED , sequiangula eruut triangula ABC , DEF . Nam si super EF construatur triangulum FEG triangulo ABC aequiangulum, faeto scilicet angulo GEF m BAC, & angulo GFE in
ae proinde EGm ED. Quare triangula duo FED, FEG aequiangula sunt & aequalia, ob latus commune
cap. praeced. b. Sed (per constr. b triangulum FEG triangulo ABC est aequiangulum, ergo triangulum FBD ipsi quoque est aequiangulum o -