장음표시 사용
61쪽
tur, arithmetica ad instar subtractionis. Duarum rationum aequalitas proportio diciturgeometrica vel arithmetica pro rationum ipsarum qualitate ; igitur in omni proportione quatuor quantitates esse debent, & prima adfectindam esse dicitur ut tertia ad qtiariam. Si vero eadem quantitas bis assumatur, ita ut primae rationis consequens idem sit cum antecedente secundae, proportio dicitur continua. Ita exprimi solet proportio geometrica a, b r: c, d, vel a: b m ce d, vel PH,
arithmetica vero a - b ra, c - d . uII. Si inter duas primas quantitates eadem sit diste rentia quae inter duas ultimas, jam quantitates illae
sunt arithmetice proportiouato , ut patet ex praecedenti definitione , quare arithmetice proportionales sunt numeri 3, , II, 16 ; atque et ilim quantitates a , aue b, e, ea b. Si autem talis proportio continuetur
ita ut quantitates per eandem constantem differentiam perpetuo crescant vel decrescant, jam habetur series vel progresso arithmetica , qualis est ista a, a-b, a -- ab, a -- 3b &c., vel haec alia X, X - b, x ab &c. aut etiam in numeris i , a 3 3, g , S &c.,& IO, , I , - a - S - 8 &e. LX ipsa proportionis
arithmeticae natura evidens est summam extremorum terminorum aequalem esse summae mediorum . Ita in
proportione arithmetica c, a q-b, edicae in b, manifestum est summam extremorum ac -- b, aequalem esse summae mediorum a b -- e . Hinc datis tribus quantitatibus facile invenitur quarta arithmetice proportionalis , addantur scilicet secunda & tertia atque ex summa auferatur prima, differentia erit quari tus terminus arithmetice proportionalis, ut patet . Inde etiam collieitur in progressione qualibet arith metica summam duorum extremorum aequalem esse summae duorum quorumlibet terminorum ab extremis aeque distantium . Sint priores termini a , a ,-- b , a - - ab &c., sitque ultimus terminus X, erit penultimus
62쪽
ET ALGERRAE UAPUT VI. samus X - b, antepenultimus X - ab &c. Iam comparentur inter se termini qui ab extremis seque distant in hunc modum ra, a , b, a - 2b, ari-3b, a q- D&e. X , X - b, X - 2b, X - 3b , X - D &c.
Si nempe singuli termini correspondentes, & qui ab eκtremis aequaliter distant sibi invicem addantur, ii bebitur semper ad x, hoc est, summa primi termini a ,& ultimi x ; atque hinc etiam evidens est summam omnium terminorum in progressione arithmetica aequalem esse producto ex summa primi & ultimi in dimi
III. Cum differentia communis terminorum i progressione arithmetica primum terminum non assiciat , patet hujus differentiae coeffcientem in quolibet dato termino aequalem esse numero terminorum qui terminum datum 'praecedunt. Quare in ultim termino x, habebitur n - 1 b , nempe X m aq- n - I κ b . Igitur cum ominium terminorum a summa sita X κ - , ea quoque invenitur met
At si progressionis primus terminus fuerit ob erit pro gressionis summa aequalis dimidio producto ex ultiomo termino in numerum terminorum . Nam in hoo casu cum sit a m o, summa terminorum quae grueratim exprimitur per a -- κ κ - an hanc Cum
63쪽
ELEMENTA ARITHMETICAE Unde evidens est summam numeri cujuslibet termianorum in progressione arithmetica cujus primus terminus est,o, aequalem esse dimidio producto ex terminorum numero in terminum maximum. E. G. Piogresso arithmetica: O - 1 - 2- 3 - qis -6- γ -8- by
IU. Si quotus ex duabus primis quantitatibus aequa Iis sit quoto ex duabus ultimis, quatuor illae quantitates sunt geometrice Proportionales , ut patet ex prae-eedenti definitione. Tales sunt numeri a , 6, , Ia, , quantitates a , ar , b, br. Ex ipsa proportionis geometricae natura evidens est productum ex terminis extremis aequale esse producto ex mediis, sic a br mar b, ut patet. Quare datis tribus terminis facile invenitur quartus geometrice proportionalis, multiplicando scilicet duos medios terminos productumque dividendo per primum, quotus erit quartus terminus quaesitus ; ita daris tribus quantitatibus ab ar, b, iuvenitur quarta m br . At si proportio sit continua, ita ut secunda quantitas sit primae rationis consequens & simul secundae rationis antecedens, simili ratiocinatione patet sumendum esse hujus quantitatis' quadratum, illudque per primam quantitatem esse dividendum . Haec autem quantitas quae antecedentis& consequentis vices gerit, vocatur media proPortio natis , talisque proportio ita exprimi solet a, b, c, nempe hoc scribendi modo significatur b, esse mediam proportionalem. At media proportionalis arith-
metica ita designatur a. a, b, c , patet autem in hac proportione summam extremorum aequalem esse ter
64쪽
ET ALGEBRAE CAPUT UI. Ss Ex demonstratis de proportione geometrica pendet vulgatissima arithmeticae operatio quae regula trium , vel etiam regula aurea propter eximiam utiliatatem appellari solet , per hanc regulam datis tribus terminis invenitur quartus proportionalis . In hac autem operatione probe observari debet terminorum ordo . Et primo quidem consideranda est quantitas quae est ejusdem generis cum quantitate quaesita . Ex quaestionis natura intelligitur an quantitas data sit major vel minor quantitate quaesita ; si major sit, jam maxima ex aliis duabus quantitatibus in terminorum o
dine ad sinistram scribi debet s at si minor sit, tunc
duarum aliarum quantitatum minima ad sinistram , alia autem ad dextram collocanda . Constituto autem convenienti terminorum ordine, jam ex praescripto regulae, productum ex secundo termino in tertium per primum terminum dividi debet. Tota res exemplo perspicua fiet. Haec proponatur quaestio : Si triginta operarii dierum 1a spatio opus aliquod absolvant, quaeritur nec siarius operariorum numerus ut
idem opus I 8 diebus absolvatur. Quoniam quaeritur operariorum numerus, primum considerandus est numerus 3o , statim autem vides numerum illum datum majorem esse numero quaesito; quare numerus 18 ad sinistram collocari debet, numerus autem Ia ad dextram , atque ita operatio peragitur, hoc ordine
Idv. Pro varia terminorum ordinatione in pro r- tione geometrica, diversa ab arithmeticis inventa fuerunt nomina. At ex prima terminorum ordinatione,
aliae omnes facile inferuntur . si primus terminus dicatur esse ad tertium ut secundus ad quartum , argu mentari dicimur alternando . Si dicatur secundus ad primum ut quartus ad tertium, i inc dicitur inverten do. Si summa terminorum primi & secundi refertur ad secundum ut summa terminorum tertii & quarii
65쪽
36 ELEMENTA ARITHMETICA ad quartum , inferre dicimur componendo; contra aviseem dividendo, si terminorum primi & secundi dii rentia ad secundum reseratur ut disserentia tertii &quarti resertur ad quartum. In his autem omnibus virgumentandi modis proportionem manere patet, cum productum extremorum aequale semper inveniatur producto mediorum. Ex eadem productorum aequalitate facile colligitur, rationum compositione proportionem non mutari . Ratio composita ex pluribus geometricis rationibus illa dicitur quam habet productum ex earum antecedentibus ad productum ex consequentibus . Sint duae proportionesar b m e: d, erit as: bg m: cm : ds.f: g m m: sEtenim productum extremorum alas aequale est producto mediorum bgcm . Et quidem a: bme: d, ac proinde ad in M. Praeterea se g in me s, ideoque is m. gna, ergo ad N f, m gm . Simili ratione Fatet - mr . Atque eadem valet demonstratio pro alio quolibet proportionum numero I ratio ex duabus aequalibus com posita dicitur duplicata , ex tribus triplicata &c. Ilinc ratio geometrica quam habet quadratum unius quantitatis ad quadrarum alterius est duplicata ejus quam habent ipsae quantitates ad invicem , ratio cuborum triplicata &e. Et contra ratio quam hambent inter se radices quadratae, cubicae &c. dicitur subduplicata , saltriplicata &c. rationis potentiarum respectivarum . At ratio quae intercedit inter radices
quadratas cuborum hoc est, ratio a & b dieitur si qui teaia. Si duae quantitates ita inter se connegae sint ut siem dupla, tripla dic., altera etiam dupla , tripla &e. evadat, prima dicitud esse in ratione directa implici alterius. At si prima in eadem ratione decrescit iu
66쪽
. ET ALGEBRAE CAPUT VI. 3γmers, sive reeiproca istius . verum si duae quantitates ita connexae ut altera crescat in eadem ratione Fritimae quadratum aut cubus &c. tune illa ad halle esse dicitur in ratione duplicata, triplicata M. At sit in eadem ratione una decrescit qua crescunt al- terius qWadrata vel cubi, dicetur esse in ratione hujus reciproca duplicata aut triplicata &c. UI. Ex mediorum S eXtremorum producto pendet etiam universa progressionum geometricarum do- ctrina . In progressione qualibet geometrica productu ni ex primo in ultimum terminum semper aequale est producto ex secundo & penultimo , aut etiam alia teri cuilibet producto ex duobus terminis a primo &ultimo aequaliter distantibus. Sit progressio a , at gar , ar in qua sommunis multiplicator aut dioisotratio communis dici solet, sitque y, ultimus terminus ;. Y v v
erunt quatuor ultimi termini X, β , ψ , . , ut patet
ex natura progressionis geometricae . Est autem aY m ar A m ar '-m C &c. Praeterea sum. t rx rima progressionis geometricae , dempto primo termiano , aequalis est summae omnium terminorum, demisipto ultimo, per communem rationem multiplicatae .
progressionis summa dicatur s, erit s-am S y r. hoc est , s - a m sr - yr, vel fr - s m yr - , &- yr - aa et i . Quamvis autem eX arithmeticarum operationum natura facile pateat qua ratione ad hunc ut timum valorein perveniatur, res tamen magis fiet
manifista ex appendice, quam de aequationibus mox adjungemus. Porro cum exponeus ipsius r, post se,
67쪽
38 ELEMENTA ARITEMRTIC cundum terminum perpetuo crescat , si numerus ter. minorum dicatur u , erit n - 1 exponens psius r, in ultimo termino, ac proinde y -ar' , Styr-ar'
gressione geometrica primo termino; terminorum numero & communi ratione, facile invenietur om- Dium terminorum lanima . Si invenienda sit summa
seriei decrescentis y - - - - , &c. ari .
- ar - a, posito terminorum numero infinito , ultimus terminus a, fit in o. Cum enim nis sit infinitus ac proinde & r' erit a m o. Quare summa talis seriei s m , quae est summa finita, quamvis numerus terminorum sit infinitus ; ita series infi
Schol. Ad progressiones arithmeticas & geometricas refertur togarithmorum doctrina, maximae quiadem utilitatis in universa mathesi , sed rem breviter attingere nobis satis erit. Progressio quaelibet geometrica hac formula potest repraesentari P aqq, aq , H , aq=, aq', aqi &c. in qua a, & q , exprimunt numeros quoslibet. Quare si fiat a m. 1 , praecedens series
duo colliguntur. I.' Productum ex duobus quibusseumque hujus progressionis terminis, pro eXponente habet ipsorum exponentium summam: Ita productum ex q q- m q/. Quare si inveniendus proponatur in hac progressione terminus qui sit duorum aliorum producto aequalis, quaeratur terminus cujus 3 exponens est ipsa duorum eκponentium summa ad Quotus ex duobus terminis emergens, ipse est terminus cujus exponens est ipse exponentium differentia.
Ita si dividatur vi per qi, quotus est qi i . Quare ii in-
68쪽
, ET ALGEBRAE CAPUT N. oveniendus proponatur terminus duorum aliorum quoto aequalis , quaeratur Terminus cujus exponens
aequalis est exponentium differentiae. Vbi ponatur progressiouis geometricae terminus aliis quis q , atque e Xponens rationis sit- , progresso quaelibet geometrica hac serie in infinitum repraesentari potest .... qn i, qu G qn i, qae , q ', q , qu, qn , qui, qn' qui&c. ut patet. Si infra progressionem geometricam scribatur progressio arithmetica, ita ut singuli te mini unius respondeant singulis terminis alterius, terminus quilibet progressionis arithmeticae appellatur Iogaritimus termini respondentis in progressione gemmetrica . Inde autem patet multipliciter variari posset arithmorum formam . Etenim si duae sint progressiones quarum altera geometrica sit, altera arithis metica , & sub singulis primae terminis singuli secundae scribantur, undecumque initium fiat, hi dicuntur illorum Agaritimi r at in vulgari logarithmorum systemate , numeri alicujus logarithmus vocatur eX- ponens potestatis numeri denarii qui sit numero dato aequalis ; ita si habeantur progressio geometrica
IO', IO , Io , Io , IO , & infra scribantur eorumdem terminorum valores PI, IO, IOS, IOSO , ICO &c. exponens o est logarithmus unitatis, eAponens I est
Iogarithmus numeri io, & ita deinceps. At quia exponentes illi exhibent duntaxat togarithmos numerorum integrorum in progressione decupla I, IO, IOAICO &e., necessum est praeterea haberi logarithmos
numerorum intermediorum a , S, , Ss6a 58, sagi , Ia &c. Qua ratione autem formari possint l, garithinorum tabulae breviter exponam 3 neque enim
doctrinam hane fusius explicare licet pro iniuncta his
Ut habeatur numeri alicujus dati E. G. 3 logarith
n us, oportet numerum hunc inveniri in progressione geometrica I, Io, ioo &c. quod ex dictis patet.
69쪽
M ELEMENTA ARITR. ET ALGEBR. CAP.VI.
Porro quamvis non pateat numerum 3 , locum habeare posse in praedicta progressione, evidens tamen est , inferendo inter I & Io, terminos medios geometrice proportionales, obtineri numeros inter I & io eo proximius quo major est terminorum numerus, unde fiet ut horum terminorum mediorum aliquis vel sit numerus 3 accurare , vel inveniantur termini duo contigui, inter quos numerus 3 contineatur proxime . His positis, inter o & i, inseruntur tot medii arithmetice proportionales quot medii geometrici inseruntur inter i & Io. Quo fusto, sumetur pro lo-garithmo numeri S , terminus progressionis arithmericae respondens termino jam invento in progressione geometrica . Hoc artificio & patientissimo inultorum annorum labore supputatae sunt logarithmorum
Commodissimae sine sunt tabulae illae ; etenim
eum demonstratuni sit productum ex duobus nume- ris logarithmorunI summae respondere, eorum vero differentiae respondere numerorum quotum , per so
Iani additionem & subtractionem compendiose absolvi possunt multiplicatio & divisio . Sumantur datorum numerorum logarithmi simulque addantur, numerus summae respondens iu lobarithmorunt tabulis erit togarithmus productis contra autem logarithmorum differentia erit togarithmus quoti, ac proinde inveniuntur numeri quaesiti. Simili ratione patet nu merum quemlibet ad datam potestatem evehi, si toties sumatur numeri dati logarithmus, quoties per se ipsum numerus multiplicandus proponitur, hoc est, rogarithmus per exponentem potestatis multiplicari debet,& productum erit quaesiti numeri togarithmust contra autem si numeri dati logarithmus per exponentem radicis dividatur, quotus erit quaesitus radi- eis logarithmus,
70쪽
De AE tiationibus. I. TV suatio dicitur propositio duarum quantita-
a tum aequalitatem assirmans, interposito aequalitaris signo m . AEquatio valorem quantitatis alicujus repraesentat, si ex una aequationis parte habeatur quantitas sola quaesita; in parte autem altera oc-.currant quantitates quae omnes sint cognitae. Ita si habeatur X-- 8 , notus est valor ipsius Itaque in omni aequatione resolvenda id curandum est , ut nempe quantitas, cujus valor quaeritur,in una sequam tionis parte sola contineatur, pars autem altera solas quantitates cognitas contineat. In hac autem appendice duplex duntaxat aequationum genus considerabimus, eas scilicet in quibus quantitas incognita vel unius est dimensionis seu primi gradus, vel ad lecuum danae dimensionem seu secundum gradum evehitur. Quod primi gradus sequationes spectat, totum artificium regulis quibusdam explicabimus variisque numeris distinguemus .... I. Ex una aequationis parte in alteram transfertur quantitas aliqua, facta signorum permutatione, ut in hoc exemplo. EX -- So m
X SC,Sx - x m FG - so & X m 6. . . . a.' Si quantitas incognita quantitatibus aliis per multiplicationem aut divisionem permixta sit , ab iis liberari debet in primo casu per divisionem , in casu altero permultiplicationem. Sit 3x--Ia m IT, erit Sae ma - Ia & κ m -- m S. Sit autem qm Ioaerit x - ao m D, & X m so 22 m 36. . . SAFortio quaelibet geometrica converti potest iu aequa' riouem , facta extremorum & mediorum multiplicam