장음표시 사용
101쪽
Dem mstr. I. Quando p 2, in Iὶ omnes tormini practor Primum t. e. m tormini divisibiles crunt: totidem nutem crunt in IIJ. II. Sit p numerus impar vel numeri impuri η duplum ves quadruplum. v
quac torminoxum in titudine cum Ih convenit et Iior IIIὶ designabitur totidem ad minimum termini erunt secundum modulum p ipsi r congrui. quot in serie II lier p divisibilos art. praec . . Intor illos autem bini, qui signo tantum . non magnitudine. discreponi, occurrere nequeunt j. Tund ui quisque eorum CorrCSPOndentem habebit in soric ri, qui P 3r p erit divisibilis. Scilicet si fuerit *b aliquis torminus gorici III ipsi r secundum p congruus. erit a - Iter P divisibilis. Quod si igitur b est 1inr. terminus sorici Iὶ. 2 ία - θη, per p divisibilis erit. Si vero b imitar. torminus ιμ-b' per ρ divisibilis orit: namque mani- sto orit in togor tr. quoniam a - bb Per S, p Rutem ad summum Per 4 divisibilis a enim I or hyp. sest formae 8n-Hl, bb autem ideo quod est numeri imparis quadratum ciusdem sermae erit, quaro disserotitia orit formae 8n . IIinc tandem concluditur, in sortu IJ totidem terminos osse per ρ divisibiles, quot in IIIIJ si ut it,si r secundum s congrui i. e. totidem aut plures quam in IIJ sinti Ar ρ divisibileη. Q. E. D. III. Sit p formae Sri. atquc a - rr in . 2p . Facile enim PerSPicitur. s. quum ex liFP. ilvsius p sit residuum. etiam ipsius 2p residuum fore. Tum in serie IIIJ totidem ad minimum tormini erunt ipsi r secundum p congrui. quot in IIJ sunt per ρ divisibiles. illique omnes magnitudine crunt inaequales. At cuique corum respondebit aliquis in I in r p divisibilis. Si enim H-b vel -b- r mod. p . erit bti rr Od. 2p n. adeoque terminus l* - bb ivir p divisibilis. Quare in Ι toti desiit ad minimum teranini orunt por p divisibiles quam in IIJ. Q. E. D.
'ὶ Si enim esset ν -ySΦ1 moil ρὶ, fieret af per ρ divisibilis. ademus etiam 2 a propter Π a smod.ρὶ . Hoc autem aliter fieri nequit. quam si P in a. quum per hyp. a ad p iat primus. Sed de hoc casu iam scorium dirimu . Erit sollieet ιι - πιν - ΗΝ - ν) e duobas saetoribus compositu , quorum alter per ρ divisibilis thyi J, tum ι-r sunt impare i adeoque bb- re per 2 p di, bilis.
102쪽
Demonstr. Esto. si fieri polost. a rosiduum omnium primorum ipso 2, aes lminorum. Tum sucilo Ilerspicietur, a etiam orianium numerorum compositorum ipso I minorum residuum fore conseruntur 13raecepta per quae diiudicare docuimus, utrum numerus ProIUSitus sit numeri compositi residuum necne; art. 105 . Sit numerus proximo minor quam via. - m. Tum in sorie
totidem aut 1,lures termini orunt Iier numerum quemcunque i PSO 2 vs H- 1 min rem divisibiles. quam in hae IIJ l. 2. 3. 4 .... 2m H- i nrt. Praec in Hinc Vem Nequitur. productum ex omnibus torminis IJ Iaer productum omnium torminorum II in divisibilo esse. art. l26 . At illud est aut se a M-1ὶ 9-4ὶ u - mm aut scinissis huius producti prout m aut Par aut impar . Quare productum re a - l)ὴ - 4) μ-mm certo Iu r productum omnium torminorum II in dividi poterit. et . quia omnes hi tormini in a sunt primi. etiam productum illud omisso iactore a. Sed productum ex omnibus terminis IIJ ita otiam Oxhiberi potDSt,
numerus integer, quamquam sit productum ex fractionibus unitate minoribus: quia cnim necessario xla irrationalis esso debet. orit m H- l tu, adeoque --μl ' a. Hinc tandem coii cluditi ire supimsitionem nostram locum habere nora I Sse. Q. E. D. Iam quia a certo 9. orit χέα - - le a. dabiturque adeo aliquis primuη
I 'Ostquam rigo se demonstruvimux quemvis uti incrum Primulii forma 4n-Hl, et Imsitive et Iiogative u optum, alicuius numeri primi ipso minoris non-
103쪽
residuum ess . ad conat,arationem exactiorem et g noratiorem numerorum Prim rum, quatenus unuR alterius residuum vel non-residuum est, statim transimus. omni rigore supra demonstravimus. - a et H-5 esse residua vel non- Sidua Omnium num rorum Primorum, qui ilisorum 3. 5 rcspectivo sint residua volnon-r sidua. Per inductionem aut m circa numeros sequentes institutam invenitur: -7. - 1 l. - 13. - - l7, - l9. - 23. H-29, -3l. - - 3T,--4l, - 4 3. - 47. Φ53. -59Dt C. CASo residua Vol non- residua omnium numerorum primorum . qui. Positive
sumti. illorum Primorum respective sint residua vol non- residua. Inductio haretur acile adiumento tabulae II confici potest. Quivis autem Iovi nitentione adhibita observabit. ex his numeris primis Si no positivo affectos esse eos, qui sint formae 4n ε 1. negativo autem cos. qui sint formae 4n ε 3.13 l. Quod hic per inductionem deteximus. gon inliter locum liabere mox demon-xtrabimus. Antequam autem hoc n Otium adeamus, necesse erit. Omnia qua ex th remate, si verum esse supponitur, sequuntur. eruore. Theorema ipsum ita
p rat numerua primus formae 4n Φ l. erit in p. si xero p formaeqnin 3, erit - p residuum vel non. residuum cuiusvis niseri primi qui positire acceptus ipsius p est residuum vel non .r iduum. Quia omnia sors quae de residuis quadraticis dici possunt. huic theoremati innituntur. denominatio theorematis fundamentalis, qua in sequentibus ut mur haud absona erit. Ut ratiocinia nostra quam brevissimo exhiberi POSSint. Per a. a .ia eis. numeros primos formuθ 4n-l, per b. V. ς etc. numeros primos formae 4n in adenotabimus; per A, A . . etc. numeros quoscunque formae 4nεl. Per B. Η, Η' etc. nutom numPros quoscunque sormast 4 n ε 3: tandem litora R duabus quantitatibus interposita indicabit. prior ni sequentis osso rctsiduum. Sicuti litera
V significationem contrariam habebit M. yr. 5 R ll, - 2 indicabit in Sipsius ti osse residuum, ε 2 vel - 2 osse ipsiuR 1 non-residuum. Iam cou
104쪽
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS.
luto theoremnis suntlaincntali cum theorematibus art. lli. sequentes ProI visitio- nos facile doducentur.
105쪽
Araim omnium liarum propositionum demonstrationes ex iisdom principiis sint potendae, necesse non erit omnes evolvere: demonstratio Prop. s. tiuum alis ponimus tamquam sexemplum inferrire potest. Ante Omnia nutem Observetur. quemvis numerum formas 4n-Hl Rut nullum factorem somno habere. aut duos, aut quatuor utc., i. e. multitudinem talium factorum inter quos Ptiam aequales esse I ossunt Semlyer sore Imrem: quemvis vero sormae 4n--3 multitudinem imparem lactorum so i. e. aut unum nut tres aut quiIulucteto in implicare. Multitudo laetorum formae 4 n- - 1 indeterminata manet. Prop. 9 ita demonstratur. Sit A productum o saetoribus Primis a. u . ιι ' etc., b. b', ς otc.; eritque factorum b. ct c. multitudo pur si ossunt etiam nulliadosse. quod codem rodit . Iam si a cst residuum ipsius A, erit rosiduum Otiam omnium suctorum a. a. a otc. b. v. l obc. quare Per P PP. 1, 3 uri. Pr C. singuli hi factores erunt residua ipsius a. rulo quo otiam ProduCtum A. - 4 vero idem sesso des Μ t. - Quodsi vom - ι est residuum ipsius A. eoque ipso omnium lactorum a. a' est . b. Petis : singuli ae, a cis. Prunt ipsius a residun. si guli b. b' etc. autem non-rcsidua. Sed quum Posteriorum multitudo sit Imr. Prinductum DX Omnibus. i. e. A. ipsius a residuum Prit. hincque otium - A.
i 33. Investigationem adhuc Mneralius instituamus. Contomplemur duos numeros quoscunque impares inter se primos, signis quibuscunque affectos. P et Q. Concipiatur P sino respectu signi sui in factores suos primos resolutus, designoturque Per p. quot inter hos reperiantur quorum non-residuum sit Q. Si vomnliquis numerus Primus. Cuius non-residuum est Q. pluriss intor factores ipsius P currit. pliuqeν etiam numerandus erit. Similiter sit q multitudo fiu tomimprimorum ipsius Q. quorum non- residuum est P. Tum numeri p. g certam relationem mutuam habebunt ab indole numerorum P. Q pondontem. Scilicet Si alter numerorum p. g est par vel impar. numerorum P. Q Erma cloephit utrum altor par sit vel impar. Haec relatio in sequenti tabula exhibetur. Erunt p. et simul pstros vel simul impares, quando numeri P. Q haboni
106쪽
DE CONGRUEN TIIS SECUNDI GRADUS.
- B. - Η'ὶ M. Sint numeri Propositi - 55 et Ψlls T. qui ad caesum quartum serunt reserendi. Est aut m 1 97 non-residuum unius factoris primi ipsius 55. scilicet numeri 1. -5b autom non- residuum trium suctorum primorum ipsiusli 07. scilicet numerorum a. a. 19. Si P et Q num ros i, imos designant, propositiones has abeunt in Cas quas art. lai tradidimus. Hic scilicet p et q mniores quam l fieri nequeunt, quare quando p laonitur osse Par nocessario erit 0 i. e. Q erit rosiduum ipsius P. quando vero p est impar, Q ipsius P non-rosiduum crit. Et rico versa. Ita scriptis a, b loco ipsorum A. II. ex 8 se Diitur, si -a suerit residuum vel non- residuum ipsius b, fore -b non-residuum vel residuum ipsius a. quod cum 3 et 4 art. 131 convenit. Generaliter vero patet. Q residuum ipsius P esse non posse nisi fuerit psi igitur p impar. Q corto ipsius P non-residuiim erit. Hinc Ptiam PropP. art. Praec. sine dissicultato derivari possunt. Ceterum mox patebit. liane repraesentationem generalem Plus esse quam speculationem sterilem. quum theoromatis landamon talis demonstratio completa absque ea vix Iaerfici possit.
Sit ια ε ai uterque P, Q a limod. . . alioquin ι α μυι - si uterque P. Q negativus, alioquin m m. . tune relatio pendet ab ι Φ m.
107쪽
. -c liai nur nunc deductionem harunt Propositionurn. I. Concipiatur, ut anto. P in se toros suos Primos rθsolutus, signis negle tis. insulierque etiam Q in saetores quomodocunquo resolvatur. ita tamen ut si
ni ipsius Q ratio habeatur. Combinentur illi singuli cum singulis his. Tum sis designat multitudinem Omnium combinationum . in quibus factor ilistus Q cst non-residuum sectoris ipsius P. p si s vel simul parcη vcl simul impar s orunt. Sint senim suctores primi ipsius P, lii f. T. V etc. et inter factores in quibus Q est resolutus. sint m qui ipsius f sint non- residua. non- residua ipsius T. in non-r sidua ipsius V etc. Tum facile quisquis perspiciet. soro
P nutum o Xprimore quot numeri inter ipsos m. m. m etc. 8int imparos. IInde sponte lintet, s sore Parem quando p sit Par. imparem quando p Sit impar. II. Haec generaliter valent . quom , locunque Q in sectores sit resolutus. Descondum iis ad casus Particularcs. contemplemur Primo casus ubi ulter numerorum. P. Est insitivus, alter vero, Q. vel soruano H- vel somno - L. Resolvantur P. Q in sactores suos sirimos. attribuatur singulis saetoribus ipsius PSignum IMSitivum, singulis autem factoribus ita sius Q signum positivum vel nom-tivum, prout sunt formas a vel b: tunc aut in manifesto Q fiet vel formae -- Avcl - B uti roquiritur. Combinentur factores singuli ipsius P cum singulis suctoribus i Insius Q, designetquo ut ante x multitudinem combinationum in quibus tactor ipsius Q est non-residuum factoris ipsius P, similiterque t multitudincm combinationum in quibus saetor ipsius P cst non-rpsiduum suctoris ipsius Q. At ex thooremato fundumentali sequitur illas eombinationes idonticas fore cum liis adeoque x - t. Pandum Ox iis quae minio domonstruvinius 8equitur essep S mod. 2 g-t mod. 2 . unde fit p - q mod. 2ὶ. Hubentur itaque propp. l. 3, 4 et is stri. 13 3. Ilaopositiones reliquae Iwr methodum similom directo erui laos Sunt, Fod una consideratione nova indigent: se ilius autem ex praecedentibus sequonti modo de
ΙΙΙ. Dei Otoni rursus IV Q. numeros quoscunque impares inter 8e Primos p. q multitudin m factorum primorum ipsorum P, Q. quorum non- residua Q. P respoctive. Tandoni Ait ιν multitudo suetorum primorum ii,sius P. liuorum
108쪽
DE CONGRUEN IIS SE UNDI GRADUM
ii Ori- residuum cst - Q quando Q lin se est negativus, ninnisest O - Q numerum positivum indicabit . Iam onmes factores larimi ipsius P in quatuor classos diς tribuuntur. lj in tactores formae a. quorum residuum DKt Q. 2 suctores formae b, quorum rosulitum Q. Horum multitudo sit χ . a) factores sormae a, quorum non' siduum ost Q. Horum multitudo sit iv. i) suctorem sortiano b. quorum non-residuum Q. Quorum multitudo se ui. Tum facito perspiciti tu sero, P -λμ' P. Iam quando P est sorinae in A. erit χ in va nil inlue Ptinm χ - ω numeruS liar: quare fiet -- ω P mod. 2 ; quando vero P cst sernino in L. per simile ratiocinium invonitur, numeros A . min. 2 incongruos fore.
I, 3suimus laendere ostensa ost. At ex ipin deductionis mothodo manifeκ tum ost. illas vulcri pro numeris P. Q. si modo ili aroma sundamentulo pro omnibus suctoribus primis horum numerorum inter se comparatis locum habeat. etiamsi gon raliter verum non sit. Nunc igitur ipsius uim mutis suntlumentalis demonstrationem aggredium ur. Cui Pracmittimus soqueutoni explicutioncm. Theorema fundamenta se usque ad numerum aliquem M verum erae dicemus. si valet pro duobus numeris primis quibuscunque, quorum neuter ipsum M svreat. Simili modo intolligi debet. si theoremata urit. lal, I 32. la 3 ux die ad ult-lpium torminum vera osse dicemus. Fucilo vom I Urspicitur. si de veritato ille tromatis sundamentalis usque ud aliquem terminum constet. has prolaositioncs usquc nil oundum torminum locum esse habituras
109쪽
i36. Tlicoronia sundamentale pro numeris Parris vortim esse, Iwr inductionem sa-cile confirmari. atque sie limes detorminari pol si iis lite ad quem coris locum tenoni Hanc inductionem institutam esse Postulamus: Prorsus nutem indifferens ost quous- quo eam Iaersecuti simus; susticPret niteo, si tantummodo usquo nil numerum si eam confirmarissemus, hoc autoni Por unicam observation m absolvitur. quod ostInm si theorema fundamentale frenoraliter verum non est. dabitur limos aliquis. T. Vsquo ad quem via bit, ita tamen ut usque ad num rum Proximo mai rem, TH- l. non limpii iis vulcat. Hoc autem idem est ac si dicamus. clari duos num ros larimos quorum maior sit ΤΗ- i. Di ilui inter se comparati thooromati fundamentali repugnoiit, binos utitoni alios numeros primos quoscunquQ, si modo ambo ipso TH-1 sint minoros. huic themroniati osse consentaneos. Unde s quitur. Propositiones arti lal. 132, 133 usquo nil otiam locum habiturus. Hanc u ro Rupivisitionem consistore non Posso nimc ostendemus. Erunt nutum secundum serinus diversas. quas tum 1 - - l. tum nil erus primus i PSO 'H-l minor. quem cum ΤΗ- 1 comparatum in 'oromuli repugnum supivisuimus. hulvire IUR- sunt, casus SPquentes distinguendi. Num rum istum Primum Iaer ρ dosi amus. Quando tum ΤΗ-l tum p sunt forma 4n- - 1, theoremn landam n talo duobus modis salsum osso poAs t. scilicet si simul esset. . t
ia urendo tum 2'H-l tum p sunt formae 4n--3. thoor. filii l. sulsum erit. si simul morit vel
Quando I l est formas 4n-- . p vero sermuo 4n-Ha, th r. laud. sulsum erit, si fuerit ret
110쪽
DE CONGRUENTUR SECUNDI GRADUS.
Quando Τ--l est formae 4nH-3. p vero formast 4n-set, theor. suud. salsum erit. si fuerit rel
Si domonstrari poterit, nullum lioriim ocis casuum locum habere Posse. simul certum crit. thoorematis sundamentalis veritatem nullis smitibus circumscriptam esse. IIOC itaque Iastgotium nunc aggredimur: ut quoniam alii horum casuum ab aliis sunt dependentes. Dundom ordinstin, quo cos hic enumerarimus. S rvare non licebit. 137.
Casus primus. Quando TH-l est formae 4n- -l h, atque ρ eiradem formae; insuper vero ΦpN a. non potest esse 'a'. IIic casus supra fuit primus. Sit - - 1 inod. ti , atque e par ot Q a quod se mi r obtineri Ivitest . Iam duo casus sunt distinguendi. I. Quando e per p non est divisibilis. Ponatur H -p- - V. eritque fpositivus. formas 4nH-3 sivo formae Ih, a. et i or p non dirisibilis. Porro erit P p mod. f. i. e. pM adeoque ex prop. li art. l32 -zyNp 'quia enim p,f αα. pro his pro sitiones istae valebunt . At est etiam VI p. quare fiet quoque ina . II. Quando e per p est divi sibilis, ponatur e v, atque pH-aph. sive py l H-ah. Tum erit h sermae 4nH-3 R. atque ad p et Primus. Porro erit pyy ΓΛ. adeoque etiam pRh. hinc sprop. li art. l32ὶ Atest etiam - ah Rp. quia - ah - 1 Inod. p); quare fiet etiam . a. .