장음표시 사용
111쪽
- ha , unde fit --a atque - a M. ias. Casus tertius. Quando TH-l est formae 4n--l a), P eiuNdem formiae. atque i pNa: non potrat esse 'ia . Supra casus secundus . Calliatur aliquis numeriis primus ipso a minor, cuius non esiduum Sit Φ a. quales dari supra demonstravimus arti. 125, 129 . Sud lite duos casus seorsim Considerare oIi irtet. Prout hic numerus primus lacrit formae 4n - 1 vel 4n in a. non enim demonstratum fuit, dari tales numeros primos utriusque formae.1. Sit iste numerus primus formas 4νι--1 et a'. Tum erit in a Na
art. 131ὶ adeoque aba Ra. Sit igitur e - abi in .H atque e par. ς a. Tun iterum quatuor casus erunt distinguendi. lὶ Quando e ncque per p nequo po a' est divisibilis. Ponatur P a p IV, signis ita acceptis ut 1 fiat positios. Tum erit J Q a. ad α' et primus atque pro signo superiori seruiae 4n--3, inscriori sermae 4nini. Designemus brevitatis gratia iter D.r. yi multitudinem factorum primorum numeri y quorum non-residuum ost a. Tum erit a'pς adeoque fa p,D-0. Hinc erit Isa'pJ numerus par proPp. l. 3. art. 133 . i. e. aut 0 aut 2. Quare erit f nut rosiduum utriusque numerorum a p. aut noutrius. Illud autem est impossibile, quum sit residuum ipsius a', atque Φα Va' hyp.): unde fit -- μά. ΙΙinc y debet esse utriusquo numerorum a .p non-residuum. At propter FUI erit ina A p. Q. E. D. 2ὶ Quando e IM)r p. neque vero por a' est dirisibilis. sit e zyp. utque y p ά - ah. signo ita determinato, ut fi fiat IMsitivus. Tum crit 4 α a. ada .s Ut p Primus, atque Pro signo su riori sormae 4n ε 3. pro inferiori vero formae 4n-Hl. Ex aequatione s p - a' ah si per ρ et α' multiplicatur.
112쪽
orit 4 uoii-r siduum v l utriusque p. ae, vel neutrius. Priori in casu eX s quitur 'iapNa'. et quum per hyp. sit Φa . erit φpRE. Hinc per theor. landam. quod Pro numeris p. ae ipso Τ' Ηl minoribus valet. ia' Np. Hinc
3ὶ Quando e per ae non nutum iter p est divisibilis. Pro hoc casu de non 8untio tantum non Podem modo procedit ut in praee. . nominemque qui hanc lienetrarit imierit morari. 4ὶ Quando e tum ivir ae tum lier p est divisibilis adeoque etiam Per prinductum ae ν numeros ae. p enim inaequales esse supponimus, quia alias id quod demonstrare operum damus, osse a M iam in hypothesi a Na' contentum soroq. sit e sis p utque yy p l ah. Tum orit k Q a, ad E ct p primus atque Pro signo superiori formae inina. Pro inferiori formae 4nH- . Facile vero
II. ruando iste numerus primus est formae 4n--3, demonstratio Prm cedenti tam similis est . ut Pani apimnem superfluum nolns vi Rum sit. In eorum gratiam qui lier se patia ovolvero gestiunt quod maximo commendamus . id tantum Ob8ervamus, postquam ad talem nequationem P - 'i' sesignanto b illum numerum Primum Ρervontum suerit. ad perspicuitatem profuturum. si utrumque signum seorsim ConSideret ir 140. Sus quartus. Quando TH-l est formae 4n-Hi f. p forme 4nΗ-3. atque 1 pNa, non poterit e e --aRρ sive -a . Casus sextus Supra . Etiam huius caesus demonstrationem. quum tirorsus similis sit demonstrationi casus tortii. brevitatis gratia omittimus.
113쪽
Casus serius. Quando Τεl est formae 4 n H- 3 bὶ. p formae 4 n -- l, atque pΓb, non poterit esse in bivp. Supra casus septimus.
Demonstrationem praecedenti Omnino similem Omittimus.143. Casus septimus. Quiando ΤΗ-l est formae 4nH-3 '. p eiusdem formae. atque Η-pNb sive -pRb, non poterit esse ἡ-b siue -b Np. Nasus quartus supra .
114쪽
Casus oetarus. Quando TH-l est formae 4n-μ3 b , p formae 4n-l. atque Η-pΝb sire -pI b. non poterit esse ibi . M usus ultimus supra . Demonstratio perinde procedit ut in casu praecedenti.
In demonstrati. Pra c. soml3or pro e valorem l arem accePimus arti. 137. . 44 : Observam convenit, otiam valorem imparem adhilini IR tuisse. sed tum pli res adhuc distinctiones introducendac suissent. Qui his disquisitionibus delectantur, haud inutila lactent. si viros suas in evolutione horum Casuum exorcitent. Prapterea theoremata ad residua H- 2 et - 2 pertinentia tunc sut,poni debuis-ssent; quum vero nostra clomonstratio absquo his theorematibus sit Iwrs ta . n vana hinc mothodum nanciscimur. illa demonstrandi. Quae minimo Pst contemnenda, quum methodi, quibus supra i ro demonstratione theorematis. - 2 cssor siduum cuiusvis numeri primi sormae 8n- - 1. usi sumus, minus directae vid ri luissint. Reliquos casus qui ad numcros Primos sormarum S nH-3. 8nΗ-5.8nH-7 RIFectantὶ I or methodos sulim traditas domonstratos, illudque ilicor matantummodo per inductionem inventum esso supponemus; hanc autem inducti nem I er Sequentes refloxiones ad cortitudinis gradum Puchemus. Si - 2 omnium numerorum primorum formae 8 n - - 1 residuum non set, natur minimus Primus huius formae, cuius non-residuum Φ2. a. ita ut pro omnibus primis ipso a minoribus ilicoronia valcat. Tum accipiatur numerus utiquis Primus cuius non-residuum a squalem dari ex art. 129 sa-cile deducitur l. Sit hic p oritque lκ3r theor. sun d. pNa. Hinc fit ' 2ν Ra - Sit itaque P 2ρ mod. u) ita ut e sit impar atque in a. Tum duo casus erunt distinguendi. I. Quando e lior p non ost divisibilis. Sit e - 2pΗ-aq eritque q P sitivus . somno Sn -- T vel formae 8 n -- prout p est formis 4 n -- l vel 4 n--3ὶ, ς a. atque per p non divisibilis. Iam omnes factores primi ipsius qin quatuor classes distribuantur. sint scilicet e fornino Sn-- l. fformae Sn-ba. y formae 8nH-5. h formae Sn--7; productum o sectoribus primae cla sis sit E. producta e snctoribus secundae, tertiue, quartac claessis rest octivo. F. G. Η' .
'ὶ Si ex aliqua nulli saetores ade, ent, loco producti ex his i scribere oporteret.
115쪽
His ita saetis . consideremus casum ubi p est formae sive εν sormae 8n--7. Tum facile perspicitur soro 2NE, 2 ΓΗ, unde pΓE pNΠ. hincque tandem E , Η . Porro orit 2 non-residuum cuiusvis iactoris se mao 8nH-3 aut Sn--5. ad Oque etiam p: liinc quiris talis sacrur non-residuum ipsius p: unde facile concluditur FG lare ipsius p residuum si fuerit par non-residuum si by suerit impar. At f -s impar esse non potest: facile enim Perspicietur Omnes casus senumerando. EFGH sive q fieri vel forma 8nH-3 vel 8n--5. si fuerit Hy impar. quidquid sint singidi e,sy, h. contra
hyp. Erit igitur FGEp. EFGH . sive q . hincque tandem, Propter ag . a Np contru hyΡ. Secundo quando p est sermae 4nH-3. simili modo ostendi potest, fore pRE adeoque E . - pNF adeoque FRp. tandem y -h parem hincque GH , unde tandem sequitur qRp. a contra lina. II. Quando e iter p divisibilis, demonstratio simili modo adornari. et aperitis squibus solis hic articissus est scriptusὶ haud difficulter evolvi poterit. Nos
brevitatis gratia eam Omittimus.
Per theorema fundamentale atque Propositioncs ad residua - 1 et in et pertinentes semper determinari Potest utrum numerus quicunque datus numeri primi dati residuum sit in non-residuum. At haud inutile erit. reliqua etiam quae supra tradidimus fuc iterum in consi ectum producere, ut Omnia coniuncta habeantur quae sunt necessaria ad solutionem PROBLEMTAE: Propositis duobus numeris quibuscunque P, Q. in P ire. utrum alter Q. alterius P residuum sit an non- residuum. Sol. I. Sit etc. designantibus a. b. e etc. numeros Primos inaequales positive acceptos ruam P manifesto absoluto est sumendus . Brvitatis gratia in hoc art. relationem duorum numerorum My simpliciter dicemus eam quatenus Prior x Posterioris y residuum est vel non- rosiduum. Pondet igitur
relatio ipsorum Q. P a relationibus ipsorum Q. a'; Q. ι' etc. bri. 105 . II. Ut relatio ipsorum G, α' do reliquis enim Q, o otc. idem valch innotescat. duo Casus diStinguendi.
116쪽
DE CONGRI ENTIA RECUNDI GRADUS.
l. Quando Q Per a est divisibilis. Ponatur Q Ga ', ita ut . 1,era non sit divisibilis. Tunc si e in a vel e α. erit QRa'; si vero e αα atque impar. erit QNa': tandem si e cla atque par. habebit Q ad eandem rotationem quam habet G ad α' . Reductus est itaque hic otius ad 2. Quando Q Iior a non est divisibilis. Hic denuo duos casus distin-
A auando a - 2. Tunc semper erit QRa', quando α-l ; quando vero α - 2, requiritur, ut sit Q sormae denique quando et a vel 3. Q ds t esse formae Sn- - . Quae conditio si locum habet, erit QRa'. II uando a est alius numerus primus. Tunc G ad Q eandem relati noni habebit quam habet ad a V. nrt. 10 l . III. Relatio numeri cuiuscunquo G ad numerum primum a imparom) ita investigatur. Quando Q a. substituatur loco ilistus Q il,sius residuum ni-rnum PoΝitivum Secundum modulum a J. Hoc ud a candem relationem halbebit
Porro resolvatur Q. sive numerus ipsius loco assumtus, in factores suos
Primos otc., quibus adiungondus factor l. quando Q est negativus. Tuni constat relationem ipsius Q ad a liendore a relationibus singulorum p. p. p etc. ad a. Scilicet si inter illos sectores sunt 2m non-residua ipsius a. erit QR a. si vera 2m H- l. erit QNa. Facile autem perspicitio, si inter saetoros p. p P etc.. bini aut quaterni aut seni aut generaliter 2k nequales occurrant, hos tuis eiici IUSSU. IV. Si inter factores p. Is.13 rei Hriuntur -l ct 2, homina relati O nd a e Xarit. 108.li 2.113. II 1 inveniri IUtest. Reliquomina autem relatio nil a Itondet nrolatione ipsius a ad ipsos theor. svnd. . utque Propp. art. I 3 l). Sit p unus UXipsis. invonieturque, stractando numeros a. p Dodem mcγdo ut antpa Q et a illiη respoclive maiores relationem ipsius a ad p aut iwr urit. 10S - li4 determinari possc si scilicet residuum minimum ipsius a smod. p nullos factores Primos imparos habeat . aut insulwr a relatione ipsius p ad numeros quosdam primos ipso ρ minores Iawndero. Idem vulset de reli tuis factoribus p . p etc. Facile latu
') Residuum in signifie. ari. 4. - Inurumque praestat residuum μυωtae minimum Recipere.
117쪽
Proli Oxito nil moro quocuuilue ii, formulae cerino exhiberi Possunt. Sub quibus omnes numeri nil A Ρrimi quorum residuum est . 1 continentur. Sivo Omnes qui esso Im,sunt dirisor numerorum formae .rar - A designante quadratum in determinatum ). Sint brevitatis gratia ad stos tantum divisores respiciemus. qui sunt imparox utque ad A primi. quum ad hos caesus reliqui lacile reduci possint. Sit primo A aut numcrus primus positivus sormao 4nini, aut negativus formae 4 n - l. Tum ti eundum theorema fundamentale omnes numeri primi. qui. Positive sumti. sunt residua ipsius A. erunt divisores ipsius 6 - A : omnos aut m nil mori primi sexcepto numero 2 qui semper est divisori qui ii,sius A sunt non-residua Prunt non-divi Sores ip ius o A. Sint omnia residua ipsius A ipis A minora sexedusa cism r. r. V otc. omnia non-rcsidua vom n. n', n te. Tum quivi K numerus primuη. in aliqua formarum Ak-kr', Ak-Hr etc. contentus. orit divisor ipsius -- A. quivis nutem Primus in utiqua formarum 21k- n. AkΗ-n etc. contonius non- divisor orit. designanto k numorum intcgrum ind torminatum. Illas sorinag dicimus formas divisorum ipsius A, has vero fommus non- dirisorum. Ut mmque multitudo erit , ut ij. Porro si B est numerus compositus impar atque ARB. omnes factores primi ipsius B in aliqua sor-
118쪽
DE CONGRUENTIIS SECUNDI GRADUS.
triarum Priorum continentur udeoque etiam B. Quare quiris numerus imirar in serma non- livisorum contonius, erit non- dirisor sernam Xur - A. Sed hoc uic rema convertero non licet; num si B ost non- divisor compositus impar sormaera l, intor tactores primos ipsius B aliqui noninivisores erunt, quorum multitudo si est par. L nihilominus in aliqua larma divisorum rosacrictur. V. nrt. 99. Er. IIoc modo pro A - - 1i somno divisorum ipsius il inveniuntur hac: ll kl. 3, 4. 5. 9: formae non-di fisorum autem erunt lik - - 2. 6, 7, S. Mi. Erit itaquΟ - li non-residuum omnium numerorum imparium, qui in aliqua P Steriorum formarum continentur, residuum aurum omnium primorum ad aliquam priorum Portinentium. Similes formae dantur pro divisoribus nique noninivisoribus ipsius - - A. quemcunque numerum designet A. Sed sucido Iberspicitur, seos ipsius A valores tantummodo considerari oportere. qui Iber nullum qua iratum sint divisibiles; patetonim si fuerit Aina AE, omnes divisorcs ipsius - - A etiam sero divisoros ipsius o - Α'. similiterque non- divam s. - Distinguemus nut m tres casus.
Casus primus, quando A est formae - - 4nH-0 l -- 1 . Roxolvatur A in Actores suos primos, tribunturque iis qui sunt formae 4n-bi signum laositivum. iis vero qui sunt sermae 4 n- l signum negativum unde fici productum ex ipsis se A . Sint hi factores a. h. c. d etc. Distribuantur omnes numeri ipso A minores et ad A primi in duas classes. et quidem in primam Ct Sem Omnes
numeri qui sunt nullius ex numeris a. b. e. d Elc. non- residua. Rut duorum, aut quatuor aut goneraliter multitudinis Iriris; in s eundum vero ii, qui sunt non-msidua unius ex numeris a. b. c otc. aut trium Dic. aut generaliter multitudinis im- Paris. Designentur priore8 Per r. r. H Din. . PostPriores Per n. n'. n etc. Tum D mae Ak-Fr, AkΗ-H. Ak-Hr''otc. crunt formae divisorum ipsius XX - A. sormae vero Ak- - n. 21kotc. erunt formae noniniriSOrum ipsius XX - A b. e. numerua quicunque primus, praeter 2. erit divisor aut non- divisor ipsius ae Σ - A. prout in aliqua formarum priorum aut posteriorum continetur . Si enim p est nume-
119쪽
rus primus positivus utilite alicuius ex numeris a. b. e etc. residuum vel non-rPSiduum. hic ipse num crus ipsius p residuum vel non- residuum orit theor. fund. . Quare si inter numeron a. b. c uto. Sunt m. quorum non- rosiduum ost p, totidemerunt non-residua ipsius p. adeoque si p in Mutuu formarum priorum continetur, erit m par et AN p. si vcro in aliqua posteriorum, erit m impar atque A . M. Sit 1 --Ηl05 - - 3 ΜΗ-5μ - T. Tum numeri r. H, H etc. Drunt hi: l. l. 16. 16. 64.79 qui Sunt non-residua nullius numerorum 3, 5. 7ὶς 2. S. 23,32.53. 92 qui sunt nou-residua numerorum 3. 5ὶς 26.4l. 59.S9, 10 l. lui qui sunt non-residua numerorum 3.7l: II, 52. 73. 82.9 T. 103 qui sunt non-residua num rorum 5. 7 . - Νumeri uiatem n, n .n etc. erunt hi: l l. 29 44, 7 l. 74, 86; 22.37. 43. 5S, 67.Sb; is. 3l. 34. 6 l. 76, 94 : 17. 38, 47. 62, 68.b3. Seni primi sunt non- residua ipsius I. seni Postoriores non-residua ipsius 5. tum s quuntur non-residua ipsius T. tandem si qui sunt non- sidua omnium trium Simul. Facile cx combinationum ili foria utquo urit. 32. 96 deducitur . numProrum r. H. r' utc. multitudinem soro
iungendo terminum Secundum ci tertium, quartum et quintum etc.. posterior vero ex eadem iungendo terminum primum atqus secundum, tertium et quartum etc. Dabuntur itaque tot sornaac divisorum ipsius - - A. quot duntur sortia RQ non-
120쪽
Cusum secu=ndum et tertium hic simul contemplari possumus. Potorii scili cot
numerum rmne - -ln- l . quale8 Mi. Praec. consider vimus. Sit generaliter Α- α Q. ita ut sit α aut -- l. aut --2. Tum erit residuum Omnium numerorum . quorum residuum est nul utorque a otia. uut noutor; non-residuum nutem omnium, quorum non-residuum ultoruior tantum numerorum α. Q. Hinc sormae divitiorum ac nou - divisorum ipsius a. E - al lacido derivantur. Si α - - l. distribuuntur omnὐκ numori ipsci 4 Aminores ad ipsumque primi in duus classes. in liriorem ii, qui sunt in aliqua sema divisorum ipsius a x - Q sinu quo in sorina , n H- l. iique, qui sunt in aliquas arma non-divisorum ipsius XX-Q Nimidquo in forma in i Oςteriorem
reliqui. Sint priores rir,r etc.. post oriores n etC . Pritque .l ruesiduum Omnium numerorum primorum in illi qua formarum 4 Ak- - r. 4 Ak--r. 1 Ak- - Hete. ContPntorum . non-ro iduum autem Omnium Primorum in aliqua formarum4 11 H-n. 4 AkΗ-n etc. contentorum. - Νi α--2. distribuuntur omnes nu-
mori iliso ου G minores nil ipsumque Primi in duas classos. in primam ii. qui continentur in utiqua sciri an divisorum ipsius Xae-Q simulquo in aliqua so murum , n -- l. S n H- 7 Pro signo superiori. Vol formarum , n - - i. , n -- a Pro inseriori. ii quo qui contonii sunt in aliqua forma non-divi Aorum ipΝtuM aeae- Q simulque in aliqua hurum S nH-3. pro signo superiori. Vol harum ΝnH-5.S nT Pro insoriori. - in sociuidam reliqui. Tum designatis numeris classis