Werke Carl Friedrich Gauss 1

81쪽

utrum numerus compositus sit residuum necne, si modo quid sint singuli ipsius lactor 3s constet. Quamobrem in tabula II numeros Primos tantummodo recepimus. oeconomia huius tabulae haoc est. In margine positi sunt moduli I. in facio vero numeri primi successivi; quando ex his aliquis fuit residuiun moduli alicuius . in spatio utrique respondente lineola collocata cSt, quando vero num rus primus suit

Antequam ad direciliora progrediamur. quaedam do modulis non primis adiicienda gunt. Si numeri primi p. potestas aliqua U Pro modido assumitur ubi p noti esse 2 sup uimus , omnium numerorum Per p non divisibilium moduloque minorum altera semissis erunt residua, ultera non-residua, a. e. utrorumque multitu-dο - l p-i, i. Si enim r est rosiduum: quadrato alicui congruum crit, cuius radix mintuli dimidium non superat. vid. art. 94. Iam facile perspicitur. dari l p-l ὶρ niuueros per p non diri sibiles moduli quo semisso minoribus; superest ita lue ut demonstrethu', omnium horum numerorum quadrata incongrua esse. Sive residuuquadratica divorsa suppeditare. Quodsi duorum numerorum a. b Per p non divisibilium modulique semisso minorum quadrnta Pssent congrua, foret aa - bbsive ν - ημ- - η per ρ' dixisibi sis posito t. q. licet a b . Hoc vero fieri non Imtost. nisi reluitur numerorum a - b. ari-b per p' sucrit diri sibilis, quod fieri nequit. quoniam utorque - p . vel ultor Per p' niter vero Per p '. i. e. uto quo Por p. Sed etiam hoc fieri nequit. Manifesto enim etiam summa ot differentia 2 a ct 2b per p sorot divisibilis adeoque etiam a ct b contra hyp. Hinc tandum colligitur inter numeros Iaer p non di isibiles moduloque minoros ἐγ- l)p' residua dari, reliquos quorum multitudo aeque magna, esse non- si tun Q. E. D. - Potest otium theorema hoc cx consideratione indicum derivarisimili modo ut art. 97. tui. Quivis numerus per ρ non divisibilis, qui ipsius p est residuum. erit reiniduum

'ὶ Quomodo etiam modulia eonii suis earere postumua mox docabimus.

82쪽

DE cONGRUENTUS SECUNDI GRADUS.

etiam ipsius p' , qui vero ipsius p est non-rς siduum. etiam Uxius ρ' non . residuum erit.

Pars posterior huius proivisitionis per se est manifesta. Si itaque prior salsa osset, inter numeros ipso p minores simulque Por p non divisibilus plures s reui residua ipsius p quam ipsius m. i. e. Plures quam in i . Nullo vero negotio Perspici Poterit. multitudinum residuorum numeri p intor illos numeros esse praccise - p- l . Acque sucile ost. quadratum reipsa invenire. quod Secundum modulum p residuo dato sit congruunt, si quadratum huic residuo secundum modulum p Ou-gruum habetur. Scilicet si quadratum habetur, a a. quod residuo dato A focundum modulum ost congruum, deducitur inde quadratum ipsi A secundum modulum p

congruum subi v μ et se vel vi suptMuiturὶ sequenti modo. Ponatur radix quadrati quaesiti quam formam eum habere debero facito perspicitur: debetque osse a a 2a 'H- .raep ' A mod.p sivo propter 2μ υ.A-aa - - 2a mOd.p . Sit A - aa p d, eritque a valor expressionis in f mod si l . quae huic od p aequivalet. Dato igitur quadrato ipsi A secundum p congruo deducitur inde quadratum ipsi A semindum modulum py congruum: hinc ad modulum p . liinc ad p

Quod vero attinet ad numeros per p divisibilos . patet. eorum quadrata perps fore divisibilia. adeoque omnes numeros Per P quidem divisibilos . neque vero lwr pp. ipsius p' fore non residua. Generaliter Vero, si Proponitur numerus p Aubi A per p non est divisibilis, hi casus erunt distinguendi: i) Quando ves n. erit p- Α-0 mOd.p l. i. e. residuum. 2ὶ Quando et v atque inaliar. Prit ρ A non-residuum. Si ouim osset p-A: py h A-ss Od. J. ss per ) divisibilis osset. id quod aliter fiori nequit. quam si fuerit a per κ' divisibilis. Tunc vero as

83쪽

dratum cui 21 secundum modulum nil oque etiam s eundum modulum pCongruus. i. e. A erit residuum ipsius p contra liΥΡ.

Quoniam casum p - 2 inclusimus. de hoc ndhuc qua dam dicenda. Quan- lo numerus 2 Pst modulus, numerus plicunque erit residuum, non-residini nulla erunt. Quando voro 4 ost modulus, omnes numeri impares formae 41 - 1 orunt residua. omnos vero sormae 4k--3 non-residua. Tandem quando S aut altior Iu teΝtas numeri 2 ost modulus, omnes numeri impurus formae SkH-l erunt rinsidua, reliqui vero, seu si qui sunt formariun Sk -3. 8kH-5. Sk- - , erunt nou-residua. Pars posterior huius prO1κ,sitioni η inde clara, quod quadratum ci iusvis numeri imparis, sive Sit formae 41 - - l. sive formuo 4k- l. fit formael. Ι' iorem ita Probamus.lὶ Si duorum numerorum vol summa vel differentia per 2 est divisibilis. numerorum quadrata crunt congrua secundum modulum 2 . Si enim alter ivinitur Ma. erit nitor formno 2' h ρ a. cuius quadratum invenitur -aa mod. 2 P. 2ὶ Quivis numerus impar. qui ipsius 2 si residuum quadrati eum, congruus crit quadrato alicui. cuius radix est olumorus impar ot ς 2 . Sit enim qu

dratum quodcunque. cui numerus ille congruus, a a atque numeruS a - - α mod. 2 ὶ ita ut a moduli semissem non superet art. 4 . eritque ua - αα. Quare etiam numerus propositus Prit Ια. Manifesto vero tum a tum a eruntini laures atquc ac 2 . . 3ὶ Omnium numerorum lini arium ipso 2 minorum quadrata Aecundum 2 incongrua serunt. Sint senim duo tales num ri r Pt x, quorum quadrain si se

84쪽

POsse, quare si alter tantummodo Iter 2 est divisibilis, ulter. ut productum Iaer 2 dirisibilis fieret. per 2 di isibilis esse deboret. Q. E. A. quoniam uterquo α2- .4ὶ Quodsi doniquo hare quadrata ad residuia sua minima positira roducuntur, halbebuntur 2' residua quadratica diversa modulo minora j, quorum quo tiris crit formae di od quum praccisu 2' numori sermno i modulo minores instent, necessario hi omnes inter illa residua reperientur. Q. E. D. Ut quadratum numero dato serinae Sit - 1 Secundum modulum 2 congruum invoniatur, methodus similis adhiberi potest . ut in uri. 101: vid. otium nrt SS. - DQuique do numeris I aribus Undem valent . quae art. l02 generaliter

'irca multitudinem valorum divorsorum i. e. secundum modulum incongruorum , quos expressio talis V It 1 In .p in admittit, siquidem A ost residuum ipsius p . sacile e praeco. colliguntur haec. Xumerum p Supponimus esse Primum, ut ante, et brevitatis caussa casum n 1 statim includimur . I. Si Apor p non ost divisibilis. V unum valorem habet Pro p - 2. n l. Puta V- i; duos, quando p DSt in Pur, nec non Pro p 2. v - 2. Puta Ponendo unum r. vlt V erit - - r; c intuor Pro P 2.n 2. Scilicet Ponendo unum v. reliqui crurit --τ, 2 -br. 2 r. II. Si A Per p dirisibilis ost, neque Voro Per p'. sit Potestas altissima ipsius p ipsum A motions p manisosto enim ipsius exponens par esse debebit utque A v I . I unc patet, omnes valores itinsius I i,or divisibilus esse, et quotientes e divisione ortos fieri valores expr. I 'seva in M. Omnos valores diversi ipsius V prodibunt. multipli- audo omnes valorus cxpr. V intcr 0 ct p sitos IMr pth: quare illi exhil, huntur Per

si v initi diuite omnos valores dirersos QAlir. IV ex Primit . ita ut illorii in multi ludo fiat p', vel liniti prout multitudo horum li 'r casum I Pst 1. 2 vel 4. III. Si A per ρ' divisibilis est. lacilo porspicietur. statuendo n - 2m vel -2m - 1.

Prout par est vel imitar. omnes numeros Iaer p di risibiles, ne lue ullos ullos. osse valores ipsius V; quare omnes valores divorsi hi Prunt υ. ρ''. 2 ι ... l p . quorum multitudo p

Puta quoniam multitudo numerorum imparium infra 2 o et ' .

85쪽

105. Sulierest casus, ubi modulus m e Pluribus numeris primis composituR est. Nit m ahc..... deSignantibus a. b, cotc. numeros primos divorsos aut primorum diversorum Potostatos. I, ut i quo Statim. si νι sit residuum it sius m. fore otium nr Niduum singulorum a. b. cotc., adeoque n Corto non-residuum ipsius m DKRV. si lacrit X R. ullius e numeris a. b. e etc. Vice versa autem, Ni n Singillorum a. b. cetc. residuum est, etiam residuum producti m erit. Sup nEndo enim . n - 23 C etc. Sec. n Od. a. b, c etc. resp., Patet. Si numerus ipsis A. B. Cotc. SP .m . a. b. c PtC. res p. congruus eruatur art. 32 , soro n NN secundum omnes hos modulos udeo pio Otium secundum productum M. - Quum facile perspiciatur. hoc modo e i'ombinatione evituris valoris ipsius A sive expr. Vn in .ci cum quoris valom ipsius B cum quovis valore ipsius C otc. oriri valorem ipsius N si vo DXPr. vn mod .m . nec non e combinutionibus diversis produci divorsos N, ct o cunctis cunctos: multitudo omnium vesorum divorsorum ipsius Ν -- qualis orit pro lucto o multitudinibus valorum ipsorum A. L. Cotc. quas dote

minare in uri. Praec. docuimus. - Porro manifestum St. Si unus valor expressionis Vn mod. mὶ sivo ipsius suerit notus, hunc simul sero valorem omnium Coin.: et quum illuc per art. Praec. omnos reliqui valoros liarii inquantitatum deduci Ilossint, lacile Soquitur . ex uno valore i ΡΝius N Omnes reliquos obtineri I, se. M. Sit modulus alb cuius residuum an non-rcsiduum sit 16. quacritur. Divisorus primi numeri 315 sunt a. 5 7. atque numerus 46 residuum cuiusvis eorum quare etiam ipsius alli erit residuum. Porro quia 46 l. et 64 in . 9 :. l et l6 mod. 5J: - 4 set 2b mod. 7 , inveniuntur radicos

quadratorum . quibus 4 si secundum modulum alli congruuS. 19.26.44, 89.226. 27 l. 289. 296.

Ex Prusecedentibus colligitur, si tantummodo semiter dignosci possit utrum num rus primus datus numeri primi dati residuum sit an non-rosiduum, Omnes r ii luos casus ad hune reduci ivisse. Pro illo itaque casu critoria corta omni studio nobis crunt imitiganda. An inquam uutem lianc lierquisitionem Ugrediamur, cri

86쪽

lum sero usum hahoat. tamen propter simplicitatem atque generalitarem momoratu dignum PSt.

Numero quicunque A per numerum primum 2m-Hl non dioisibilis. huius primi residuum est rei non-r iduum. prout *l rel --l mod. 2 in ρ l). Sit enim pro modulo 2m in systomato quocunque numeri ad index ia, eritque a Pur quando al est residuum ipsius 2mεl, imitar vero quando 1 non- residuum. At numeri A ind X crit ma. i. e. -0 vel -m ni . 2 vij. prout a par vel impar. Hinc deniquo A in priori casu erit --- l. in posteriori vero ψ-l mod. 2 m l . I . urit. 57 , 62. G. 3 ipsius 13 est residuum quia 3' i mod. la j. 2 vero ipsius ianon-residuum. quoniam 2' - - l Dod. 13 . At quoties numeri examinandi mediocritur sunt magni, imo oritorii im obcalculi immonsitatem prorsus inutile erit.

ιον ea de numeria primia quorum reaidua aut non- rosidua sint numeri dati.

Facillimum quidem ost, I,rOI osito modulo. Omnes assignare numeros. qui iPsius residua sunt vel noli-residua. Scilicet si illic numerus Ponitur m, determinari debent luadratu. quorum radices semi Ssem ipsius m non sul Crant. SiVe etiam numori his quadratis secundum m congrui ad Praxin mothodi adhuc exiwditiores dantur , tuncque omnes numeri horum ulicui secundum m Congrui. Prunt residua ipsius m. omnes autem numeri nulli ibtorum Congrui eriint non-rosidua. At quaestio inversa, proposito numero aliquo. assignare omnes numeros quorum ille sit residuum vel non .residuum, multo altioris est indaginis. Hoc itaque pix blerna. a cuius Solutione illud quod in nrt. Praec. nobis pro Suimus imidet, in soquentibus Perscrutabimur. a casibus simplicissimis inchoantes.

THEOREM. Omnium numerorum primorum formae - I est residuum quadraticum. Omnium rers numerorum Primorum formae 4n--3, non-r iduum. Er. -l est residuum num Prorum 5.1 3 l T. 29. 37.4l, 53. 6 l. 73. 89. 97 t C., o quadratis numerorum 2, 5, 4, l2.6, 9. 23, 1 l. 27. 34, 22 Etc. SP clivo ori-

87쪽

Mentionem huius theor. iam in nrt. 64 secimus. Demonstratio vero facile ex art. ius I Rrtitur. I tonim pro numero primo sermno 4 n-- l est - l l. Pro numero autem soranuc 4n ε 3 habetur -l l. Convenit haec demonstratio cum ou quam l. C. tradidimus. Sed I,mptor theorematis elegantiam atque utilitatem non sulwinuum erit, ullo adhuc modo idem ostendisse.

DeΝignemus complexum omnium residuorum numeri Primi p. quae ipso pSunt minora. eX luso residuo 0. laer literam C. et quoniam horaim residuorum multitudo Seml er - , mani sestum ost. cum fore Parum, quoties p sit somno nini, imparem voro, quoties p sit formae 4nH-3. Dicantur, ad instar art. II. ubi de num oris in genero agebatur, residua socia talia, quorum Productum illi Od. κοῦ ninnis cesto enim si r est residuum, otiam in .pὶ residuum crit. Et quonium id in residuum plura socia intor residua C habere nequit, tritot omnia residua C tu classes distribui posse, quarum quacris bina rΡsidua η ia contineat. Iam Iier,Picuuin ost, si nullum residuum daretur. quod sibi ipsi ossct socium, i. e. si quaeris classis bina rosidua in equalia contineret. omnium residuorum numerum soro duplum numeri omnium classium: quodsi vom aliqua dantur residua sibi ipsis socia i. e. utiquae classes quae unicum tantum residuum aut . si quis malit. idem residuum his continent, posita harum classium multitudine reliquarumque multitudine b: erit omnium residuorum C nurn rus Mari 2b. Quare quando I9 Pst formae 4n- - 1, serit a numerus Pur; quando aut in P cst

formae 4 v H- 3, erit a impar. At numori ipso P minores alii. tuum t et ρ- l. sibi ipsis socii osse nequount vid. urt. 7T : priorquc i certo inter residua occi Urit: undo in priori casu p-l sou quod hic idem valet. -il debet esse rosiduum. in I)Ostoriori vero non-rosiduuin: alias unim in illo caesu sorct a m l. in hoc uutem - 2. ipioil fieri nequit.

Etiam haec demonstratio ili. Eutero de tur . qui et priorem primus invenit V. Opi c. Anat. T. I. p. 135. - Facito quisquis videbit eam similibus principiis innixum csse, ut dumonstratio nostra secunda theor. IVilsoniani uri 77. Sillae

88쪽

Pro hoc theorema suption re velimus. facilius adlluc demonstratio exhiberi pol rit. Follic t intor numeros l. 2, 3...p-l erunt rosidua quadratica itinsius ιν totidemque non-rosidian; quare non-residuorum multitudo erit par. quando p est formae 4nH-l; impar quando p est formae 4n-93. Hinc Productum CX Omuibuου num ris l. 2 3...p-l tu priori casu erit rosiduum, in ivisteriori non-residuum lart. 99 . At productum hoc semper - - ismod p): ud quo Otium - i in priori casu rosiduum, in posteriori non-residuum erit.

ii l. Si itaque r ost residuum numeri alicuiuη primi sormae 4n- - l. etiam - r liuius primi residuum Prit. Omnia autem talis numeri non-r sidua. etiam signo contrario sumta nou-residua manPbunt j. Contrarium evenit Pro numeris primis formae 4n- -3, quorum re,idua quando signum mutatur . non-residua fiunt et vico versa. rid. nrt. 9S.Cctorum facile cx praecedentibus derivatur regula generalis: -l est residιιum omnium numerorum qui neque pre 4 neque Iri r ullum numerum primum formiae 4n 3 diridi possunt: omnium reliquorum non. residuum. V. urit. 103 et Iuli. t il2.1'rogredimur ad residua - - 2 Pt - 2.

Si ex tabula II colligimus omnes numeros Primos quorum roSiduum ustri-2. hos hal, bimus: T l7 23,31.4 1 47. Tl. 73, 79. Su. 97. Faculo autem unimadvortitur, inter lios numeros nullos invoniri formarum , nH-3 et Sn--Σ. Videamus itaque, Dum haec inductio ad cortitudinem ovelli ivissit. 1 rimum Observamus quemvis numerum comi Ositum sorinno SnH- a volbn--5 u sessario factorem Primum ulterutrius formae bn--3 volo iu- volvere: manifesto Onim e solis numeris Primi A formarum S n-HT. alii numeri quam qui sunt somno SN--l vel Sn-kT, COmlκmi nequeunt. Quodsi itaque in luctio nostra gen mittor ost V m. nullus Omnino numerus larinno

'ὶ Quando igitur de trimem quocunque loquemur quatenus numeri sormi r ε ι. - re iduum vel non - residuum ipsi num omnino negligere sive etiam Rignum aneops 2 ip i tribuere lioterimus.

89쪽

,n - 5 dabitur, cuiuΜ rosiduum H 2; . sicque nullus certe numDruκ huius sernino insin tuu exstat. cuius residuum sit - 2. Si autem ultra hunc limitem talos numeri r lvirirentur. I Onamus minimum omnium t. Erit itaquo i vel somnae ε xol 3n Φ 5:Φ2 ipsius residuuin erit. omnium uiatem num rinrum similium minorum non-residuum. Ponntur 2 as mod. t in poterit luti alta scini, vir accipi ut sit impar simulque ς t. si iubebit enim a ud minimum duos

ductioni nostrae contrarius contra lini. Unde manifesto sequitur id quod porinductionem inveneramus generaliter verum CNNO. Combinando haec cum prop. art. lli sinuentia theoremata nariCiscimur.

Per similem inductionem ex tab. II inveniuntur numeri Primi quorum residuum est - 2 hi: a l l .l7.10.4l. 43.59.67. 73, 83 S9,97' . Intor quos quum nulli iuveni utitur formarum S nH-5. SnH-7. num Dilam hinc inductio incorὐ- mutis generalis vim adipisci possit investigemus. Ostenditur simili modo ut in

90쪽

DE CONGRUENTIIS SE NDI GRADUS.

ipso t minorem soro. Denique - 2 Otiam ipsius u residuum erit. a. e. t nouserit minimus numerus qui inductioni nostrae iisversatur, contra hyI3. Quarct necessario - 2 Omnium numerorum formarum S n-95. 8nH-7 non-residuum. lambinando haoc cum Prop. nrt. lli, prodeunt theor mala haec: l. omnium νιιι merorum primorum tum - 2 tum 2 sunt νιυνι- rexul uι. uti iam in nrt. Ρrnec. invenimus. II. Omnium ni meror- Iirimoram formae - 2 est non-residuum. - - 2 rem residuum. Cotorum in utraque demonstration pro a Utium valorem Parem ac ilwm

lmtuissemus; tunc autem casum ubi a suisset formae ab co distingueroos,ortuis Νot. ubi a formae 4n. Evolutio autem l eritide procedit uti supra. uultilius difficultati ost obnoxia. ill . Unus udhuc supcrost cuSus. scilicol ubi numerus Primus cst formae Sri- - lHic vom methodum praccedontona eludit, artificiaque Prorsus Iaeculiariu postulat. Sit pro mo luto primo l, radix quaecunque primitiva a. eritquo stri. 62ὶ a ' - 1 mo l. 8n-HI . quae coi gruentia ita otium cxlii ri Potest. I stu ' mod. 8n-- lj. sive otiam ita. 9 '- η - - 2P . thide finiuitur tum 2 a ' tum -2u ipsiuη Sn-bi osso residuum: ut quia a ' est quadratum iter modulum non divisibile. munis sio etiam tum 2 tum - 2 rosidua orunt nrt. , .

illi.

Haud inutile erit, adhuc aliam huius theorematis donumstratiotieni adiicere. qua similem relationem nil praecedentem habet . ut theoromatis art. 10S demonstratio secunda inrt. l09 ad primam art. lub). Periti facilius tunc I erspicient.

hinus demonstratiotios tam illas quam has non adeo hut rogotions Ps,P. quam Primo forsan usi Metu vidcantur. I. Pro modulo quocunque Primo formae imH- l . inter numeros ipso mi-NDI Us l. 2. a. .. 4 m. reperieritur m qui bi quadrato corim ui osso possunt. reliquivom am non Imierunt.

Facile quidcui hoc ex principiis Soci. Iγrnoc. derivetitur, sed otium absque his domonstratio haud disti cilis. Demonstravimus enim Pro tali modulo - Sem-