장음표시 사용
71쪽
i. e. th roma otium vorum . si loco ipsius t substituitur ip. i. e. Etium Pro v- ρ. Gntra hyi,othesin. Utido manifestum pro omnibus ipsius v viiliaribus thoore ma
, ut, rest casus ubi μ l. Per methodum Pro itis Similem ei qua in uri prauo. usi Rumus. Νino adium lato thooromatis binomialis domonstrari potos t. esse
unde Irrogatum erit quia i artium multitudo iam t)
72쪽
At quonium t per p divisibiliis, otiam per ρ divisibilis erit in omnibus casibus excepto eo ubi p-2 de quo iam in art. Imaoc. monuimus. In wliquiq autum casibus orit o linod.p . adeoque otiam illud n regillum ta mi .p ut in nrt. praoc. In reliquis demonstratio hic eodem modo prociniit ut istic. Colligimus igitur goneraliter unico Cusu p-2 eXCElγω, OSSU
Hinc protinus derivantur Propositiones t. et 2. qua8 uri. 15 demonxtruudax nobis Proposueramus: scilicut primo. si α -l, orit otiam Min. mod.p' : secundo si numeriis aliquis α' ii,si A adcoquo etiam ipsi a secundum modiuum P congruus. neque vero huic secundum modulum p , congruentiae mini. ὶ satisfaceret, lamnamus α' osse μα-- l . ita ut I twr p non sit divisibilis. Oritque - v. tunc autem α - - 0, secundum modulum ipsius congruus erit, non nutum Secundum modulum Id, quae Pst ultior lκ testas. quare F radix congruentino P -i osso mutuit.
Tertium vero suit radiconi aliquam congruentilio im .p j, ipsi ACOngruum . inventro. Ostendemus luc tantummodo quomodo hoc fiori possit. si iam rudi x viusdem congruenti ac secundum modulum p innotuerit; manisost hoc susscit, quum a modisso p Pro quo 1 est rudiX, ad mo lutum p . sicque du- in lis ad Omnos potestates cons cutivus Pro irili Possimus. Esto itaque a radix congruontiae 1 mod., quacriturque indix Diusdem congruentia 3 exucundum modi uni P . Ponatur lin αμ-hU , quam sorinam olim habere debere ex art. Praec. SEquitur casum ubi , - n- l
73쪽
per p divisibilis. quaesito satisfactum erit. Hoc autem senil er fiori trimese in Noct.Pm C. manifeStum, quum t I or'altiorem ili sitis p potestatem quum p di fidi non laosse hic supponamus. adeoque , . nil p 8it I rimu8. Si vero v-n-l i. e t twr p sive otium m)r nitiorem ita sius ρ Ivit statem divisibilis. quivis valor A conmmentiae P 1 secundum modulum p S ti Asaciens uidem etiam secundum in ululum I ' satisfaciet. Sit enim
Omnia qhuin art. 57 Rqq. adiumento theorematis. con uentiam PI res quam e radicos diverisas non hala re eruimus. otiam Pro modulo qui ost numeri lirimi Iκὶ testas locum habunt. ct si radices primitivae vocantur numeri. qui adcxl3Onuntem p ' ' Ῥ- lj twrtinoiit. sive in quorum Iurriodis omnes numeri Iaer pnon divisibiles inveniuntur, etiam hic radicos primitivae exstabunt. omnin nurum quae sul)ra de iudicibus corum tuo usu tradidimus. necnon de solutione COnyuentine l. ud hunc quoquo casum ni Nicari laossunt. Qua r quum nulli dissimitati obnoxia sint omnia ex integro ropetere SuIMrfluum soret. Pri toreurudicos con ventino a - I socundum modulum p' o rudicibus eiuΝdem congruonti ac secundum p doducere docuimus. Sint de eo crusu ubi I otestas reliqua numeri 2 est modulus, quia supra excolatus suit. Hi qua adhuc sunt adiicionda.
74쪽
Potostatem exponentis ' lovatum unitati secundum ni ululum 2' congruunt fieri. iid potostatem autem exponontis. qui est insorior numeri 2 laotestas, in- conmium. Ox art. Ssi nullo negotio loducitur. Numerus itaque quicunque sor-mno Si H-3 vel Νk li nil oxi, , non tem 2' Purtinebit.
is Untur, ct quidem hic indicos sucundulia 2 congrui lim acqui valentibus sunt bubondi. Hoc modo tabula nostra I in tolligenda. ubi pro modulis 16. 32 ot 64
75쪽
namque pro modulo , nulla tabula n ossaria erit Ν inlaer numeraim 5 i, ro ba siue opimuA. I r. yr. numero is qui est formac ad inuo re sumendus, rosi vindet pro modiuo 64 index T. id quod significiit esse 5' - - 19 mod. 64 . Numeris aut m formarum S n-Fl . 8n-95 n tivo, niquo num riΗ formarum,nin a, b n--7 Positi v ni: colitis. indicos quasi imaginarii tribuendi sonuit. utis introducendo calculus indicum nil ulgorit limum Iwrquam si midicem reduci Potest. Sed quoniam . si hac ad omnona rigorem exponoro vellamus. nimis longo evagari Olmrteret, hoc Dogotium nil ni iam occursionem nobi' DKCoamus, quando Drsan fusius quantitatum imaginarium theoriam, quac nostro quid in iudicio a nomi ue hac- tonus ud notiones clarus ost roducta. IUrtructaro sinscipiemus. Poriti hunc nigorithmum sucilo ipsi cruent: qui minus sunt exorcitati. perinde ininsen tabula hac uti IUtcriint, ut ii qui recentiorum common in do logaritimis inaninariis ignorant. logarithmis utuntur. si quidem principia supra stabilita probe tonuerint.
Secundum mo lulum o l,luribus Primis comPositum tantum non omnia quae ad residua lHic statvin lu)rtinout ex ilicoria congruontiarum generali deduci pos-Νunt: quia vcro infra congruentias quascunquo secundum modulum e pluribus larimis compositum ad congruentias. quarum modulus uμt Primus aut primi potestas . reducere sustuκ docebimus . non ost quod huio rei multum hic immoremur. Obsorvumus tantum, bellissimam proprietatem. quae pro reliquis moduli A lo 'um habeat, quoil scilicci senilior exstoni numeri quorum I riodus omnes numeros nil modulum primos comi luctatur, laic deficere . excolato unico casu. quando scilicet
modulus est duplum numeri primi. aut potostatis numeri primi. Si enim modulus m redigitur ad soranum A' Ι'C etc. dosi rentibus A. R. C etc. numeros liri mos diversos. practorca A' ' A lj designatiir per α. B-ij lier 6 in. denique et ost numerus nil in Primus; crit i tmod. 1 mod.
Otc. Quod si igitur 1a est minimus numerorum α. 6. Ictc. dividuus crammunis orit Mocundum omnes modulos A'. Id etc. ad que Ptiam secundum m. cui illorum pro luctum est uoquale. At excopto casu ubi m ost duplum nil mori liriani aut potestatis nutriori primi. numerorum α. 6, 7 etc. dividuus communis minimus, ipsorum producto est minor quoniam numeri a. 6. 7 etc. inter So Primi Psse ii quount Nod certo divisorem 2 communem lini vi q. Nullius itaque numeri
76쪽
IUriinli1A tot terminos cori proli nitore IM, tost. quot dantur lium mi nd modulum primi ipsoque minores. quia bomina IIumeruS Pro lucto DX α. 6. I etc. Ost ncqualis. Ita ea. yr. Pro m 100l cuiu8vis numeri nil m Primi Ρotcstas oxponentis suunitati orsi congrua, quia su PSt diriduus communis numeromm G. 10. 12. - CR-suq autoni ubi modulus est duplum numeri primi aut duplum potostatis numeri primi illi ubi ost primus aut primi Potostas prorsus OKt similis. 9 a. N riptorum in quibus alii geometrae de argumcnto in hac sectiono Pertractato egerunt. iam Iinssitu mentio est facta. Eos inmon qui quaedam sustus. quam uobis brevitiis permisit. v xplicata desiderant, utilegamus imprimis nil soquentes ili. Eulori coinmentationes, ob perspicilitatum qua vir summus prae Omuibus Sem Per excessuit, muximu commendabiles. Theoremata circa residua ei dirisione potestatum relicta Comm. nor. Petr. T. VIIp. 49 Sqq. Demonstrationes circa reFidua eae dirisione potestatum p r numerυs primos re5ultuntis.
Adiungi his poessunt is culorum analyt. T. I. disserit. 5 et S.
77쪽
3.... m-l. Plurra quam quando in Gi par, sire plures quam I m ε l. quando m est impar quadrato confrui sieri non possunt. Dem. Quoniam numerorum congruorum quadrata sunt congrua: quivis uumerus. qui ulli quadrato congruus fieri ivitest. etiam quadrato alicui cuius radix congruus erit. Sufficit itaque residua minimn qundratorum D, I, 4, m-1 i
Palum est, alios numoros. quum qui alicui ex quadratis v, i, 4. 9.... t m y mu-grui sint, quadrato congruos fieri non Ρo e. quando in Par; quando Voro imIiar. quemvis numerum . qui ulli quadrato sit congruus. alicui cX his 0 l. l. 9... Im- l lyne CS Rrio congruum esse. Quare dabuntur ad summum in liriori casu iresidua minima diversa. in postoriori imΗ-k. Q. E. D. mplum. . cundum inodi dum la quadratorum numerorum 0. l. 2. 3. . . si rodsidua minima inveni utitur 0. l. 4. s. 3, 12. tu, Post hacc vero eadem lu
78쪽
ordine iuverso recurrunt 10. 12. 3 etc. Quare num rus quisque. nulli cx istis residuis congruus, sive qui alicui ex his est congruus. 2. b. 6, T. S. ll. nulli quadrato congruus esse Ivit si Secundum modulum 15 haec inveniuntur residua u. l. 4. 9. l. v. s. 4 IR Si quae cadem ordine invorso recurrunt. Hic igitur numerus residuorum . quae quadrato congrua fieri possunt, minor adhuc ost quam quum Sint 0. l. 4. 6, 9. 10. Numori nutem 2, 3 5. T. 8. l. l2, 13. l l ot qui horum alicui sunt congrui . nulli quadrato socundum mod. 15 congrui fieri Ivis sunt.
Hinc colligitur, pro quovis modulo omnes numeros in duas classes distingui POSSE, quarum nitorii continent numeros, qui quadrato alicui congrati fieri ssint. altera eos qui non possint. Illos appellabimus residua quiadratica numeri istit squem Pro modulo accepistus j. hos vero ipsiιμ non- residua quadratica . sive otium quoties ambiguitas nulla inde oriri mites t. simpliciter residua ot non- residua. C terum palam cst Sufficere. Si omnes numeri 0. 1.2...1n - 1 in clasNos redacti sint: numeri enim congrui ud eundem classem crunt reserendi. Etiam in hac disqui gitiono a modulis primis initium faciemus. quod itaque subintelligendum crit. etiamsi cxpressis verbis non monentur. Numerus PrimuΗ2 nut m excludendus. sive numeri primi impares tantum considerandi.
Numero primo p pro modulo accepto, numerorum 1.2.3 p-l Semiaxixerunt residua quadratica, reliqui non- residua, i. e. dabuntur l. -lὶ residua toti demque nori-r id . Facile pnim probatur, omnia quadrata l. 4, 9...t p-lὶ3 cme in Congrua. Scilicet si fieri posset re vi Hr' in .p atque num ri rir in acquules et non mu-
) Proprie quidem hie exin Reeundo idio sensu utimur. quam hucusque secimus. Dicere Milicet oporteret. r emo reaidunm quadrati na Reeundum modulum m quando r aevia tmod. mini at brevitatis gratia in hae ne tione gemper r imi m residuum quadraticum voeamus neque hine una ambu i as metuenda. Expremionem enim. ν riduum. quando idem Rignificat quod numerus congruus. abhinc non adhibebimuΑ. nisi sorte do rosidui a minimis aerano sit, ubi nullum duinum esse poteat.
79쪽
lwm p divisibilis. At uterque suctor r - r. ot r--r ipso ρ est minor, quare suppositio consistere nequit art. lat. Haboritur itaque t γ-l in rosidua quadratica inter hos numeros l. 2.3....p - 1 contenta; Plura vero inter i Psos esse nequeunt quia nccedente residuo u prodeunt i FH-l , qtiem numerum omni limrosi duorum multitudo superare nequit. Quare reliqui numeri erunt Ii Ou-residua horumque multitudo se i iba - 1 . auum Cisru semi aer sit residuum. lianc numerosquo I er modulum divisibilos ab investigationibus his excludimus, quia hic casus Iaer se est clarus. thoorema
Quum plum quae in hac Sect. CXlionemus etiam ex Principiis Soct. Praec. derivari P)ssint, neque inutile sit, Pandem Veritatem Per methodos diversas Imrscrutari. hunc nexum ostondemus. Facile vero intelligitur . oni nos num ros quadrato congruos, indicos pares habere, eos contra. qui quadrato nullo modo congruifieri possint. impar s. Quia vem p - 1 est numeriis par. tot iudices Paros crunt quot impures. scilicet 4 , - l . totidemque tum residua tum non-residua dabuntur. Eremplo. Pro modulis sunt residua
reliqui vero uulneri his moduli g minores, non-rERidua.
Tumurata. Productum e duobus residuis quadraticis numeri primi p. est residuum; productum e residus in non-reriduum, est non. residuum: denique productum eduobus non- residuis, roiduum. lu
80쪽
DE CONGRUENTIIs min NDI GRADUS.
D monstr. I. Sint A, B residua e quadratis a a, b b oriunda sivo A - ara. B bb, oritque productum AB quadrato numeri ab congruum t. e. residum . II. Quando A est residuum, Puta aa, B vom non-residuum, erit non-residuum. Ponatur enim si fieri potest AB kk. sitque valor Oxpressi nis m .pὶ b: crit itaque a a B aabb. unde B bb. i. e. B residuum contra li P. Aliter. Multiplicontur omnea numeri qui inter hos 1, 2.3....p-l sunt residua quorum multitudo initI3 - 1 in , per A Omniaque Producta Brunt rosidua quadratica, et quidem erunt omnia uicongrua. Iam si non-residuum B por 1 multiplicatur, productum nulli Productorum quae iam habentur congruum erit: quare si residuum esset. hul, 'rentur l-lὶ residua incongrua inter quae nondum est residuum u , contra uri. 96. ΙΙΙ. Sint A, B non-residua. Multiplicentur omnes numeri qui inter hos I. 2.3....p-l fiunt residua Per A. habebunturque t 3 - 1) non-residua
intor se incongrua II : istin productum AB nulli illorum congruum esse potest: iii visi igitur esset non-residuum. haberentur ij non-residua inter se incongrua . contru Rrt. 96. Quare Productum utc. Q. E. D. Facili iis adhuc haoc theoremata e principiis scet. Pracc. derivantur. Quia onim residuorum indices Semlwr sunt pares, non-residuorum vero imparos. index liroducti o duobus residuis vel non-residuis erit laar, ademus Productum ipsum. Hrsiduum. ontra index Producti e residuo in nou-residuum serit imitar adeoquo productum ipsum non- biduum. Utraque domonstrandi methodus otium Pro his thooromatibus adlliberit, otest: Ea ,r xionis ' mod 18 Nator erit residuum, quando numeri a. b simul sunt
residua, vel simul non. residua: contra autem erit non-residuum, quando numerorum a. b alter est residuum alter n--residuum. Possunt otium ex Conversi Ono theore. Pra cc. obtinori.
Generaliter. Productum ex quotcunque factoribus est residuum tum quando omnes 8unt residua, tum quando non-residuorum, quae inter eos currunt, multitudo ost Par; quando Vcro multitudo non-residuorum quae inter laetores reperiuntur ost impar. Productum erit non-residuum. Facile itaque diiudicari potest.