Werke Carl Friedrich Gauss 1

91쪽

per osse residuum quadraticum. Sit itaque L -l luitetque, si e fuerit numerus quicunque Per modulum non divisibilis, quatornorum num rorum Η- a. - r. - a. - quos incongruos Osso tacito Perspicituri biquadrata inter se congrua fore; laorro manifestum est bi quadratum numeri cuiuscunque . qui nulli ex his quatuor congruus, illorum bi quastratis congruum fieri non Ilosso. ullus enim congruentia Dina' quae est quarti gradus Plures quam 4 radicos haherct, contra art. 43 . IIinc facile colligitur, omnes numeros l. 2. I. .. 4 tantummodom bi quadrata incongrua praebere, qui biis intor Eosdom numems m congrui reIwrientur, reliqui autem nulli hi luadrato congrui cesse poterunt. ΙΙ. Necundum modulum primum formae -l bi quadrato congruus fieri poterit - l crit residuum biquvidraticum huius numeri primi . Omnium enim residuorum hi quadraticorum ipso SnH-l minorum cilia exclusa) multitudo erit -2n a. e. Pur. Porro facile i, robatur, si r suserit residuum biquadraticum ipsius S n--l, otium vulorem sex pr. in . Sn-set, fore tale residuum. Hinc omnia residua hi quadratica in classes simili modo distribuit, terunt, uti in art. ius residua quadratica distribuimus: nec non reliqua demonstrationis Pars Prorsus codem modo precedit ut illic. III. Iam sit μ' - - , et 1 valor ex Pr. - mini. 8n-- l . Tunc Prit

l l 6. Coterum Ox praecC. facito regula sequons gen ratis deducitur: H-2 est residuum numeri cuivaris. qui neque per 4. neque per ullum primum formae 8n ε 3 reldiridi potest . reliquorum autem sex. gr. Omnium numerorum lar nurum S n-ba. 8nH-5, sive sint Primi, sive compositi non-residuum. - 2 est residuum numeri cuiusvis, qui neque per d. negue per ullum primum formae Sn- - 1 rei S n-HI dividi potest, omnium autem reliquorum non-residuum. Tli Orsemata haco elogantia iam Angaci Forniatio innotuorunt. o. Mathem p. l68. DemonstrationPm V ro quam se habero Pros 'ΝΝus est, nuSquam Commu-

92쪽

ilicavit. Ilasica ni, ill . Eulem frustra soliti or ost in vosti tu: ut ii l. Ln cimnge primus il monstrationem rigorosam vel erit. Nove. II . de L le Berlin 177 5. p. 349. 351. Quod tu. Eulorurn adhuc latuisso videtur . quando Scripsit disου. in

il T. I erimus ad residua -- 3 ot - 3. A l osteriori initium faciamus Rei viri lintur ox lah. II. numeri Primi quorum residuum est -3 hi: 3. T. la. 10.3l. 87.43. 6l, 67. 73.79. 97. inter quos nullus invenitur formae 5nH-5. Quod vero etiam ultra tabulae limites nulli primi huius sorinuo cluntur quorum roqiduum -a, ita demonstramus: Primo Patet quomvis numerum cori liositum formae 6nΗ-5 ne ossario factorem primum ali tuom eiusdsem formae involvoro. Quousque igitur nulli numori primi sermuo snH-5 dantur. quorum rosiduum - 3. Potisque talos etiam comtmsiti non dabuntur. Quinisi vero ultra tabulao nostrae limites tales numeri darentur. sit omnium minimus Ponaturquo - 3- ια - tu. Tunc erit. Si a coperi S a parem iPSOque t minorem, uα t, Ri-quo - 3 residuum ipsius v. Nod quando a fornino Gn - 2. tu serit formae 6n-Hl. udomuo u sormae 6n-μb Q. E. A. quia i minimum esse nurnorum inductioni nostrae nil vorsantoni Supposuimus. Quando vero a sornane 6 n. orittu sornaue 36n--3 udo ,quo sermue l2n-- l. quam , re erit formaclines-5; Pntet aut m - a Utiam ipsius tu residuum fore, atque esse iv c t. Q. E. A. Manifestum linquo. - a nullius numeri formis GnH-5 residuum

osse POSSE.

93쪽

Nihil autona I,er hanc mollitulum pro numeris formae l2n-l invcniril=otest, qui proin artificia singularin requirunt. Ex inductiono quidem facito colligitur. Omnium numerorum primorum huius fornaste residua esse ina et - a. Manifesto autem demonstrari tantummodo debet, numerorum inlium residuum PSSe - 3, quia tutic necessario etiam H- 3 residuum esse debet art. ill). Ost Ondem autem genEralius. - a esse residuum numeri cuiusvis primi sorinuo

Sit p huiusmodi primus atque a numerus pro modulo p ad OXPonentem apertinens quales dari ex art. 5l manis stum, quia a submultiplum ipsius p-li. Erit itaque a - 1 m .pὶ i. e. -l si vo a - - αρ l) α-u laer p divisibilis. Sed I tot a esse non lmsso l mod. κ. quia l ud OxΡOnentem l Pertinet. quare a-l Iaer p dirisibilis non erit. sed a --α-Hl erit. hincque etiam 4 ra 4a- - 4. i. e. Prit 2a-lὶ - - 3 mod. κ κivo -3 residuum ipsius p. Q. E. D. Ceterum Patet . hanc demonstrationum 'iine a praecedentibus est independensi et tum numeroκ liri mos formae l2n 7 complecti quos iam in art. Prao .

abvolvimus.

94쪽

120. Colliguntur facile ex praeco. theoromata haec vid. urit. 102. 103. 105ὶ.Ι. -a est residuum omnium numerorum, qui neque per S, neque per s. ne que per ullum numerum primum formae unq-5 diridi possunt, non .r iduum autem omnium reliquυrum. II. - 3 est residuum omnium numerorum, qui neque per d. neque per s. ne

que per ullum primum formae 12nH-5 12n diridi possunt. omnium rei

quorum non residuum.

Tenentur imprimi η casus particularis hic:

- 3 ost rexi tu ian Omnium numerorat ni Primorum formae an ini, Reu quod idem est omnium. qui ipsiuA 3 sunt residua. non- residuum vom omnium numerorum primorum formae Gn -5, Seu . DXcluso numero 2, omnium sermau an H-2. i. e. omnium qui huius 3 sunt non- residua. Facile vom perspicitur Onanos reliquos lx sus ex hoc sponte κ qui .

Propositi nos ad residua - - 3 et - 3 pertinentos iam Formiitio notae suorunt. GPera inallisti T. II. p. b5T. At ill . Eulor primuκ demonstrationes tradidit. Comm. nov. Pere. T. VIII. p. l05 sqq. magis PAt mirandiun. demonstrationes propositionum ad residua H-2 Pt - 2 porti notitium . prorsus similibuRartificiis innixas. sonat Hr ipsius sagacitatem fugisse. Vid. olim comment. ili. Ira ἰrungo, Mun. II 'an de IAc. de Berlin. 1775 p. 352

isti. Per inductionem deprehenditur. 5 nullius numeri imparis sermas 5n- - 2 vel 5n--3 residuum esse. i. e. nullius numeri imparis qui is sius SDOn-residuum sit. Hanc vero regium nullam ex optionem Iinti, ita domonstratur. Sit numerus minimus, si quis datur, ab hac regida excipiundus t. qui itaquo numeri si est non-residuum. 5 autem ipsiuq t residuum. Sit aa - 5- - tu. ita ut a sit par ipsoque t minor. Erit igitur u impur ipsoquo e minor. - - 5 autem ipsius u residuum crit. Quodsi iam a per si non est divisibilis. etiam u non erit: manifesto autem tu ipsius 5 est residuum. quare quum t i I sius G sit non- residuum. etiam u non-residuum erit: i. e. datur non-residuum impar numeri 5. cuius residuum ost -- b. ipso t minus. contra hyp. Si rem a por 5 cst divisi-

96쪽

DE CONGRUENTIIS SECUNDI IRADUS.

n quit esse a i. neque adeo a - 1 - 1; necessario erit a -ha -Ρα ina l- 0. Quam Otiam 4 ία --a H- α' in aH-lὶ - 2 ua ε αε2ὶ - 5a' erit moi. e. 5a orit ri siduunt ipsius adeoque setiam 5. quia α' ost ri Alduum line 5n--l non divisibile a pnim iter lin 1 non divisibilis propter H l'. Q. E. D. At casus. ubi num rus primus sermae 5 n -- 4 proponitur, subtiliora artifi- in Postiunt. Quoniam vero Proposition dis quarum ope negotium absolvitur in s quentibus generalius tractabuntur, hic breviter tantum Oas ut tingimus. I. Si p est numerus primus niquo b non-residuum quadraticum datumi Psius p. valor expresRionis

97쪽

per p divisibilis. At illa expressio fit se luti H-20uab - 2bb - 2 bH-- 20 a jErit im tur otiani bH-5aαὶ - 20a Ρθr p divisibilis i. e. 20a' residuum ipsi tu p; at quoniam 4 a r iduum est i=er p non divisibilo facito enim intelligitur. aper ρ dividi non mis Νέ. etiam 5 residuum ipsius p crit. Q. E. D. . Hinc lint et theorema in initio huius urticuli prolatum genΡraliter vorum

I or similem melli una demonstrutur. - 7 esse non- residuum cuivieris numeri qui serius 7 sit non. residuum. Ex inductione vero concludi Potost. - T raxe rem tuum cui ris num ri primi qui imius 7 sit residuum. At hoc a noni ino hactenus rigoroso demonstratum. 1 m iis quidem residuisii mius T. quae sunt formae 4 n- I. sucilis est ii monstratio; etenim I er meth dum ex praeCt . abunde notam ostendi lκ test. ΦT semperessu talium numerorum Primorum non-residuum. iideoquo - T roriduum. Sed Parum hinc lucramur: reliqui enim crusus iurr lianc methodum tractari no lucunt. I num quidem nilliu P uni simili modo ut urit. 119. l23 absolvore ivissumus. Sollicit si ρ est nume-mη Primus sormae Tn-- l. atque a pro mo luto P ud EXIMnentem T laertinens.

facile perspicitur per ρ dirisibilem, adcoque -T H--a 3 ipsi im p residuum soro. At PH-a; . tamqunm quadrutum, ipsius p roκiduum os t. insulierquo Por p non divisibile:

98쪽

erit. Q. E. D - At primi iluinori serinae TnH-2 v l 7n-H4 Omnes In th OA hucusque traditas eludunt. Cotorum otiam hare demonstratio ab ili. I.n Graii primum ost detocta l. c. - Italia Sect. I II. doc bimuη goneraliter, OxpreSAionem sumitor ud sorinum reduci lios o. ubi signum superius ost a cipiendum quando p est numerus Primus formaO 4n-Hl. inserius quando ostforma 4n-Ha . donotantibus X. I functiones ratii nulos ipsius a , a fractionibus liberas. IIan discerptioncm ill . Ι .n ἰrango ultra casum p-T non Perse- it v. l. c. j . 352.

Praeparatio ad di visitionem meralem.

125. 4uoniam igitur methodi praocodontos ad domonstrationcs generatos stabiliendaq non sufficiunt. iam tempuη ost. alium ab hoc desectu lit oram ex Iviuere. Initium facimus a theoremato, cuius domon ςtratio satis diu oIκ ram nostram olusit. quamvis primo usi icctu tam obvium videntur, ut quidam ne necessitatem quidem deni instrationis intollox rint. Est vero hoc: Quem ris νιν memιm, praeter quadrata positire sumta. aliquorum numerorum Primorum non-residuum exse. Quin vPro h thoorcinato tantum mollis tamquam nuxiliari ad alia domonstranda usuri sumus. alios cusus hic non XIlliculariis quam quibus ud hunc fili in indigemus. I e reliquis Pasibus postis sponto idem cou tabit. Ostoridomus itaque . quemvis num rum In imum formae 4 n-μl. xive positire sire noeatire accipio tur . non-r Niduum esse

n Φ t autem excipi oportem per se manifestum p t.

99쪽

PRAEPARATIO AD DISQ HSITIONEM GENERALEM.

126. Sed numerum qilemvis primum soranno Snεl positivo ac Pium 8 inlinalicuius numeri primi ipso minoris non residuum esse. t wr artificia tam Obvia d monstrari nequit. Quum autem haec veritus uinximi sit momenti, domotis truti nem rigorosam. quamvis utiquantum larolicia sit. Draeterire non Im,ηumuΝ. Praemittimus sequens LEMMA. Si habentur siue series numerorum

utrum torminorum multitudo in utraque cadem sit necne nihil interestin ilia com- Iurratae. ut, denotante p numerum quemcunque primum aut numeri primi potestatem. terminum aliquem Aecundiae seriei sive elum plures j metient m. totidem ad minimum termini in serie prima sint per ρ dirisibiles, quot sunt in secunda: tum dico pro luctum ea omnibus numeris iij dirisibile fore per productum eae omnibus numeris II . empl. Constet Ιὶ e numeris 12. 1 S. 15: IIJ liis 3, 4. 5. 6.9. Tum divisibiles oritui per 2. 4.3. 9. 5 in Ιὶ 2. l. 3. 2. t termini, in II, 2. l. a. i.

tormini, r P ctive: Productum autem omnium tormii uirum IJ -97 20 divisibile est per productum omnium terminorum IIJ. 3240. Dem Str. Sit productum ex Omnibus torminis Ι). MQ, Productum Omnium torminorum sorici IIJ. -ia . I 'atot quom vis numerum I rimum qui sit divisor ipsius . etiam ipsius Q divisorem fore. Iam ostendomus qu nivi A suci rom primum ipsius Q , in Q totidem ad minimum dimonsiones lintwro quot habeat in Q . Esto talis dixi sor p, Imitaturque. in serie Iὶ a terminos es- Imr pdivisibilos . b torminos iter divisibiles. e terminos lwr ρ' divisibiles etc.. similiudenotent litorao a'. v. e ctu. pro serie II. perspicietur illo tacito. ιν in Q hni, ro

'ὶ Att. enim a esse residuum ipsius y per q uon dixi ibi is . nam etiam numerian pri-inus p per e laret divisibilis. Q. E. A.

100쪽

etc. dimensiones. in Q vcro a in eis. At a' certo nonninior quam a. ν non maior quam ii olo. lin.); quare a *h'H-e' etc. corto non

erit a ε bH-ecto. - Quum itaque nullus numerus primus in Q plures dimensiones habere possit. quam in Q. Q per Q divisibilis crit sart. 17ὶ. Q. E. D.

127. LEMMA. In prUre ione l. 2. 3. 4 n. plures termini esse nequeunt per numeri quemcunque fi divisibiles, quam in hac a. a - .aH-2 a- -n - toti. dem terminis eonstrante.

Nullo enim negotio perspicitur si n suerit multiplum ipsius l, in utraque progressione et teratinos fore Per 4 diri sibiles: sin minus. Ponatur νι - eh s, ita ut 1 sit eruntque in Priori serio e tormini per A divisibilos . in posteriori autem vol totidem vel e -- l . Hinc tamquam Coroll. soquitur Propositio ex numerorum figuratorum theoria nota. sed a nomine. ni fallimur, haci nuκ diro in demonstrata.