장음표시 사용
141쪽
Sit rationi huic I in numeris minimis nequalis ratio m : n. ita ut m. n inter se primi sint. accipianturquo μ. v ita ut fiat μm in un- l. Porro sit ν div. Comm. ma . numerorum a. b. c: Cuius quadratum propterea metietur ipsuma a -be sive be - ad sive ee: quare r etiam ipsum e metietur. His ita saetis . si forma F per substitutionem
in sormam Mit 2Ntu Puti Gὶ transire supponitur, haec anceps erit sormamque F implicabit.
ὶ Si omnes ε Φ ement in o. ratio indoterminata foret, adeoquo methodu non pHieabilia. Sed exigua attentio doeet, hoe eum suppositionibu nostris eo utero non Posse. Foret enim 1 --- δ' - a. o. emae adeoque . quia aedi a , oinae in a. Hine vero etiam π B - Α' a.doterminans sormae F fieret in o. qualea formas omnino Exesummua
142쪽
Dem. I. Quo pateat, Armam G esse ancipitem, ostendemus esse -2a 1υ - evη - 22Prundo quia r ipsos a. b. e metit --2a iv - ev vj integer erit, adeoque 2 iv multiplum ipsius M. Erit autem 31 - Amm- 2 Bmn- - Cnn. Νν - Am v - B m ι - πη - Cn 1 e . . . o Porro per evolutionem lacile confirmatur esse
143쪽
secundo I nα - mn, τ'6 - m' esso integros. l. Quoniam F transit in G ponendo x mi in Pu, y - nt - V v forma G per substitutionem Si transmutabitur in eandem formam in quam Ftransformatur ponendo
144쪽
Per lianc vero substitutionem F transit in F : quare per substitutionem S etiam G transibit in F .
Tandem ye - δαμ-6e - 0: hinc multiplicando per n et substituendo pro na
145쪽
OENERALIA DE REPRAESENTATION-s NUMERORUM.
i 65. r. Forma axa in xy - 4 yy in sorinam - 2. '-l8a Y--39y, transmutatur, tum Proprie. Ponendo y - - - 2y tum improprie, ponendo X - - 74I 'H-S9k. y Iba - ΑΝ' Hic igitur α-ba'. I in I . 8 ε sunt 70. l00. l4. - 20: est autem - 70:l4 - li 0: - 20 - 1: - l. Faciemuη itaque m - 5. n - - l. μ. - 0. v - - . Numeri autem a. b. e inveniuntur - 237. - ll70, 4 S. quorum divisor communis maximus m amr; doniquo fit e - 3. Hinc tranου formati O Ni haec erit, ae 5t-u. y - t. Ilar quam sorrna 3. I. - 4ὶ transit in sormam ancipitem te istu--3uu. Si sormas F. F' sunt a qui valentes: sorma G, sul, F contenta. Elium sub P contenta erit. Sed quoniam eandem formam otiam implicat . ipsi aDquival riserit. et proin Otiam formae F. In hoc igitiu cursu thoorema ita enunciabitur: Si F. F' tam proprie. quam improprie sunt aequivalentes: forma anceps utrique aequivalens inveniri poterit. Ceterum in hoc Casu e - - ' l. adeoque etiam r. ipsum e metiens. - rit. Haec de formaerum transformationse in genere Rusticiant: transimus itaque ad considerationem rePra entationum. ε
Si forma F formum P implieat: quicunque numerus per F' repra retari potest. etiam per F poterit. Sint indeterminatae scirmarum F. F' rospective a. y . X, y. Poniam uSque nu merum M per se ' repracsentari faciendo m. ν - n. formam F vero in F transire per substitution ma: - α H-6y'. y - rasin δy'
146쪽
F transire in II Si II pluribus modis per formam F repraesentari Potost. e. g. etiam sa-ciendo F in m , k-n': plures repraesentationes ipsius M per F inde sequentur. Si enim esset tumam in lan αm'ε6n' tum rm - δη - γm'εδn foret uiit - - 67-0. adeoque otiam detorminans formae F -0 contra hyp . . aut m -m . n in n . Hinc sequitur II ad minimum totidem modis diversis iter Frepraesentari posse quot twr F . Si igitur tum F ipsam F tum F ipsam F implicat i. e. si F. F' sunt aequivalentes. numerusque II Per alterutram repraesentari potest: etiam per H-terum ropraesentari Poterit. et quidem totidem modis diversis Per alteram . quot
per alterum. Denique Observamus, in hocco casu divisorem communem maximum numerorum m. n aequalem effie diVi Sori Comm. m . numerorum' 'ImH-δn.
Sit ille in a. numerique μ. v ita accepti, ut fiat μm- - vn - A. Tum erit
147쪽
GENERALIA DE REPRAESENTATIONIBUA NI MERORUM.
porro numerus M per F repraesentatur, faciendo ae m. y n, adeoque per F faciendoae' - αm -- gn - m'. y' - Tm δn - n et quidem ita ut m ad n eoque ipso etiam m' ad n sit primus: ambae repraesentiationes aut ad eundem ratorem eapressionis , D moLμὶ pertinebunt. aut ad oppositos. prout transformatio formae F in F propria est vel improprio. Dem. Determinentur numeri si, v ita ut fiat --- ponaturque
qui erunt integri propter αδ --- Tum erit
pruntque V, IV valores expr. UD mod. IIJ ad quos repraesentatio prima et η cunda pertinsent. Si in V pro μ. v , ἡ, n vutores ipsorum substituuntur. in V vero Pro a. Καα - - 2b αγ-ke II Pro b, a. 6- pro C, invenietur evolutione facta V αδ-6r . Quare orit aut V - aut V - - V . prout αδ-- - 1 aut - - l a. e. repraesentationes Pertinebunt ad eundem valorem expr. mod. vi vel ad oppositos. prout transformatio formae F' in F est propria vel impropria. Q. E. D. Si itaque plures repraesentationes numeri M per formam is, b. . ope -- lorum inter se primorum indeterminatarum X, F, habentur ad valores diversos Oxpr. VI mod. vi pertinentes: repraesentationes respodentes per sormam i .F. eo ad eosdem resp. valores pertinebunt. Et si nulla repraesentatio numeri M per sormam aliquam ad valorem quendum determinatum Pertinens datur . nulla quoque dabitur ad hunc valorem pertinens per formam illi ne tui valentem.
148쪽
Q. E. D. Ceterum ex nequationibus
qui numeri itaque erunt in togri. Porro Observandum . hanc propositionem locum non habere . si Mino: tum enim torminuti θ fit indeterminatus 'ὶ i59. Si plures repraesentationcs numeri M. per la, b. e) habontur, in eund mvalorem Expr. x'D mod. IIJ, N. Portinentes ubi valoros ipsorum x. y semper intor so primos supponimus : Plures etiam transformati otios proprius forma a. b. e . . Fl. in M. N. . Gl inde deducentur. Scilicet si otium Por hos vul Ores a se m . ν - n' talis repraesoritatio Provenit. Fὶ otinm p r substitutioncm
In hoe enim casu. M ad ipsum phrasin extondere volumus, haeet ν esse valorem expr. UID in M. I . si a se ae M in ille bii. -- D esse multiplum ipsius M, ad que in . .
149쪽
sequotur repraesentatio muneri M lvir formam is . ad valorem N portinens. Scilicet si Fὶ transit in Gὶ ivisitis a in mae' - ' s. y lay, II Praesentatur Per Fj Ponendo a m. y n. et quoniam hi C mμ -μνιυμ l. Vulor expr. v D in . Vt ad quem repraesentatio Portinet erit si bm-ben - v amq-bnὶ t. e. N. Ex Pluribus vero transformationibus Propriis diversis. scquontiu totidem repraesentationes diversae ud N porti uentos j. - Hinc facile colligitur . si omnes transformation s propriae formae F) in Gὶ habeantur, ex his omnes r praesciitationes ipsius M per Fj ad valorem A pertinentes sequi. Unde quaestio de repracscntationibus numeri dati per formam datam in quibus indetermia natae valoros inter so Primos nanciscuntud invostigandis. reducta est ad quaesti noni de inveniendis omnibus transformationibus propriis formas illius in datam aequivalentem. Applicando iam ad haec ea quae in art. 162 docuimus. facile concluditur: Si repraesentatio aliqua numeri II per Drmam Fὶ ad valorem N twrtinens sit haec: X - α. y I: formulam generalem Omnes repraesentationes eiusdEm numeri per formam in . ad valorem N laertinentes. comprehendentem fore hanc:
ubi m divisor comm inis maximus numerorum a. 2b, c; et t. v Omnes numeri, indefinito. aequationi it - Duu - mm satisfaciontes. 170.
Si forma a. h. ancipiti alicui aequivalens. adeoque forma II. tam Proprie. quam improprie, sive tam somno II. N. --ὶ quam huic II. - N. Proprie: repraesentationes numcri II habebuntur per formam
150쪽
Fὶ, tam ad valorem N, quam ad valorem - α pertinentes. Et vice versa si plures repracsentationes numeri II mr eandem formam Fὶ. M valores ηpositos
expr. v I ίmod. IIJ, N-N. pertinentcs habentur: sorma inj somno Gὶ tam proprie quam improprie aequivaleus erit, seritiaque anceps assignari poterit, cui F) aequivaleat.
Haec generalia de repraesentationibus hic sufficiant: de repraesentationibus. in quibus indeterminatao valores inter se non primos habent, infra dicemus. Ite-sPrctu niturum proprietatum, formae quarum determinans est negativus prorsus alio modo sunt tractandae. quam formae determinantis positivi: quare iam utrasque seorsim considerabimus. Ab illis tamquam sucilioribus initium facimus.
formis iatrerminantia negati L
PROBLEMA. Proposita forma quacunque, a. b. a'. cuius determinans neyatirus. - - D, desisnante D numerum positivum. in renire formam huic proprie aequira- lentem, A, B, C . in pta A nec maior quam Vl D. C. nec minor quiam 2B. Solutio. Supponimus in forma proivisita non omnes tres conditioncta simul locum halinre: alioquin cnim alium sermum quncrero opus non osset. Sit ν residuum abs. min. numeri -b Secundum modulum a '), utquo H - - . quierit in togor quia ι' ι' bb. Ub'D bb-D au 0 mod .ae . Iam si a αἱ fiat denuo ς resid. abs. min. ipsius -ν secundum mod .a'. atque α' - ρ ρ Si hic iterum caeca sit rursus b res. abs. min. ipsius -U Secundum m . a atque a Haec otioratio cousinuetur donec in Progressione a. a , c. a ' etc. ud terminum a V Iinoontutur, qui praecedonio suo a ' non sit minor. quod tandem evenire debet, quia aliaes progressio infinita numerorum intera rum continuo decrescentium haberctur. Tum forma μ' , b . a ' omnibus conditionibus satisfaciet. Dem. I. In pro sessione formarum fa, b, a j, a b , a ), a b '. a in cic quaevis Praecedenti est. contigua, quare ultima primae Proprie aequivalens orit arti. 159. 16 , .
'ὶ Ob-mare eonvenit, si somae stlimi a. b. a' isminus primus vel ultimus a vel a' ait in o , ipsius determinantem eme quadratum positivum: quare illud in eam praesenti eventro nequit. Ex simili ratione termini interi a. a' sormas deterini nantia negativi. mgna opposita habere non POMunt.