Werke Carl Friedrich Gauss 1

151쪽

II. Quum b sit residuum absoluto minimum ipsius - b secundum m . a , maior quam la non erit sart. 4 . III. Quia a ' a ' dii in atque a =3 non ςa . non erit ρ et quum b ' non a a non erit I la a et la a non tandemque a ' non Exempl. Proposita sit serma 304, 217. 155 , cuius determinans - - 31. Hic invenitur progressio formarum:

Ultima est quaesita. Eodem modo formae 121, 49, 20ὶ, cuius determinans - - 19. uoquivalentos inveniuntur: 20.-9,5 b,-l,4 . 4, 1, 5ὶ: quare 4. i. 5ὶ crit forma qua sita. Tales formas A. B. Q. quarum doterminans est negativus et in quibus A nec maior quam UlD. C. nec minor quam 2 Π. fori s reductas vocabinius. Quare cuivis sormae detorminantis negati fi forma reducta Proprio nequivalens inveniri imaerit.

PROBLEMA. Invenire conditiones, sub quibus duae formae reductae non identicae. eiusdem determinantis -D. a, b. d. 9 . b εὶ proprie aequivalentes erae poSSint. Solutio. Supponamus. id quod licci, a esse non a. sormamque a aeae 2bveyy transire in a EF 2b ae,e yν per substitutionem Propriam a se a X H-6k. y - TFδy. Tum habebuntur aequationescia α - - 2ba TH-eTI ae fil

152쪽

DE FORMIA SE UI GRADUS.

In utroquo casu fit ex fit a a. et ex 2J ν-b - - 6 a. Sed b non et ν non la . proin etiam non uuaro a quatio b -b a consistere nequit. nisi morita ut b - ν, unde sequeretur e quare sormae a. b. 6, 9, b , δὲ identicue ossent contra hyp. aut b- - ν - - la. In hoc etiam casu erit e se e formaque sa', Celerit se. - b. H i. e. sormae M. b. H op sita. Simul Imtot formas lias esse ancipites propter 2b - - - a. II. Si r se in I. fit ex LV a αα--e - a' - - 2ba. Ned e non minor

153쪽

In hisce casibus sorinas a, b, e . la, b .cὶ proprie nequivalere, vel a priori sacile praevideri ivituit; si enim formae sunt Opivisitae. improprie. et si ius utinniacipitcS. etiam proprio nequivalentes esse deboni: si vero a in c. forma. a-b a) soranae . b. o contigua et Proin aequi Valens erit; sed propter D -bb ue in a a fit --2a - 2b, larina vom 2a-2b, a-b. Hest anceps; quare a, b, d oppositae suae etiam Proprio acqui valebit. avoque facito iam diiudicari pol st. quando duae sormae reductau lia. b. e . a, b εὶ non oppositae improprie a quivalentes esse Possint. Erunt Enim iiii pr. aequivalentes. si a. b. P -b .el, quae non identicae erunt, proliris sunt quivalentes, et contra. Hinc liniet, conditionem. sub qua silae improprio sint

nequivalentes, esse. ut sint identica . insui Hrque nut ancipites aut a se c. Formae vero reductae quae neque idonticae sunt ne Pio Oppositae. nequct Proprie neque imi roprio nequivalentes esse Possunt. 173. PROBLEM. Propositis duabus formis eiusdem determinantis noeatici. F et F', investistare utrum sint arguit alentes.

Solutio. Quaerantur duae sormae reductae L f sermis F. F res P. Proprio nequivalentcs: si sortiano f. t sunt Proprio. vel improprie vel utroque modo acqui valentos, etiam F, F erunt: si vero f. t nullo modo acqui valentes sunt, otiam F. F non erunt.

iὶ Si f. L noque identione neque opposita . F. F nullo modo a qui

alentes Crunt.

2ὶ Si f. s' sunt primo vel identicae vel oppositae. Et secundo vol auCipitCΝ.vol terminos nuos extremos uoqualos habent: F. F tum proprie. tum improprie

δὶ f L sunt identi cac, neque vPro ancipites nequo terminos eXtrumoΝ aequales habent: F, Φ' proprie tantum a quivalebunt. si s T sunt oppositae, nequo vero ancipitos. ncque torminos OX tremos aequales habent: F, improprio tantum nequivalentoΝ Prunt. Er. Formis ll. 35. 30ὶ. T. 18, 47) quarum dolorii sinanS - - 5. ductae l. u. 5 . 2. l. 3) ae lui valentes inveniuntur. quare illae nullo modo aB- quiVuleIites erunt. Formis vcro 23. 33, 63ὶ 15. 20. 27ὶ aequivalet eadem

154쪽

DE FORMIA SECUNDI GRADUs.

reducta 2, 1, 3ὶ, quae quum simul sit anceps. formae 23. 3 S. 63 . lib. 20, 27)tum proprie tum improprio nequivalelmnt. Formis 37, 53, 7Sὶ, 53. 73. 102ὶ. nequivalent reductae s. 2.9 . s. - 2.9 quae quum sint oppositae, ipsarumque termini extremi aequalos: sormae propositae tam proprie quam improprie crunt

aequivalentes. 174.

Multitudo omnium formarum reductarum, doterminantom datum D h bentium. SemIter est finita. et, restis tu numeri D. satis modica: sermae has ipsae vero duplici modo inveniri possunt. Designemus formas reductas determinantis - D indefinite per a, b, e . ubi itaque omnes Vesores ipsorum a. b. edotorminari debent. Methodus prima. Accipiantur pro a omnPs numeri. tum Positivi tum negativi non maiores quam quorum residuum quadraticum - D, et pro singulis a , fiat b successivo aequalis omnibus valoribus expr. V-D mod. H. non maioribus quam l a. tum Positive tum negative a copiis; e vero pro singullis valoribus determinatis is,sorum a. b. ponatur Si quae sormas hoe modo oriuntur in quibus cα a. huc erunt reiiciendae, reliquae autem manifesto erunt

roductae.

Methodus secunda. Accipiantur pro b omnes numeri, tum positiri tun n gati Vi non maiores quam , et D. sive pro singulis b resolvatur bb Domnibus quibus fieri potest modis in binos saetores setiam signorum diversitatis rationa habitaὶ ambos ipso 2 b non minoros ponaturque alter factor. et quidem. quando sectores simi inaequales, minor a. alter me. Quum a non erit omnes formae quae hoc modo prodeunt, manifesto erunt reductae Denique patet, nullam formam reductam dari posse quae non Per utramque methodum inveniatur. Eae. Sit D - 85. Hic limos valorum ipsius a est V - ,- qui iacet intorio et 1 I. Numeri vero inter i et 10 incl ὶ quorum residuum -85, sunt l. 2. 5. l0. Unde habentur somno duodecim:

- 2, 1 - 43), - 2 - l. - 43J. -5, 0. - 17 . - 10. 5,-ll. ί-l 0. - b, - l l . Per methodum ulteram limos valorum ipsius b habetur qui si tuu ostin ter 5 et 6. Pro b in o. prodeunt formae

155쪽

DETERMINANTES NEGATINI.

Si ex omnibus sormis reductis determinantis dati. formarum binarum . quae licet non identicae, tamen proprie sunt aequivalentos, alterutra reiicitur: sormae remanentes hac insigni proprietate erunt praeditiae, ut. quaevis forma eiusdem ii torminantis utices cx ipsis proprio sit nequivalens. et quidem unicae tantum alias enim inter ipsas aliquis proprio acquivalentos laronq. Unde patet, omnes formas eiusdem determinantis in totidem elasses distribui posse quot formae remanserint, reserendo scilicet formas eidem roductae proprio nequivalentes in Dandem classem. Ita pro D 85, romanent formae

- 1, 0,-84ὶ, - 2, 1. - 43J. -5, 0, - 17), - 10, 5. - 11ὶ quare Omnes formae determinantis -85 in octo classes distribui poterunt, prout formae primao. aut secundae ole. Proprio nequivalent. Porspicuum vero est, sermas in eadem classe locatas proprie acquivalentes fore, formas ex diversis classibus proprie aequivalentos csso non posse. Sed hoc argumentum do classificatione formarum in 1 ta multo fusius exsequemur. Hic unicam obsera asionem adiicimus. Iam supra ostendimus, si determinans formae se, b, d fuerit negativus -- D, a et e eadem signa habere quia scilicet ae bbΦD adeoque positivus); eadem ratione facile perspicitur. si formae 9. b. d. μ', b , e) sint aequivalentes. Om- Des a. c. a . E eadem signa habituros. Si enim prior in posteriorem per substitui.

a α' - μα ε b* - DII, adeoque certo non negativus; quoniam vero neque a neque E -0 esse potest, orit aa' positivus et proin signa ipsorum G, ae eadem. Hinc manifestum est, formas quarum tormini Oxtori sint positiri, ab iis quarum termini sexteri sint negatiri. Prorsus esse separatas, sufficitque ex formis reductis Das tantum considorare quae terminos suos exteros positivos habent, nam

156쪽

DE FORMIS SECUNDI GRADUS.

reliquae totidem sunt multitudine et ex illis oriuntur. tribuendo torminis exteris signa opposita: ideinquo valet de sormis ex reductis reiiciendis et remanentibus.

Ecce itaque Iaro detorminantibus quibusdam nogativis tabulum formarum. Secundum quas Omnes reliquae eiusdem determinantis in classes distingui possunt: RPI OuimuS Rutem, ad unnotat. art. Praec. . Remissem tantum. Scilicet eas quarum termini exteri positivi.

Superfluum foret hanc tabulam hic ulterius continuare, quippe quam inhamulto aptius disponere docebimus. Patet itaque, quamvis formam de torminantis - 1. formae Pr Prie nequivalere, si ipsius tormini exteri sint positivi. vel liuie -zz- si sint negativi: quam is formam determinantis - 2. cuius tormini Dxteri positiri.

formae xae Η- etc.; quam ris sormum determinantis - ll, cuius termini Oxtori positi n. alicui ex his i l l ... 2za - - 2 - - 3.rxH-2 ν - 4yy. IXα - 2ay- - 4yν etU. 177. PROBLEMA. Habetur series formarum. νιarum quaeris praecedenti a parte poste riori confisua: desideratur transformatio aliqua propriti primae in formam quGm vn que seriei

157쪽

DETERMINANTES NEGATIVI.

158쪽

haec ad sermas determinantis nogativi non est restricta. hyd nd omnPs casu Patet . si modo nullus numerorum a . a etc. - st. 178. PROBLEMA. Propositis duabus formis F. f. eiusdem determinantis neyativi. proprie aequimientibus: invenire transformationem aliquam propriam alterius in a

teram.

primas F in ultimam f.

159쪽

Ex solutione hac nullo negotio sequitur solutio problematis: Si formae F, fimi/roprie sunt aequival ntes, invenire transformationem impropriam formae F in s. Sit Onim y - ait 2btu--a uti eritque forma oppositu app-2bpq - - ahq rinae F proprio aequivalens. ruaeratur transformatio pmpria sorinae F in illam. X ap--6q, ν Ip--ἐq. patetque F transire in f positis ae at-su. y- It-δu, huncque transserinationcm fore impropriam. Quodsi igitur somno F tam proprie quam improprie sunt aequivalentes: inveniri poterit tam transformatio propria utiqua quam impropria.

17s. PROBLEMA. Si foranae F, y sunt aequiralentes: invenire omnes trunsformatim

nes formae F in f

Sol. Si formae F. f unico tantum modo sunt aequivalentes i. e. proprie tantum vel improprie tantum: quaeratur per Rrt. Praec. transformatio una sormae F in L patetque alias quam quac huic sint similes dari non posse. Νi vero sormae F, y tam proprie quam improprie aequivalent, qua rantur duae tranR mutioneS. altera propria, altera impropria. Iam sit forma F - A. B. C . BB - AC--D. numerorumque A. 2B. C divisor Communis minimuS m. I um ex urt. 162 Patet, in priori casu omnes transformationes formae F in f sex uua transformatione. in posteriori Omnes P Prius ex propria omnesque improprias ex imp pria deduci Iaosse. si modo omnes solutiones aequationis it -- Duu mmhabeantur. II iis igitur inventis problema strit solutum. Habetur autem Drax AC- . 4D-4AC-4 . quare se l- - 2ὶ erit integer. Iam si

160쪽

DE FORMIS SEC IcDI GRADUR.

si F. f unico tantum modo noqui valentes sunt et transformatio aliqua praeter hanc ipsam quae prodit ox t - m a t. 162 . et hanca' --aas - . y --γE - δν aliae locum lia re non Imssunt. Si vero ' f tum proprio tum improprie u qui valent . utque Propria aliqua transformatio habetur impropriaque