장음표시 사용
181쪽
Aequatio 3. 4. 1. 6 roiicienda erit, si T. δ, α. 6 rosli. - 0. Sed dubium hiemanet. quao siqno quantitatibus radicalibus tribui debeant: hoe sinuenti modo docidemus. Statim patet in lal et I J necessario signa superiora accipi debere, quando neque - ncque signum halicat signo ilγSiuη a mi Positum; quoniam accepto signo inseriori ct ι fierent quantitatos nogativae. uia vero ,1 ot l signa adem litatu ni. cadet inter ot adeo lue in hocce casu inter Prima theoremutis pro Cnsu priori est domon
Eaul in modo ire rspicitur. in L. il ut 6J nccerssario signa in seriora accipi do-boro. quando neque I nequo signum idem habeant ut a' sive a. quia ac pici
sui Hriori necessario fierent quantitates Positivae. Unde protinus soli uitur. pro hocce casu lucore inter Zet . Domonstrata est itaque etiam pars secunda thoorematis pro casu Posteriori . . hiodsi neque faciles Ostendi posset. in
al et D 4l signa insoriora accipi debere, quando neutra quantitatum signum idoni fiat ut ut a, et in ibi et i6ὶ supcriora. quando neque neque ι si
num olumsitum habeat: hinc simili modo Sequoretur. Pro illo asu - iacere inter - . Iim inter I ct - , si vo pars prima thoor mutis setiam pro cnsu I Ostoriori, et secundu pro casu priori demonstratae serent. Sed quum illud difficito quidem tum sit, attamon sine quibusdam umbagibus fieri nosluseat.
methodum sequentem Praeserimus.
uuarido nuduκ numerorum α. 6. I. ὀ -0, 7 et x eadem signa hubebunt ut S. . t uando itaque neutra harum quantitatum signum idem halaet ut a sive α. adeoque inter I et ' cadit: neutra quantitatum 7. x signum idoni ut a liati bit, eadetquct - spmptur aci se D - bb) inter; et i . Quare Pro eo casu ubi neque α uoque si 0. Pura Prima theor. etiam pro Cayu SCcundo est domonstrata inam conditio ut neque I ncque δ -0. iam in theor. ipso est udi ta . Nimili modo. quando nullus numerorum α. 6. T. δ -0, 2 a
182쪽
et neque neque i signum signo ipsius a vel a' oppositum habet . adeoquo inter i iacet: etiam S et ζ signum oppositum signo ipsius a' non
habebit. cadetque inter X et 4 . In eo igitur casu ubi neque Ineque δμ0 pars secunda theor. etiam pro casu secundo est demonstrata. Nihil itaque superesset quam ut demonstretur, Partem primam theor. Etiam pro casu secundo locum habere si alteruter numerorum a. 6 sit -0. et Imrtem secundum Pro casu primo si aut I aut δ - 0. At omnes hi easus sunt impossibilo. Supponamus enim. Pro Parte prima theor. esse neque I neque δ - 0; 7. i Π habere signum idem ut a atque esse lὶ α - 0. Tum ox aeqv. αδ - - - liit 6 - - l. r l. Hinc ex ilJ A - - a. quare A et udemuo etiama et a signa opposita habent. undo fit V D --Hinc patet in lal
necessario signum inserius accipi debere . quia accepto superiori . manifesto signum idem obtineret ut a. Fit itaque propter ades formae reductae . Q. E. A. quum 6 - - 1. st δ non 0 2ὶ Sit 6 - ο Tum ex aeqv. αδ - 63 - l fit α - l. δ - ' l. Hino Qx 2J -Α - - a quare ae et a et A signa indem ha bunt. unde fit in Hinc patet in 3J signum inferius accipi debere, quia accepto sup 'riori Nignum idem obtineret ut a. Fit itaque - 1. Q. E. A. Eadom rati no ut ante Pro Paris secunda si supimnimu9 nseque α nseque s in D; S. - non habere signum signo ipsius α' oppositum atque l) 7 - 0 : ex aeqv. αδ - - 1l fit α - - l. δ l. Hinc IJ a. quiso a' et a ' signa In halaebunt.
unde fit Quoeirca in si signum superius erit accipiendum, quia accepto inferiori . : obtineret signum ops, ,situm signo ipsius a'. Fit igitur ' l. Q. E. A. . quia δ - t 6 non u. Tandem 2, si esset δ-0. ex αδ -- fit 6 - - l. 7 - - l. adeoquo ex 2J - i' a. Hinc u D - -j v I b. quam in ibi signum sup rius .accipiendum. II in l . Q. E. A Quare theorema in omni sua ex innAiOI P est demon-
Quum differentia intor et sit - disserentia inter et vel erit inter - autem et . vel inter illam quantitatem et i nulluliuetio iacere poterit. cuius denominator non sit maior quam I aut d lemma praec. . I ridem modo disserentia quantitatis a fractione X vel hae :
183쪽
-ERMINANTES POSITIM NONNUADRATI.
erit minor quam et ininr illam quantitatem et neutram harum fractionum iacere potest semctio cuius denominator non sit maior quam α et 6.192. M applicatione theor. Praec. ad algorithinuIn art. 18S sequitur. quantitatem
quam per L designabinaus. Iacere Inter et p.; Inrur et id ; In inr et eis. Jacile enim ex art. 189, 3 fin. doducitur . nullum horum limitum habere simnum oppositum Nigno ipsius a; quam quantitati radiculi signum positivum
tribui det,et sive inter ὁ et inter et L etc. Omnos itaque fractiones
P. IPSI eadem Parte iacebunt, Omnesque etc. re parte altera. Quoniam vero iacebit extra λ et L. similique rations extra L et extra L et etc. Unde manifestum est, has quantitates iacere sequenti ordino: Disserentia autem inter et L erit minor quam differentia inter et t. e. similioue ratione differentia inter et L Erit αἰα etc. Quamobrem
DMtiones P, - . , - P. etC. continuo propius ad limitem L accedunt, et quoniam I. I , T continuo in infinitum croscunt. differentia fractionum a limite quavis quantitate data minor fieri potest. Ex art. 189 nulla quantitatum -ῖ. a. I etc. signum idem habebit ut a: hinc Per ratiocinia praecedentibus omnino similia sequitur. illas et hanc quam per L' designabimus, iacere sequenti ordine: Disserentia aut in inter X et V minor erit quam differentia inter et L minor quam est. Quare fractionses 7 d est continuo propius ad L ace dent. et differentia quavis quantitato data minor fieri poterit. In ea. art. 188 fit L --- 0. 2960648 Et seactiones appropinquantes'. L 3. A, 6. A. A . Hi, etc. Est autem PH - 0. 2960662 Ibidem fit
184쪽
i93. l'iiEouκM . Si formae reduetae L F proprie aequiralentes sunt: altera in a terius periodo contenta erit. Sit 1- a. b. a). F- A. B. - Α). determinans harum formarum D. truitiaeatque illa in hanc per substitutionem proprium R. T. E. D. Tum dico. si In rio lus formae s quaeratur progressioque utrimque infinita formarum ro luctorum utque transsormationum sermact f in ipsas eruatur. eodem modo ut art. 1 SN: eel ΦR sors aequalem termino alicui In Ogressionis ... α α, α, ά. α .... hocque posito μα' . - 23 fore se s . in E - Γ'. in P c ': rel - i sore aequalem termino Hicin α , ct -- d. - T resp. - , . I ', c ubi m etiam indicem negativum designare potest . In utroque casu F manifesto identica erit cum Dem. I. IIul entur quatuor ninuation S.
185쪽
et v D. a: erit necessario B - b et B - 0. Quare casus hic a Iiraecedetito non differt.
II. Si . . I idem signum habent ut a: quantitas' qunm designabimus per L inter has semetiones situ erit uri. ibi l. Demonstrabimus iam. aequalem fore alicui fractionum etc., atque 1 Pro inae Soquenti.
quantitutum est seu propter α' 0 . reliquae omnes idem signum halioni ut LSive a. Quoniam Vero Iaer hyp. d. ζ pro quibus scribemus St. N) idem si quum habent: patet has quantitates ipsi l) u dextra iacere but si maris ab otidem parto aqua L . et quidem, quum L iacent inter ipsas, alteram ipsi L a dextra. altorum v lnova. Facito voro Ostendi Potost, ipsi 2 a dextra incere non ivisse. alioquin enim sὶ inceret inter iij et L. unde sequeretur primo 2 iacoro inter taet yl. adeoque denominatorem fractionis 2ὶ maiorem csso dono minutoro fractionis 2ὶ art. 190 . secumfo cti iacoro intor lj et 2 . adeoque dono m. muttionis 't esse maiorem quam donom. si ictionis 2 . Q. E. A. Supponamus Ut nulli fractionum 2j. sa ij etc. aequalem osse. ut, quid inde Koquatur. videamus. Tum manifestum est. si stilotio Ut ipsi L a laova iaceat. ne 8Sario eam situm esse aut inter ij et a . aut inter 3, et S . aut inter is et 7j etc. quoniam L est irrationalis. ad que ii,si Ur certo ina qualis . lanctiones- quo i , δ b) etc. quavis quantitate data. ip si L in quali. propius ad L ace dere Iiossunt . Si vero In ipsi I, u dextra lucet: necessurio lucebit aut inurr 2)
186쪽
Tum erit necessario 2 m Φ l . Iacebit enim N ipsi L a dextra: si vero etiam ipsi mε ij a dextra iaceret. miniὶ iaceret inter ta et N. unde 'r' d. 'in vero inter et in lὶ unde sart. 190 . Q. E. A. : si vero N ipsi in l) a laeva iaceret. sive inter m ε 2ὶ et γε i). foret et quia , - 24 inter ta et N. foret γ ' T. Q. E. A. Erit itaque N - θηε lj.
aequalem esse . deduximus. eam revera alicui aequalem esse. Quodsi vero ab 'l Nihil hie refert. invo ordo in sΠὶ idem sit ut in I . sive hute oppositiis, o. sive imὶ etiam in sIὶ
ipsi I. a laeva iaceat nive a 4ti xtra.
187쪽
- Α' - - a ' . Quamobrem formas F. identicuu erunt. Adiumento aequationis RP - E E - α' δ' - g r autom nullo negotio probatur. Ivini debere ' - 6' . - T in M. quando in E - α . G - γ' ; contra - 2' - 6''. - T - - δ . quando R - α . - I . Q. E. D. III. Si signum quantitatum etc. signo ipsius a Oppositum: demonstratio praecedenti tum similis est, ut praecipua tantum momenta indigitavisse sufficiat.
Ιaeobit inter et '. Fractio I sitieui fractionum
Domonstratur autem IJ ita: Si ia nulli illarum fractionum usqualis esse supponi
tur: iniser duas tales set iacere debebit. Hinc vero eodem modo ut supra deducitur . necessario esse
transit: hine emergunt tres aequationes. ex quibus Coniunctis cum aeqv. l. 2. a. 4atiluo hae. α δ - 6 7- 1 clodueitur eodem modo ut supra. tDrminum primum A formac F termino primo sermae 'Υ aequalem esse . illiusque terminum m ilium medio huius congruum secundum modulum A, unde sequitur. quia utraque forma est reducta, adeoque utriusque terminus medius intor et vD U Asitus. hos terminos medios nequales esse: hinc vero deducitur ἀι - ἡ . , eritus itaque assertionis Iὶ derivata hic est ox supposition illam esse salsam. SuPPonendo autem αι - s. Proreus simili modo et Per easdem aequati O-
188쪽
prie aequivalentes sart. 159 . perRPicuum est. si formae reductae F. y improliriensequiuuleiites sint. formaeque V socia sortita G, formas f. G proprio nPqui-lelites sere ndoiaque sormum G in periodo soranno f contentam. auodsi ita lucsormne F, y tum proprio tum improprie nequival olitos sunt. Irutet . tum F tum 'G in poriodo formae s reperiri debere. Quam Iioriodus haec sibi ipsi socia orit. duusque formiis ancipitos continobit turi. lS 7.7). Vnde thcoremn nrt. i55 ogregio Confirmatur. ox quo iam Imtoramus osse corti . scimum utiquum ancipitem dari sor-mis F. f aequi vulantem.
195. PROB MA. Prop ista dualius formis quil, vseu que xl . F eiusdem determinantix: diit dicit re utrum aequiral ntes Aint . iant on. Sol. Quaerantur duae sortiano roductae F. f Propor,itis φ. * resp. proprie aequivaletitos tart. lba . fauue prout aut proprie tantum aequi vivont. aut improprio tantum, auit utroque modo. nut neutro; ctiam protiositae aut Proprie tantum a quivale ites Prunt. aut improprie tantum. aut utroque nut uoutro modo. EvoLvntur lκ ri iis ultorutrius formae roductae e y. Iaeriodus formae s. Si forma Fin linc periodo occurrit timue vero simul forma iii i F socia, munis in casus primus locum hulwbit: contra si s ia haec adest nequo vom F il in . secundus:κi ut quo. tertius. SI neutra . quiarit S.
189쪽
sed tamen socia -3. 8. b): formas Propositus improprie tantum aequivalere Concludimus. Si omnes larmus reductas determinantis dati eodem modo ut supra ,rt.
187. 5ὶ in periodos P. Q. R etc. distribuuntur, utque e quavis periodo forma aliqua ad libitum cligitur . ex P. F: ex Q. G; ox R. II etc. : inter has forma
F. G. II etc. duae quae proprie aequi vulcant eSso non potorunt. Quaevis uuismalia forma ciusdem determinantis uti cui ex istis proprio uoqui valens erit et quidem unicae tantum. Ninc manifestum est. Omnes formas huiua determinantis in totidem e lasses distribui posse. quot habeantur periodi. scilic t reserendo eas quae formae F proprio acqui valent in primum claessem. eius quae formae G proprie aequivalent in secundam ore. Hoc modo omnos sOrmao in eadem classct contentae proprie aequivalentos erunt, sermae vero e cla sibus diversis non poterunt Proprie nequivalere. Sod hic huic urgumento infra fusius explicando non immorum .
Puon ΜΛ. Propositis duabus formis proprie aequivalentibus sp. φ: in renire transformationem proprium alterius in alteram. SOL Per methodum art. lS 3 inveniri potorunt duas serios formarum P, Φ'. Φ' et P. φ'. v ... F tales ut quaeris forma sequens Pra odenti Proprie aeqtri valeat. ultimaeque C sint formae reductae; et quum Φ. v proprie nequi Valentes esso SuPPonuntur. n ossario xli' in periodo formas contenta erit. Sit C f ipsiusque perio lususque ad formam sv ha onita ut in hae periodo index sormae sp sit m: designenturque sermae quae opi sitae sunt sociis formarum p. Φ . per 'I . U. C. . . ' resp. . Tum in progression
Iis ut F oriatur ex et mmmitando terminum primum et ultimum trihuendo iue medio signum oppositum. aimili torque de reliquis.
190쪽
quaevis forma praeco lonti ab ultima parte contigua orit, unde per art. 177 inveniri poterit transformatio proliri a primm p in ultimam Φ. illud autem de formis reliquis Progressionis nullo negotio perspicitur: de lus 'I sic probatur : Sit
Forma sy'. h'. Cl tum formae y, h. ij tum forma s . h . Vt ab ultima parte contigua erit; hinc i j - i'. et h h' -h mod i vel j vel , J. Unde manifestum est, formam si ,-ς,9 j. i. e. formam formae sy, h, i . i. e. sorua ab ultima parte contiguum esse. Si formae Ip. p improprie a uiui valentes sunt: sorma prol rie aequivalebit se ae cui opposita est Φ. Inveniri poterit itaque transformatio 1γrolaria formac* in formam cui Id est opposita: quac si supiUnitur fieri por substitutionem a. 6. I, δ. facile perspicitur. 3 improprie transformari in ipsum sit l, et substitu
Hinc etiam perspicuum est. Si formae xv. ρ tum Proprie tum improprie aequivalentes sint. inveniri posse duas transformationes. Iaroyriam et imProprium. M. Quaeritur transformatio impropria serni l29. 92. 65ὶ in formam 4 2. bs. Si , quum illi improprio aequivalere in art. Praec. invenimus. Investiaganda orit itaque Primo transformatio propria formae si 29. 92. 65ὶ in formam 42. - 59. 8 l . Ad hunc finem evolvitur progressio sormarum haec: si 29. 92. 65 , 65, - 27, 10 . 10. 7. - δὶ, 3. 8. 5 . 5, 22. Si Sl. 5s, 42ὶ, 42, -bs, Si . Hinc deducitur transformatio propria - 17. 56. 73. -87. Per quam l29. 92.65ὶ transit in 42. -59. 81ὶ; quare per impropriam - 47, -56, 73. ST transibit in 42. 59. Si .
Si transsormatio una sermue alicuius p. b. d ... p in aequivalentem habetur: ex hac omnes transformationes similes formae * in xv deduci poterunt. si modo omnes Solutione, aequationis indetorminatae et- Duu mm iussignari