장음표시 사용
191쪽
itossunt. dcsignanto D do torminantem formarum qin. m divisorem communem maximum numerorum G, 2b. e art. 162 . Hoc igitur problema. quod pro valore negativo ipsius D iam supra Solvimus. nunc Iaro Positivo aggrediemur. Qui uvero manifesto qui ris valor ipsius t nequationi satisfacisens otium num mutato signo Katisfacit. similliserquo qui is valor ipsius u: sussiciot si omnes valores positiros ipsorum t. v assignare possimus. sungeturque quaelibet solutio per vuloros positivos. quatuor solutionum 14Ce. Hoc negotium ita absolvemus. ut valores minimos ipsorum t. v practor hos per se obvios t - m. ιι- 0 inu uiro . tum
Sol. Acci prutiir ad lubitum forma reducta a. b. dotprminantis D. ubi divisor communis maximus num rorum a. 2 b. a' sit m, qualem duri vel inde munis os tum est, quod forma reductu formae M. N. P) a quivalens inveniri Potest . quae Per uri. 36l huc proprietate erit Pruod ita: sod ad propositum pra sens quaevis seruia reducta in qua conditio huco locum habot lviterit adhiberi. Evolvatur periodus sormae L quam ex n formis constum supponemuR. Ilotontis omnibus signis quibus in liri. l, S usi sumus. V erit Φa'. b . - a ' quia npar, et tu hunc formam trausibit y l,er substitution in Proprium α'. 6'. 7'. D.
Quia vero f et f' sunt identione: f transibit in 1' etiam per substitutioncm
proprium 1, 0. 0. 1. Ex liis duabus transformationibus similibus sorinus f iti 1' per art. 162 d duci Poterit solutio nequationis it - Duu mm in intcyris . scilicet i aeqv. l, uri. l6η. ac tu. l 9) j. Designentur hi valores ivisitivo accepti Si forte nondum sunt per I ., II, eruntque hii T. V valores
minimi ipsorum t. u. praeter hos t m. v 0 a quibus necesSurio erunt diversi. quia manifesto γ' non poterit osse 0 . Supponamus enim duri adhuc minores Valores ipsorum c u puta l. ii qui sint positivi et u nou 0. Tum per uri. 162 soritia 1 per substitutioncm pr
192쪽
identicam. Iam ex urt l93. II Requitur, aut t - bu aut -it - buin alicui numerorum s. α . Q otc. aequalem esse debere. Puta quia enim it in DuuH-mm in bbuu-Haa'itu ε mm . erit it bbitu. udeoque t - bu Positivus: hinc fractio quae respondet seactioni in nrt. 193, ii sem signum habebit ut a vel a): utque in casu priori a u. - au. ιγ t- bu), in I Steriori easdem quantitates mutatis signis. r SP. - γ', δ' . Sed quum sit uς Ui. e. v et 0: erit α γ' 0; quocirca quum Progressio I. I. I Cin continuo cresCat. ne essario la iacebit inter o et u cxcl. Forma Voro respondens, identica erit cum serma f. Q. E. A. . quum Ouinos sorinae L. f. etc. usque ad diverrano esse supponuntur. Ex his colligitur, minimos valores ipsorum t. v exceptis valoribus m. 0 esse T, Vm. Si D - 79. m-l: adhiberi poterit sorma 3. 8, - 5 . pro qua η - 6. atque α' - - 8. γ' - - 27, δ' - - i52 art. 188j. Hinc Τ- 80. V 9, qui
Tum hae tum illae formulae porquam commodae evadunt. Propter τ' - α' - 6 . ita ut si his uteris. solum progressionem 6'. 6 . 6 ... 6': si illis uti mavis. solam hanc δ . M otc. supputavisse sussiciat. Ρra terea DX Rrt. 189, 3sacile deducitur. quum n nocessario sit par. α' et 6' eadem signa hahore: 4 neque minus δ' et , r . ita ut in formula priori pro T dii rentia absoluta. in posteriori gumma absoluta accipi debeat. neque adeo ad signa reSpi Cere Omnino opus sit. Receptis signis in art. 1 Ss, .l adhibitis erit ex sormula priori Tm msE. U. k ....is V. F. C. . . . P J. E. R E .... Ρ'
193쪽
Ceterum plura artificia adhuc dantur. Per quae calculus contrulli potest. Sed de his sustus hic loqui brevitas non permittit 200. Ut ex valoribus millimis ipsorum t. v omnes obtinctamus. aequationem PT DUI - mm ita exhibemus undo etiam erit
'ὶ In his solis quatuor expresin, ionibus et in aeqv. sit e denotat suom n om pote si et in reliquia literae apies miseri pine semper i direm dusignant.
194쪽
lam quoniam per hyp. forma uti tua datur. II, N. P . determinantis D. in qua M. 2 X. P per m sunt divisibiles: lia iubitur
eritque adeo munifesto 4TT Per m m divisibilis. IIinc orit num rus in togeret quidem positivus. Quia vero t' - m. t' T. v ndeoque integri: omnes t . etc. u' etc. otium integri omini. Porro Iaerspicuum est . quium m. omnes t'. t . t . Dic. positivos ot continuo in infinitum crescontes
III. Supponamus. dari adhuc nitos valores positivos it forum t. v qui in progressione i , t etc. Q, u'. u' etc. non contenti sint. Puta T. ll. Mani&ntum PSt. quum ProgresSio ut ti' etc. R 0 in infinitum crescat. ll noeossario intercluOR torminos proximos. v et u ' situm soro . ita ut sit et utit absurditatem huius suppositionis demonstremus. ObNervamusi' A quationi it - Dv v mm satisfactum iri otium potionii t Tt I llu . v - ut Tu
195쪽
1Ιoc quidem nullo negotio per substitutionem confirmatur: quod vero hi vitiores quos manemus brevitutis gratia se et, υ, SumIMr sunt numeri ita ostendimus. Si II. N. P ost sorina dotorminantis D, atque m divisor communis numerorum M. 2N P: erit tum u tum t 'H-pere ni divisibilis ade uiue etiam uit -- Vu -υ' TH- ΝΠ sive ut' - Tu . iauaro u erit integer ut proin etiam
sive uu - ti v . contra hyp. ex qua u u'. Quum igitur Praeter valorem 0, minimus valor ipsius u sit V erit u certe non minor quam U. a' Facile ex valoribus ipsorum t'. t ' V . u'. u confirmari potest. Essem - Φ- t tu . Quare ut - Tu' corto non erit minor quam ει t t Q. 4' Iam cx aequatione TT - Duu - mm habetur et similitorundo lacilo deducitur esseu 'op. Uinc vero et ex conclusione in a' sequitur
196쪽
quam pars prima quantitatis Secundase, nec non illius Secunda minor quam secunda huius. Quamobrem suppositio consistere nequit et PrWression s t'. t i' etc. . u. ti etc. Omnes valores Positivos ipsorum t. v exhibebunt. I ro D - 6l, m - 2 valores minimos positivos i Iisorum t. v invenimus 1523. 195: quare omnes valores positivi exit ibobuntur per haes sormulas
Invenitur autemt' - 2. t - 1523, t - 1523 t -t'-2319527. t - 1523t -t'-35326 18098 etc. M'-0. u' l95. H-l523u'-u'-296985, u - 1523w-u' 452307960 etc. 20 l. Circa problema in arti. Praec . tractutum Sequentes Observationeη adhuc adiicimuη.1ὶ Quum aequationem it - Duu - mm pro omnibus casibus Solvere docuerimus, ubi m est divisor communis maximus trium numerorum 31, 2 V, P. talium ut A N-MP- D: operas protium est omnes numeros qui tales cliviS res ESSE IUssunt Sive omnes valores ipsius m pro valore dato ipsius D a signum.
Ponatur D se nin D'. ita ut D u factoribus quadrati eis omnino sit liber, quod obtinetur si pro nn uissumitur maximum quadratum ipκum D uiotiens: sin vero D tum per se nullum factorum quadraticum implicaret, fiori doberet n - 1. Tum dico Primo. si II fuerit formae 4k-se l. quemvis divisorem ipsius 2n lare vu-lorem ipsius m. Et vico vorsa. Si enim ρ est divisor ipsius 2 n. habobitur formas. n. cuius d terminans eSt D. et in tiua manifesto divisor communis
Εου- Dumerum integrum . Si vero . vice Versa, s supponitur esse valor ipsius m. scilicet divisor communis maximus numerorum II, 2 P. atque N V-MP-D: manifesto 4 D sive 4nn Π divisibilis erit per sy. Hinc vero Requitur. 2n nucesinrio per g divisibilem esse. Si enim s ipsum 2 n non metiretur. 9 et 2 nliaberent divisorem commvnsem minimum minor m quam s. quo Posito -δ. ut-
197쪽
que 2n - δn', y Drct n n Π twr sy' divisibilis. n' ad y adeoque otiamnis' ad y primus ot proin otiam Ly por divisibilis. contru hyp. secundum quam Π uti omni sectore quadratico est liberatus. Securido. si V suorit sermae 4k- - 2 vol 4 kH-3. quemvis divisorem ipsiusn lare valorem ipsius m. ot vico versa quemvis valorem ipsius m metiri iti sum n. Si enim g est divisor ipsius n. hubcbitur forma sy, 0,- cuius detorminans se D. ot ubi manifesto numerorum ν. 0, divisor communis maximus erit s. Si vero st supponitur esse Vulor ipsius m. puta dirisor communis maximus numerorum M. 2N, P, atque NN-MP D: eodem modo ut supras metietur ipsum 2 n. sive V orit integer. Si quotiens hic Pssct impar: qiiu- almod. 4 .
sty Vs ys. yy yy gy mod. 4 , Q. E. A.. quia omne quadratum uut Cisrue aut unitati secundum ni Miu-lum 4 congruum esse debot. Quare quotiens 7 necessario erit par. adeoque γinteger, sive st divisor ipsius n. Patet itaque. i sempor esse vulorum i Psius m. sive aequationem it - Duv lpro quovis vuloro Positivo non quadrato ipsius D Iγer praecedentiu resolubilcm esse: 2 tunc tantummodo esse vulorem ipsius m. si D suerit aut formae 4k. aut sormuo 4 k '- l . 2ὶ Si m est maior quam 2. attamen numerus idoneus. solutio aequatiotiis it - Duu nim reduci potest in solutionem similis nequationis. ubi m est aut I aut 2. Scilicet posito ut ante D m. nn V. si m ipsum n metitur, metieturm m ipsum D. Tum si valores minimi ipsorum p, g in aequatione PF - - lsupponuntur esse p - P, q Q. valores minimi ipsorum t. v in asequatiorisit - Duu .m mm erunt i - mP. u Q. Si vero m iΡΝum n non metitur. metietur Saltem ipsum 2n eritque certo par; nutem integer. Et si tunc va
lores minimi ipsorum p. g in aequatione sp - g qq - 4 inventi sunt p - P.
q G: valoros minimi ipsorum t. v in aequutione it - Duυ - mm frunit - ῆ P. u Q. In utroque autem casu non solum ex valoribus minimis ipsorum p. st valores minimi ipsorum t. ti, sed ex omnibus valoribus illorum omnes valores horum Iter hanc methodum manifesto deduci poterunt. 3 Dosignantibus t'. u': t'. u : t . u etc. omnes valores positivos ipfiorii in
198쪽
t. ti in aequatione it - Duu mm ut in nrt. pracc.) si contingit ut Valoros quidam ex scite illa. valoribus primis in eadem secundum modulum quemcunque datum r. congrui sint, puta te t sive m , sive -0 mini. H; simulque valores Proxime sequentes vulOribus Secundis, puta
IIoe tacito inde deducitur. quod utraque scitos t', t etc., v. u' etc. Est e recurrentium genere, scilicet quoniam
199쪽
DETERMINANTES PONTIVI NONNUADRATI.
vero una aut altera illarum conditionum locum non habet. dico certe statui possep - 2λ. Xam ex ru quat. ill formulisque generalibus pro t'. u' in art. Praec. deducitur
Tandem reperitur et quoniam 2t' per m dirisibilis ost. per r: crit u mod . . Q. E. D.
Ceterum usus posteriorum duarum observationum in sequentibus apparebit. 202. Custis Particularis probi malis, nompe solvere sequationem it - Duu l.
tum n geometriri Seculi praecedontis suit notatus. Sugacissimus herinatius Problema hoc unalysiis Anglis prolvisuit. Wallisiusque Hrounkerum tamquam invcntorem Solutionis. quam in Aty. Cap. 98. O . T. 11 418 sqq. tradit, nominat; oganum Formatium; deniquo ill . Eulor. qui de illo mit in Comm. Pere. VI p. l7 b. Comm. nov. XI p. 28 j. Alyebra P. II p. 226. use. An. I I1. 310. Pellium. unde
200쪽
problema illud a quibusdam uuctoribus Pellianum vocutum est. Omnes hae solutiones. Si essentiam spectus, Conveniunt cum ea quam obtinemus, si in uri. l 98 formam reductam cum udoptamus in qua a l; attam II olierati Oilem quam Praescribunt tandem nocessurio I iri, sive problema semper revera solubiis osso, nemo ante ili. I .a Grange rigoros r j domonstravit. Mescives de la Me. de Titi in T. 1 p. 19, ct concinnius Hist. de ΓAc. de Derlin. IT GT. p. 23 T. Ex Nint haec di squisitio otiam in supplementis ad Euteri Alyebram iam saepius laudatis. Ceterum methodus nostra lex principiis omnino divorsis Petita. ne lue ad CuzNum m I. rostricta' plerumque plures vias ad solutionem perveniendi suptiae litat, quoniam in art. 19S a quavis ulla seruiu reductu ha, b, - a) profici Sci Possumus. 203. PROBLEMA. Si formae e . simi aequiralentes, omnes transformiationes alterius in alteram Glibere. l. Quando sermus hae uul O tantum modo nequivalentes sunt ii. e. utitPri prie tantum aut improprie tantum quaeratur Iurr Rrt. 196 trans rinutio unusormae v in Q. quae sit α. U, I, 8. I3atetque utinas quam quue huic sint similes. dari non posse. Quando vero P. qin tum Proprie tum in Proprie u qui VHEnt, qua rantur duae transformation es disSimiles. i. e. ultera Propria altera impropria, Iluta α, 6. I, 8 et α'. r, I P, eritque quaevis alia transformatio aut huic aut illi similis. Si itaque forma φ ost is, b, . ipsius determinutas D, divisor communis maximus numerorum a. e uti semper in praec.) m. utque t. v indesinito omnes numeri aequationi it - Duu mm satisfacientes: in casu Priori omnes tran formationcs sermae * in Q contentae crunt sub prima Drmularum sequentium 1, in posteriori vel sub prima I vel sub Secunda II. - cit --
uuae Wallistus ad hune sinom protulit l. e. p. 427. ι h nihil ponderis habent. in eo conatistat. quod p. 42 l. l. supponit. proposita quantitata p inveniri pos e numeros integro . . et talos ut . mi' nor sit quam ν, desectus vero asstimato minor. Hoe utique vorum est, quando desectus imi atua erit quia nsque vero, quando ab a et a pendet a leoque ustriatalia est, uti in ea u prassanti evenit.