장음표시 사용
201쪽
DETERMINANTES POSITIVI NON-QUADRATI.
M. Desiderantur omnes transformationes formas 129. 92. 65ὶ in formam 42, 59. Si). II ars improprio tantum aequivalentes osso in art. 195 invenimus et inart. seq. transformationem impropriam illius in hanc eruimus - 47, -56, 73. 87. Quamobrom Omnes transformationes formae l29. 92, 65 in 42. 59, St) exlii bebuntur per sormulam
ubi t. v sunt indefinite omnes numeri aequationi it - 79 uti l satisfacientes: hi vero exhibentur I er sormulaN
ubi pro e omnos numeri integri non negatiri sunt accipiendi. 204. Perspicuum est. Drmulam generalem OmnΘs transformationes exhibentem eo simpliciorem evadere, quo simplicior fuerit transformatio initialis ex qua sormula est deducta. Iam quum arbitrarium sit, a qua transformati Ono proficisc mur. SREI enumero formulu generulis Simplicior reddi Potest. si ex formula primo inventa trunsformatio simplicior deducitur tribuendo ilisis t. v vulores determin tos. et tunc ex huc alia sermula componitur. Ita e. s. Positis in formula in ex . art. Praec. inventu. t - 80. v - - 9. Prodit tranSformatio simplicior quam ea a qua Prosecti eramus, scilicet 29. 47. -37. -60. unde deducitur formula generalis
29 t - 263 u. 47 t - 424 u. -37 t ε 337 v, -60t - 543 v. Quando itaque per Praecepta Praecedentia sermula generalis eruta est, tentari Poterit, annon. tribuendo ipsis t. M valoros determinatos in t , - ά; i t . in ti etc. transformatio obtineatur simplicior quam ca ex qua formula deducta fuit. in quo casu ex illa transformati Ono formula simplicior derivari poterit c etcrum in diiudicanda simi licitate aliquid arbitrarii remanet, quod si operae prsetium esset ad normam
fixam revocaro, nec non in progressi Ono t', u': t . C etc. limites assignaro possemus. ultra quos transformationes continuo minus simplices prodeant. ita ut ultra progredi opus non sit sed intra illos toti tamen instituisse sussiciat: attamen quum plerumque per methodos a nobis praescriptaη transserinatio simplicissima vel sta-
202쪽
ti in vel adhibitis pro t, u valoribus - u' prodire solsat, hanc disquisitione in brevitatis gratia Supprimimus.
205. PROBLEMA. Invenire omnes repraesentiationes numeri dati M per formulam datum axa - - 2bυ -- cuius determinans Pssitivus non-pmdratus - D. Sol. Prinio observamus, inveStigationem rePraesentationum per valores
ipsorum X. y inter se non Primos, luc prorsus codem modo. ut supra art. 1 Si pro formis determinautis Dogativi, ad cum casum reduci ivisse, ubi repraeserit tiones t Pr Vulo S indeterminatarum inter se Primos quaeruntur, quod igitur hic repetere superfluum laret. Ad posSibili inium repraesentationum per vularcs i insorum My inter Se primos autem requiritur. ut G sit residuum quadraticum ipsius M. et Si omnes Vul eS expressionis VD in M. II sunt V. N. . --II etc. quos ita accipere licet ut nullus sit l M), quaevis repracsontatio numeri II per sormam propositam ad aliquem horum valorum portinebit. Ante omnia itaque valores illi erui debebunt; tunc repraesentationes ad singulos ''rtinentes deinceps investigari. Reprae scutationes ad valorem N laertinentes non dabuntur.
nisi formae p. b. 6 ct II. N, ' proprie aequivalentes sunt: si vero sunt.
quaeratur transformatio reliqua Propria prioris in Posteriorem . quae sit a. b. I, δ. Tum liubebitur ropraesentatio numeri II per sormam a, b, H ad valorem N pe tineus haec: π - α. y I. Omnesque repraesentatiouos in hune valorem pertinentes exhibebuntur Iter formulam
designunte in divisorem communem maximum num rorum a , 2 b. e; et t. v indefinito omnes numeros aequationi it - I uu mm Ratisfacientes Ceterum munifestum est. soranulam lianc Mneralom eo simpliciorum CVadere. quo simplicior sit transformatio α. 6, 7. 8 ex qua deducta est; quare haud inutile erit. trans-sormationem simplicissimam formae a, b, e) in II. N. J εecundum nrt. prueC. untea Druore. et in hac formulam deducere Prorsus eodem modo repraesentationes ud valores reliquos - Ν, Λ . - ν etc. pertinentes si quas danturi Por formulas generales exhiberi Possunt. M. iau rutitur omnos repra Scutationes numeri 585 lier formulum
203쪽
DETERMINANTES POSIM NON-QUADRATI.
42aeae Quod ad repraesertintiones per Valores ipsorum X, ν intor se non primos pertinet. statim patet alias huius generis dari non posse. quam in quibus divisor communis maximus ipsorum x. y 8it 3: quum 585 Per unicum quadratum D divisibilis sit. Quando itaque omnes repracsDutationes numeri l. e. 65 per formam 42 Ea 'H-62.9- - 2 lys' invenine sunt. in quibus E ad y primus; omnes repraesentationos numeri 5S 5 per sermum 42zae4- 62Xν--2lυ, in quibus ae ad y non primus, ex illis derivabuntur ponendo am 3α -- 3ν. Valores Expressionis x'79 mod. 65ὶ sunt 12. 27. Ropraesentatio numeri scind valorem - l2 twrtinens invenitur , - 2. y -- I; quocirca omnes repri-sentationes ipsius 65 ad hunc valorem Itertinentes exhibebuntur per formidam X - 2t - 41 u. ν- - t-53 u. adeoque omnes repraesentationes ipsius 585 hine oriundae per sormulam ae sit 123 u. y- - 3t 159 u. Simili modo invenitur formula generalis omnes repraesentationes numeri 65 ad valorem in let clinentes exhibens -l99u. y - - 23tΦ21 tu; et formula omnes ropraesentationes numeri 5S5 liinc oriundas complectens X - 66 t- 59Tu.ν - - 69t 633 u. Ad valores in27 ct - 27 autem nulla repraesentatio nu- mori 65 pertinet Ut repraesentationes numeri bS5 Iaer Vesores ipsorum x. yinter se primos inveniantur, Primo valores expressionis v79 mod. 585ὶ eruere
invcnitur nullam repraesentationem pertinere; ad valorem - 157 autem pertinet repracsentatio X - δ. y l, unde deducitur formula generalis omnes reprae,entationes ad hunc valorum pertinentes exhibens ae 3t-l 14 u. y t-15Tu: similiterque invenitur reprassentatio ad Φl57 pertinens x Sa. y - - 87. et formula in qua omnos similos sunt contentae X - S3t-746u. ν- - STt ε 7Ssu. Uabsentur itaque quatuor formulac generales. sub quibus Omnes repreti eritationes numeri 18b per formam 42.t .r- G2xy - 2l yy contentae sunt
204쪽
minantis positivi non- quadrati brevitatis gratia non immoramur. quippe quas simili modo ut urit. 176, IS 2 quisque. sine negotio. proprio marte instituere poterit, statimque ad sormas determinantis positivi quadrati. quae solae adhuc
PROBLEM. Proposita fori a, b, H determinantis quadrati h h. desisnante hipsius radicem positivam. invenire formam A. B. Cὶ illi Proprie aequivalentem, in qua A iaceat inter limites 0 et 2h - 1 inel , B sit -h, C 0. Sol. I. Quonium hh - bb - ue, erit h - η:a e: -μ ε b . Sit huic rationi aequalis ratio si: δ. ita ut si ad δ sit primus, determinenturque α. I ita ut sit αδ - 67 - I. quae fieri poterunt. Per substitutionem α. 6, 7, δ transeat forma a, b, d in M'. ν, e), quae igitur illi proprie aequivalens orit. Habebitur
Quodsi itaque insuper ae intor limites o et 2 4 - 1 iam est situs. formia i , b . e omnibus conditionibus sati Siaciet. ΙΙ. Si voro a' extra limites 0 ct 24 - 1 iacet, sit A residuum minimum positivum ipsius a' secundum modulum 24, quod manifesto inter hos limites situm erit, ponaturquo A - ά - 2hk. Tum forma M. Γ, e, i. e. μ', h. 0ὶ per substitutioncm l. 0. k. 1 transibit in formam A. h. 0 quac formis a', b εὶ. a. b. H proprie nequivalens crit omitibusque conditionibus satisfaciet. Ceterum PersIλicuum est. Drmum μ. b. 6 transire in formam A. h. 0ὶ per substitutionem α H- 6k. 6. 3 H- δk. d. I x. Prol Hsita sit forma 27. 15.8j cuius dotorminans ses. Hic Λ - 3; rationibuη - 12 : 27 μ 8 : - Ι 8 in numeris minimis aequalis ost ratio 4 : -9. Positis itaquE 6- 1. δ- - ου. α - - 1, 7 - 2. forma sa. ν, c) fit - 1 3,0j.quue trunsit in sorinum b, 3. 0, per substitutionem I. 0. l. l. Haec igitur est
205쪽
sorma quaesita. transitque in eam propoSita Per substitutionem Prol riam 3. 4.
2 1 - 1 situs, formas reduetas vocabimus, quae igitur a formis reductis determinantis nintivi, vel Positiri non-quadrati. Ρmbo sunt distinguendae.. 20 π.T OREM. Duae formas reductae se, h, 0 , γ', h, 0 , non ident e proprie aequi lentes erae non po unt. . Dem. Si enim proprio nequival oro supponuntur, transeat prior in Iaosteriorem Per substitutionem P Priam α. U. δ. habebunturque quatuor aequutiones: a αα 2hαI a' fil
Hinc sequeutia problemata. quae pro doterminantibus non quadratis multo maiorem difficilitatem sacessebant, nullo negotio soliri poterunt. I. Propositis ductus formia F. F' eiusdem determinantis quadrati. inrestiactare an proprie aequivaleant. ua rantur duae formae reductae formis F. F resp. ΡrOPrie aequivalentes; quao si idonticae sunt, pmpositae P Prie nequivalentos erunt, Sin minuS. non erunt. II. Iisdem positis in restisare an improprie aequivaleant. Sit sormit alterutri PrOI visitarum e. s. sermue F opposita. G; quac si sormae F' proprie aequivalet. F et F' improprio nequivalebunt. Di Contra. 20 S. PROBLEM. Propositis duabus formis F. F' determinantis fi h pro rie aequi via lentibus: invenire transformationem propriam alterius in alteram. 26
206쪽
Sol. Formao F proprio acquivalcat forma reducta Φ. quae itaque iter hyp. tiam somno F proprio noquival obit. Quaeratur Imr art. 206 transformatio Propria somno F in xl . quae sit a. 6. T. δ; nec non transformatio propria formae F in Φ. quas sit α 6'. f. Tunc et transformabitur in F' per substituti nem proprium P. - ς, - γ', α' Et hinc F in F per substitutionem propriam αδ - 67'. 6 α' - α γ'. ro' - δα' - γ6
Operae pretium ost. aliam sermulam pro hac transformatione formae F in F' evolvero. ad quam serinam reductam Φ ipsam novisse no opus quidem sit. Ponamus formam
Quoniam rationibus h - b : a vel e : - h bὶ in numeris minimis aequalis est ratio G: δέ facito perspicitur-- ' fore inteyrum, qui sit L nec non e - - integrum lare qui Ponatur . Habebitur autem - a αα - - 2b ITH- cII adeoque 6 a αα 62ba 67--e6rr
207쪽
iauibus valoribus ipsorum α. r. α. γ' in formula modo tradita Pro transsem ttono somno F in F substitutis. transit in hanc:
eX qua A Omnino abiit. Si duas formac 'R F' improprio nequivalentes Proponuntur. Et transformatio impropria alterius in alterum quaeritur, sit forma G optu sita formae F. et transformulio propria formae G in F' hum α. 6, 7, δ. Tunc manifestum est. α U,-T. -δ sere tranSsormationem impropriam somno F in F .mnique patet. Si formae Propositae et proprie et improprie uequivalentes sint. hoc modo inveniri possu transformationes duas alterum propriam ulteram impropriam
Nihil itaquo iam superest quam ut ex una transformatione omnes reliquas similos doduc re doceamus. Hoc vero pendet a solutione aequationis indeterminatae it - hhuu - m m. designante m divisorem communem maximum numerorum a. 2b, e. Si M. b. 6 est alterutra lamarum aequivalentium. Sed haec aequatio semper duobus tantum modis solvi potest. nempe Ponendo aut i m m. v - u, aut t- -m, v - 0. Ponamus enim dari adhuc aliam solutionemi T. ιι - ita ut V non 0. Quia mm ipsum thh certo metitur, erit -- μ 1, utque tum se tum quadrata anteura. Seu nullo negotio perSPicitur . numerum 4 duorum quadratorum tutogrorum differentiam esse non POSSe, nisi quadratum minus sit 0 t. e. Useu, contra hyp Si ita- quo forma F in formam F' per substitutioncm α. 6, 7. δ timisit, alia tranSλrmatio huic similis non dabitur praeter transformation m -α. - 6. I. Quare si dum formau hut proprio tantum, aut improprio tantum aequivalent duae tantum transformationos dubuntur; ουi vero tum proprie tum imprurie, qua tuor. nempe duae propriae duaeque impropriae.
ralentes. erit aά - mm mod. 2m h). designante in divisorem communem maximum numerorum a. 2 h. ret a'. 2h: et vice versa. si a. 2h; Κ, 24 eundem divisorem 26
208쪽
sum m. qui ost divisor communis maximus ipsorii ni a. 2h; manifesto autem mmetietur etiam ipsum aαμ-2hI; quare necessario a GH-2hr erit aut - - mnut - - m. Hinc statim sequitur ex pl. mm - aa' mod. 2 m M Q. E. P. II. Si a. 2h: a , 2 h cundum divisorem commune maximum m habent. insuperque Pst aa' nim smod. 2mh . crunt integri. Facile Vero confirmatur, Drmam 9. h, 0ὶ transire in a', h. 0 per substitutionem
formae illac erunt improprie aequivalentes. Q. E. S. Hinc etiam statim diiudicari imiust. an sorma aliqua reducta data M. h. 0ὶ sibi ipsi improprio a qui valons sit. Scilicet designato divisoro communi marii monumerorum a. 2h Per m , esse debebit sa - mm tmod. 2m'
209쪽
Omnes formas reductas determinantis dati h h obtinentur, si in forma indefinita A. h. pro A omnes numeri a u usquc ad 2 h - 1 inci substituuntur. quarum itaque multitudo orit 2 h. Perspicuum ost. omnes formas determinantis h h in totidem classes distribui posse, hasque iisdem I,roprietatibus praedi--s fore quas supra sarit. 17 b. t 95ὶ tiro ci sibus sormarum doterminantis negativi. et positivi non uadrati attigimus. Ita omnes se ac determinantis 25 in decem classes distribu Iatur, quae Per formas reductaS in singulis contentas di
I ROBLEMA. Invenire omnes repraesentationes numeri dati M per formam M. tam aXX- - 2bXν--cyy determinantis h h. Solutio huius problematis ex principiis art. 168 prorsus eodem modo IHuivitest, ut supra arti. 180, i Si, 205ὶ pro formis determinantis tu tiri et i, ,sitivi non-quadrati Ostendimus; quod . quum nulli dissicultati sit obnoxium. hic re tere superfluum esset. Contra haud abs ro crit. solutioncm ex alio principio quod casui praesenti proprium cst deducere. Positis ut arti. 206. 20 Sh - b . a se e : - Λ Η- η - Ut : δnullo negotio probatur. sormam ProIiositam esse productum ex saetoribus Pr- et Ρ-yy. Unde mani stum ost. quamvis repraesentabonem numeri II Performam proIMAitam laraubore rosolutioncm numeri II in binos saetores. Si itaque omnes divisores numeri M sunt d, d . d' etc. inclusis etiam l. ot M. et singulis bis sumtis puta tum positive tum negati ve). patet omnes relam Sentati nos numeri u obtineri. si successive Ponatur
VMOTUS ipsorum X. y hinc evolvuntur . eaeque repraesentationes seiiciantur ubi ae
210쪽
nut ιν viiloros fractos obtinent. Manifesto vero ex duabus prirnis uoquationibus Sequitur 6M-yda dquos valores somlier determinatos fore inde manisostum quod Gy-δy-2 h. ad CDque numerator certo non 0. Cotorum ex eodem principio. Puta resolubilitato cuiusvis sorinuo determinantis quadrati in binos saetores, otiam roliqua Problemata solvi ivituissent: sod methodo ei quam supra pro formis detorminantis non-quadrati tradidimus analoga otiam hic uti maluimus. E P. QURPruntur omnes repra sentationes numori 12 per formam - Tyy. Haec resolvitur in sectoros ae et Omnes divisores numori let fiunt in I, 2 3. 4. 6.12. Positis ae-y i , 3 ae in Ty - 12 fit .ς tr. y qui Vatorcs tamquum Dacti sunt reiiciendi. Eodom modo ox clivi foribus - l. 3. - 4. - 6. l 2 valores inutiles obtincntur: ex dirisore ε 2 vero Obtiuontur valores ae 2. y - 0. et ex divisore - 2 hi .r- - 2, y u; Pruotor has duas repraesentationes igitur aliae non dantur. Mettiodus haec adhiberi nequit. si II 0. In hoc casu manifestum ost amnes Uniores iPSOrum a. y aut aequationi δω-sy: 0. aut huic j -yy uxatissacoro debere. Omnes autem solutiones acquutionis l)rioris continentur in formula F - δ r. designante a indefinitu numerum intcgrum quum un-
quo siquidem uti sutiponitur 6. δ inter se primi suntὶ; similiterque ponendo di-Pisorem communem maximum niunerorum in m. Omnos Solutiones RPquati
mutue generuloti Omnes repraesentationes numeri II in hoc casu complectuntur.
In praecudentibus Omniu quae ud cognoscundani a qui valentiam Et nil inveniendus omnes trunssoruintiones formarum nec non ad repra Sentationes omnES numerorum datorum iter forma8 datas indagandas pertinent. ita sunt explicuta. ut nihil amplius desiderari posse rideatur. Superest itaque tantummodo. ut PrOPU- Sitis duabus formis quae propter determinantium inaequalitatem aequivalentos D Uuoqueunt. diiudicum doceamus. an non ultera sub altera contenta sit. et in hoc CuNu Omnes trana armationes illius in hanc iuvenire.