Werke Carl Friedrich Gauss 1

221쪽

SOLUTIO AEQUATIONEM INDETERMmATARUM.

ita ut multitudo omnium sormularum nunc quater maior sit quam antea. t Di uvero non nmplius omnes numeros acquationi it - bb - ad uti mm satissa- Cientcs EXPrimant. Led positivos tantum. Quaevis harum formurum itaquo seorsim considerari. et qui valores ipsorum t, u Praebeant valores integros ipsorum x, y.

investigari debebit.

Ex formula 'it -- Tuὶ q - . . . . t Jsequuntur valores ipsorum X. y lii:

Nupra vero Ostendimus. omnes valores positivo' iImorum i constituero progre8Sionem recurrentem tt i , t etc., similiter Valoros respondentes ipsius u quoque seriem recurrentem sermare ut v etc.; praeterea assignari I Osso numerum ptalom. ut secundum modulum quo incunque datum fiat ιρ' t ιρ' etc.. uρ uv. ut ' u' etc.

Pro hoc modulo accipiemus numerum mJ b - ad . designabimusque brevitatis gratia Vulores ipsorum ae . y qui prodeunt Ponendo i - t'. v - M'. et quibus tribuemus iudicem u. Ρer sq: similiterque eos qui prodeunt iaciendo i in t umu', Per x', y' qui binR tribuemus indicem 1. etc. Tunc nullo negotio m rsPicietur, si a V P suerint numeri intomi at lue ρ rite determinatus. etiamyh hi : nec non et generaliter ΣΦ' - ρ. yδ' - intcgros fore: et contra si vel P sit fractus. otiam vel Dactum sore. Hinc Helle concluditur. si valores ipsorum X, y, quibuK indice, 0, 1. 2....p-l COm-lγetunt. eVolvnntur. Et Pro nullo horum indicum tum M tum y intcger sit, nullum omnino iudicem dari. pro quo tum a. tum y valores integros recipiant, in quo

casu ex formula ili nulli valores integri ipsorum X, y deduci l Oterunt. Si vero inter illos indices aliqui sunt. puta μ. K. μ' etc. quibus valores integri ipsoruma. y resPondoni. Omnes valores integri ipsorum X. y. qui quidem ex formula filobtineri possunt. ii erunt. quorum indices sub aliqua sormularum μ-kρ. μ'--s p. 28

222쪽

μ -kρ etc. sunt contonii, denotante k indefinite omnes numeros intcgros p sitivos . inclusa etiam cilia. Formulae reliquae sub quibus valores ipsorum p. g contenti sunt. Prorsus eodem modo sunt tractandae. Si contingeret, ut ex nulla omnium harum sor- multarum valores integri ipsorum X, y obtineantur, aequatio proposita in integris nullo prorsus modo solvi posset; quoties vero revera est AOlubilis, Omnes soluti nos in integris 13er praecepta in Praeco. tradita Exhiberi IR3torunt. 218. Quando bb - ac est numerus quadrutus atque M - s. Omnos valores ip- .sorum P, g comprehensi erunt sub duabus huiusmodi formulis p - Rr. q - Ee: p --q- Era, ubi a indefinito e signat quomvis numerum integrum, A. E. 's'. E' vero sunt integri dati. quorum primus cum secundo, tertius cum quarto dirisorem communem non habsent sart. 2 2ὶ. Omnes itaque valores integri ipsorum X. y EX formula Prima oriundi contenti erunt sub formula fi J

omnosque reliqui ex formula secunda oriundi sub hac fal

Sed quoniam utraque formula etiam valoros fractos praebere potest nisi M - ae l), opus est ut eos valores ipsius a. qui tum ipsum X tum iPsum y integrum reddunt. a reliquis in utraque formula separemus; attamen sussicit Priamam Solam Considerare, quum Pro altera prorsus cadem methodus adhibenda sit. Quoniam R. E inter se primi sunt, duos numeros a. b ita detorminare licebit, ut fiat a RH-ba' 1. Quo facto habetur a XH-byὶ bb - ad se a-Ha ed - bHH-b ae - bd unde statim patet, omnes ustiores ipsius a qui Valores integros ipsorum X, y Pr ducem P sint, necessario numero a be - cf-Fb bd - ad soc. mOd. bb - ac congruos . sive sub formula ibb-aHY-Ha be-ed H-b bd- ad contentos esse debere, designante a indefinito numerum integrum. Hinc tacito loco formula iij obtinomus sequentem

223쪽

quam aut pro omnibus valoribus ipsius a' aut i m nullo valores intomos ipsorum x. y Praebere manifestum est. et quidem casus prior semper locum habebit. quando S bd aeὶ et B be ed) sec. mod. bb - ac sunt congrui. 'γ8terior quando Sunt incongrui. I'rorsus eodem modo tractanda erit formula f2J. solutionesque in integris si quas praebere potest a reliquis sol arandae.

quantur.

Quoniam αXH-6y-a, necessario Pro a numeri inteyri tantum accipi POSSunt; praeterea vero manifestum est, si aliquis valor ipsius e tum ipsum aettim ipsum y integrum reddat, omnes valores ipsius a illi secundum modulum 2αe- 26d congruos itidem valores intonos producere. Quodsi itaque Pro eomnes numeri integri a s usque ad 2αe-26d--l quando αe - 6d est Imsitivus aut ad 2 Ud-2αe- 1 quando ae-6d est nogativus incl. Substituuntiu . Et pro nullo horum valorum tum ae tum y integri fiunt. nullus omnino valor ipsius a valores integros ipsorum x. y Ρ ducet. nequatioque proivisita in integris nullo modo poterit resolvi; si vero quidam ex illis valoribun ipsius a ipsis x. y valores integros conciliant, puta hi ζ. z. otc. quos etiam per solutionem congruentiarum secundi gradus ex principiis seci. I invenire licet j; omnes fiolutiones procli

224쪽

DE FORMIS SECUNDI GRADU .

n indefinite omnes numorOS integros. 220. Pro eo quem exclusimus casu, ubi αe - 6 d. methodum laeculi seni inda-gure Oportet. 3 SuPPonamus. α. 6 inter Se Primos esse, quod licere ex art. 215. I

225쪽

ANNOTATIONES IIISTORICAE.

tt- Iduu satisfacientes, quos complectitur formula:

si n indefinite omnes numeros integros positivos inclusa etiam cismi designat. ruamobrem omnes valores ipsorum X. y contenti crunt sub formulis his:

Praeceptis nutem nostris rite applicatis, reperietur, ut valores inteyri prodeunt. in formula Prima et secunda eos valores ipsorum t. v accipi deberct, qui proveniant ex indice n pari: in tertia quartaque vero eos. qui ex impari n Obtineantur. Solutioncs simplicissimae habetitur hae: X l. - l, - l; y - - 2. ii. t 2 reSP. Ceterum Observare convenit. solutionem problematis in urit. Praece. EXplicati plerum lue iter multifaria artificia abbreviari posse. Praesertim quantum ad exclusionem solutionum inutilium i. e. fractiones implicantium pertinet: sed haecno nimis longi fiamus hoc loco praeteriro coacti sumus.

222.

Quoniam complura ex iis quae hucusquo I Rrtractavimus etiam ab ullis quin metris considerata sunt. horum merita silentio praetori re non Possumus. De fur maris aequivalentia disquisitiones generules instituit id. La xrango. Nouv. Mem. de tAe. de Bersin. 17 73 p. 263 et 1775 1 3 23 sqq. ubi imprimis docuit, pro qu vis determinante dato multitudinem finitam formarum dari ita comparatarum. ut quac vis forma illius determinantis alicui ex ipsis aequivalens sit. adeo luct omnes formas detorminantis dati in classes distribui posse. Postea clar. Le taendre plures proprietates elegantes huius classificationis red maximam Partem per inductionem detexit. quas infra trademus domonstrationibusque muniemus. Ceterum distin tionem uequivalentiae propriae et impropriae . cuius usus maximo in disquisitionibus subtilioribus conspicuus eSt. nemo hucusque attigerat. Problema famosum in art. 216 sqq. explicatum ill . La iratam Primus Om-

226쪽

plete resolvit, Ηist. de ζAe. de Berlin. 4767 p. 165 et I 768 p. 81 sqq. Exstat solutio sed minus complotaὶ etiam in Suppl. ad Euleri Alyebram iam saepius laudatis. Iam antea ill . Eulor idem argum ntum aggressus suerat. Comm. Petr. 1 VI p. 175; Comm. Nov. T. IX p. 3; Ibid. T. XVIII p. lS 5 sqq. . sed investigationem suam eo semper restrinXit, ut Ex aliqua Solutione, quam iam cognitam ESSE 8uP- Ponit . aliae deriventur: praeterstuque ipsius methodi in paucis tantummodo casiabus omnes 8olutioncs suppeditaro valent frid. Iba ἰrange Hist. de rae. de Berlini 767. p. 237 . Quum ultima harum trium commonit. recentioris dati sit quam solutio La Grangiana, quae problema omni generalitate amplectitur nihilque hoc respectu desidorandum relinquit: Eulor tunc tomi viris Tomus XVIII Commontariorum pertinet ad annum l773, et a. 1774 est publicatusὶ illam solutionem nondum novisse videtur. Ceterum solutio nostra Perinde ut omnia reliqua quae in hac sectionc hactenus tradidimus . principiis omnino diversis est superstructa. uuao ab aliis. Diol hanto. Formatio etc. huc Portinentia sunt tradita. casus

minimo speciales Sty tant; quam quum eorum quae praesertim memoratu digna visa sunt. iam supra mentio facta sit. Sigillatim omnia onarrare super edemus.

Quae hactonus de formis secundi gradus exivisuimus, Pro Primis tantum clementis huius doctrinae sunt habenda: innixius hanc disqui sitioncm persequontibus campus Se nperuit nobis vaStissimus, ex quo ea quae attontione imprimis digna videntur, in sequentibus eXcerpemus. Namque argumentum hoc tam sertito ost. ut permulta alia. quas iam nunc invenire nobis contigit. brovitatis gratia silentio praeterire oporteat: mulis vero plura sine dubio adhuc latent novosque conatus exspectant. Ceterum in limine harum investigationum statini adnotarei onvenit. formas determinantis 0 inde exclusas es e. nisi contrarium moneatur. DIAQUISITIONES ULTERIORES DE FORMIS.

formarum eiat minantia dati in

Iam supra larit. l75, 195. 21lὶ Ostendimus, proposito numero quocunque integro D sive positivo sive ninatius assignari Posso multitudinem finitam sor- murum H F . F etc. detorminantis D, ita comparularum. ut quaevis forma de-

227쪽

terminantis D proprio nequivaletis sit alicui ex illis et quidem unicao tantum. Omnes igitur formae determinantis D quarum multitudo est infinita secundum illas formas classi mari laoterunt. formando scilicet e complexu omnium formarum formae F proprio aequivaleutium classem primam; e formis quae formae F Ρr

prie nequivalent. A Cundam EtC.

Ex gingulis classibus formarum de torminantis dati D, sorma aliqua eligi et tamquam Ioma repraesentans totius classis considerari poterit. Per se quidem prorsus arbitrurium est, quacriam serma ex quaque classe accipiatur. attamen ea Semper Praeserenda erit, quae reliquas simplicitate superare videtur. Simplicitas formae alicuius M. b. 6 manifesto ex magnitudine numerorum a. b, e aestimanda est. meritoque sortita μ', b .eὶ minus simplex dicetur quum se, b, d si a a, E e. Sed hinc res nondum determinatur Penitus, αrbitrioque noStro relinquitur e. s. . utram ex formis 17. 0. - 45 . 5. 0, - 153ὶ pro simpliciori h hero malimus. Plerumque tamen e re orit, Mequentem normam Obsorvare: 1. Quando determinans D est negativus, adoptentur formae reductae in Singulis classibus contentae tamquam formae repraesentantes; ubi Vero in eadem l se duae formae reductae rei, oriuntur iuue erunt Opivisitae. art. l7 2 . reciPi tur ea, Cuius terminus medius positivus. II. Quando detorminans D est poxiti ius non-quadratus. Evolvatur Iaeri dias formae alicuius reductuo in classe pri posita contentae, in qua aut duae sormae ancipitos invenientur aut nulla sart. lS7J.

dua minima numerorum L. A secundum modulos A. a resp. V M' quae

His ita lactis, ex formis A, M. -NJ. in M'. - ea quae simplicissima videtur. Pro forma repraesentante accipiatur. In hoc iudicio forma cuius terminus mediu8 -0, Praeseratur; quando vero torminus modius aut in utraque aut in neutra est 0. ea quae terminum primum minorem habet . altori praehabenda. et quando termini primi magnitudine sunt nequales signis diversi. Si iam ne ibuum Positivo PoStponendum. 2ὶ Quando vero nulla sorma aucepκ in tota I erio lo habetur, eligatur EX omnibus periodi sormis ea quae torminum primum sine res indictu signi minimum

228쪽

habot. ita quid m. ut si duae formae in eadem periodo occurrant, in quarum ultera idem torminus primus signo linsitivo affectus sit in altoro negativo. postprior priori postponatur. Sit haec forma A, B, C, deducaturque ex ipsa oodem modo ut in casu pracc. forma alia A. M. - Puta, accipiendo pro M residuum n soluto minimum ipsius B secundum mod. A. et faciendo Ν --οῦ ha

domum Pro rePrn sentante adolatetur. Quodsi vero eveniret, ut idom terminus primus minimus A pluribus Iaeriodi formis communis sit, Omnos hac formae eo quo Praescripsimus modo tractandae et ex formis Prodeuntibus Da cuius torminus medius quam minimus evadit tamquam forma repracsentans n88um Iada Prit.

l'or hanc itaque clamificationem sermue quae I Froprie nequivalentes suut . ureliquis omnino sexr gabuntur. Duae formae eius Ioni doterminantis D, si exendum classe sunt. Proprio nequivalentes erunt: quivis numeruS Por unam repraesentabilis otium t er estorum rei mosentari poterit: et si numerus quicunque Myer formam priorem ita repraPsentari lκνtest . ut indDterminnino valoreAin torrue

229쪽

primos lia ant . idem numerus Por nitormn formam codem modo r Praesentari Poterit, et quidem ita. ut utraque repraesentatio ad eundem vulorem expressionis VD mod. IIJ pertineat. Si vero duae formae ad classes divorsas lκ rtinent. Pr prio nequivalentos non erunt; a repracsciitabilitato numeri nlicuius dati saer unam nil repraesentabilitatem eiusdem numeri per ultorum concludi nequit; contra. si numerus M Per ultorum repracsonuiri poti si ita ut valoros indutorminatarum inter se Primi sint. Aintim corti sumus . nullam similem repracsentation in clusit mnumeri per formam niteram dari. quae ad eundem valorem expr. x D mo l. II pertineat V. arti. 167. 16S). Contra utique scri I, at st. ut formae diano F, F o classibus divorsis K. K imi=rolirie acquivalentos sint, in quo Cnsu quaeris forma DX altera classe eviris se mae ex altora improprio acqui valebit: qua vis forma ex K formam sibi oppositam habebit in K classosque ii,sno K. κ' oppositae dicentur. Ita in o xomplo primoart. Praec. classis tertia formarum dot. - 235 qunrtae . soptima Octavae opposita est; in oX. secundo classis socunda tertia . quinta sextae. Proivisitis itaque duabus formis quibuscunque o classibus oppositis. quiris num riis M qui lMr alteram rPIim 'Sontari liotest, otiana per alteram Iumterit; quod . si in altera fit turr valoros indeterminatarum intor so primos. in altera perindo fieri i)oterit. ita tam . ut has'

duae ropracsentationes nd valores OPIFositos expr. x D mOd. l ertineunt. Ceterum regulac supra truditae pro clectione formarum repra sontantium ita sunt constitutae. ut classes oppositae formas ropraesentantes Oppositas Semlwr nunci S

cantur.

Denique dantur etiam classes suri ipsis oppositae. Scilicet si forma aliqua simul cum forma optaosita in Padum classe continetur, facile perspicitur. Omnes formius huius classis tu' proprio tum improprie inter so nequivalentes esse. OPPO sit que surus Socum halaere. Hanc indolom quacuis cli xis habebit. in qua forma uncoPS continctur. et vice vorsa in quavis classe sibi ipsi H qvisita nocessario formuunccPS rel rietur sart. 163, 165 . quamobrem elassis ane ps nuncupabitur. Ita 'inter claissos sormarum detorminantis - 235 octo uncipitos habuntur, quarum re-

230쪽

min uadrato claΝΝi8 nnceps corto formam roPra sontantem ancipitom nanciscitur art l 94J; pro dotorminante negativo serina repraesoniunx classis uncipitis aut ipsa anc 'Ρ' erit, nut talis cuius termini cx torni sunt ncqitalos art. 17 2 : denique pro determinante positivo quadrato Por uri. 210 facile diiudicatur, an forma repraesentans sibi ipsi improprio nequivalens sit nclcoquo classis. quam repra sentat. nnCOPS. 225. Iam 8upra nrt. l75ὶ ostendimus, in forma a, b, H deterani nantis negativi terminON Ox tornos Ondem signa habere tum inter se tum cum torminis externis cuiusvi K utilio formao illi a qui valentis. Si a. e sunt laositi t. formam tu. b, dpositivam vo bimus . nec non totam classem in qua ', b, continetur et quae e solis formis positivis constabit, elassem positivam diremus. Contra a. b. c erit forma n Satira. Et in ei Se nediatira contenta, si a. e sunt negativi. Per formam liti siti Viim numeri noxativi. Por negativam Iiositivi repraesentari nequeunt. Si forma a. b. id est rinimosentans Hicuius classis liositivae ma - a. b. - Hr Praesontans cla8siη nogativae crit . unde sequitur. multitudinem classium Imsitivarum multitudini ne livarum uoqualem osse, et . simul ac illae suerint assigna-tne. otium lius haberi. Quocirca in disquisitionibus super formis determinantis nomiivi litoriiniquo sussicit classes positivas considerare . quippe quarum proprietates ad classes negativus facile transferuntur.

'etenim distinctio haec unico in soriniκ detorminantis nogativi locum habet: I, ur sormas dotorminantis positiri sine discriminc numeri positivi ci ny ativi r pinos utari I Ossunt. quin adeo haud raro duae seruiae tales se, b, e . - a. b. - e)in hoc casu nd eandem classem sunt reserendae.

226.

Formam quamcunque ', primitivam vocamus. si numeri a, b. e divisorem communem non habent; alioquin dicitur derirata, et quidem, Posito numerorum a. b. e divisore communi maximo m, forma N. b, H erit deriruta e forma primiti a lE. f. Ex hac definitione statim liquet. omnes formas. quarum de torminans iu r nullum quadratum practor lin divisibilis sit. necessario primitivas esse. Porro cx nrt. 16l patet, si in aliqua classo data sermarum determinuntis D forma primitiva inveniatur. Omnes sermus huius classis larimitivas fore. in quo