장음표시 사용
231쪽
Casu classis ipsa primitii a dicetur. Porro manifestum ost. si forma aliqua F dc- torminantis I9 derivata sit ox forma primitiva f determinantis classosque in quibus formae H f ΝΡ. contineantur, sint K, k. omnos formas o classo K derivatas lare o classe Primitiva k; quocirca classom K ii subui ei classe primitira kderi ratum in hoc casu vocabimum. Si sa. b. e est sorma primitiva. neque vero a. o Simul Paros ι. e. Si nututorque impar aut saltem ultoruiorὶ . facile intelligitur, non modo a. b, c, sed otiam a. 2b. e divisorem communem hab re non POSSc. in quo casu forma se, b, Hilicitur proprie primitiva sive simpliciter forma propria. Si vero γ, b, c est forma Primitiva. numeri a , e nutum umbo Parori. Putot. numeros a. 2b, e dirisorem com ninnem 2 habere qui simul orit maximus . vocabiturque a. b. forma improprie primitira, sive simpliciter impropria j. In hoe casu b necoqsario erit impar alio luin cnim a, b, H non e ut forma primitiva): quare erit bb l mod. l coque quoniam ae Iaer 4 divisibilis. dotorminans bb - ae l in . 4 . Formno impropriae itaque tantummodo pro determinante sermae 4 n H- l. si ostpositivus. vol formae - 4n-ka . si ost nogutivius. locum haboni Ex urt. l6lnutem Iterspicuum est. si in classe nliqua data forma propriu primitiva inveniatur. omnes formas huius classis proprio Primitivas osse; contra classem qum formam improprie primitivam implicet ex Solis formis improprio primitivis cranstare. auamobrem civissis ilγsn in casu priori proprie primitira seu simpliciter propria; in lκist riori improprie primitiva seu impropria appellabitur. Ita e. s. inter classes ImSitivas formarum de torminantis - 235 Sex Sunt l,roprias, Puta qui rum rePraesentantes l. 0. 235 . 4, l. b9j. 4. - l. 59 . . b. 0. 47 . si a. b. 20 la. -5. 20 , totidemque inter nomitivus: binae vero inter utrasque impropriae. Classus formarum dot rini nautis 79 utpoto numeri formao 4n--3 omnes sunt Propriae.
Si forma a, b, 6 est derivata. ut quidem e primitiva se .. ), haec aut
proprie primitiva aut improprio osse Iviterit. In insu priori m crit divisor communis maximus etiam numerorum a. 2b, c; in Posteriori horum numerorum div. comm . in . erit 2 m. Hinc intelligitur distinctio inter Ibrinam e forma proprie primitii a deriratam ct formam eae improFrie primitiva derivatum '. nec nou quoniam Propter art. 16i Omnes sermue eiusdem claessis hoc respectu perinde se habent in
'ὶ Hoη tenvinos propria et impropria ideo hie quia alii magis idones non Meurrebant, quod Q- monemus, ne quis inter hane significationem eamque qua inde ab ari. 1b7 usi fiamus, nexum o ultum quaerat, qui nullus adest. Ceterum ambiguitas eorte hine non est metuenda.
232쪽
inter classem derivatam e clarae proprie primitira et classem eae improprie primitii aderit atam. Por has distinctiones sundamentum primum nacti sumtas, cui distributioncm Omnium classium formarum determinantis dati in varios ordines sul erstruere Po sumus. Clixisses dia . quarum repracs tantos sunt formae a. b. d. a , b . ej in eundem ordinem coniiciemus. si tum numeri a, b, c eundem dirisorum communem maximum haboni ut a , L E. tum a. 2b, e eundem ut 2ν, c; si vero aut alterutra aut utraque harum conditionum locum non habet . classes ad ordines diversos reserentur. II inc statim patet, omnes classes proprio primitivas unum ordinem constituero; omnes classes improprio primitivius, alium; si mm est quadratum determinantem D motions, cluisses derivatae o classibus proprie primitivis dote minantis sermabunt ordinem peculiarem, ultumque classes derivatae o classibus improprio primitivis dolorminantis A etc. Si sorte D Iier nullum quadru-tum ymotor lin divisibilis ost. ordines classium dori ratarum non aderunt adeoque aut vitus tantum ordo dabitur squando D - 2 vel 3 secundum mod. 4 , Puta ordo cinissium proprie primitivarum. aut duo quando D l mod. 4B scilicet O. classium Prol,rio Primitivarum et O. cl. impr. primitivarum. Per principia calculi tombinationum haud dissicile conditur regula sequons gonoratis: Si supponitur IJ - D 2 ' b φ e I ita ut D nullum suctorem quadrati cum implicet, et a, b, c etc. sint numeri primi impares divorsi ad quam formam qiuris numerus rodigi imtest faciendo 13 - 0. quando D Iwr 4 non est divisibilis; et α. 6. I etc. Omnes MD, sive quod eodem redit omittondo factores by , e I etc.. quando Di or nullum quadratum linitar dividi Imtcsq: habebuntur aut ordines uompo quando D' 2 vcl 3 mod. 4ὶ; aut ordinos
quando Π l mod. 4 . Sed demonstrationem huius regulae supprimimus, quoniam nequo dissicilis neque hic adero necessariu ost. Eae. 1. Pro D - 45 - 5. a' habentur sex classos, quarum rePraeSCntunt R i. 0. - 45 . - l. 0. 45 , 2, i, - 22ὶ, - 2 3, 22 a. 0. - lo). 6. δ. - 6ὶ. Hac distribuuntur in quatuor ordines. scilicet O. I comprehendet durus classes Pr Prim quarum ruPr. l. v. - 45 . - l, 0. 45j: o. II continobit duas classos im-
233쪽
ν Prias. quarum re pr. 2. l. - 22 , - 2. 1, 22J; Ο. III continebit unam classem derivatam e propria determinantila b. Puta cuius repr. a. 0. - lbi; o. IV Constabit ex una citasse derivata ccx impropria dct. 5. Putn cuius mPr. 6. 3, -6 . Eur. 2. Classos positivue determinantis -99 - - 11. 3 intor quatuor ordines distribuentur: o. I complectetur classes proprie primitivas sequentes j:
derivatam ex impropria dct. - lI, 6, 3, 1S . lasses negativae huius determinantis prorsus mdem modo in ordines distribui poterunt. Observamus. classes ORFositas semper ad eundem ordinem referri. cuius the rematis ratio nullo negotio Iaerspicitur. 227. Ex his diversis ordinibus imprimis ordo classium Proprie primitivarum maximam attentionem moretur. Nam singulao classes derivatae a certis classibus primitivis Meterminantis minoris Originem trahunt, ex quarum consideratione ea quae ad illas spectant Plerumque sponte Sequuntur. Insea autem docebimus. quamlibet et som improprio primitivam simili modo quasi associatam esse nutunicae classi proprie primitivuo aut tribus eiusdem determinanti . Porro pro do- terminantibus negativis classes negati s praeterire licebit. quippe quibus singulis Corino classes Positivae Rumper respondent. Ut itaquo naturam classium proprie primitivarum profundius penetremus, ante omnia disserentiam certam ementialemcxlilicabimus. Secundum quam totus ordo classium propriarum in plura senem subdividi potest. Quoniam hoc ni mentum gravissimum liactonus nondum a tuimus. res ah integro nobis crit repetenda.
228. THEOREMA. Per formam quamcunque proprie primitiram F repraexenturi pos-xunt infinite multi numeri per numeram primum quem ιnque datum p non divisibiles. Dem. Si forma F a XX- - 2b ν - - 3ν. manifestum est, Omnes tres numeros a. 2b. c simul metiri non Ivissct. Iam quando a I vir p non est divisi-
Adhibendo brevitatis caussa formas repraesentantes pro classibus ipsis quamn vice funguntur.
234쪽
bilis. Patet . si pro ast assumatur numerus quicunque per ρ non divisibille. Pro y vero numerus per p divisibilis. valorona formae F fieri non divisibilem iter p: quando e Iurr ρ non est divisibilis. idem obtinetur tribuendo ipsi ae valorem divisibilem ipsique y valorem non di sibilem: denique quando tum a tum c Porp sunt dicisibiles. adeoque 2 b non divisibilis. forma valorem per P non divisibilem induet tribuendo tum ipsi ae tum ipsi y vulores quoscunque Per P noudivisibiles. Q. E. D.
Manifestum est, theorema etiam pro sormis locum hu-here. si minio non fuerit p - 2. Quoniam plures hi illismodi conditiones simul consistero possunt, ut idomnumerus Per quosdam numeros primos datos divisibilis sit. per ullos non divisibilis v. nrt. 32): sucile Porsi, icitur . numeros X, y infinito multis modis ita detorminari Im 8 se, ut sorma Primitiva az.τH- 2bay -- eyy valorem laor quotcunque numeros primos datos non divisibilom adipiscatur. a quibus unico excludendus ost 2. quoties sorma ost improprie primitiva. Hinc Iritet, theorema generalius ita pr Poni posse: Per formam piamconque primuiram repraesentari possunt in ite multi numeri. qui ad numerum qumcunque datum simparem, quando forma rat improprie primitira sint primi. 229. THEO M. Sit F forma primitim determinantis D, P numerus primus ipsum D metirex: tum numeri per p non dirisibiles qui per formum F r Pruesentaristo unt, in eo convenient, ut vel omnes sint reSidua quadratica ipsius p. rei omnes non-
Dem. Sit a. b. e : m. m' duo numeri quicunque por p non divisibiles qui per formum F repracsontari Possunt, scilicet m asty - - 2byh-Helth, m as', '. 2 by 1' - - eL h Tum erit
quare m m' quastrato congruus Orit secundum modulum D, adeoque etiam Necundum p. i. e. msi erit residuum qua iraticum ipsius p. II inc Requitur, aut utrum lue m. m' osse residuum quadraticum ipsius p. aut utrumque nou - Siduum.
235쪽
ν mili timulo probatur. quando detorminans D 1wr 4 sit divisibilis. Omnes numeros impares lier F res, mesentabiles vel osse l. vol omnes 3 niod. 4 . Scilicet productum o duobus numeris talibus in hoc casu scini or erit residuum quadr. ipsius 4, ndmque - l mod. 4ὶ; quare vel utorque erit l. vel ut se
Doniquo quando D per S est divisibilis. productum e duobus numeris quibuscunque imparibus, qui Per F repr-Sentari possunt, erit R. u. ipsius S et
Ita e. s. quum ivir formam 10, 3. 17ὶ repracsentari possit numerus Iu qui est N. Il. ipsius 7: Omnos numeri per T non divisibiles. qui por sormam illam repraesentari laossunt, non-residua ipsius 7 erunt. uum -3 Por sormam s-3. l. 49ὶ repraesentabilis Di sec. mOd. 4 sit se l. omnes numeri im- Pares Per sermum hanc ropraesentabiles perinde se habebunt. Ceterum . si ad Protiositum praesons necessarium csset, facile demonstrare P Semufi . numeros Por formam F repraes litabiles ad nullum numerum primum
qui ipsum D non metiatur, talem rotationum fixam ha aere, sed promiscue tum residua tum non-residua numeri cuiusvis primi ipsum D non metientis por so mam F repraesentari posse. Contra respoctu numerorum 4 et 8 nnul On quoddam etiam in aliis casibus locum habot. quos praeterire non IUSSumuS.I. Quarndo determinans D fomae primitiivie F est 3 mod. 4ὶ: omne numeri impares, per formam F repraesentabiles, erunt vel - 1, rei omnes in ad . Si enim m. m' sunt duo numeri per F repruersentabiles, productum mm' codem modo ut supra sub formam pp - Dqq redigi poterit. Quando it que uterquo m. m' est impar, De OSSario alter numerorum p. g I ar erit. alter im- Par adeoque niterum quadrutorum pst, qq. -0. ulterum mini. 4 . Unde lacilo deducitur. pp - Dqq certo esse l m . 4 , adeoque uiat utrumquem, m , -l, uut utrumque - 3 mod. 4 . Ita e. s. por sermana 10. 3. l7ὶ alii numeri impares quam qui sunt sermae 4 n H- 1 rei raPSO utari nequeunt. II. Quando determinans D formae primitivae F est 2 mod. Sὶ: Omnes numeri impares. per formum F rePraesentabiles. erunt rei partim I Imrtim in T. vel partim - 3 partim 5 smod. Sin. Ponamus enim m. m' esse duos num ros
236쪽
impares per F mPraesentabiles. quorum igitur liroductum vim sub formn myp- redigi poturit. Quando ergo uterque m,ns USt impar. necessario p
Omnes igitur numeri qui per formam primitivum datam F do torminantis D repracsentari possunt, relationem fixam habebunt ad singulos divisores primos ipsius D sivir quos quidem ipsi non sunt divisibile . numeri impuros vero qui Per
F lmssunt repraesentari. in quibusdam casibus otium ad numeros 4 Pt S relati nem fixam habebunt. scilicet ad 4, quotios D nut 0 aut 3 mod. 4 . et ad S, quoties D aut 0. aut 2 aut 6 mod. S, J. Talem relationem nil singillox hos numeros. eharacterem Scu characterem particuliarem formae F vocabimus Sequentique modo exprimemus: Quando sola residua luadratica numeri primi ρ Per formam F ropraesenturi liossunt. tribuemus ipsi charactorum Γρ. in casu opimSito characterem M: Similitor Scribemus i , 4. quando niti numori impares Per formam F rei raesentari nequeunt nisi qui sunt I mod. 4 . undo statim liquot quales charactorcs o Xlirimantur I er Signa 3. 4; l. S; 3.b: 5. S. 7. b. Denique sermis Iaer cluas numeri init aros talos soli repracsontari liossunt qui Koc.
'ὶ Pro determinantibus imir dixi ibi libui relatio ad mamorum 4 noxiiiii pote, . quotuam in h- u ubrelatione ad iam est eonten .
237쪽
mod. 8 sunt vel in I vel 7. tribuemus charactorem I et 7 8; ex quo significatio characterum 3 et 5, S: l et 3. S; 5 et T. S sponto Soquitur. Characteres singuli formas primitivas datas Ν, b. 6 doterminantis D semper Ox uno Saltem numerorum a. e riui ninnisesto lueor formam illam ambo sunt repraesentabiles ccgnosci possunt. Nam quoties p cst divisor primus ipsius D. Certe unus numerorum a. e per p non orit divisibilis; si enim uterque per ρ divisibilis esset. p etiam ipsum bb -D-kad metiretur. et proin otiam ipsum b, i. e. sorma M. b. 6 nou csset primitiva. Nimili modo in iis casibus. ubi forma a. b, e
ad numerum 4 vel S rotation om fixam habet. certo ad minimum unux nil merorum a. e impar erit. ex quo igitur rotatio illa deprehendi poterit. Ita e. s. chnmcter formae s7. 0. 23' rest octu numeri 23 e numero 7 concluditur I 23, eiusdem mae Character rest,ectu numori T habetur ex numero 23 Iluta NT; deni lue elium ter huius formae roslwCtu numeri 4. Puta 3. 4, vel e num ro 7 vel o num meta colligi IH test. Quoniam omnes numeri qui Iaer formam aliquam F in classe K contoniam repraesentari lvis sunt, Qtiam Per quanditiet alium soritiam huius classis sunt repracsentabiles: manifesto singuli characteres seruano F omnibus reliquis formis huius classis quintue Com Petent. quapropter illos tamquam characteros istius classis considerare licebit. Singuli itaque characteres classis cuiuslibet primitivae
Complexufi omnium charactserum particularium sormae vel classis datae constituet characterem intcgrum huius somno vel classis. Ita e. y. Chara ter integer formae l0. 3. 17ὶ, vel totius classis quam repraesentat erit t. 4; NI; Λ 23. Nimili modo charactor intinor formae sT. l. - 17ὶ erit 7 S; R3; N5. nam cli ructer particularis 3. 4 in hoc onAu omittitur quin in chara tere T. 8 iam est contentus. EX hoc fonto lictimus subdivisionem totius ordinis classium proprio primiti Varum fliositivarum qualido det. est noxativus) d torminantis dati in plura senem diverηa. reserendo omnes classes. quae eundem charactorem intcgrum habent, ud genus idom; quarumqtio characteres integri diversi sunt. ad genora diversa. SinguIis vero genoribus Dos chnra toros integrOA tribuemus. quos Classes sub ipsis contentast habent. Ita e. q. pro determinante -l6l haboratur sodecim 30
238쪽
classes positivae proprie primitiva . quae sequenti modo in quatuor genera distribuuntur :Character
Classium formas ropraesentantes
De multitudine charactorum integrorum divorsorum, qui quidem a priori Sunt Possibilos . teneantur Sequentia.
tuor characteros particulares diversi sunt possibiles; numcrus 4 nullum characi rem I3 tiliarem suppeditat annot. ad art. Praec . . Pra strea respectu singulorum divisorum primorum imparium ipsius D bini charactores dantur: quare si illorum multitudo est m. dabuntur omnino 2 ' characteres integri diversi statuendom - 0. quotios D est potestas binuri .
Per m numeros primos impuros: omnino habebuntur 2 ' charactorcs intcgri diversi. III. Quando det. D est par neque vero per 4 divisibilis, orit vel - 2 mod. 8ὶ vel -6. In casu priori dabuntur duo characteres Particulares rosP tu numeri 8 puta i et T. 8. utque 3 et 5, 8: in cuisu msteriori totidem. Posita igitur multitudine divisorum primorum imparium ipsius D. -m: habebuntur omnino 2 characteres intomi diversi. IV. Quando D est impar. erit vel mi vel - 3 min. 4 . In cnsu Posteriori respectu numeri 4 duo characteros diversi dantur. qualis rotatio in casu priori in charactersem integrum non ingreditur. Quare designante m idem ut ante, in casu priori dabuntur 2 . in posteriori 2 '' cliaracteros integri diversi. Probe vero notandum est, hinc neutiquam sequi . totidem genera re VPra
239쪽
ilari quot cliaraetores diversi a priori sint possibiles. In exemplo quidem nostro horum semissi tantum revera classos sive genera respondent. nulla r Io ct Sespositivae dantur, quibus characteros l. 4: Iez; 2, 23 vel 1. 4: NT: R23; vel 3. 4: RT: Ie 23 vel 3, 4: NT; N23 competant. De quo argumento gravissimo infra sustus agetur. Formae l, 0, -Dὶ, quas haud dubie inter Ommrs formas determinantis DPro simplicissima habenda est. nomen fomae principalis abhinc tribuemus; classona totam in qua illa roperitur, classem Principalem Vocabimus: doni iue gonus totum in quo classis Principalis contenta est, senus principale dicetur. Probe itaque distin cndae sunt forma principalis . forma e classe principali et forma ogenero Princit,uli; noc non classis Principalis et classis e genero principali. His denominationibus semper utemur, otiamsi sorte pro determinante utiquo aliae classes praeter Principalem, vel alia genera Praeter genus principale non dentur . uti e. s. evenit Plerumque, quando D cst numerus primus positivus
Quamquam ea quae de serinarum citaractoribus explicata ηunt proximo cum in finem sunt allata, ut subdivisio Ordinis positivi proprie primitiri inde petatur: tamen nihil tu modii quominus eadem otiam ad lamas classesquct nogativas aut ad improprie primitivas applicentur, atque tum ordo improprie primitivum positivus. tum ordo i roprie primitivus negativus. tum ordo improprie primiti, is nogativus ex eodem principio in genera subdividantur. Ita poStquam e. s. ordo proprie primitivuR formarii in detorminantis 14 1 in duo genera soquentia subdivisus est
vel, si Cuti Classes positivae formarum detorminutilis - 129 in quatuor genera distribuuntur:
240쪽
Attamon quum Systema classium negativarum systemati positivnrum semper tam Mimile evadat. Plerumque superiluum videbitur illud seorsim construor . Ordinem improlirio Primitivum autem ad proprio primitivum reducere infra do obimus. Tandem quod attinet ad ordinos derivatos: pro harum subdivisiono regulao novile non sunt nec SKariae. Quum enim ciuivis ordo derivatus ex aliquo ordino primitivo determinantis minoris) origi noni tmhat . illiusque clussos singulao ad ηingulus huius sponte reserantur: manifesto subdivisio Ordinis derivati e subdivisione ordinis primiti v I cti poterit. 233. Si forma Lyrim vivuὶ F a. b. 6 ita est compurata. ut inveniri possint duo numeri s. h tales ut fiat sh - b. hh- e xecundum modulum datum m. di omus formam illam osse residuum quadraticum numeri m utque V lorem oXPressioniS V Xa'H-2t XyH-cyy in .m . sive brevius s. h) valoremEXPr. ψ a, b. ol v I ' mod .m'. ἰoneralius. si multiplicator II. ud modulum mPrimuου. eius est indolis ut fieri possit