Werke Carl Friedrich Gauss 1

발행: 1863년

분량: 486페이지

출처: archive.org

분류: 미분류

241쪽

Imtestas numeri Primi, Puta seri': character liarticularis formae a, b, d re8laectu numeri p erit vel M vel Np, prout M ost residuum vel non- residuum ipsius p. Hoc statim inde sequitur, quod tum a M tum e M est residuum ipsius msive ipsius p. atque ad minimum unus numserorum a. e per ρ non divisibilis art. 230 . Simili modo. si manentibus reliquis) m - 4. erit vel l. 4 vel a. 4 Character Part. sormae 9, b, e . prout M -l vol a: nec non si-- S vel ultior P tostas numeri 2. Erit l, S; 3. S; b, S: T. 8 char. Part. sornaue a. b. c . Drout

dcterminantem bb - ae metiens. atque M vel residuum vel non-rcsiduum ipsius p. prout character formae 9, b. d respectu i inius p est Ne vel D resp. . erit M a. b, H resid. quadr. ipsius m. Quando enim a Iaer ρ non est divisibilis. aM erit res. ipsius p adeoque otiam ipsius m; si itaque s est valor expr. va II inod. m). 4 valor expr. 3 mod. min. erit sty - a II; ah - bs, adeoque denique

adeoque ΛΛ - e M. i. e. is, h) valor expr. VM a. e . Quando Vem a Per mest divisibilis. certo e non erit: unde facile perspicitur . eadem resultare. Si Proh M8umatur valor expr. Ite II mod. m . pro s valor expr. mod. m). Simili modo demonstratur, si m fuerit - 4 ipsumque bb - ac metiatur. numerusque II nccipiatur vel -l vel 3. prout l. 4 vol 3. 4 fuerit Char. Part.

242쪽

DE FORMIA SECUNDI GRADUS.

serinae v. b. 6: sore M a. b. 6 res. qu. ipsius vi. Nec non . si vi fuerit μου volaltior potestas ipsius 2, per quam bb - ae divisibilis sit, atque M accipiatur. 1; 3: 5; 7 mod. S . prout character pari. formae a. b. e) respectu numeri Spostulet: M a. b, H sere res. qu. ipsius m . IV. Si doterminans formae a, b, cὶ est D. atque M v. b. cὶ res. qu.

ipsius D. Omnes characteros purticulares formae a, b, eὶ tum resiae tu Singulorum divisorum primorum init Farium ipsius D, tum rosi, octu numeri 4 vel numeri Sisi ipsum D metiuntur) cx numero M statim cognosci posSunt. Ita e. s. quum

sec. mod. 440. utque 3 A 5. 3Ill I: charactores sormae 20. 10. 27ὶ sunt 3. S: Λ 5: R II. Noli charactores liarticulares respectu numerorum 4 ct S. quoties det riuiuantem non metimitur . nexum nocessarium cum numero II non habent, . Vice versa. si numerus M ad D primus omnes characteros Particulares formae a. b. el in se complectitur exceptis charactoribus reSP tu numerorum 4. 8,

quando ipsum D non motiuntur): erit M a, b, H res. qu. ipsius D. Xam ex III pato t. si D sub formam in A 'ν ν . . . redigatur, ita ut . . B, C setc. sint numeri primi diversi. soro M a. b, resid. qu. singulorum Gi etc. Si igitur valor ex pr. VII a, b, c) secundum mod. A.'. est R. i J: secundum mod. Ad, B. N J: sec. mod. E, E ὶ etc. numerique s. h ita determinantur ut sit y - R. 23. E etc. : h 'I'. E . E' etc. S cundum modulos A'. Is , CI etc. resp. art. 32ὶ: facile Iγerspicietur. fore sy - a M. yh - b M. hi e M secundum omnes modulos A', Gi etc. adeoque etiam secundum modulum D qui ill

rum est ProduCtum.

VI. Propior has rationes numeri tales ut M vocabuntur numeri elaraeteristici formao a, b, ei. Potoruntque Por Plures huiusmodi numeri nullio negotio inveniri. si mutuo omnes charactores Particularcs huius formae sunt eruti: simplicissimi nutem tentando plerumque evolvuntur facillimo. Manifestum est, si Msit numerus characto isticus sorinno Primitivae datae dctorminantis D, omnes nu-

moros. ipsi II secundum mod. D congruos. sero numeros churacteristicos Piusdem sormae; formas in eadem classe, sive etiam in classibus diversis ex eodom genere. Contentan Dosdem numeros citaracteri Sticos habere, quamobrem quivis nun Erus

243쪽

COMPONTIO FORMARUN.

charaetcristicus formao datae etiam toti classi et generi tribui imis st: denique lx inper esse numerum clinructeristicum formae classis et generis principulis. sive quamlibet formam e genere principali esse residuum doterminantis sui. VII. Si s. hὶ est valor ex pr. b. mod .m . atque s. h m h triod. m : erit etiam sy Κὶ valor eiusdem expressionis. Talos valores Pro acquivalentibus haberi possunt; contrii si s. hin. H h'ὶ sunt valores eiusdem EXPr. 'M a. b. d. nequo tamen simul j - s. h' - 1 in . m. diversi sunt osens udi. Manisosto quoties sis. Λὶ est valor talis expressionis. otium -y, - Λὶ erit. facile- quo demonstruitu, hos valores fisenilior esse diversos nisi - - 2. Λ quo facile demonstratur, expr28Νioncm IIII p. b, H in . M pluroso alores diversos quam duos tales sopposito' habere non possc. quando m sit aut numerus Primus impar aut numeri primi imparis potestas aut 4; quando vero m sit - 8 aut altior liotcstas numeri 2, quatuor omnino dari. Hinc facile deducitur per VI. si determinans D formao v. b. 6 sit - - 2 'A 23'. designantibus II etc. numeros primos impares diversos quorum multitudo in n. atquc M numeriis chamictoristi usillius formae: dari omnino vel 2 vel 2 vel 2 valores divorsos oxpr. b. e) mod. D , prout ιι vel α 2 vel se 2 vel 2. Ita e s. habentur sedecim Valores eXPr. x 7 12. 6. -l7ὶ mod. 240 l. puta ab il .

78, H-6l TS, - - 10 lin. DemonStrationem ampliorem ituum ad NequΡntia non sit adeo necessaria, breritatis gratia non nPlionimus. VIII. D iquo observamus, si duarum formarum nequi Valentium fa, b, Q, . ν, e) determinans sit L . numerus characteristicus M. pri Orius trans at in Posteriorem Per substitutioncm a. r. δ: ex quovis valore expr. VM M. b. 6 ut

strationem quisque nullo negotio eruere Poterit.

IM eompositione formarum.

234. Postquam haec de formis in classes genera et ordines distribuendiκ Iaraemisimus, proprietatesque gonoratos quae ex his distinctionibus statim defluunt ex-Ρlicavimus. ad aliud argumentum gravissimum transimus a nemine huCuΝque

244쪽

attactum. de sermarum compositione. In cuius disquisitionis limine. no posthac demon,irationum sortem continuam interrumpore oportoat, statim in torculamus LEMMA. Habentur quantor series numerorum in t yroruma. . . a. . . a': b. U . . . b': c. d. d. d d ...d er aeque multis sputa nH- l: terminis conStantes. atque ita comparatiae, ut ed'-de, ed -de etc.. ed -d e etc. etc. r Pectit e sint ab ba , k ab -ba' etc.. k a b - ιὶ est. ete. sire seneraliter denotante k numerum inteyrum datum: λ μ intes ros quoscunque inaequiales inter uet v inci. quorum maior μ; praeterea omnes at ν' - b a'' divisorem communem non habent. Tunc inveniri poMunt quatuor numeri inteyri α. b. I, c tules. ut sita a b 6b - e. a a 6 b E. αα - - 3b es ete.

Ia --δb - d, 'ra' - ὀν - d . ra' - δς d est. sit e seneraliter quo facto erit

i Coniadorantio a tranquam ae . b tamquam ete. 'eterum manismito diadem aequatio valebit quoque quando λ ra aut λ in.

245쪽

est . qui oriuntur tribuendo ipsis λ. μ omnos valores inuequalos tutor u ot n, ita

e λ. M ah b' - b ur' e Et laer calculum similem eruiturru' - δι - d . Q. E. PII. Quoniam igitur fit sinii liquo modo

246쪽

DE FORMIA SECUNDI GRADUS.

235. Si forma A XX - 2BXY CYY... Ftransit in productum o duabus sormis a XX - 2b --eνy. . . . et ae Ex 2b zy ey, .. .f t,Er substitutionem talem

quod brevitatis causa in sequentibiis sum per ita exl,rimemus: Si F transit in L 'Iwr subStitutionem p. si. F. p ; q, q. dicemus simpliciter. formam Frea formibilem osse in V; si insuper liaee traiis riuatio ita est comparata, ut

Pq'-qI3, pq - pq -qC, p C-q p . pq -qp'. Uq -q divisorem commvnoni non liui,cant: sormam F o sermis Li' compositam vocabimus. Inchoabimus hanc disquisitionem a suΡlmsitione generulissima, sermum Id in V transtro per Substitutioncm p, p . p . si i q. g q. ρ' et quae inde sequantur evolvemus. Munisses in huic supiuisitioni ex asse aequivalebunt sequentes II vem aequationes i. e. simulaci hac a quationes locum habent, F per substitutio

'ὶ In hac igitur il ignatiotio ad ordinom tum ineffieientium p. p' ete. tum formarum I. I' Probe re Pi- re oportet. Facile autem perspictetur, at ordo sorinarum I. I eonvortatur ut prior sal posterior, coem-cienum p . ς' eum his p C eommutandos e e. reliquos auo quemlibet loco mmere.

247쪽

Ex his undecim a quationibus i. . . ll. essequentos novas evolvimus I:

248쪽

Haee di rivatio aequationis a A m dd' ad institutum praesen' suffieit; alioquin anal3 in elo inlitiorem sod hie nimis prolixam tradere possemus, diroete deducondo ex aequationibus i ... ii hane . - a a - da , .

. Duiligod by Corale

249쪽

Hinc habetur coNCLUsIO TERTIA: Numeri a. 2b, c proportionales sunt numeris

P. R - S. V posita Pie illorum ratione ad hos ut 1 ad K. erit V radiae qui drum eaes: similiterque numeri a'. 2C E ad Q. N - S. Τ eandem rationem habent, quae xi ponitur esse ut i ad n . erit v milia quudrata ea B. Ceterum quantitates n. n' radices vel positivnc vel negativno posfiunt. unde distinctionem Iactimus, quae Primo aestwctu Sterilis videbitur. Sed cuius usus in sequentibus sumetontor apparebit. Scilicet dicemus. in transsori a tione formae F in f formam i nccipi directe quando n Est Positiva. inrersequando n negativa: similitorque s accipi directo vel iiivcrso. prout n' positiva velit utiva. Accedente aut oua conditions ut sit l. forma F rei ex utraque sorma f. y lirecto comitosita, vel ex utraque in vorso ret Ox f dirocto et cx f'inverso . vel ex f inverso et Ox f' directo dicetur, prout vol n. n' ambae sunt positivac. vel ambac limativae. vol Prior Imsitiva Posterior ne liva, vel priornmutiva Posterior laositiva. Ceterum liuisque lacile intelliget. lius rotationes ab ordine quo sortiano s. s' collocantur vid. annot. Prim. nil nrt. PNw8.ὶ non PDudere.

I'orro obςervamus. divisorem maximum communem numerorum P, Q, R,

Ν, T. V puta k metiri numeros m n. m n uti ex valoribus supra stabilitis ninni- stum est adeoque quadratum kk ipsos m mn n. m m'n n. niquo Dkk ipsos d mm, d ni m. Sed et vice versa quivis divisor communis ipsorum mn, m n in tietur ipsum k. Sit enim e talis divisor. qui mani susto etiam num ros an . 2bn. cn. a n. 2h n. En molietur. t. e. numeros P, Γ - S. V Q. R S, T et proin etiam ipsos 2 R et 2 S. Iain si esset numeruου impar, etiam V impar esse deberet quoniam summa et dissurontia sunt pare' adeoque otium productum impar. IIoe autem productum fit - Δίνι an - bbn'n ὶ - E d nn ba clan Inn - aenis - - aEnn - acnnin adeoque par, quia e ipsos a n. cn. au en' metitur. Quare

nocessario orit par. et proin Ie nec non S lior e divisibilis Quoniam igiture omnos sex Γ, Q. N. S. T. V motitur, metietur otiam ipsorum divisorum communem maximum k. Q. E. D Hinc concluditur, k csso divisorem communem maximum numerorum mn, n pn; undo facile per picietur. Dkk fore die

forem communem mclaimum numerorum dm'm', d mm. Quae est CONCLUsIO QUARTA.

Patet itaque, quoties cx f ct f composita sit. D foro divisorem communem

maximum . numerorum d mm, d mm, Et vico versa; si auo Proprietas etiam tamquam definitio formae compositae niloptari potuisΝut. Forma igitur comi MNitu o

250쪽

DE FORMIA AECLNDI GRADUS.

mis L s' determinantem mini inum possibilem inter omnes formas in productum L ' transformabiles habet. Anicquam ulterius prcsredi liossimus. anto omnia valorem ipsius A accuratius definire oportet. quom qui doni ostendinulas esse se Udd DDnnn n. sed cuius signum hinc nondum determinatur. Ad hunc fin m ox noquat t. sundamentalibus 1 - 1l eruimus DPQ - Δ aE quae ncqu. Obtinetur eae S. I - 1 l l . adeoque Dah nn - Δaa'. unde. nisi aliquis numororum a. ά ost μου. fita in Dun'. Sed prorsus simili modo ex nequat t. fundit. octo aliae deduci possunt. in quibus ad laevam D nc nil dextram a multiplicati liubeantur Ivir et ab , ae. 2bae. 4bν. 2be'. eae. 2eb , ee ' . unde facile concludi titu propter a quod neque omnes a, 2b, c, neque omnes E, 2b , H Possunt esse M 0 tu omnibuis casibus fioria in D nn, adeoque A idem signum habere ut D. d. d' vel opivisitum. Prout n. E eadem signa hab uni vel div rsa. Porro Ob Servamus. numeros a , 2 a v. ae'. 2bH, 4blI. 2he. e . 2cb', cc. 2bς- - 25. 2bb'-2a omnes per mm' divisibilos esse. De novom prioribus hoc per in manifestum est, de duobus reliquis autum simili modo demonstrari potest ut antea ostendimus N et S per e dirisibilus csse. Scilicet Iiniet. 4bb H la et

tiam quotientium parum; pro luctum ex quotientibus facile demonstrutur osse par unde uterque quotiens par. et 2bb - - 25. 2bν-2Δ por mm' divisibiles. Iam ex undecim aequationibus landam n talibus lacile deducunti tu sex s

quentes :

in Anal, sin quam lectoreη Deile detegere pote runt brevitatis cau, a Rupprimere oportet.

SEARCH

MENU NAVIGATION