장음표시 사용
271쪽
AC BB - D: smare ha E sorma proprie no luivalebit somno F. Iam per sormam 2Bυ-- repracsentatur numerus a. . laetendo a - μ. y 0, quorum valoruni divisor comm . ni . est μοῦ quare a ae etiam IFer sorinam F rinpraesentari poterit ita ut valoros indoterminatarum liabeant divisorum communem maximum μ art. l66 . Quoties igitur evadit μ- l. aae per formam I 'repraesentari poterit tribuendo indeterminatis valores inter Se primos. mprnesentati quo haec pertinebit ad valorem B ex pr. v L in .aaj. ipsis h. ν secundum modulos a. Sp. congruum. Conditio μ 1 Somper locum habet, quando a. a inter se primi sunt; generaliter autem. quando div. comm . min. iPSOrum a. ά udb--b' est primus.
TDEOR A. Si forma s ad eundem ordinem referenda est ut 9, similiterques' est ea eodem ordine ut j: forma P T composita eundem determinantem M. bebit eae eodemque ordine erit ut forma G ex s. y composita. Dem. Nint formae f. t. F - a. b. d. μ'. ν. E . A. B. C; resp., ipsarum
beant m . in resilectu forma f, et II. In respectu formae F. Tunc ordo sormae s determinabitur Per numeros d. m. m. unde iidem numeri etiam pro formus valebunt; eadem ratione numeri d'. m . m' idem erunt pro forma j quod sunt pro forma f'. Iam laer uri. 235. numeri D. M. ta determinati sunt per d. d m. m . m. ni'; scilicet crit D divisor communis maximus ipsorum dm m. d mm . M mm': atque Εἰ - mm si simul m in m. m'- m'ὶ vol - 2mm sim - 2 m. aut m - 2m j. Quae proprietatos ipsorum D. II. 'R. quum inde sinquantur. quod F ex s. ' composita ost: facile pomspicitur. D. M et In etiam pro forma G valere . adeoque G esse ex eodem ordine ut F. Q. E. D. Ex hac rutione ordinem in quo est serina F. compositum dicemus ex ordinibus in quibus sunt formae s. f. Ita e. s. ex duobus ordinibus proprie primi tivis semper compositus est similis ordo; ex proprie primitivo et improprie primitivo. improprie primitivus. Simili modo intelligendum est, si ordo aliquis ex pluribus aliis ordinibus compositus vocabitur. 34
272쪽
ΡuonLEM L. Propositis duabus formis primitivis quibuscunque f. s. ea quarum compositione oritur F: eae seneribus ad quae pertinent f. 1' de ire genus ad quod referendin erit F.
Sol. I. Consideremus primo eum casum ubi ad minimum una formarum 1, 1' e. g. prior est proprie Primitiva, designemusque determinantes formarum per d. d . D. Tunc D prit divisor communis minimus numerorum d mm . d . ubi m' est aut aut 2. prout forma L est proprie aut in liroprie Primitiva: F autem in casu illo pertinebit ad ordinem proprie primitivum. in hoc ad improprie primitivum. Iam genus somao F definietur per ipsius characteres particulares, nempe tum rospectu singulorum divisorum primorum imparium imSius D. tum. Pro quibusdam casibus. respectu numerorum 4 aut 8. Hos igitur singulos determinare oportebit. i'. Si p est divisor quicunque primus impar ipsius D. nec Asario etiam ipsos d. d' metietur. adeoque etiam inter characteres sermarum f. y' occurrent
ipsarum relationes ad p. Inm si Per f repraeSentari potest numerus a. per L numerus a': productiun a a' repraesentari poterit per F. Si itaque tum per L. tum per c repraesentari possunt residua quadratica ipsius p per p non divisibilia . etiam per F residua quadratica ipsius p repr&esentari poterunt. i. e. si utraque f. f habet charactorem Ep. forma F eundem characterem habebit. Simili ratione F habebit charaetorem Ep. si utraque f. y' habot characterem Np; contra F habebit char. Λ, . si altera sormarum habet Ap. H-tera I p. 2'. Si in charaetorem integrum formae F ingreditur relatio ad numerum 4. talis relatio etiam in charactores sormarum f. ingredi debet. Nam illud
tunc tantummodo evenit . quando D est 0 aut amod. 4 . Quando Dper 4 ost divisibilis. etiam dis in et d' per 4 divisibilos erunt, unde statim patet. f non posse esse improprie primitivum. adeoque esse m l; hinc tum d tum d per 4 divisibilos erunt. et in utriusque characterem ingredietur relatio ad 4. Quando D 3 mod. 43. metietur D ipsos d. d'; quoti sentes erunt quadrata. ademus etiam d. d noce Rario vel -0 vel a mod. 4ὶ . et inter cha-
273쪽
racteres ipsarum si relatio ad 4. Hinc eodem modo ut in l'ὶ inquitur, ch racterem formae F sore 1 4, si vol utraque f. habeat l. 4 vel utraque 3. 4; contra characterem formae F sore 3. 4. si altera formarum habeat
3'. Quando D i,er 8 est divisibilis. etiam d' erit; hinc f' certo proprio primitiva. ni in i atque etiam d per S divisibilis; quare inter characteros formae F aliquis e characteribus 1. 8; 3 8; 5. S; T. 8 tunc tantum locum habere Potest, si etiam in charactere tum formas f. tum formae f' talis relatio ad 8 adest. Facile autem confirmatur eodem modo ut ante. characterem sermao F lare 1 S, si s et rospectu ipsius S eundem habeant; characterem formae F sere 3. S. si altera sormarum f. y' habeat l. 8 altera 3. 8. vel altera b. 8 altera T. S; F h bere S. S. si f. y' habeant l. 8 et 5.8 vel 3. 8 et 7 8; F habere T. 8. sis et 'habeant vel l. 8 et I S. vel a S et 5.8.4'. Quando est D - 2 mod. 8 . crit d' vol -0 vel - 2 mod. 8 . hinc 1. adeoque etiam d vel -0 vel - 2 mod. 8ὶ: attamen uterque l. d' per 8 divisibilis esse nequit. quoniam D est divisor communis minimus ipsorum. Quare in eo tantum casu alteruter characterum i et 7. 8; 3 et 5. S. sormae Ftribui debebit. ubi vel utraque sorma f. y' aliquem ex illis habet. vel altera alia quem ex illis. ultera aliquem horum 1, S: 3. S: 5 8; T. S. Hinc facito deducitur. characterem formae F determinari I3er tabulum sequentem, si character in ma ive Ivisitus pertineat ad Qteram formarum s y'. ad alteram vero character in facie:
3 et 5. 81 et 7 85'. Eodem modo probatur. ipsi F tribui non Posse alterutrum characi rum 1 et 3. 8; 5 et 7 8. nisi etiam aliquis ex iisdem saltem uni formarum f. f competat. alterique vel aliquis ex iisdem . vel stliquis ex his l. 8: 3, 8; b. 8: 7. S.
274쪽
II. Si utraque forma f. y' est improprio primitiva. erit D divisor communis minimus Dumororum 4 d. 4d'. sive t D div. comm . maximus numerorum d. d Uinc facile sequitur. tum d . tum d . tum tD sore - 1 in Od. 4 . P nendo autem F - A. R. Cl. div. comm . max. numerorum 21. B. C erit m 2, Et di V. Comm. mo. numerorum 21. 2B, C erit i. Quare F erit sorma derivata
ex improprio primitiva l A. t B. ὲC . cuius de torminans erit l D. et cuius genus determinabit genus formae F. Character nutem illius formae. tamquam imi r prio primitivae, relationes ad 4 vel S non implicabit, sed tantummodo relutiones ad singulos dirisores primos impares ipsius lD. Iam quum omnes hi divisores manifesto etiam ipsos d. d metiuntur. atquc semissis cuiusvis producti duorum sactorum . quorum niter per i nitor per est repraesentabilis. per formam l. B. l Cὶ repraesentari possit: tacito perspicietur, characterem huius formae respectu cuiuου fis numeri primi imparis p ipsum t D moti cutis fore Np. tum si fuerit 2Rp atque sormae i. ' respectu ipsius p cundum characterem habeant. tum si fuerit et M atque characteros sorinarum f. s' rospectu ipsius p Oppositi; contra characterem illius formae soro tum si L. y' habeant charactores ue- quales respectu ipsius p atque sit 2 , tum si f. y' habeant oppositos atque
Ex solutione Problematis praec. manifestum est, si est sit forma primitiva EX EO lem ordine et genero ut f. nec non y' sorma primitiva ex eodem ordine et genere ut i : serniam ex y Pt y' compositam ad idem genus pertinere. ad quod pertineat sorana ex f et f' compositu Hinc sponte sequitur significatio seneris
275쪽
ex duobus aliis generibus sivo etiam pluribus j eom Sili. Porro ibinde patet. si 1. y' eundem determinantem hal, eant atque s sit forma e genere principali. F vero ex f et f' composita: F sore ex codem genere ut f'; quOCirca gonus principale in Pompositione cum aliis genoribus eiusdom determinantis semper omitti poterit. Si vero reliquis manentibus f nou est e genere principali. y' autem sorma primitiva: F corto erit ex alio genere quam T. Deniquo si L. f sunt formae proprie primitivae Piusdem generis, F erit o genero principali; si vero is sunt ambae proprie Primitivae eiusdem determinantis. Sod e diversis generibus. F ad genus principale pertinere non Potorit. Quodsi itaque sorma quaecunque Proprie primitiva cum se ipsa componitur, forma inde r sultans. quase etiam proprie primitiva piusdemquo dolserminantis crit, necessario ad genus principale portinebit. 24S. P onLEMA. Propositis duabus formis pii xeum3ue f. s. e quibus com Aita
rum a , b'. c. ita ut L. f sint derivatae e primitivis quas denotabimus per s. f' resp. Iam si saltem una formarum f. i si proprie Primitiva, divi9Or comm . maX. numerorum .i, L. C erit nim , adeoque F dorivatae forma primitiva unde Patet. genus formae F pendore agenere formae δ. Sed sacile perspicietur. η Iior candem substitutionem transire in ii . per quam F transeat in V adeoque J ex s. i' esse compositam. ipsiusque genus Per Problema uri. 216 determinari posse Si vero utraque f. i' est improprie primitiva, divisor c. m. numstrorum A, B, C erit 2mm . formaque dotiamnum ex s. s' composita et manifesto e proprie primitiVa dδrivata. Huius itaque sermae genus determinari poterit per Rrt. 246; et quum
F sex padem forma derivata sit. ipsius genus hinc sponte innotescit. Ex hac solutione manifestum cst. theorema in art. Praec. Pro formis primitivis explicatum, scilicet si i . s' sint eae iisdem generibus resp. ut L. s. formam ex , y eompositam ea eodem genere fore. ex quo Sit forma ετ f. y cυ ita, gener liter pro sormis quibuscunquρο valere.
276쪽
Tum M. Si formae Ly' sunt ex iisdem ordinibus generib- et e lassibus, resp.: forma eae s et f composita eae eadem elasse erit ut forma eae y et y
Ex hoc th remat cuius veritas ex art. 230 protinus sequitur) SI Onte Patebit significatio elassis e duasus elassibus datis sive etiam e pluribus compositae. Si classis quaecunque E cum classe principali componitur, classis K ipsa prodibit sive classis principalis in compositione cum aliis classibus eiusdem dctterminantis negligi potest. ει compositione duarum classium OPPositarum proprie primitivarum semiwr oritur classis principalis piusdem doterminantis v. art. 243 .Quum itaque quaeris classis anceps sibi ipsa os posita sit: ex Compositione euiu vis classis ancipitis proprie primitivae Cum se ipsa classis principalis eiusdem d terminantis Provenit. Propositio ultima etiam conversa valet: scilicet si eae compositione classis proprie primitivae E cum se ipsa prorenit elassis vrincipalis es eiusdem determinantis. K necessario erit elassis anceps. Si enim K' est classis opposita ipsi K. e
tribus classibus K. K. K' composita erit eadem ci sis quae oritur ex Η et ποῦ ex illis provenit K quoniam K et K' producunt Η. haoc eum K ipsam Kὶ.ox his K'; quare K eum Η' coincidet eritque adeo classis renceps. Porro notetur propositio haec: Si elasses K. L oppositae sunt elassibus K'. Π resp.: elassis eae K et L eomposita et si eae κ' et L compositae erit inposita. Sint formae s y. y .s' resp. e classibus K. L. E'. L': forma F compoSita ex s. s. atque F composita ex f'. y'. Quum f' ipsi f. atque μ' ipsi s improprie aequivaleant. F autem composita sit ex utraque i s directe: F etiam exf y' composita erit. sed ex utraque inverse. Quare sorma quaecunque, quae ipsi F improprio aequivalol. composita orit ex f'. y directe adeoque ipsi F proprie aequivalebit arti. 238, 239ὶ . unde F. F improprie aequivalebunt. cla
sesque ad quas Pertinent, OPPOSitiae Prunt. Hinc sequitur. Si classis anceps K cum classe ancipite L componatur. seu Per Prodiro classem ancipitem. Nam Opposita erit classi. quae com Sita este classibus ipsis K. L oppositis, adeoque sibi ipsi. quoniam has clasουes sibi ipsae sunt OPPOSitue.
277쪽
Denique Obsconinus, si propositae sint classes duae quaecunque K. Leiusdem determinantis, quarum prior 8it Proprie primitiva. Semper invoniri posse classem II eiusdem determinantis. ex qua atque K composita sit L. Manisostoli obtinetur. accipi ndo pro II classem quae comIκ sita est cx L atque classe ipsi K oliposita: simul iterspicietur facillime. hanc classem esse unicam quae hac
proprietato sit praedita . sive classes diversas eiusdem det. Cum eadem ClasAP pr. Prim. comi ositas producere classes diversas.
Classium comtvisitio commode per signum udditionis. Φ, denotari potest. sicuti classium identitas per signum aequalitatis. In his signis propositio modo tradita sexhiberi lvitest ita: Si κ' ost classis opposita ipsi K, erit K--K' classis principalis eiusdem dulserminantis, undo K- - Η' - L - L; posita itaque K H-L - M. erit K--M - L, uti desiderabatur: si vero praeter M alia Mduretur Eadem Proprietate praedita, sive -- L. foret KK'M - L H- K M. unde M' - M. Si plures classes identicae componuntur. hoc ad instar multiplicationisὶ denotari missi praefigendo ipsarum numerum . ita ut 2Κ idem designet ut K--K. 3κ idem ut K--K--K etc. Endem signa tiam ad formas transscrri possent . ita ut M. b. 6 - - a. P. cin designaret formam ex a. b. e) a, b , eὶ compositam: sed ne vel si ecies ambiguitatis oriri possit. hac abbreviatione abstin re malumus. Praesertim quod tali signo VII a b e significationem peculiarem iam tribuimus. lassem 2 K ex duplicatione classiqK oriri dicemus . classem a N ex triplicatione etc.
Si D est numerus per m m divisibilis lubi ipsum m positivuis supponimus :dabitur ordo formarum determinantis D ex ordine proprie primitivo determinantis derivatus bivo duo. quando D est negativus, nem13e Positi rus et negativus ; manifesto forma m. 0. - ) ad illum ordinem pertinebit scilicet ad positivumὶ meritoque tamquam forma simplicissima in eo considerari potest sicuti - m. 0, -ὶ erit simplicissima in ordine negativo quando D neg. . Si insuper
est - i mod. 4 dabitur etiam ordo formarum det. D ex improprie primitivo det. derivatus. ad quem manifesto forma 2 m. m. pertinebit et pro simplicissima in eodem habebitur. Quando D est neg., rursus duo ordines dabuntur et in negativo forma - 2 m. - m. pro simplicissima habOhitur . Ita e. f., si Dtiam cum casum ubi m - l huc referre lubet. in quatuor ordinibuκ
278쪽
formarum det. 45 ssequentes erunt simplicissimae si . 0. - 45 . 2. l. - 22 . 3. 0. - i5J. 6. 3. -6 . Quibus ita intellectis. offert so PROBLEM. Proposita forma quacunque F eae ordine O, invenire formam proprie primitiram positi m) eiusdem determinantis, eae cuius compositione cum forma in o simplicissima oriatur F.
determinans d, supponamusque primo, esse proprie Primitivam. 1'rimo observamus. Si iario a ad 2dm non sit primus, certo dari ullas larinas ipsi M. b. HProprie aequivalentos, quarum termini primi hae proprietato sint praediti. Nam Perari. 228 dantur numeri ad 2dm primi por sormam illam repraesentabiles: sit talis numeruκ a αα - - 2bαγ-Her I. Supponamusque. quod licet . α. I esse inter se primos; tum. acceptis 6. δ ita ut fiat αδ - 67 i. transcat f per substitutionem a. 6, 7. δ in formam δ', b ej. quae illi liroprie aequivalebit ut Proprietate praescripta erit praedita. Iam quum etiam F et a m. ym. em proprie aequivaleant. facile perspicietur, sufficere eum casum considerare ubi a nd 2dmsit primus. Tunc M. bm. em - erit forma proprio primitiva si onim a. 2bm. cmmclivisorem Dona munem hallerent, hunc etiam 2dm - 2bbm - 2aem implicuret, eiusdem doterminantis ut F. confirmaturque facile. F transmutari in productum e sermu m. 0, -dm . qu . nisi F est forma negativa. erit simplicissima ordinis O. in a. bm. cmni Iaer substitutionem l . 0. - b. -em; 0, m. a. bm. unde Percriterium in Obs. 4. nrt. 235 concluditur, F ex 0. - et '. bm. cmω esse compositam. lauando autem F cst serma n gativa. transibit in productum osorma simplici sima eiusdom ordinis - m. 0. dum in IVsitivam - a. bm. - cmmi
per substitutionem 1. 0. b. - cm; υ. - m. - a. bm. ademiae ex ipsis erit Compositu.
Secundo, si s est forma improprie primitiva. supponere licebit i a ad 2dmesse primum: si enim haec proprietas in forma y locum nondum habet, inveniri potest forma ipsi s proprie acqui valens et hac proprietate praedita. ΙIinc autem sequitur facile, it a. bm. 2 cmmj esse formam proprio primitivum eiusdem dot 'r- minantis ut F; aeque saetis confirmatur. F transire in productum o sormis Φ 2 ni. in m. Φ l in dm J. a, b m. 'H2c mullier substitutionem
279쪽
ubi signa inscriora accipienda sunt quando est forma negativa. superiora in casibus reliquis. ad coque ex his duabus sermis csso compositam, quarum Prior erit sinatilicissima ordinis Ο. posterior serma proprio primitiva spositiva .
PROBLEM. Propositis duabus formis F, f eiusdem determinantis D et ad eundem ordinem G pertinentibus: inrenire formam proprie primitivam determinantis D. quae cum s composita producat F.
Sol. Sit φ forma simplicissima ordinis Ο: R. i formae proprie primitivacdet. D. quae cum P compositae producunt ipsas F. f resp.; denique i sorma proprie primitiva. quac cum i composita producat l. Tunc forma F composita erit e tribus sermis φ. f. s. sive e duabus f. t. Q. E. I.
Qua vis itaque classis ordinis dati considerari potest tamquam composita ex quacunque classo data eiusdem ordinis et aliqua classe proprie primitiva ciusdem determinantis.
252. ΤnEoREMA. Pro determinante dato in singulis generibus eiusdem ordinis contentiae sunt classes aeque multae.
Dem. Pertineant genera G et II ad eundem ordinem, constet G ex nclassibus K. K K sitque L classis ulliqua e genere II. InveSU - tur Per uri. Praec. classis proprie primitiva M eiusdem determinantis, ex cuius compositione cum K prodeat L. designenturque classes quae Oriuntur ex compositione classis M. cum K K . resp. per L. L Tunc exobs. ultima art. 249 sequitur, omnes classes L. L. esse diversas, et per art. 248 Omnes itertinebunt ad genus idem, i. e. ad genus A. Denique Perspicietur sacile. II alias classes praeter has continere non posse, quum qumvis classis generis es tamquam composita considerari possit ex II et alia classe eiu dem determinantis. quae necessario semper erit e genere G. Quocirca II perindo ut G continoi n claisses diversas. Q. E. D. 3b
280쪽
DE FORMIS SECUNDI GRADUS.Comparantur mutilludinea eLMium in tangulis gener ua ordinum diser ortim e Mentarum.
Theorema prae dens sui ponit ordinis identitatum neque ad ordinos divorsos Est eX tendendum. Itae. pro determinanto - 171 daiatur 20 classes Ivisitivae. quae reducuntur ad quatuor ordinus: in oratine larolirie primitivo duo continentur genera, utrumque Sex et Sos complectitur: in ordine impr. Primitivo duo genera quatuor claesses possident, singula binas; in Ordine dorivato ex O. proprie prini.
dot. -l9 unicum est genu' tres classos complectens; d nique o. derivatus ex impr. Prim. det. - is unicum genus habet ex una classe con Stans; Perinde Schabent classos nogativae. Oporae itaque ii retium est, in principium generale inquirere, a quo neXus inter multitudines classium in diversis ordinibus pendeat. SuI lvinamus, K, L esso duas ct sos ex coclum ordine lpositivo) D detorminantis D. atqus M cla seni proprio primitivam eiusdem det. , ex Cuius compoSitione cum K oriatur L. qualis γ)r art. 2bi semiaer Potest russignari. Iam in quibusdam casibus fieri potost, ut M sit unica classis pr. Primitiva, quae cum K com-ivisita producat L; in aliis plures cluisses divorsao Pr. Primitiva o xstare possunt hac Proprietate praeditae. Supivinamus generaliter. dari r huiusmodi clarasos pr. Primitiva , Mi M'. M ... quae singulae cum K compositae producant eandem classem L. designomusque illarum complexum per IV. Porro sit II alia classis ordinis a classe I, diversu , uuluc N' classis lyr. Prim. det. D. qua cum L composita officiat V designeturquo complexus classium M. N H- M'. quae omnes crunt proprie primitivae et inter se diversae per IIV. Tunc perspicietur facito. K cum classe quacunquo ex IV com Iaositam producere L . unde concluditur. II et IV nullam elassem communem habere; praeti rea nullo negotio comprobatur, nullam classem Pr. Primitivam in complexu
IU' non contoniam dari, quae ciun K composita producat ipsam L . Eodummodo Pato t. si V sit alia classis ordinis O a classibus L. L diversa. dari rsormas pr. Primitivas tum inter se tum a formis M. πη diversas, quae singulae cum K con ivisita ipsam V producant, et perinde res se habebit pro Omnibus reliquis classibus ordinis D. Quoniam vero quaevis classis Pr. Prim. positi Va)determinantis D cum K composita classem orilinis O producit, facito hinc colligitur . si multitudo omnium classium ordinis O sit n. multitudinem omnium cla8sium 1 roprie primitivarum positivarum) eiusdem determinantis fore r n. ΙIa-