장음표시 사용
281쪽
MULTITI DII ES CLAMIUM in SINGULIA GENERIBUS CONTENTARUM.
bemus itaque regulam generalem: Denotantibus K. L classes quascunque ordinis Ο ntque ν multitudinem classium proprio primitivarum div rsarum ciusdem d terminantis, quae singulas cum K compositas ipsam L producunt. multitudo omnium classium in ordine proprio primitivo positivri r vicibus maior erit quam multitudo classium ordinis D. Quum classes K. L in ordine o omnino ad libitum assumi possint, etiam classes identicas accipere licebit et quidem e re erit ea classe uti. in qua continctur sorma huius ordinis simplicissima. Quam itaquo pro K et L assumendo. res eo reducta est, ut omnes classes proprie Primitivae assignentur, quae cum KCompositae ipsam K reproducant. Huc via Sternitur Per sequens
Tmoama. Si F - A. M. C) est forma simplicissima ordinis o determia nantis D. atque s u. b, d forma proprie primitira eiusdem determinantis: per hane formam s repraesentari poterit numero A A. si F Oritur per compositionem formarum f. F; et vice versa F eae se ipsa atque s composita erit. si A A per frepraesentari potest. Dem. I. Si I in productum fF transit per substitutioncm p .HU, C; q, q. q. q ; EX art. 235 habemus A uq '-2bqq --eqqὶ - A , unde AA aq f-2bqj'--cqq. Q. E. P. II. Si SupPonitur. AA Per I repraesentari posse, designentur Valores indeterminatarum Per quos hoc officitur per q. - q. sive sit AA - afq 2bqq eqq. Ponaturque
- - 1P . fa - q b-V . Aq. et 's ' - - qe - Aq Quo facto, facile confirmatur, F transire in productum ' per substitutioncm p. m p . P ; q, q, C, q . atque adeo ex f et F compositam esse, si modo omneR numeri p. p' etc. sint integri. Iam per descriptionem formae simplicissimae. Best vel 0 vel , A. adeoque u integer; indidem Imtet, a semper DSSU Integrum. Hinc j-p. ν, Υ - p .p erunt intcgri . superesulue adeo tantummodo. ut Probetur p ct g esse integros. Fit autem
282쪽
et protu p. p integri: si vero B - έ A. fit
undo aeque facile concluditur. p et V in hoc quoque casu esse integros. Ex his colligitur. F cx f et F csse compositam. Q. E. S. 255. Problema itaque eo reductum est. ut omnes classes proprie primitivas dete minantis D assignare oporteat. per quarum formas repraesentari potest A A. Manifesto AA repraesentari potest per quamvis sermam. cuius terminus Primus est vel A A vel quadratum partis aliquotae ipsius A: vico versa autem, si A A repraesentari potest per formum f. tribuendo ipsius indeterminatis valores a e. re. quorum divisor communis maximus e. forma f per substitutionem α. U. I. δtransibit in formam. cuius terminus primus sermaque haec tiroprio acqui valebit formae f. si 6. δ ita accipiuntur ut fiat αδ - 67 l: unde patet, in quavis classe. per cuius sormas repraesentari possit A A. inveniri sormas. quarum to minus primus sit A A vel quadratum partis aliquoino ipsius A. Res itaquo in eo versatur, ut omnes Classes proprie primitivae det. D eruantur, in quibus huiusmodi formae occurrant. quod obtinetur Sequenti modo: Sint a. a. a etc. Omnes divisores positivi) ipsius 21; investigontur omnes valores extir. xlDlnuid. aaὶ intoro et a a - 1 incl. siti, qui sint b. Q b tc. statuaturque ν bb - D in acie. ι ι - D se acie. Ub - D in a aes etc. complexus sermurum M a, b, aa. ν. e) etc. designetur per U. Tunc facile perspicitur. in quavis classe det. D. in qua occurrat forma. cuius terminus Primusa a. etiam aliquam sermam ex I contentam esse debere. Simili modo eruantur omnes formae det. D. quarum terminus primus ab . medius inter 0 et a a' linci. Situs. designeturque ipsarum complexus per W: eademque rations sit V
283쪽
complexus similium formarum quarum terminus primus a a etc. Eiiciuntur QxI '. V etc. omnes sermuo. quae non sunt proprie primitivae, reducantur reliquae in classes. t. si sorte plures adsint ad eandem ci sem pertinentos. in Singulis elassibus una tantum retineatur. Hoc modo omnes claesses quaesitae hab huntur . eritque haraim multitudo ad unitatem. ut multitudo omnium classium
proprie primitivarum positivarumὶ ad multitudinem cla sium in ordino Ο. . Sit D - - 531. atque o ordo ivisitivus derivatus ex ordine improprie primitivo det. -59. in quo sorma simplicissima 6. 3. 90ὶ sive A - 6. Hic a. a. a , Q erunt 1, 2, 3, 6; V continebit formam l,0, 531); I ' has si . l. I 33j.
formis sex sunt reiiciendae. puta ex I s unda et tertia, ex I prima. tertia. quarta et sexta. quae Omnes sunt sermae derivatae; Sex reliquae Omnes ad classes diversas Pertinere iuveniuntur. Revera multitudo classium proprie primitivarum positivarum) det. - bal ost 18, multitudoque classium impr. primitivarum Pos. det. -59 sive multitudo classium det. -5al ox his derivatarum) a. adeoque illa ad hanc ut 6 ad 1.256. Solutio haoc per observationes sequentos generales adhuc magis illustrabitur. I. Si ordo G est derivatus ex ordine proprio primitivo. melictur AA ipsum D; si vero Ο est impr. primitivus vel ex impr. Ρrim. derivatus, erit A par. Dper i l ad divisibilis Et quotiens mod. 4 . Hinc quadratum cuiusvis divisoris ipsius A metietur vel ipsum D. vel saltem ipsum 4 D. et in casu posterioriti uotiens sem Iter erit l mod. 4 . ΙΙ. Si aa ipsum D metitur, omnes valores expr. vD inod. au , qui quidem inter o et aa-l iacent. Erunt 0, a. 2a... a α - a. adeoque a multitudo formarum in I : sed inter has tot tantummodo serunt proprio primitivae . quot
284쪽
uin a divisorem communem non habent. Quando a se l. ex unica forma constabit l,0,-D quae semper erit proprie primitiva. Quando a est 2 vel testas quaecunque ipsius 2, Semissis illorum a numerorum Par erunt. Semissis impar; quare in I adorunt formao tiroprie primitivae. Quando a est alius numerus primus p vel potestas numeri Primi p. tres casus sunt distinguendi: scilicet. Omn s illi a numeri ad a primi erunt. udomito omnes formae in V pr.
primitivae . si IKr p non est divisibilis simulque non residuum quadraticum ipsius p: si vero p ipsum mctitur. in I crunt formae pr. primitivae: denique si I est res. quadr. ipsius p por p non dirisibilo. in V orunt
formae Pr. Primitivae. Haec omnia nullo m)gotio demonstrantur. Generaliter autem Posito a et Fqη designantibu8 p. g, retc. numeros Primos impares diversos, multitudo formarum pr. primitivarum in Vorit NPQR ..., ubi statuidebet
Q. R etc. autem eodem modo ex q. r etc. sunt definiendi ut P ex p. III. Si aa ipsum D non metitur, erit - integeret 1 mod. 4 . vul resque expr. UD Od. a a) hi la. la. la... aa - la, unde multitudo formarum in V erit a. tot autem inter ipsas serunt Iiroprie primitivae quot ex numeris
ad a sunt primi. Quoties g-l mod. S , omnes Ili numeri erunt Paros, ademque in V nulla forma pr. primitiva; quando autem - - 1 mod. S , Omnes illi numeri erunt impares, adeoque omnes formae in V pr. primitivae . si a est 2 vel potestas ipsius 2. generaliter autem in hoc casu tot sermas pr. primitivae in I runt. quot illorum numerorum per nullum divisorem primum imparom ipsius a sunt divisibilos. Multitudo haoc erit NPQR .... si amet et py qI ..., ubi statuero oportet N-2 . ipsos P, Q. R etc. autem eodem modo ex p. g. r etc. derivare ut in casu Praecedente.
285쪽
IV. IIoc itaque modo umititii linos sermurum pr. primitivarum in V. IV. V etc. definiri possunt: pro aggregato omnium harum multitudinum haud difficultor eruitur sequens regula generalis: Si A- designantibus R. T. Eetc. nunieros primos impares divorsos. multitudo totalis omnium formarum pr. primitivarum in I . I . Ir etc. erit --. ubi statui debet ii in i si l. mod. Sin. velit - 2 si integer , velit - 3 si b. mod. Sl: porro a ti bi et ipsum metitur . vel a se S i si et ipsum non motitur. accipiendo signum superius
vel insorius prout est non-roAiduum vel ros. qu. ipsius el)denique bi e etc. eodem modo ox H. E derivari ut a ex A. Demonstrationem fusius hic explicare, brevitas non Permittit. V. Iam quod attinet ad multitudinem classium . quas suppeditant sormae pr. Primitivae in I , I . V etc., tres insus soquontes sunt distinguendi. Primo, quando D est numerus negativus, singulae formase pr. primitivae in V. V etc. constituent classem peculiarem, sive multitudo ip&a classium quaPsitarum exprimetur per formulam in Observ. Praec. traditam. duobus Casibus exceptis. scilicet ubi vel - - 4 vel - - a. sive ubi D vel - - 21 4 vel -l 1 1. Λd demonstrationem huius theor malis manifesto ostendi tantummodo debet. fieri non posse. ut duae sormae diversae ex U. I . ' Otc. sint
mas diversas pr. primitivus ex br I . W setc. ad eandem classem Pertinentes transeatque Prior in posteriorem por substitutioncm propriam α. 3. I. o: unde halwhuntur aequationes
286쪽
hyp.); secundo. I divisibilem esse per divisorem minimum communem numer rum h. 4'; ponendo enim hunc divisorem - r. hic manifesto etiam metietur ipsos 2 t. 2i'. ad k vero Prit primus; praeterea rr metietur iPSumhhk h h'le' in ii i i : undo laetio doducitur. r etiam metiri ipsum i -ha
Sed erit numerus minimus por h h et hvr simul divisibilis adsoque ipsum. 1 4 et proin etiam ipsum 1 D molietur, quum erit integer negativus . quem statuendo - e. erit pp - Dqq - - sivo i m 'H-eqq. in qua
nequatione Pars tamquam quadrutum ipso 4 minus necossario erit vel 0
vel 1. In casu priori erit eqq 4. et D-- '. unde sequitur. E esse
quadratum signo negativo associum adeoque certo non l mod. 4 , neque adeos ordinom improprio primitivum neque ex improprio primitivo derivatum. Hinc' erit into r. unde facile deducitur . e por 4 esse divisibilem, qq l. I atque etiam intcgrum. Hinc necessario erit D - - .4 4 Si e- - 1, quae Ost DXc Ptio prima. In casu in steriori orit eqq a. unde e -2 3 et 4D --- -3 - : hinc a erit intcger. qui, quoniam Per quadra tum integrum multiplicatus 1 roducit 3. non Imterit esse alius quam 3; hinc 4 D - - 3. A sive D - - l . . . quac est cxceptio se unda. In omnibus igitur reliquis casibus omnes formae pr. primitivae in I I etc. ad classes diversas pertinebunt. Pro caουibus ex ptis Pa. quao e X disquisition haud dissi stili sed hic brevitatis caussa supprimenda resultaverunt, RI P uisSe Susificiat. Scilicet in priori. cx formis pr. primitivis in V. C. V etc. binae semper ad Dandem classom pertinebunt. in posteriori ternae, ita ut multitudo omnium classium quassitarum in illo casu fiat semissis, in hoc triens valoris exprofisioni Rin Ob . Pra . traditae. Secundo quando D cst numerus positivus quadratus: singulae lamae pr. primitivae in V. C. V etc. sine Oxcoptione classem peculiarem eon tituunt. Νupponamus enim. hh. t. k h Γ, i esse duas talos formas diversas proprie aequivalentos, transeatque prior in Posteriorem Per substitutionem propriam α. 6. I. δ. Tum patet, omnia ratiocinia pro casu praec. adhibita, in quibus non supponatur D esse negativum. otiam hic valere. Designantibus itaque p. q. r
287쪽
idem ut illic. etiam hic erit itit ger. at non amplius negativus Sed positivus insulierque quadratus, quo posito se orit -ysqq - l. Q. E. ad , quia disserentia duorum quadratorum nsequit esse l. nisi quadratum minus fuerit 0:qtiam brem suptaositio consistere nequit. Ι'ro casu tertio uul m. ubi D cst numerus positivus non quadratus, regulam gonerulem pro comparanda multitudine serinarum pr. primitivarum in I . , . etc. cum multitudine elassium diversarum inde resultantium hucusque non habemus. Id quidem asserere possumus. lianc vel illi aequalem vel ipsius part m aliquotam esse; quin etiam nox una singularem inter quotientem horum numerorum et valorox minimos ipsorum t. u aequationi it - Duu - AA sati sucientes deteximus. quem hic explicare nimis prolixum foret: an vom possibile sit . illum quotientem in omnibus casibus ex sola inspectione numerorum D. Acognoscere ut in casibus praccc. , dc hac ro nihil certi P nunciare Possumus. Ecce qua ritum eXempla, quorum numerum quisque iacito augere poterit. Pro D - 13. A-2, multitudo formarum pr. Prim. in V etc. est 3, quae omnes fiunt aequivalentes sive unicam civissem emciunt: pro IJ - 3T, A - 2. otium tres se ae pr. Prim. in V ctc. habentur, quae ad tres classes diversas Portinent; Pro D bSS. A se T. habentur octo formae pr. Prim. in I etc. quae ossiciunt quatuor clusSos. pro D - 867, A se 17 in Uetc. sunt 18 sormae pr. primitivno . totidem pro υ - 1445. A l T. sed quae pro illo deteraninante in duas et wS discedunt. Pro hoc in SEX I. Ex applicatione huius theoriae generalis ad eum casum, ubi O est ordo improlirie primitivus. colligitur. multitudinem classium in hoc ordine contentarum sore ad multitudinem omnium classium in ordine proprie primitivo, uti ad multitudinem classium proprio primitivarum diversarum . quas hae tres formae
i. 0. -D l. 4. 3. ossiciunt. Et quidom hinc resultabit unica
classis. quando D l smod. S . quia in hoc casu forma secunda et tertia sunt improprio primitivae: quando vero D 1 od S . illas tres sormae omnea erunt Proprie Primiti Vae totidonique classos divorsas producent, si D Est negativus. uni OC-u ex pto. ubi I - - 3. in quo unicam classem constituunt: denique casus
ubi D est positivus ί rmae 8nH-5) ad eos liertinet. pro quibus regula generali Aliactenus desideratur. Id tamen asserere possumus. illas tres formas in hoc casu 36.
288쪽
vel ad tres classes diversas portinere vel ad unicam. numquam ad duas: facile
neant ad classos K. V. K . sors κες- ς. K H-K'- M'. adeo lus. si fi et M identicae esse sui,ponantur. etiam ς et Λ identicas fore: simili rationesi K et K supponuntur esse identicae. otiam K et K crunt; denique quum sit K --K - K. ex suppositionc ν et ς' identicas esse, sequitur, Ptiam K et ς' coincidero: unde colligitur. vol omnos tres elassus K M, K osse diversas. vel omnes tres identicus Hs infra 600 dantur 7 5 numeri sormne SnH-5 inter quos sunt is de torminantes pro quibus casus prior locum habet sive multitudo classium in ordine pr. primitivo ter maior est quam in init r. larimitivo. puta 37. lol. l4 l. 189. 19 T. 269. 325. 333. 349. 373. 3 St. 389. 405. 4S5. 557. 573; pro lis reliquis caesus posterior valet, sive multitudo classium in utroque ordine ost aequalis. II. Vix opus erit. observare. Per disquisitionPm Praecedentem non sinium multitudines classium in ordinibus diversis eiusdem determinantis comparari poss0. sed illam otiam ad quoscis determinantos divorsos qui rationem quadrat rum inter se teneant esse applicabilem. Scilicet designanto Ο ordinom quemcunque det. d mm. Ο ordincm dct. d mm . G comparari Poterit cum ordine Iγr prie primitivo det. d mm, atque hic cum ordine derivato ex ordine i r. prini. dot. d. sive . quod rΡspectu multitudinis classium eodem redit. cum hoc ordine ipso: et cum eodem Iarorsus simili rationo comparari poterit ordo ο'.
De multitudine et rarium ancipitum.
Inter omnes elassos in Ordine dato dotorminantis dati imprimis classes ancipites di Aquisitionem uberiorem postulant. determinatioquo multitudinis harum classium ad multa alia viam nobis aperiet. Suffcit aut in . hanc multitudin m in solo Ordine pr. t ri initivo assignare. quum casus reliqui ad hunc lacilo roduci po sint. IIoc negotium ita absolvemus, ut primo omnes sorinus ancipiteη pr. Primiativas A. D. Cὶ determinantis propositi D, in quibus vel B - 0 vel D - l A.
Eruere. tunc ex harum multitudine multitudinem omnium classium ancipitum pr. primitivarum det. II invontro doceamus.
289쪽
285l. Omnes formae pr. primitivae A. 0. C; determinantis D manifesto inveniuntur, accipiendo pro ad singulos divisoros ipsius D tum ivisitivo tum n gati ve) pro quibus C - - fit Primus ad A . Quando itaque D se l. dua huiusmodi formae dantur l. 0. -ll. - l. 0. l): totidem quando I - l. Puta l. 0. lj. - l. 0. -lὶ; quando D est num rus primuη aut numeri priuii lvitostas sive signo tu sitivo sive negativo . quatuor datiuntur 0. -'. - l. 0. D). D. 0. -ll. - D. 0. l). ἰoneraliter nutona, quando D per nnumeros primos diversos est divisibilis inter quos hoc loco etiam 2 in computum inmodi debet : dabuntur omnino liuiu ς modi sormae; scilicet posito
D - - PQR. . . . designantibus P. Q. R etc. numeros Primos divorsos aut numerorum Primorum diversorum Potostatos. quorum multitudo n. valores ipsius A Prunt l. I'. Q. R etc. atque Producta ex quotcunque horum numerorum: horum valorum multitudo fit per theoriam combinationum 2 . sed duplicanda est. quoniam Singulis Valoribus tum signum positivum tum noxativum tribuerse
II. Nimili modo patet. omnes formas pr. Primitiv 2II. B. Cj determinantis I9 obtineri. si pro B accipiuntur omnes divisores ipsius D positivo et negative in . pro quibus C l B - ζὶ fit integer et ad 2B primus. Quum itaque C nec sario dotioni osse impar. adeo luct CC - l in . S . ex D - BR - 2BC - in CC sequitur. D esse vel -3 mod. l . quando B impar. vel -ο mod. S). quando B par; quoties itaque D alicui numeronimi. 2. 4, 5. 6 s . mod. S est congruus. nullae huiusmodi formae dabuntur. Quando
D 3smod. 4ὶ. C fit intora r et impar. quicunque divisor ipsius D pro B accipiatur; novoro C divisorem comm . cum 2B habeat. Is ita accipi debebit. ut se ad B fiat primus: hinc pro D - - l duae sorinuo habentur 2. l. l . - 2. - . - l . generaliterque facile perspicitur. Si multitudo omnium numerorum Primorum ipsum D molientium sit n. omnino emergero 2 ' formas Quando D per 3 est divisibilis. C fit integer. accipiendo pro B dirisorem quemcunque parem ipsius , IJ; onditioni nitori autem. ut G - 1B - ad 2B sit Primus. Mittat arimo. uccilii nilo pro B omnes divisores imparitor puros ipsius D. pro quibus o cum Bdivisorem communem non habet, quorum mi utitudo habita ratione divorsitatis signorumὶ erit si D per n numeros primos impares divorsos divisibiliseMAP supponitur: semindo. accipiendo pro B omnos divisores pariter Italis ipsiuκ
290쪽
, D. Pro quibus fit primus ad B. quorum multitudo quoquo erit 2 . ita ut in hoc caesu omnino habeantur 2 ' huiusmodi formae. Seilicet ponendo D - Φ 2 PQR. . designante μ exponentem maiorem quam 2; P, Q. R numeros primos impares diversos aut talium numerorum primorum potestates quorum multitudo n: tum pro lB. tum pro A accipi Possunt valores l, P. Q. Retc. Productaque ex quotcunque horum numerorum . signo et Iri,sitivo set u guti Vo.
Ex his omnibus colligitur . si D per n numeros primos impares divorsos divisibilis supponatur statuendo n - 0. quando D l aut 2 aut potostas binarii , multitudinem omnium formarum pr. primitivarum A. B. Q. in quibus B voi 0 vel l A. sore 2 ' quando D aut mi aut -5 mod. 8ὶ: 2 quando D - 2. 3. 4. 6 aut T mod. 8); denique 2' ' quando D 0 mod. 8 . Quam
comparando cum iis quae in uri. 231 Pro multitudine omnium Characterum possibilium formarum primitivarum det. D tradidimus. observamus. illam in omnibus Dasibus praecise esse duplo hae maiorem. Ceterum manifestum est, quando D sit negativus. inter illas sormas totidem positivus affore quot negativas 258. Omnes formae in art. pra C. Drutae manifesto pertinent ad classes ancipites et vice versa in quavis classe ancipito pr. primitiva dei. D saltem una illarum sormarum contenta esse debet; in tali enim civisse certo adsunt sormae ancipites et cuivis formae ancipiti pr. primitivae M. b. H det. D aliqua sermarum art. Prae . aequivalet. scilicet vel
prout b vel . 0 vel mia mod. a . Problema itaque eo reductum est, ut quote lasses diversas illae sormae constituunt. in v tigemus. Si forma a. o. est inter sormas art. praec. . forma e. 0. H inter easdem occurret et ab illa semper erit divorsa, unico casu excepto, ubi a - e-- ladeoque D - - 1. quem aliquantisper seponemus. Quoniam vero hact sormae manifesto ad eandem classem pertinent. sufficit unam retinere, et quidem reiiciemus eam. cuius terminus primus est maior quam tertiuS: eum casum. ubia - - e - - sive D l quoque Se nemus. Hoc modo omnes forna