장음표시 사용
291쪽
A. 0. Cὶ ad semissem reducere possumus, retinendo e binis semper unam; et in Omnibus remanentibus orit A et xl in D. Simili modo si inter formas art. Praec. Occurrit forma 2b. b. c. inter PMdem reperietur 4e - 2b. 2e - b. H T, c quae illi proprie nequivalens et ab ipsa diversa crit, unico quem seponimus Cabucxcepto. ubi e - b - - l sive D - - 1. Ex his duabus formis eam retinere suffcit. cuius terminus primus est minor quam terminus primus niterius magnitudine aequales, signis diversi in hoc casu esse nequeunt : unde Patet . etiam omnes formas 2B, B, C ad semissem reduci posse, o binis unam Semper Piliaciendo; et in remanentibus esse Bec. sive BQq D. Hoc modo ox omnibus formis art. Prae . semissis tantum remanet. quarum stomplexum Per in designabimus, nil sitque superest, nisi ut ostendamus. quot classes diversast sex his formis Oriuntur. Ceterum manifestum est, in eo casu ubi D sit negativus. totidem formas iκ,sitivas in in affore quot uegativas. Ι. 4uando D est negativus. singulas formae in IV pertinebunt ad classos diversa'. Nam omnes sorinae A. 0. CC erunt reducino; similiter omnes formae 2D. B. Cὶ reductae erunt. praeter eas in quibus C 2B: in tali vero formacrit 2Cς 2B--C; unde quoniam II i. e. BQ 2C-B, adeoque 2Bα 2C,
manifesto illi aequivalet, larina reducta. ΙIoe modo totidem sormae reductae habentur, quot sormae habontur in IV. et quum facile porspiciatur, inter illas neque identi eas neque Opivisitas occurrere possct, unico Casu excepto. ubi C- B - 0. in quo crit B se C - - l, adeoque D - - l. quem iam Sela Suimus): omnes ad classes diversas pertinebunt. Hinc colligitur, multitudinem omnium classium ancipitum pr. primitivarum det. D multitudini formarum in IV seu spmixsi multitudinis formarum art. praec. acqualem esse; in Casu EX- Pto autem D - - 1 Per coitu ensation in idem evenit. scilicet duae classes habentur. ad quarum altorum pertinent sormae l. 0. Iὶ, 2. l. l . ad Hieram hae l. 0. - l . - 2. - l. - l . Generaliter itaque pro determinante negativo multitudo omnium classium ancipitum pr. prim . aequalis est multitudini omnium
292쪽
clavructauum assignabilium sornuirum primitivarum huius de torminantis: multitudo classium anciPituita pr. Prim. Positivarum autem semissis erit. II. Quando D cst 1,ositivus quadratius h. haud dissicile domonstratur. singulus sermas tu II ad classes diversus pertinoro; sed pro hoc casu ud proble- mutis solutiouom adhuc brevius sequenti modo licrvenire Possumus. Quum lyerari. 210 in quavis classe uncipite Pr. Prim. det. h h. neque in ulla alia. Contine tur forma reducta una u. h. 0 . in qua a est vulor ex pr. l inod. 2 ' inter o ct 2 4- l incl. situs: IFerspicuuiu est. totidem clas,es uncipitos pr. Prim. det. 1 hilari. quot uniores ex Pre,sio illa habeat. Ex art. Iob autem nullo negotio deducitur. multitudinem horum valorum osso 2' vel 2 ' vel 2' . prout h sit impar v I impariter par vel Pariter Pur. Sive prout i vel vel -0 mod. S . designante n multitudin in divisorum primorum imparium ipsius h sive ipsius D.
Hinc it illigitur. multitudinem classium unci pituita I r. Prim. Sem Per Se SOmisSUm multitudinis omnium formarum in uri. Pruec. Pruturum. Sive multitudini formarum in II vel omnium charactorum Imssibilium notiti ut Em.
Ill. Quando D ost laositivus non uadrutus. ex singulis formis A. B. C)in II eon inutis ullus doducamus A. B ). accipiendo II i Is mini. 1ὶ Qt inter limites x Det v I ubi signum superius vol inserius adhibolidum, prout Aersi pos . vel ii g. i ut luo C' - ' designemusque harum complexum iter M. Manifesto hae sorinae erunt proprio primitivue uncipites det. D, utque Omnes
intor se diversae: Iaraci reu vero Oniues erunt sorinae roduetao. Quando enim
II 'munisust , erit et v IJ atque positivus: praeterea B vD Aruleoque A vD - Β' et proin . l. positivo acceptus. certo inter VD--B' et v D - Β' situs. Quando vero non poterit esse B 0 quippe quas inritias et imus . Ned crit necessurio se hinc B' magnitudino ipsi l Atae Diali Ν, Nigrio positivus quoniam cnim Ac 2 v D. - έ i incebit inter limitos ipsi B ars signatos. ipsiquo B Sec. mo l. A erit congruus; quare Π - 1, 4 . protu Β' unus 2 L et YDH-B' sive A Q. , DA . quamobrem a1necussario inter limiteg xD-FB ot , II - Β' lucebit. Devique II ' omnes sor-m reductari Pr. Prim. uncipites det. D conti uobit: si cuim a. b. H est huiusmodi
293쪽
erit in IV. et respondens a. b. et in Π ; in tu,steriori certo erit ac 2 v D. adeoque a. la. la - in contonia. atque respondens a. b. e) in IV . Ex liis colligitii r. multitudin in formarum in in aequalem 'osso multitudini omnium formarum reduptarum nucipitum tir. lirim. det. D; iluoniam vero in singulis clas'ibus ancipitibus binae formae reductae ancillites continentur arti. 187. 94 . multitudo omnium classium ancipitum pr. prim. det. D crit somissis multitudinis formarum in IV. sive Aoniissis multitudinis omnium charactorum assignabilium. 259. Multitudo classium ancipitum improprio primitivarum de torminantis dati Dinultitudini proprie primitivarum piusdem det. semper est aequalis. Sit K classis principalis . atque M. K etc. reliquas classes ancipit s pr. Primitivae huius d torminantis: L aliqua classis an ops improprie primitiva eiusdem det. . e. s. Cuin qua est forma 2. l. l - ὲ Din. Prodibit itaquo ex compositione classis L cum Kelassis L ipsa: ex comimsitio no clusesis L cum M. Ix' ore. provenire supponamuκ Classos L . Vetc. roSP. . quae manifesto omnes nil cundem determinutilem D pertinebunt, atque improprio primitivae et ancipites erunt. Patet itaque, theorema domonstratum fore. simulac probatum suerit. omnes classes L. L. Vetc. esse diversus, ultusque ancipitPs impr. Prim. det. D praotor illas non dari. Ad hunc finem sequentes casus distinguimus: I. Quando multitudo classium impr. primitivarum multitudini pr. primitivarum aequalis est, quaevis illarum oritur ex comi)ositione 'classis L cum classo doti rminata proprie primitiva. unde necessario Omnos L. L . L otc. orunt divo suo. Designanto autem P classem quamcunque ancipitum impr. prim. det. D, dabitur Has is tiroprio primitiva M talis ut sit RH-L- 2: si classi M Opimsita est cla sis se . erit otiani quoniam classes L. 2 sibi ipsae oppositae sunt 3ν--L - P. unde necissario bl cum κ' identica erat . adstoque Classis uncops: hinc st rol orictur inter classes K. Κ'. K etc. atque 2 inter Iris L. L . L' ore. II. Quando multitudo classium improprie primitivarum ter minor est quam multitudo classium pr. Primitivarum. sit II ct sis in qua est forma 4. l. Ῥὶ.H' oa in qua est sema 4. 3. : J. eruntque Η. Π' proprie primitivae et tum a T
294쪽
intor se tum a classe lνrincipali K divorsae. atque Η - Η'-K;2Π' - II; et ri 2 cst classis quaecunque improprie primitiva dei. D, quae oritur cX compositione classis L cum l roprio primitiva st, erit etiam 2 - L H- 9 et 2 praetor tres ci sos pr. Prim. atque diveris ὶ 9, 9 in L ' alino non dabuntur. quae cum L com Iiositae ipsam e producant. Quoniam igitur. Si 2 ost anceps atque M' ipsi si opposita. etiam necessariost cum aliqua illarum trium classium identica erit. Si 9 St. crit M linceps: si erit K - 2 ε 4 ' - 29-ΡΗ- 2 2H-Η'ὶ adeoqueunceps: similiterque si S ' - 2-ΡΠ erit 1 -II ancoPs. unde concluditur. 2 intor classes L. L , Π utc. necessario reperiri. Facile autem Iaerspicitur. inter uos classes M. Stri-Π' plures ancipites esse non posse; si enim tum 1 tum it in II ancipitos essent sive cum opivisitis suis st'. st'-HIL' resp. identicae. foret si H- II in it - - Π': cadem conclusio resultat ex suppositione. it et v - - Π' esse ancipites; denique si M'-HIL. St-HIL' uncipites sive cum Opivisitis suisit ΦLI'. M' II identicae essent, fioret .st Φ Η--st H-Η- 9 - Η'H- ς ε Η'. unda et II - 2 II'. sive II II. Quamobrem unica tantum classis aut ps pr. prin . dabitur, quae cum L Domitosita ipsam e producit. adeoque omnos L. L. L
Multitudo classium ancipitum in ordine derirato manifesto aequalis est multitudini classium ancipitum in ordine primitivo, ex quo est derivatus. adeoque Perl me sedentia Semlaer poterit assignari
PRORLEMA. Classis proprie primitira K determinantis D oritur eae duplicatione elassis proprie primitivae k eiusdem determinantis: quaeruntur omnes similes ela es, ea quarum duplicatione classis K oritur. Sol. Sit II classis 1,rineis, His det. D atque Η'. II . II ' ore. reliquas classes unciIlites Iar. Iirimitivae eiusdem determinantis; classes quae eX harum Omlmsitione cum k oriuntur, k - , k- - Π . kH-Π designentur Iaer E. V.C' etc. I unc omnes classes k, E, F etc. erunt pr. 13rimitivae det. D et inter se diversae: aeque facile liorspicitur . ex singularum duplicatione oriri classum K. Denotante autem ii classem quamcunque pr. Prim. det. D. quae duplicata IFr ducit classem K. necessario inter classes k. E. k otc. contenta erit. Ponatur
295쪽
2k- 28 - 29 - K - 2k. unde tacito concluditur. 22 coincidere cum classe principali. θ osse ancipitem si vo inter II. II'. II ' etc. contentum, utque M interk. k'. V etc.; quamobrem hae classos completam problemati A solutioncm exhibent. Ceterum manifestum cst. in eo casu. ubi D 8it negativus, o classibus k. E. V ete . semifisem sero classes positivuss, SemiSSOm n tium. Quum igitur quae in classis Pr. Prini. det. D. quao ex ullius classis similis duIdicatione oriri imisAt. omnino ex totidem classium similium duplicatione I r Veniat. quot classes ancipites pr. Prim. det. D dant*: Perspicuum est. si multitudo cunctarum classium 1 r. Prim. det. D sit r. multitudo omnium classium unci Pitum Iir. Prim. huius det. n. multitudinem omnium classium Pr. Prim eiusdem det . quae ex duplicationc similis classis produci lκ3ssint, soro Eadem sermula resultat. St. Pro det. negativo. Characteros r. n multitudinem ciues,lum positirarum designant. ille omnivm Pr. prim. hic solarum uncillitum. I tu e. s. Pro I - - 16l multitudo omnium classium Iir. Prim. positivarum est l6. multitudo ancipitum l. undo multitudo omnium classium, quae per duplication m alicuius classis oriri Possunt. doloni osse 4. Et revera invenitur, omnes classuN in genere principali contentas hac proprietato osse pra ditas: scilicet classis principulis
tivo non-quadrato nulla senema proprie primitira respondere possunt: pro determinantenoea tiro autem nulla genera proprie primitiva positira. Dem. Sit m multitudo omnium generum prolirie primitivorum POSitiv rumὶ determinantis D: k militudo classium in singulis generibus contentarum, ita ut km sit multitudo omnium cla sium proprio primitivarum si visitivarum ;n multitudo omnium characterum diversorum pro hoe det. assignabilium. Tunc
296쪽
I, r art. 25, multitudo omnium classium ancipitum positivarum) pr. primitivarum erit In; liinc lier art. Praec. multitudo omnium Hassium Pr. prim . . quae ex duplicatione similis Hassis oriri Possunt, erit Sed Iaer art. 247 hac classes Omnes Pertinent ad genus principale, in quo continentur k classes: si itaque omnes classes generis principalis ex duplicatione alicuius claissis provenire lyossunt quod revera Semper locum habere in sequentibus demonstrabitur , crit-- k. sivem certo autem nequit osso' k neque adco m n. Quoniam itaque multitudo omnium generum pr. Prim. positivorumὶ certo non est maior quam
inmissis Omnium characterum ussignabilium: ad minimum horum semissi talia genera rest Oudero nequeant. Q. E. D. Ceterum Probe notandum est. hinc nondum Aequi. Nemissi omnium charactorum assutiabilium revem restiondere g nera Pr. Prim. positioὶ sed huius propositionis marissimae veritas infra demum e reconditissimis numerorum mysteriis enodari Poterit. Quum pro determinante negativo intidem genera negativa Semper exstent quot lvisitiva. manis to ex Omnibus charactoribus assignabilibus non plures quam Semi is genoribuη Pr. Prim. uegativis competere Possunt. de qua re ut et de generibus in ar. Prim. infra loquemur. Duni lue Observamus. theorema ad dotem minantos Positivos quadrutos non extendi, pro quibus nullo negotio perspicitur singulis charactoribus assignabilibus genera revora respondere.
262. In eo itaque casu. .ubi Pro dotorminante non-quadrato dato D duo tantummodo characteres diversi assignari possunt, unico tantum genus Iir. Primitivum
positivum; respondebit, quod non iviterit esse aliud quam genus principulei, alter nulli formae pr. Ρrim. pos. illius determinantis competet. IΙoc evenit pro
determiunntibus -l, 2. - 2. - 4. numeris primis formae 4n--l positivo. ii quo formue 4 n ἡ-3 timative ucceptis, denique Pro omnibus numerorum Prim rum sorinuo 4nH-l potustatibus ex Iui nonus im Paris Iuisitive Sunitis. et Iiro Potestatibus numerorum primorum formae 4 nH- 3 positive vel negativo sumtis prout exponentes suut Paros vel impares. Ex hoc prim i pio methodum novam haurire IUSSumuΝ. non modo theorema landamentale, Mid etiam reliqua theoremata Met. Pr C. ad rosidua - . - - 2. - 2 lierti non tia domon fitrandi, quae a methodis in
297쪽
Sei:t. Praco. adhibitis omnino ost diversa. elegantiaque liis neutiquana inferiora stimanda vido tur. Dctorminantern - 4 autem, Pt qui sunt numerorum prim rum testates, quum nillil novi doceant. pinoteribimus. Pro determinante - l itaque nulla forma positiva datur, cuius character sit 3. 4; pro determinante H-2 nulla omnino forma. cuius character sit 3 et 5. S: pro determinanto - 2 nulli formae Positivas compotet charactor 5 et T. S: Pro determinante -- p. Si p est numerus Primuη forma 4n --l, vel Pro determi- nunte - p. si p cst numerus primus formae 4n-μ3. nulli formae pr. Pr. Positivae in casu post in compotot character M. Ηin C th Oromata Nect. Pra C. 8 quenti modo demonstramus:
I. Est -l non-residuum cuiusvis numeri sitivi in formae 4nH-3. Si enim - 1 residuum talis numeri A esset. faciendo -l - DB - AC. sciret A. B. Cὶ forma in sitiva dei. - 1. cuius ChamCtor 3. 4. II. Est -l residuum cuius,is numeri primi p formae 4n-hi. Nam character somno l. 0. H. sicuti omnium Proprie Primitivarum det. p. erit Γρ. adeoque -lRp. III. Tuni H- 2 tum - 2 est residuum cuiu8vis numeri primi P formae
Si enim esset residuum talis numeri A. daretur sorma A. B. Cὶ detorminantis
U. Simili modo - 2 est non-residuum cuiusvis numeri sermuu Nn buut 8n-μ7. vlioquin pnim daretur forma A. B, C, determinantis - 2. cuius character 5 et 7. 8.VI. Est - 2 residuum cuiusvis numeri Primi ιν sormae Srι- 3. Hunc propositionem Iter mothodum cluplicona demonstrare licet. Primo, quum per l, 8it --2 . ntquB Ivir I. -l a . necessario Erit - 2 . Demon Atratio ore. cundia petitur ex consideratione detorminantis 2p. Pro quo quiliuor cliuructere, sunt signabiles. puta . let 3. S: Np, bet T. S: Np, let 3. n: Ap. 5et 7. b. x liuibus igitur sultem duobus nulla genera rosIUndebunt. Iam formaΡ
298쪽
l. it. - 2Iῆ competit character primus: formae s-l. 0. 21 quartus; quare qiri reiici dobent sunt secundus utque tertius. Quum itaque character serinae p. u. - 2) relative ad num rum 8 sit tela. S. ipsius character relative ad p non potorii osse alius quum M. unde -2Rp.
II. rit ε2 residuum cuiusvis numeri primi p formae Sri in 7. quod ΡΘr methodum duplicem demonstrare licet. Primo, quum ex I et V sit -l M. - 2 . erit - 2 . Secumis quum ves 8. l. vel S. a. sit forma proprio primitiva determinantis -p prout n par vel impad. ipsius character orit Np. ad quo SIM et 2 Ap.
III. Quilibet numerus primus p formae 4n-Hl est non-r Siduum cu-Iuηvis numeri imparis q. qui ipsius p non-rcsiduum est. Patet enim. si p esset residuum ipsius q, dari formam proprie primitivam determinantis p. cuius character M. IX. Simili modo si numerus quicunque impar et est non-r siduum numeri Primi p formae 4nH-3. crit - p non-residuum ipsius q: alioquin enim daroturs arma tiositiva pr. primitiva doterminantis - p cuius character M. X. Quivis numerus Iirimus p formae 4nH-l est residuum cuiusvis alius numeri primi q. qui ipsius p residuum est. Si etiam q est larmao in H- l. statim sequitur ex VIII: si vero q ost somno 4n--3. erit Etiam -q residuum
XI. Si numerus quicunque primus q est residuum alius numeri primi psormao 4nH-3, erit -p residuum ipsius q. Si enim q est formae 4nini: ex VIII so quitur pRq. tamque per II . Γρ; casus nutem ubi etiam q est sor-muP 4nH-3. huic methodo se subducit, attamen sacile ex consideratione deterin minantis -pq absolvi potest. Scilic t quum ex quatuor characteribus Pro hoc
genera r Spondere possint, atque serinarum l. 0. -pq , - l. 0. pq chariacteres respective sint Primus et quartus, charactor securidus et tertius nulli formae Pr. Prim. det. pq comIaetere massunt. Quum itaque character formae sq. 0. -κre SP. numeri P Per lin . Sit M. Eiusdem formae character restHctu numeri qdehet osso Rq. adeoque Rq. Q. E. D. Si in prolviss. III et IX. q sui3IUnitur designare numerum primum . hae cum X et XI iunctae theorema sundamentato Soct. Praec. exhibent.
299쪽
263. Postquam theorema sundamentale demonstratione nova comi robavimus. enm
Characterum semissem. quibus nullac serna ac pr. primitiva positivno restiori dere
POSSunt, Pro determinanto quocunque non uadrato dato discernere ostendemus,
quod negotium eo brevius absolvere licebit. quam ipsius sundamentum iam indisquisitione arti. 147 - 150 sit contentum. Sit ee quadratum maximum. dete minantem propositum D metiens. atque D - D ee. ita ut D' nullum factorem quadratum implicet; porro sint a. b. e etc. omnes divisores primi impares ipsius D'. adeoque D' sine respeetu signi sui vel productum ex his numeris vel duplum huius producti. Desigmetur por la complexus charactorum particularium Na. Ab. Nc etc., solus, quando I l mod. 4); adiuncto charactore 3. 4. quando D Aniquo e impar aut impariter par: adiunctis his a. S aulus 7. S. quando D - 3 atque e Pariter Par; adiuncto vel charactore aetb. S. vel duobus a. 8 atquc 5. S. quando 2 mod. Si atque e vel impar vol par; denique adiuncto vel charactere 5 et 7, S. vel duobus 5.8 atque T. S. quando D' 6 mod. Sὶ atque evol impar vel par. IIis ita factis, omnibus charactoribus integris. in quibus multitudo impar characi raim particularium 2 continetur, nulla genera Propriuprimitiva positi v dctorminantis D respondere imi runt. In Omnibus casibus charactores Particulares, qui ex larimunt relationem ad tales dirisores primos ipsius D. qui ipsum D ' non metiuntur, ad genorum lisssibilitatem vel inii, ,ssibili tatem nihil couserunt Ex theoria combinationum autem facillime perspicitur.
hoe modo rovera semissem omnium charaeterum integrorum assignabilium excludi. Demonstratio horum Praec Iitorum adornatur sequenti modo. E principiis Sect. Praec . . sive theorematibus in nrt. Praec. denuo demonstratis nullo negotio
deducitur . si ρ sit numerus Primus impar sitivus ipsum D non mutiens. Cui
aliquis e charactoribus reiectiis Competat, D' iml,licare multitudinem imitarem factorum, qui sint non-residua ipsius p. atque adeo D'. et hinc etiam D. osso non-residuum ipsius p; porro sacile perspicitur, productum D numeris quotcunque imparibus ad D primis, quorum nulli aliquis characterum reiectorum competat, etiam cum tali charactere consentire non posse; hinc vice vorin lwrspicuum est, quemvis numerum imparem positi una ad D primum, cui aliquis elinructi
300쪽
ruin reiectorum Onveniat. Certo aliquom factorem primum eiusdem qualitatis implicares. adhoque D ipsius non-residuum esse. Si itaque forma limprio primitivallositival determinantis D daretur. alicui charactorum reiectorum respondonS. D sorot non-residuum cuiusvis numeri positivi imparis ad ipsum primi per i lom formam repraesentabilis. quod inanisosto cum thoorsemate art. 154 consistere nequit. Tamquam exempla conferantur classificationes in arti. 23 l . 232 traditae. quarum numerum quisque pro lubitu augere la iterit 264. IIoc itaque modo pro quovis detorminanto non uadrato dato omnes ch ructeres ussignabiles in duas specios P. Q nequaliter distribuuntur. ita ut nulli charactorum Q forma laroprie primitiva positiva respondere possit, reliquis autem P. quantum quidem hucusque novimus. nihil obstet. quominus ad talos mas Iwrtineant. Circa haη characterum species noto tur imprimis l)ropositio Sequens. quae ex ii sarum criterio facile de lucitur: Si character ex P cum charactere ex Q comtponitur ad normam art. 246 perinde ac si otiam huic genus resimndero h prodibit character in Q : si vero duo charactores ex P. vel duo ex Q componuntur, character resultans nil P IPorti nobit. Adiumento liuius the rematis otiam Iaro generibus negativis utque improprio primitivis semissis omnium haracteriam assignabilium excludi potest sequonti modo. I. Pro do torminanis rimativo D mnora iuuativa in sitim. . hoc resim ciultrorsus crantraria erunt. scilicci nullus characterum P Ipertinebit nd genus Pr prio l,rimitivum negativum. ssed haec gonora Omnia habebunt characteres ex Q. iauando enim D - 1 mod. 4ὶ . erit -υ' numerus positivus sermae 4nH-3, adeoque inter a. b. e etc. multitudo impar numerorum soritiae 4n- 3. quorum singuloriam non-residuum erit - l. undo Patet . in Charactorem in togrum formae. - l. v. Din in hoc casu ingredi multitudinem imitur in characterum liarticularium ex la. sive illum Ilertinere ad Q; quando I a mod. 4 . ex simili ratione inter a. b. e etc. vel nulluκ numerus larinae 1n- - 3 rotaerietur. Vel duo. vel quatuor otc.. Sed quum vel 3. 4 vel 3 8 vel T. S in hoc casu occurrat inter ch racteres Particulares larinae u. D , Ilaint. Charactorem integrum huiu8 mue etiam hic t Ortinere ad Q. Eadena conclusio aeque lacile in casibus reliquis