장음표시 사용
311쪽
Accipiendo itaque s. ae ud lul,ituni. ita tamen ut Uae' - - ι non sit -0 Amul manifesto seri poterit. nisi simul b' et ς sint ino: tunc aut in seret D - 03. nullo negotio Imrspicitur, ae ita de torminari posse, ut f Obtinent valores tum Positivos. tum n guttvos. Quare otium in ii eo casu f erit forma indefinita. Eodem modo. ut hic ex numeris a D. . 1 indolom seruiue s diiudicavimus. otiam a II et A adhiberi possunt, ita ut f sit sorma definita . si tum aD tum ae sit noxativus: indefinita in otii nibus r liquis casibus. Nec non Prorsus simili modo Didem fini inservire potost consideratio num ororum . D ot A. vel horum. D ct A . vel horum a D et A. vel denique ipsorum . 'D ot A'.
Ex his omnibus collietitur. in forma definita scX numeros A. al , ae a D. . . a D esse tu tivos. ot quid in tu forma positiva a. . . a crunt Positivi, D nogativus; in noxntiva autem a. . . s oritui negatiri. D sitivus. Hinc Iratet. Omnes formas tornarius dolorini nuntis dati positivi distribui in nomii vas et indefinitas: omnes aut in determinantis negativi in P sitivas et indefinitas: doniquo formius positivus detorminantis lκ,sitivi, seu negativus determinantis Do- Pitivi omnino non dari. Indidem sucile perspicitur, formae definitue scin per adiunctam osse ii finitam et quidem neyntirum . indiffinitae indefinitam.
Quum Onanos numori per sorinam ternariam datam repraesontubile, mani- ω,to Etium P r Omnos formas huic vo lui valentes ropraesenturi posSint: sermucternarino in cadem classo contoti tuo vel omnes orunt indefinituo. vel omnes postibvue. Vel omnes noxiitivue. Quainobrem has formarum denominationes etiam ad classos integras transsurro licebit. 27 2. Theuremn in art. Iaruec. PI positum. quod onuios formae tertiariae dote
minantis dati in multitudinum sinitam classium distribuuntur. Per methodum Diqua in formis bitiuriis usi sumus analogam tructabimus, scilicet Ostorid Hilo. Primo, quo pacto quuovis forma isernaria ad formam simpliciorem reduci lκ ΝΝit. dein . serniarum simplicissimarum sad quaη twr talos roduction Os Iterveniaturin multitudinem pro quovis determinante dato osso finitum. Supponamus genuIuli'
312쪽
α , 6 . γ' transeat in a qui valentem y vorsabiturque negotium nostrum in eo, ut a. 6. I etc. ita definiuntur. ut sorma y simplicior evadat quam s. Sint formae ipsis f. y adiunctae resp. XI k J. quae d SignPntur Iaer F. G. Tunc I er art. 269 F transibit in G per substitutionem ipsi S adiun tam . G autem in F per substitutionem ex transpositione ipsius S Oriundum.
qui esse debebit vel - - l vel - - l. denotabimus per k. Quibus ita saetis
I. Si fiat I 0. γ' - D. α' - 0. 6 s. I I, larem a a a 2 b a α - - . . . m - a 6 6 - - 2 b 6 6' - - α σύ . m' - ά n bt --Γ6. n' - bάρνα. η' - α σύ - b α6'H-6α ὶ - αα 6'I'rnotorea esse debebit ας - σα' vel με l -- l. Hinc manifestum est. formam binariam a. b . Κὶ, euius detoraninans est A . transmutari per substitutionsem a. s. a'. 6' in formam binariani m. n . m in determinantis M , ut proin ipsi nequivalere propter ας - 6ά - - 1. undo erit M - A . quod etiam directo facile confirmatur. Nisi itaqu a. b . . ) iam ost forma simplicissima in lasso sua. ipsos α. 6. ά. 6' ita determinare licebit. ut m. m j sit forma simplicior; ut quidem o theoria aequivalentiae formarum binariarum facile concluditur, hoc ita fieri l osse. ut m non sit maior quam V - l . '. si . 1 fuerit nomii-vus. vel non maior quam vas, si A suerit Imsitivus. vel m - 0. si ad seu, ita ut in omnibus casibus valor absolutus ipsius m certo vel infra vel saltem usque ud v ε l a' deprimi possit. His itaque modo forma I ad aliam reducitur codnficientem primum . si fieri potest . minorum lialaentem. et cuius forma adiuncta cossificientoni tertium eundem habet ut forma F ipsi s adiuncta. In hoc consistit
313쪽
M - Α σ67 2B6 6 ἘσσHinc iratet, formam binariam A , A. Ain, cuius determinans cst m. transire Per substitutionem - I. - p. f in sormam II N. M detorminantis Dm. ad vique propior 6 3 -7 ς - - . vel propter Da D m) ipsi aequivalere. Nisi itaque a'. B. Aὶ iam est forma simplicissima classis suae. C ssicientes r. f. C. I ita determinari poterunt, ut sM . N. M J sit simplicior, et quidem hoc spmper poterit fieri ita. ut M sine rpstinctu signi non sit maior quam V in lDa. IIoc itaque modo sermn f roducitur ad aliam cosissicientem primum eundem habentem, sed cuius sorma udiuncta codssicientem tertium si fiori potest minorem habeat quam forma F ipsi s adluiteta. In hoc consistit reduetio
III. Si itaque s est forma ternaria, ad quam nequo reductio prima neque Kecunda est applicabilis. i. e. quao Ivir neutram in formam simpliciorem transmutari potest: necessario erit tum a a vel se i A . tum Ara ς vel la D sine respectu signi. Hinc a serit Q vel eaeae, adeoque a ς volvet D. et a cc xel - 1 D: hinc rursus ae 1 ς vel se atque A vei uaniobrem quamdiu a vel A' hos limites adhuc superant. Irecessario una aut ultora reductionum praecedentium ad formant f applicari poterit Coterum haec cones ursio non est convertenda. quum utique s Pius
314쪽
neci lat. ut forma υ rnaria. cuius copificiens primus . niquo cosmciens tortius sormae nil iuncino iam sunt infra illos limites, nihilominus per unum alterariave re ductionem adhuc sinis licior roddi liossit. IV. Quodsi vom ad sermum ternarium quamcunque datam detorminantis D ulternis vicibus roductio prima et secunda nPplicantur. t. e. ud i Psam Prima vel Recunda. ad eam quae hinc resultat secunda vel lirima. ad cum quae hinc l, vonit itorum Prima voi secunda etc.. munisostum est. vindem necessurio ad formam Pervontum iri, ad quam neutra amplius applicari possit. Quum enim magnitudo absoluta tum coumcientium primorum serinarum hoc modo Prodeuntium. tum coofficientium tertiorum formarum illis udiui ictarum continuo.nlternis vicibus eadem maneat atque de roscat. hic progressus nocessario tandom alicubi finietur, quia alioquin duae series infinitae numOrorum Continuo decrescontium haberontur. Ilinc iam nucti sumus inrogium theor inu: Qt aeris forma ternaria dcterminiintis D reduci potest ad alium aequii alantem. cuius co Ucieris primus nimsit maior quam i, D. atque eoes ciens tertius formae ipsi adiunctae non maior quum
iv IJ xine respectu styni, siqvidem forma proposita his proprietatibus ipsa nondum est praedita. torum loco coi ilicientis primi formae s atque turtii formae ipsi s adiunctae prorsus simili modo tractare potuissemus vel coefficientem Primum sorinuo ipsius ot Secundunt udiunctae; vel secundum formae ipsius Ct Prismum vel tortium adiunctae: vel tertium formae ilistus et primum vel Socundum adiunctuc. quibus viis portuito ad finem nobis protiositum pervenir muS: Rod ero est. imethodo uni constanter adhaerere . quo facilius oliorationos huc Portinentes ad algorithmum fixum reduci possint. Denique obsorvamus. duobuSc 1licientibus. quos iusta limites fixos cloprimoro docuimus, limites adlluc minores constitui ivisse. Si formae dufinitae ab indefinitis separotitur: hoc vero ad institu
Ecce iam illiueritum exempla. per quae praecopia praccodontia magis illu
Quum t s. l. 2 ij sit serina binaria reducta. cui alia. termini primi minoris quamis. non aequivalet. roductio prima hic non ost upplicabilis: sorma binaria
315쪽
A . N. - -398. 257. - l66ὶ aut fui Ivir theoriam amitivulotitiae serinarum binariarum in simpliciorem aequivalentum - 2. l. - lu) transmutabilis invonitur. in quam transit per substitutioncm 2 7, 3 ll. Fuciendo itaque G 2. , - - 7.ς -- a. finit . applicunda crit ad formam i substitutio :: , , itor quum invenitur transire in hanc . . . f . ops ficiens tertiuκ somno . huic adiunctae, ost - 2. quo rest octu f' simplicior est consolida quam fAd formam 1' applicari potest roductio prima. Scilicet quum sorina bina- ria il9. -S2. 354ὶ transmutetur in l. 0, 2 Per substitutionem l 3. 4. a. t :applicanda urit ad formam f' substitutio ', : . per quam transit in hanc
Ad formam cui adiuncta o,t id j. dolino applicari potest reductio secunda. Scilicet - 2. - 5. -l513ὶ transit per substitutionum 47. i. - l. 0 in - l. l. - 2 : quamobrem ad y' upplicunda erit substitutiol. ., per quum transit in in . . . f . Huius cinns iciens primus Ivir
reductionem primum amPlius diminui non lis tost, neque seruaue. ipsi adiunctae. tortius Pur si uridum. Er. 2. I rolvisita sit forma ηὶ . . . f. cui uili uncta ostot cuius determitians - 2. II ic successive rei criuntur. applicando alternatim roductionem secundum Et Primum
substitutiones Per quas transit in
Forma per roductionem primam vel secundam ulterius deprimi nequit. 27 4. Quando sorma tornaria habetur. cuius cosisficiens primus. atque formae adiunctae tertius, quantum fieri potest per mothodos praccedentos sunt deprcssi: methodus soquens reductionem ulteriorem suppuditat.
316쪽
Adhibendo signa eadem ut in art. 272. et ponendo α l. α' - 0, 6 - 1. α' - 0. 6 - 0. 7 - l. i. e. ad hi ndo substitutionem l . 6, 70, l. I 0, 0. lori tm - a. m' a'-2b 6-Ha66. m - ἱ- - 2bf--2 b TH-a77-k2b'r'H-a'ffn in b-ba --b 6--ς θ -- IIJ--a6r, v b' - aTH-b I. n - ι - asPraeterea M A . N in B A'. N' - B N6 A rI'or talem itaque substitutionem coefficientes a. A . qui per reductiones praecedentes diminuti sunt, non mutantur; quamobrem n Osium in eo vereatur, ut per idoneam de torminationem ipsorum 6. I. γ' depressiones in coe Scientibus reliquis obtineantur. Ad hunc finem Observamus primo, Si suerit A u. sum poni Posso. Esse otium a - 0; si enim a non 0, reductio I rima adhuc semel applicabilis foret, quum cuivis formae binariae determinantis 0 aequivaleat forma talis 0. 0. hi, sive cuius terminus primus - 0 F. uri. 215 . Prorsus simili ratiotio supponero licet, esse etiam A o. si fuerit a - 0. ita ut vel neuter numerorum a. ae Sit 0 vel utorque. . In casu priori manifestum est. ipsos 6. T. I ita determinari posse. ut sine respectu signi N. N resp. non sint maiores quam la, i A Ita in exemplo Primo art. praee. transibit forma Postrema cui adiuncta est
In casu posteriori . ubi a se A o . nilooque etiam ι' - 0 erit Erit itaque
perspiciet quo iacile. 6 et γ' ita detorminari posse, ut n fiat aequalis residuo absoluto minimo ii,sius b secundum modulum. qui est divisor communis maximus
317쪽
ipsorum E. R i. s. ut n fiat non maior quam semissis huius divisoris sino r spectu signi, adeoque n - 0. quoties . . b' inter se sunt primi. Ipsis 6. γ' in hunc modum determinatis, valor ipsius 7 ita accipi poterit . ut m non sit maior quam b' sino respectu signi; hoc qui dom impossibile esset. quando 0: tunc vero sorset D - 0, quem casum exclusimus. Ita fit pro sorma postrema inex. 2 ML Pria C. n - - 2 - 6H-2r'. unde statuendo 6 - - 2. f - 0. fitn - 0. Porro m - 2 - 27. et ponendo γ m 0. Habemus it u substitutionem per quam forma illa transit in
275. Si habetur series formarum ternariarum acquivstientium f. f . V. est . atque transformationes cuiusvis harum sormarum in sequentem: ex transform
tionibus formae s in formaequo T in per art. 27 0 deducitur transformatiosormae I in ex hac atque transs. formae V in sequitur trans . formas fin f etc.. manifestoque hoc pacto transformatio formae s in quamcunque aliam seriei inveniri poterit. Et quum Ox transformatione formae I in quamcunque ullam aequivalentem y deduci Ivissit transformatio formae s in f S Sarit. 268, 269ὶ . hoc modo erui poterit transformatio cuiuslibet formae sorici T. V etc. in primam f. Ita pro formis exempli primi art. Praec. inveniuntur substitutiones
Per quas f transit in resp., et ex subst. ultima haec lo il per
quam 1 transit in s. Simili modo pro eae. 2 art. Praec. prodeunt substitutiones
27 6. TMOREM. Classium. in quas omnes formae ternariae determinantis dati di tribuuntur. multitudo semper est sinita. 40
318쪽
Dem. I. Multitudo omnium formarum s.' ..' ὶ determinantis dati D. in quibus ii 0. b st. b non maior quam Semissis divisoris corum. min. numerorum b': a non maior quam h , manifesto est finita. Quoniam enim esse delint ob ν- D. pro ν alii valores accipi noqueunt. quam H-l. - atque radices quadratorum ipsum D metientium si quae alia praetor i danturi signol Ositivo et negativo affecta . quorum vuloruin multitudo finita est. Pro singuli κautem valoribus ipsius b' valor ipsius a' est determinatus, ipsorumque h. a' valores manifesto limitantur ad multitudinem finitam. II. Simili modo finita ost multitudo omnium formarum ζ' j determi- nuntis D, in quiburi a non 0. neque maior quam iv D: b ς- ra non 0 n que maior quum ς non maior quam la: ab - νς - B sita V bb D' non maiores quam l 1 . Nam multitudo omnium combinationum vvlorem ipsorum a. h . A . B. B finita erit: his vom singulis do torminatis. etiam formae Coi ilicientes reliqui a . b. v. s. coesticientesque formae adiuncta bb - a. A. bi' a a A . α ς ιν - Η determinati erunt lier quatione x haSco:
Iam quum omnes illae formae obtineantur . eligendo e cunctis combinationibus vulorum ipsoruIu a, b . a1 , A. B' eas, o quibus etiam a , b. v valores intcgros nanciscuntur, illarum multitudo manifesto crit finita. III. Cunctas itaquo formas in 1 ct ΙΙ multitudinem finitam classium con-xtituunt. quae etiam formarum ipsarum multitudine minor sesso Poterit, si qua ex ipsis inter se sunt acquivalonios. Iam quum Per disquisitioncs Iiraccedentes quaevis sorma tornaria dotorminantis D alicui ex illis sorinis necessario a qui vu-IPal. t. e. ud aliquam e Classibus. quas liae formae constituunt. Itertineat: hao classes Omnes formas det. D Complectentur. i. e. omnes formae ternariae det. Din multitudinem finitam classium distribusentur. Q. E. D.
319쪽
277. Regulae. Iter quas omnes formae in I et II uri. Prum. Erui possunt, ex ipsarum Oxplicatione sponte defluunt; quare sufficiet quaedam eXempla apposuisso.
Pro D se l. formae I has sex r ambiguitatem signorumὶ prodeunt
in formis II a et A alios oloros quam H- 1 Di - 1 habero nequeunt, Pro Ringulis quatuor combinati Onuiu hinc oriundarum Γ, Β ot Β' poni dobent - o. unde omergunt quatuor formae
Nimili modo pro I l sex sorinuo I quatuorque ΙΙ habentur,
Ceterum multitudo classium ex his formis in his tribus casibus prodeuntium formarum multitudinc multo minor est. Scilicet facile confirmatur I. Formam transire in
formam autem in M. ver solam indeterminatrerum Per-
mutationem. Quare illae deconi formast toruariae det. 1 ud has duas reducuntur
320쪽
Pro priori. si magis ridet. etiam haec aecipi potest. Quum forma prior indefinita sit. posterior definita. manifestum est, quamvis formam ternariam indefinitam det. 1 aequivalere formae xX- - 2yr, quam is definitam huic -υ-κν-zz. II. Prorsus simili modo invenitur. quamlibet formam ternariam indefinitam determinantis -l aequivalere formae -XX-2yx, quamlibet definitam huic πα- - yy -zz. III. Pro dotsrminanis 2 ex octo formis Πὶ statim reiici possunt secunda. sexta et septima. quippe quae ex prima per solam indeterminatarum permutati nem oriuntur, similique ratione eum quinta cluae e tertia. et octava quae equarta perinde proveniunt; tres reliquae cum sex semis I. tres classes consti
tuunt; scilicet :) transit in ' :) per substitutionem
iauaevis itaque se a ternaria determinantis 2 utiquam ex his tribus eKt rodu-
loco primae. si magis plucet. etiam n ipi poteSt. Manifesto nurum qumvis sorma ternaria definita necessario nequivalebit tertiae -XX - νy - 2za, quum quas priores sint indefinitae; quaevis indefinita Primae vcl secundae. et quidem primae 2XXH-2ya, si ipsius cosmoiens primus. secundus et tertius Rimul sunt pares quoniam lacido perspicitur. talum sormam Per substitution in quamcunque in similem formam transire. adeoque formae Secundac RCqui ValerE non POSSE, SECuudue aea -yy - 2za Rutem. si ipsius cogniciens primus. Ne tundus et in tius non Simul Pares sunt. sed unus. duo omnesve impares sin talem enim so mam ex simili ratione sorma prima 2 aeae -- Ur per nullam substitutionem transformabilis esse poterit .