Werke Carl Friedrich Gauss 1

321쪽

Quod igitur in Exemplis arti. 273. 274 evenit . ut serma definita determinantis ad hanc atque forma indὐfinita dote minantis 2 ad 2.ex-2yr sivs quod eodem redit) ad 2αx--2νa reduceretur. Per disquisitiones praecedentes a Priori Praevideri potuisset. 278. Per formam ternariam, cuius indetermiuntas sunt X, H F. rePraram tantur tum numeri. tribuendo ipsis ae, E, F valores determinatos . tum formae binariae per huiusmodi substitutiones

designantibus m. n. m' etc. numeros determinatos; t, u indetorminatas formae repraesentatae. Ad theoriam itaque completam sormarum teruariarum requireretur solutio sequentium problematum: I. Invenire omnes repracsentationes numeri dati per formam ternariam datam. II. Invenire omnes repraesentationes formas binariae datae per ternariam datam. III. Diiudicare, utrum duae formaeternariae datae eiusdem determinantis nΡquivalentes sint, necne. Et in casu priori omnes transformationes ulterius in alteram invenire. IV. Diiudicare. utrum forma ternaria data aliam datam determinantis maioris implicol. ii ne . et in casu priori omnes transformationes illius in hanc assignare. Do quibus probismatibus longe difficilioribus quam analoga in formis binariis alio loco pluribus agemus: hic disquisitioncm nostram restringimus ad ostendendum . quomodo problema primum ad secundum secundumque ad tertium roduci possit; tertium vero pro casibus quibusdam simplicissimis formarumque binariarum theoriam imprimis illustrantibus solvere docebimus: quartum hic omnino Qxcludemus. 279. LEMNA. Propositis tribus numeris inteyris quibuscunque at a'. a squi tamen non omnes simul - 0J: invenire ser alios B. B'. B . C. O . G ita comparatos ut fatR C -B C' - a. B C AC' - a. BC B C a Sol. Sit a div. mmm . max. ipsorum a. . . a . accipianturqup int m

A. A'. A ita ut fiat

322쪽

DE FORMIR RECUNDI GRADUS.

Porro accipiantur tres integri E'. d' ad lubitum ea sola conditione, ut uos numeri E A -E E a1 - E 4 . E '-E A. quos resp. Iaor b. U.b ipsorumque divisorem communem maximum per 6 designubimus. non fiant simul - 0. Tunc I natur ab - a ς - a IV. a b - ab' - α , C . a b - a b - a s C patetque. ipsos C. G. C' fore integros . Denique accipiendo integros E. 23'. E ita ut fiat Ponendo

est, nec non mPthodus ex una solutione omnes inveniendi. llic sunt supprimendae. Supivinamus, formam binariam 280.

323쪽

cuius determinans D. repra sentari per formam ternariam s. cuius indetor

ipsique s adiunctam esse sermum F. cuius indeterminatae X. X'. X . Tunc per calculum lacile confirmatur sesignando copmciontes formarum f. F per lit ras peculiares sive Otiam ex art. 268. II. Protinus deducitur. nutii Prunt D rPPr-Kontari per F ponendo

qua' r Praesentatio numeri D repraesentationi formae * por I adiuncta imm- modo dici polost. Si valores ii sarum X. X'. X di risorem communem non habent. brevitatis causSa hunc reprapsenuitionem ipsius D pro iam vocabimus. sin Secus, impromiam. easdem denominationcs otiam repracsontationi sormae *IFer s. cui illa reliraes. ipsius D adiuncta est. tribuemus. Iam inventio omnium repraesentationum propriarum numeri D Per formam F sequentibus momentis innititur: Ι. Nulla repracsentatio ipsius D laor F datur. quae non Ox Rliquu r Praesentatione nlicuius formas detorminantis D 1, er sorinum i deduci la sit. t. e. tali repra sentationi adiuncta sit. Sit enim repraesentatio quaecunque ipsius D per F haec: A-- L. X' - L . X -L : accipiantur per lemma art. Praec. m. m , m . n. n tui ut fiatm -m n et L. m n mn -K. mn -m, L transeatque y I or substitutioncm

324쪽

DE FORMIS SECUNDI GRADUR.

hinc inveniuntur valores imorum m. m. m . n. n. Q hi - 20. l. l. - 12. 0, lrUSP. . utque φ - 402 it - - 482-- i 45uv. II. Si p. sunt formae binariae proprio aequivalentes. quaeris repraessentatio ipsius D per F alicui repraesentationi sormae φ Per f adiuncta, etiam alicui reprassentationi formae χ per i adiuncta crit. Sint p. q in determinatae formae χ; transeat φ in χ per substitutionem proprium M Ip'-δq, sitque aliqua repraesentatio formae '

i. e. repraPs utationibus R. V eadem repraesentatio ipsius D per F adiuncta est. Ita in ex . prae . formae v aequivalere invenitur χ - 10pq - 18qq. in quam illa transit per substitutionem Proprium t - - 3p- - q. u - 5p - 2q; hinc invenitur repraesentatio formae per f haec X 4 q. α' - - Ε - 2ρ- q. ex qua Padsem numeri - 209 repraesentatio deducitur. a qua Pr secti oramuR. III. Denique si duae formae binariae φ. χ determinantis D. quarum indeterminutae sunt l. u ; p. q. I er i reprae Sentari POSSunt. Hicuique resemowntationi unius eadem repracsentatio Propria ipsius D per F adiuncta est . utque alicui repraesentationi alterius, illae formae nec Mario erunt proprio aequivalentes. Supponamus P repraesentari per i ponendo

326쪽

DE Polluis SECUNDI GRADUS.

Ex his observationibus dorivantur regulao sequentes ad inveniendum omnes repraesentationes liroprias ipsius D iter F: Evolvantur omnes classes sermarum binariarum determinantis D. et ex singulis una forma ad libitum eligatur; qua rantur omnes repraesentationes Propriae singularum harum formarum per i reiectis iis, quae sorte Per f repraesentari nequeunt , et ex singulis hisce repraesentationibus deducantur repraesentationcs numeri D per F. Ex Ι et II mani&stum est. hoc modo omnes repracsentationes proprias Possibiles obtineri, adeoque Solutionum esse completam; ex III. transformationes formarum e classibus diversis certo Producere repraesentationes diversus. 28 l.

Inve8tigatio repraesentationum impropriarum numeri dati D per formam Fud casum praecedentem lacilo reducitur. Scilicet manifestum est, si D per nullum quadratum praetor I in divisibilis sit. tales repraesentationos omnino non duri: sin secus. metientibus ipsum D quadratis λλ. 11μ. v v etc., Omnes rePraeSeut tiones impropriam ipsius D Per F inveniri. si omnes ropraesentationes Propriae numerorum S etc. per eandem lamam ovolvantur, indeterminatarumque

valores Per λ, μ. v etc. resti. multiplicentur. Hoc itaque modo inventio omnium repracsentationum numeri dati Iaer sorinum ternariam datam, quae alicui formae ternariae adiuncta est, u Problemate Νecundo Pendet; ad hunc vero casum. qui primo aspectu minus lato patere rideri Posset. reliqui ita reducuntur. Sit D numerus repraesentandus Iaer formam

.' s), cuius determinans a. ot cui adiuncta est sema p;ζ-ὶ - f. Tunc

huic rursus adiuncta erit ::' - F. I atetque, repraesentationes numeri aD IMr F quarum investigatio a praccc. pondet) omnino identicas esse cum repracsentationibus numeri D per formam Propositam. Ceterum quando omnes coefficientos formae s divisorem communem μ habent, perspicuum est. Omnos codssicientes sermuo F divisibiles esse Iaer μμ . quocirca etiam AD IRr μμ divisibilis esse do bit alioquin nullas repraesentationes darentur j; repraesent tioneSquo numeri D per sormam protiositam coincident cum repractsentationibus

numeri per formam. quae oritur ex F, dividundo singulos coeffcientes PCrμμ. quae serma adiuncta erit ei. quas oritur ex s. dividendo singulos co mctoutes Per μ. Denique observamus. hunc Problematis primi solutionem in unico casu. ubi

327쪽

D - 0. non Psse applicabilem: hic enim omnes sermae binarias determinantis D in multitudinem finitam classium non distribuuntur; infra autem hunc casum ex aliis principiis solVemus. 282. Investigatio repraesentationum sormae binariae datae . cuius determinans non sed j. per ternariam datam pendet ab observationibus sequentibus:

I. Ex quavis repracsentatione propria formae binariae p. r) - φ determinantis D per tornariam J determinantis a deduci possunt integri B. B tales ut git BB Ap. BB' - - Aq, D'B mod. D i. e. Valor expressionis Ma p. - q. r smOd. D . Habeatur repraesentatio propria

unde

'ὶ Hune easum per methodum aliquantum liversam tractandum hoe loeo brevitatis caussa praeterimus.

328쪽

ruitur B - - TI, B - 27. sivo valor - 171, 27ὶ eXPr. V-l l 9. - a. 41ὶ mod. 770). Hinc iam Sequitur. Si a p. - q. rὶ non sit residuum quadratum ipsius D. ρ iter nullam sormam ternariam determinantis a proprio repraesentabilem osse Posse; in eo itaquo casu. ubi A. D inter so primi sunt. Δ numerus charactoristicus formae φ osse debebit. H. Quum I. I f infinite multis modis diversis determinari possitit. etiam alii atque alii valores ipsorum B. B' inde prodibunt, qui quom nexum inter se habeant videamus. Ponamus. etiam δὲ T ita comPuratos esse. ut α'6 - α ς δαμ α 6 - α 6 ὶδ - - α ἴ'-α 6 δ' - l fiat vel 2GH-l vel -- l. formamque i transire per substitutionem G, 6. δα .. 6 . δ α'. 6 . ὁ in t g. cui adiuncta Tunc s. g erunt aequiValentes. adeoque etiam G et S. et per applicationem praeceptorum in arti. 269, 27 0 tr ditorum I invenitur. si Statuatur

posteriori oppositos; reprae8entationem formae φ autem ad quemlit,et valorem

' Eruendo ex trans . sorinae I in st. Dan sormationem formae ν in I; ex hae atque transs. sormae Iin g, tr usi. sormae s in si denique Ex hae, per transpoxitionem, uanas. sorma in G.

329쪽

ex pr. V a P. - q. r) inod. D), qui ex ipsa IFor methodum in I d duei polost. pertinere dicemus. Hinc omnes valores. ad quos cadem repraesentatio Perti not. vel qui valentos erunt vol Oppositi. III. Vice versa autom. si ut ante in I repracsentatio sormae * per i hae a se atq-6u otc. ad valorem II. B'ὶ laertinet. qui indo dedueitur adiumento trans mationis α. 6. I

α , δ' tranfiit. resp. fiant E. E . Statuatur enim

330쪽

DE FORMIA SECUNDI GRADUS.

nullo negotio patebit, y iter substitutionem Sὶ transire in g, atque aequationi sal satisfactum esse. Q. E. D. 283. Ex his principiis deducitur methodus sequens. Omnes repraesentationes proprias formae binariae PitH-2qtu - - ruudeterminantis D per ternarium 1 determinantis A inveniendi. I. Eruantur omnes valores diversi t. e. noninequivalentes in expressionis - q. r) mod. I J. Hoc Problema pro eo casu, ubi * cst forma primitiva atque a ad D primus, supra t. 233ὶ solutum ost, casusque reliqui ad hunc facillimo reducuntur, quam tamen rem sustus hic explicare brevitas non permittit. Observamus tantummodo. quoties A ad D primus sit, cXPressionum a p. - q, drosiduum quadraticum ipsius D esse non posse, nisi * suerit sorma primitiva. Supponendo enim

hinc. I,er evolutionem et substituendo qq-pr pro D, fit

unde lacilo concluditur, si p. q. r divisorem communem haberent, hunc etiam ipsum a A metiri: tunc vero a ad D primus esse non Posset. Quare p. q, rdivisorem communem habere nequeunt. sive φ erit forma primitiva. II. Designemus multitudinom horum valorum Per ru, SUPPUnum usque. in inr eos reperiri n ustiores. qui sibi ipsis oppositi sint istatuendo n - 0. quando tales non adsunt . Tunc manifestum est. Ex m - n reliquis valoribus binos semper oppositos sero quoniam cuncti valores completo haberi supponuntur); reiiciatur e binis quibusque valoribus oppositis unus ad libitum. remanebuntque omnino valores νίνη - η. Ita e. ex laeto valoribus expr. ψ-i l 9. - 3. 41ὶ