장음표시 사용
31쪽
quum Valor eXPressionis i. 'S-- mod. 15 , Sive L mod. 15ὶ, sit 13. orit α - 6 M6. Similiter pro 6 invenitur 4200, ct pro I 4, 15, quare numerus quaesitus erit residuum minimum numeri Gulsiti Α- 1200 h - 4S 45 e. denotantibus a indic
Haec de congratentiis primi gradus unicam incognitam continontibus susticiant. Superest ut de congruentiis agamus. in quibus plures incognitae sunt lin- mixtae. At quoniam hoc caput, si omni rigore singula DXIUn re volimus. Sine prolixitato absolvi non Potest, propositumque hoc loco nobis non Pst, omnia e haurire, sed ea tantum tradere, quae ultontione digniora vidcantur: hic ud paucas observationes investigationem rostringimus, uboriorem huius rei expositioncm ad aliam occasionem nobi A mesumantes. 1ὶ Simili modo. ut in nequationibus, perspicitur. Otinni hic totidem conmientias haberi debere . quot sint incognitae dotorminandae. 2ὶ Propositae sint igitur congruentiaeaa -- by - ca ... - mod. vij . . . . . sta
ore. totidem numero. quot sunt incognitne X. ν, et eis.
et quidem ita ut omnes sint intcgri nullumque factor in commvnoni hahPaut quod fieri ivisse ex theoria nequationum liticarium constat. Simili modo doler- minentur v. v. v tc.. ζ. etc. etc. ita ut sit ,
32쪽
pius timi itatis gratia ita exhibonius:
') Obsorvare convenit luineee e netuWionem idonionAtratione egore, quam autem hic Rul'Prinii nu . P Prie Unim nihil aliud ex analyi i nostra i equitur, quam quod congruentiae propositae per alto' incomitarum X, y vis. Vnlor solvi nequeanti hos vero satissaeero non sequitur. Fieri enim ut nulla omnino , olutio daretur. Simili, paralogiamus Hiam in aequationum linearium explicatione plorumque committitur.
33쪽
quibuκ lacilo intolligitur nequiunt ero lius
34쪽
IIis disquisitionibus. Por quas sectionis propositum iam absolutum est, adhuc quasdam propositiones similibus principiis innixus adiungimus, quibus in sequentibus frequenter opus orit.
I ROBLENA. Inrenire, quot numeri positiri dentur numero positiro dato A minores simulque ad ipsum primi. Designemus brevitatis gratia multitudin m nurui romini Imrxitivorum ad numerum datum primorum ipsoquo minorum Por PracfiXum Clanmcterem 43. Qu-ritur itaque it, A. I. uundo A est primus, ninnisostum ost omnos numeros nb l uκque ndA-l ad A primos esse; quare in hoc casu orit , A A - 1
III. I liqui casus facile ad hos reducuntur Olin sequontis prolvisitionis Si A in factores M, N. Petc. inter se primos rat resolutus, erit4, 21 - qi IL N. Φ P etc. quae ita demonstratur. Sint numori ad II primi ipinquo II minores m. m,m etα quomim itaquo multitudo - φ M. Similitor sint numeri ad A . Potc. rospective Primi i Psisque minorvκ n, n, n etc.; p, si, P etc. etc., quorum multitudo φνφP etc. Iam constat omnes num ros nil Ρ-lu tum A Primos etiam ad iactores singulos 3I. N. P etc. primos soro ut vice vorsa yrt. ls : Iκarro om- nos numeros qui horum m. m . G etc. alicui sint congrui secundum modulum M ad II primos lare et vico vorsa. similitorque do X P etc. Quaestio itaque huc reducta est: detorniinam quot dentur numeri infra A, qui secundum modulum II. alicui numerorum m. m'. m' etc. socundum N alicui ex his n. n
35쪽
etc. cic. sint Conraui. Sed ex art. 32 Sequitur, Omnes numero, R Mundum singulos modulos M, N, P cis. residua det rini nata dantos. Congruos sociandum einrum Productum re, adeoque in seu . 1 unicum tantum dari. secundum Aingulos II. N. P etc. rosiduis datis congruum. Quare numerus quaesitus no lun-lis erit numero combinutionum singulorum numeromin m. m. m' cum singulis atque P. I, , V etc. cis. Hunc vero ossc - 4, M. 4, Nit, P etc. EX the ria combinationum constat. Q. E. D. IV. Iam quomodo hoc ad casum de quo nimiis applicandum sit lacilo iu- tolligitur. Iti solvatur H in factoros suos primos sive reducatur nil somniua' ι' et etc. d signantibus a. b. e etc. nu moros primos diversos. Tum erit , A ta'. ibo. thes etc. - a 3 - lὶ - 1ὶ - l otc. seu concinnius t/- A etc.
Erempl. Sit A 60 - 2 . 3. 5, adeoque φ. I . q. 60 - l6. Numerihi ad 60 primi Aunt l. 7 l l. 13 lT ID, 23. 29. 3l. 37. 41, 43, 47, 49, 53 5'. Solutio prima huius problematis exstat in commentatione ill . Eulori . theoremata arithmetica nora methodo demonstrata, Comm. nov. Ac. Potrop. VIII p. 74. Immonstratio liostoa roi otita ost in alia diss. Speculationes circa qvusdam insisnes proprietates numerorum. Acta Petrop. VIII P. t T.
Ni characteris φ significatio ita dotorminatur, ut 4, A sex primat multitudinem numerorum primorum ipsoquo A non maiorum. liorspicuum DSti i soro non amplius sed se l. in omnibus reliquis casibus nihil liinc immutari. IIanceo definitionum inoptantes sequens habebimus theorema. Si a , ά. a' etc. Aunt omnes divisores ipsius unitute et ipso A non eae ct ix J. erit
36쪽
-- a in Din. numuri. Diunos ipso non maiores. Ato Oinnos id alitineri orunt inuo iuuloK. Omnses enim oos qui ex eodem it, sius AdiviKoro sint generati. inaequalos sero. I e r se clarum. Si vom o divisoribus divo sis M. X nuuiori Νque 11. ν ad istos reflviceive primi A nequales lari diissent. i. e. Si ENS i μ ν. Sindieretur ri X- ν M. Ponatur II N sid qui ut licet . auoniam II nil μ cst primus, utque numerum 13X metitur, etiam ipsum X molietur. maior minorem. Q. E. A. 2 inter hos numeros. Omnes hi l. 2. 3. . . . A involitentur. Nit num rus qui-ciitique ilisum a1 non sula OranS t. maxima numerorum A. t Communi S moti-xurn δ eritque divisor ipsius 21 tuom i primus. Manifesto hinc numeruR t inter ocis in cui otur cilii Ox divisore i Prodi runt. a. Hinc colligitur horum numor arum multitudinem esse A. qui
'ὶ Metietur enim manis to λ omne A. R. . o. Si vero non e et divisor inmmuni maximus foret maior iurem Iam quoniam hie divisor maximu metitur ipκ A. B. C. metietur etiam ipsum 1 et 1 i. e. ipsum V. maior minorem Q. E. H. - Facilius adhue hoe sex art. 1 deduci potest.
37쪽
Simili modo procodi potest, quotcunque alii numeri ace dant. Si itaque numeri A. D. C. D otc. dirisor in communem non habent. Pn- tot fieri imSSE
rum Per P erit divisibilis. M. Quinque ros A. A. A. B. B decoin modis diversis possunt transponi. Demoli stratio huius theorematiis tacito quidem ex uota permutationum tho ria peti potest. Si enim intor has res sunt Primo a uequalUS nem PQ - 4. tum b aequiuos nempe -B, tum e aequales nem Ite Cetc. ubi numeri a. b. eetc. etiam unitatem designare possunt , ita ut habeatur
. a. a. . . . . 2. . h. l. 2. .e ete.
Inm Iaer Se clarum est. huius fractionis numeratorem per donominatorem divisibilcm esse. quoniam numerus lFornvitationum delici csse integer: at numerator I orp divisibilis os t. deuominator vero, qui ex factoribus ipso ρ minoribus est compositus. Per p non divi Sibilis uri. tb . Quare numerus Pormutationi im per P
Speramu8 tamon fore quibuκ etiam sequons demonstratio haud ingrata sit sutura Quando in dulibus Iu rmutationibus rerum o quibus comitosilao sunt ordo in eo tantum discrepat. ut ra res quac in altera Primum locum occupat. alium sedem in altera teneat. roli iuno aut in podem in utraque ordino progrediuntur. Eamque quae in altera ultima CSt. Da quno ost larima. in altora excipit; permutationes simitra Vocemu8 . Ita in eX. nostro permutationes ABAA B et ALABA similes erunt, quoniam re8 quae in priori primum Nocundum etc. locum Occul ant . in posteriori loco tortio quarto Otc. e Qui ordine sunt Coli uine.
' Si perninuit nox similes in circulum seriptae concipiuntur ita ut ultima res primae dat naua omnino erit da erepantia, quoi,iam nullua loeus primus aut ultimus voeari poterit.
38쪽
Iam quoniam quaeque I3ermutatio ex p rebus constat. patet cuivis p-l similos adinvoniri IRMA . si Pa ros quae Prima fuerat, nil Recundum. tertium eis. locum promoveatur. Quarum si nullae identicae esse possunt manifestum est. omnium permutatiouum numenim Per p dirisibilem evadere, quippe qui ρ vicibus maior sit quam numerus omnium permutationum dissimilium. Supponamus igitur duas IHrmutationes PQ ... Τ ... YZ; V. .. YZ PQ ... Τquarum ultera DX ultora Por torminorum Promotionem orta sit. id uticas esso sives Volo. Sit torminus P qui in liriori ost primus, n--l μ' in I isteriori. it igitur in serio IUstoriori torminus n-- l '' aequalis Primo. socundo est. undo 2n-Fl rureus Primo nequalis Dindet. Eademque rationectin.: gonomii torq io u rminus se ubi quando kn--m ipsum p superat, aut sorios V. . . I PQ ... T seinIwr ab initio relaeti concipienda est. aut a kn--m multiplum ipsius p proximo minus roscindendum . Quamobrem si h ita determinatur. ut fiat λ νι- 1 mod. p . quosl fiori lγοtost quia P Primus. Sequitur generaliter terminum aequalem osso. Sive quemvis terminum AOquonti.
quod licet. p metiri d nominatorem alicuius co Scientis fracti in I'. liatotquosi Q) per γ' dividatur. etiam in dari ad minimum unum coemelent infractum cuius denominutor implicol factorem p puta coefficientem Primum
39쪽
Iam facito perspicitur, in R datum iri torminum unum. fractum, cuius deu minator involvat plures dimensiones ipsius p quam denominatores Omnium similium Praec dentium. Et non pauciores quam denominatores Omnium sequentium; sit hic torminus se G . et multitudo dimensionum ipsius p in denominatore ipsius G. - t. Similis torminus dabitur in qui sit - I et multitudo dimensionum ipsius p in d nominatore ipsius C -τ. Manifesto hic erit t--τad minimum 2. IIis ita praeparatis, terminus producti cx ot coefficientem habebit fractum. cuius denominator t--τ-l dimensiones iI sius p involvet. id quod ita demonstratur. Sint tormini qui in v torminum Gisy Pruccedunt, Pin. sequentos vero σαε h. σ'similiterque in pras dant terminum Faer tormini 'ΓxI' t. etc. sequantur aut m termini Π ore.
- 1 G - Γσ' etc. l'ars GC erit fractio quae si I,or numeros quam minimos exprimitur in denominatore tΗ- et dimensiones ipsius p involvit, reliquae autem partos si sunt fractae. in denominatore paucioreκ dimensiones num ri p imPlicabunt, quoniam Omnes sunt producta e binis factoribus quorum alter non plures quum t. ulter vero Pauciores quam τ dimensiones ipsius p implicat; vol ester non Plures quam T. ulterque pauciores quam t. Hinc GF orit serniae reliquarum vero ηumma formae λ τεοῦ ε ε δ positivus et ris,s u factore ρ liberi: quare omnium summa in P πιι, t. erit se numerator per ρ non divisibilis. adeoque denominator per nullum reductionem pauciores dimensiones quam t--τ obtinere ivitest. Hinc
coemciens termini in producto ex P . Q erit
i. e. fractio cuius denominator tinr-l dimensiones ipsiuR p implicat. Q. E. D.
40쪽
myruentia mi yradus cuius moduli t numerus primus p. ipsum A non metiens, pluribus quam mmodis diversis solvi non potest. Sire plurra quam in radices secundum P incυnsruas non habet id. arti. 25. 26 . Si quis neget. ponamus dari ε:ongruontias divo orum graduum m, n eis. quue Plures tillam m. n Utc. radices liab ant. Sitque in intinus gradus m. ita ut omnes similes congru ratiae inseriorum graduum theoremati nostro Sint consentaucae. Quod quum do I rimo gradu iam supra ait demonstratum nrt 26 . manifestum est. m fore aut 2 utit maiorem. diuiti et ita Die congruontia 4 .' -- Lx - - etc. - Ma - V - uini tom mini radices. quae sint ama. X-6. X-Ietc.. lionamusque id quod ECPt omnes num ros α. 6. I etc. o e Positivos et minores quum p. omniumquominimum α. Ium in congruentia Proposita Subastituatur Pro X, y-ba, trunSEu