Werke Carl Friedrich Gauss 1

41쪽

THEOREMATA VARIA.

Quamvis hic supivisuerimus. modulum ρ non moliri coosticientem termini Rummi. tamen theorema ad hunc casum non rostringitur. Si cnim primus cocm- ciens sive otiam aliqui so luculi uiu twr p divisibiles essent, hi tormini tuto reiici INRAEnt. Congruentitutuo uindona ud in seriorem gradum d primoretur. ubi e mcions Primus lκ r P non amplius foret dirisibilis, si iiiidoni non om nos o mcionios ivir se dividi possunt: in quo casu congruentia laret idontica utque incognita prorsuκ indoterminata. Theorema hoc primum ab ili. I in Grange lari Ivisitum nutue demonstratum est II . de rAe. de Berlin. An1 9 17 68 p. l92 . Exstat etiam in dissert. ill . ΙΑ Gondro. Recherches T Analyse intuemi se . Hist. de I le . de Paria l7,5 p. 466

II. Euter iv Non. Comm. 21e. Petr. X HII p. 93 demonstravit congruontiam. - linu plures quam n radicos diversus hal ero non posse. auao filiamvis sit Particularis, tam n methodus qua rir summus usus ost omnibus congruentiis sacile udaptari potest. Casum adhuc in in limitatum iam ni ton absoluserat. Comm. v m. Ac. Pere. p. 6. sed hace methodus generulitor adhiberi nequit. Infra Noct. HII alio adhuc modo thooroma domonstrabimus; ut quuntumvis divorsae primo astvictuomues hae mesthodi videri possint. l,criti qui coniliararo ons voluerint sncile certi rses fient omnὐκ idem principio superstructus esse. Cotorum quum h th rema hic tantum tamquam lemma sit considerandum . ninuE COmPluta Oxpositio huc Iwrtineat: de modulis comiκmitis Ac irsim Vere Rup rwd muη.

42쪽

THEOR A. In O ni profre ione seometrica a. ara, etc. praeter primum l. alius adhuc datur terminus as secundum modulum p ad a primum vnitati con-s M. cuius raponens tα p. Demonstr. Quoniam modulus p ad a. adeoque ad quamvis ipsius ala tu statem Pst Primuη, nulluη Progressionis torminus erit -υ Od. ρ , sed quivis alicui Ox his numeris l. 2. 3 ....p- l congruus. Quorum multitudo quum sit p-1. mandustum ost, Si plures quam p-I progressionis termini considOrontur. Omnes residua minima diversa habere non posse. Quocirca inter torminos l. a. ω, a bini ad minimum congrui invenientur. Sit ita tuo a ' a ct m n, fietque dividendo Por a . - 1 nrt. 22 ubi m - nc P. et ii. Q. E. D. M. In progressione 2. 4, 8 ore. terminus Primus qui S 'cundum modulum la unitati est congruus, invenitur 2 - 4096. At secundum modulum 23 in cadum progressiorio fit 2 3 - 204S- l. Similiter numeri b Ivit stria sexta. 156 25. unitati congrua socundum modulum T. quinta vom. 3125. Secundum i l. In ullis igitur casibus potestas exponentis minoris quam ρ- l unitati congruacundit in ullis contra usque ad imi statem p - i PndPre n PSSO PSt.

43쪽

Quando progressio ultra terminum qui unitati est congruus continuatur. --dem quae ab initio habebantur residua prodeunt iterum. Scilicet si a l. oritat i a. at Φ otc. donec ad torminum a pcoeniatur, cuius residuum minimum iterum erit is l. atque residuorum periodum denuo inchoat. Habet tu itaque Porio lus t residua comprehcudens, quae simulac finita est ab initio som-Per repetitur; neque ulla residua quam quae in hac periodo continiuitur in tota Progressione occurrere ii 38sunt. Generali urr erit a ' - l. et id tuod per designation in nostram ita exhilwtur: λ r - ρ vis l. f. rit α' -- ωίmω. ρ .

47. Petitur ex hoc theoremato iram laendium limi statum quantum Viri magno DX

auando a ost insima iκ, testas uni inti congrua praetor a ' l. ad quom casum hic non respicimus , illi t termini. rosiduorum tu riodum constituent f Omnes erunt diversi. uti ex demonstratione uri. 45 nullo n otio IUrspicitur. Tum Rutem Propositio art. 46 convcrit potost; scilicet si sin . I, . crit m n mod. h. Si enim m. n secundum modulum t incongrui ossent, residua Porum minima μ . v diversa larent. At a' a , ae ει', quare 1. e. ni uiam nos lγotestatos infra af incongruas forent contra linvith. Si itaque a-- l m .p . orit kM0 mod i. e. k twr t divisibilis. Hactenus do modulis quibuscunque si modo ad a sint primi diximus. Iam modulos qui sunt num pri absolute primi seorsim considoromus utquo huic landa- monto intestigationem g neraliorem liostea AuPPrstruamus.

44쪽

TIiΕotinuA. Si p est mimo A primus ipsum a non metiens. atque o infima ipsius a potestas secundum modulum P unitati cons ruti. crPonens t aut erit - p - l aut ii ira aliquota huius numeri. Conseruntur Oxempla art. 45. Demonstr. Quum iam ostensum sit, t PsSE nut ααρ- I. utit et p-l sui3 Prest. ut in lvistoriori casu t semi vir ipsius p-l liarteria aliquotam SP vincatur. I. Coli Mantur residun minima positiva omnium horum torminorum l. a,aa a quae Per a. α'.α cis. designentur, ita ut sit a m 1,a' a. a ' - mrore. Perspicuum est. haec omnia soro divorsa. si enim duo tormini Q , a' eademii inoboroni. seret 8upponendo in nὶ ut tuo m - παt, Q. E. A. tuum nulla insorior potestas quam a unitati Ait congrua l . . Porro omnes

a. a'. set t. in Derio numProrum I, 2. a. . . I/-l continoratur. quam tamen non

exhaurient. quum t α ρ- I. Complexum omnium a. α'.α etc. per ah desi nabimus. Comprehcndet igitur i Aὶ torminos t. II. Accipiatur numerus quicunque 6 ex his l. 2. a. .. - i. qui in A

desit. Multiplicetur 6 twr Ouinos α, otc.. sint quo rosidua minima inde oriunda s. U. ς' otc.. quorum numorus otiam orit t. At linoo residua tum intorse quam ab omnibus a. α'. α otc. erunt divo su. Si enim prior sortio salsa osset. haberetur nilmquo diridondo lwr 6. a'. contra Pa quae m do demonstravi inius: si voro Iuueterior, lini orotur undo. quando in Q n. 6-a i e 6 alicui Ox his s. a . re etc. congruus contra hyp.; quando Verom n. sequitur multiplicando iter a ', i, a u ' . sive Propter a in I. quae est eadem absurditus. Iri signetur comploxus Omnium

ore. quorum multitudo iior II . habebunturquo iam 2 t numeri ex his l. 2.3...p-l. Quod Ni igitur lj et B omnes hos numeros complo tuntur. fit in t ad quo theorema d monstratum. II l. Si vom aliqui adhuc doiiciunt. sit horum aliquis I. Por hunc multiplicentur omnes α. α, α in . . Pre ductorum tuo residua minima Nini I, T. I Pin.: omnium comploxus I,ur C d signetur igitur conuaroheudot t num ros Ex hiη l. 2.3..-- l. qui omnos tum inter se quam n numoris in Aj et B

45쪽

MODULi QUI EUNT NUMERI PRIMI.

contoniis erunt divorsi. Asserti inos prior odem in od mori stranti ir ut in II. tertia ita. Si ossct Ta' Uu . floret I lita' ''. ii ut prout m Q n. aut n. in utrinHie cnsu I alicui ex sR congrua contra hyΡ. Habentur igitur at numeri ex his l. 2. 3. .. - . atque si nulli umpi ius desunt, fieti se nilo quo theorema Orit demonstratum. IV. Si vero otiumnum aliqui desunt. ood in modo nil quartum nullae rum complexum D progrediendum erit et c. Putot voro stiloniam numerorum l. 2, 3 p - 1 multitudo ost finita, tandem Pam exhaustum iri. ivlooque multi-Ρlum ii sius t fore: quare t erit pnrs aliquota numeri ρ - l. Q. E. D.

4uum igitur xit intera r. inquitur evehendo utramque Partem Congruentiae a m l ad I otostatem exponentis sire -l semper Iter ρ divisibilia est. quamlo p ext primua ipsum a non metira N. Theorema hoc quod tum propter elegantium liun liro tor Oximiam utilitatem omni uitentionc dignum. ab inventore theorema Fermat num appollari solet. Vid. Fematii opera Mathem. Tolosae l67 9 fol. p. 163. Immonstrationem inventor non niti cit, quam tumori in liotestate sua esse proso,sus ost. Ill. Eulor Primus deinon stration in publici iuris socii. in digs. cui titulus Theor mutum quo utiam ad numeros primos vectantium demonstratio. Comm. lcad. Pet, P. T. VIII 'j. Iu- nititur ista ovolutioni liotestatis ' -- l ubi ex e meientium sorma facillime d ducitur θι-- lj - μ' - I sonit, or iwr p sore divisibilom. adeoque *--l ' -

- lj l er ρ divisibilem soro. quando α - a Iaer ρ sit divisibilis. Iain quia

i sonat' 'r Per p divisibilis ost. otiam 28 2 xenipor orit: hinc otiam ar-a Oto. Ronoridi torque es' - a. Quint si itaquo p ipsum a non metitur. otiam -l iu r p di sibi Iis orit. II ncc sumi ioni ad motho li indolem declarandam. 'tur. I.nnabori Mimit in domonstrationem tradidit in Aetis Erudit. 1760'ὶ In emiment. anteriore vir summita ad nondum per onerat. Comm. Petr. 7'. VI p. tos. In eontrovemda taminin inter Mauperi uin et . a principio amouis minimae orta, aed mox ad rea hute neas egre-xa, ΚΔnu in manibu se habere dixti autographum Loibnitianum. in quo demon tratio huius theoromatas cum Euleriana prorsu napiraria eontineatur. Appol au publis. p. i. Iaeet vero fidem huic testimonio denegare nolimuη. certe I .eilmitius invenium suum numquam publieavit. coni. M tale. de Prisae. A.

46쪽

p. lus. Quin vom evolutio potestatis binomii u theoriu num rorii in satis aliena osso vidchatiir, alium demonstrationem illi. Euter investigavit quae exstat Comm t nor. P tr. T. I II p. 70, utque Cum in quam nos art. Pra . DXIUΝuimuS Pro uri convenit. In sinuontibus adhuc aliae quaedam so nobis offerent. Iloc loco unam superaddere liceat. quae similibus principiis innititur. uti prima iv. Eulcri. Pr IUSitio Sintuens, cuius casus tunium Particuluris est theorema nostrum. otium ad alias invostigationes infra adhil, bitur.

Quoniam igitur alii numori quum qui sunt divisorus ipsius p- l uoqueunt ESSE DXPOneutes Imaestatum infimarum ud quas ovocii numeri aliqui unitati congrui fiunt. ει uaestio sese offert, nulla omnes ipsius p - 1 divisoros ad hoc sint idonei, utque, quando omnos numeri iter P non divisibilos Noeundum eXPOnontem itifimae Auno lvit statis unitati congruito classificentur. quot ud Singulos exΡΟ- uente8 sint lierventuri Ubi statim observare convenit. sumcore. Si omnes numeri

47쪽

MODUM QUI SUNT MIMERI PRIMI.

i visitixi ab l usque ad p-l considerentur; manisostum Onim OSt, numeros congruoΝ ud Pandem Ivitustatem elevari debere, quo unitati fiunt congruas. ado que num mina quemcunque ad Dundem DXIMnentem Esse reserendum ad quom r siduum suum minimum 1,Orsitivum. ruocirca in id nobis orit incumbondum . ut quomodo hoc rest' tu mi Pri l. 2. a p-l inter singulos iactorcs numerip - 1 distribuendi sint eruamus. Brevitatis gratiu. xi d ost unus o divisoribus numeri .p-l ad quos etiam l es p-l reserendi j. per il/d designabimus multitudinom numerorum Positivorum ipso P minorum quorum ivitostari d est infima unitati l ongrua.

4uo facilius linoc disquisitio intelligi possit. exomplum aptaon inius. I 'ropselu distribuuntur numeri 1.2.3 1, inter divisores numeri l8 hoc: modo: i' l.

48쪽

Poncutis d congrunc sint unitati. Hinc lantet omnes numeros nil eximn utemd I orti nolitos inter residua minima num rorum a. a r. ii' a in reperiri. Quales vero sint, quantaque eorum multitudo. ita definitur. Si k est numoriis ad dPrimus. omneη lvito,intes ipsius P. quarum P xlmnonios α d. unitati non erunt congrui: esto enim ἱ in . di n vid. art. 31ὶ oritque quam sis tostas e ipsius a unitati esset congrua utque e in is, seret Ptiam et hinc u i contra hyi,. Hinc manifestum cst. rosiduum minimum ipsius a ad exponentem d liortinere. Si voro k divisorem aliquem. δέ cum d commvnoni hal t. ipsius P residuum minimum ud cxponentem d non pertinet: quoniam tum ivit stas i iam uiritali fit congrua . rit senim por d divisibi Ii S. si vo Eu mod. ιη adeo tuo a 3 - 1 . Hinc colligitur, totidoni numeros ad exponentem d pertinere quot numerorum l. 2. a. . . . d nil d Νint Primi. At memorima osse oportet. hanc: Conclusionem innixam osse sui positioni. unum numemini a iam habori nil exponon tum d lκ rti noni Am. uamobroni dubium remunet, fieri ne porΚsit tit ad nil quem DXPOncntem nullus omnino num rus tu'rtineat; conclusioque oo limitatur ut νd sit vel mu vol in ip d.

1Ι. Iam sint omnses dirimros num ri p-l hi: d. t. r etc. orit tuo. quia omnes num ri l. 2. a p-l inter hos sunt distributi

49쪽

caedentis scilicet semper dari numeros ενιOrum nulla potestas inferior quam ρ- l 'unitati e strua. et quidem totidem intor l et p- l quot insta p- l sint nu- mori ad p-l primi. Cuius theorematis demonstratio quum minimo tam obvia sit quam Primo usi octu rideri possit. propter theorematis dignitatem licini aliam

adliue adiicero a Praoccdonto aliquantum diversam. quandoquidem molliodorum divorsitus ad res obscuriores illustrandas Plurimum conferre solet. Resolvaturp-l in sit toros suos Primos finique p- l etc., d Signantibus a. b. cois . numeri A primos in niuiuales. η'um theorematis domonstrationem Iaer sequentia absolvomus:

I. Semper inveniri masse numerum A aut plures ud exponentem a

II. Productum ex omnibus numeris A. B. Cetc. sive huius producti r Siditum minimum ud exponentem p - 1 portinere. Haoc autem ita demon

I. Sit 9 numerus aliquiri ex lύη l, 2, 3. .. - I, CongruentiRE X a- 1 mod .pὶ vim satisfaciens, omnes senim hi numeri congruentino huic, cuius gradus Q p-l, satisfacoro no lucunt. Tum dico si potestas ipsius 9 Iκ natur hunc numerum . sive eius rosiduum minimum ad OxponPntema' pertinUre. Namque Patet ivitestatem α' iPκius h congruam soro potestatip-l ipsius y i. e. unitati, potu,tas vero a' Τ ipsius h congrua erit l, tostati ipsius y. i. e. unitati erit incongrua. multoque minus Potestates a otc. ipsius h unitati congruas osso lamssunt. At cxlUn ns infimae potustatis ipsius h. unitati conmunes. sive exivinens ad quam intriin t h. numorum α' metiri dobet art. i S . 4uure quum a' per ullos numeroκ divise sibilis non sit cluam 1 r se ipsum, atque i Ur inferiores ilistus a Potostatos, II cPssario a' orit exponens ad ciuem fi liorti not. Q. E. D. Por similem mΡ- thodum demonstratur. dari numeroκ ud OXPOnentcs by. H etc. Portin latos. II. Si supt,onimus, productum ex omnibus A, B, C otc. non ud cxlm-nEntem p - l. Red ad minorem t twrtinere, t ipsum p-l metietur sart. 48 . sive erit intcgor unitate maior. Fucile autem perspicitur, hunc quotientem vel osse unum e numeris primis a. b. e etc. vel saltem IRr reliquem corum divisibilem nrt. 17J. 9. yr. Por a. de reliqui ου Dii im simile est ratiocinium.

50쪽

DE MAIDUIR POTESTATUM.

Motiotur itaqu , t ipsum : quare productuin ad II C otc otiam iid Imtostatem escuntum unitati erit coli gruuin inrt. 46 . Sod lac picuum est sin-gidos B. Q otc. oxonito ipso ad imi statem et divatos unitati con-m uos fiori. quum exl Ouontes b . H etc. ad quos sitimili rertinoiit ipsum -- metiuntur. Hinc orit

IIoc theorema insigne Oxemplum suppeditat . quanta circum spretione in theoria num 'rorum suilli 'tium 'm DPuΝ Νit. DO. qtinc non Aunt, Pro cortiΝ nΝΝum. mus. Celeb. Lumbert in diss. iam supra laudata Actia Guilit. l769 p. l27 huiusprii luisitionis montionem facit sed domonstrationis no no Osςitat in quidum attigit. Nomo vero demonstration in tontavit limiotor summum Eidorum. Comm L nor. M. Petrop. T. XI III ud annum l773, Demonstrati es circa residua str dirisionepoteAtati m per numeros Prim- rexultantia P. 15 Neqq. vid. iiiiiii imis uri. aT ubi di demonstrationis nocessitate fusius locutus cst. At demonstratio quum ir sit obessimus exhibuit duos dosectus habui ultorum quoid uri. 3l Ot sqq. tacite SulHPouit. Congritontiam .r -ι translatis ratiociniis illic adhibitis in nostra signi revera n radices diversus habero, quumquam ante nihil uliud fuerit demonstratum quam quod Illures lini Oro uoqueret: nitorum, quod formulam uri. 3l Iaer inductioncm tantummodo doduxit.

Iludi a primitiss . hemea. maire . ., T.