Werke Carl Friedrich Gauss 1

61쪽

probatur. Acqui unici illa expressio huic: mod. Sivo 2 mini. t vid.

nrt. al. 2. Primique omnes olus valorus ad t primi; si cui in aliquis valor e diri-Ror m cum t communem haberet, hic divisor otiam ii quin me moliri doboret. Pinus etiam ii sum n. cui me secundum t Congruus. Contrii hylaoth. . UX qua und t Primus. Quando igitur omnes divisoros primi ipsiuA p-l otiam ipsum tmetiuntur, omnes ex Pr. 2 in . lj valo nil p-l primi orunt multitudoquo eorum d; quando nutem p - l alios adhuc divisores PrimoΝ f. q. 4 Ptc. in Plicat, ipsum t non metientos. Ponatur vitior quicunque ex pr. 2 mod. η - e. Tum nutem quia omnes t,fs,h etc. inter se primi. invoviri Ivitest numerus ε. qui s cunilaim t ipsi e, secundum f. s. h otc. vero numoris quiliuscunque nil hos r Νlκ clivo primis fiat congruus uri 32 . I illis itaquo num rus per nullum suctorem Primum ipsius p - l divisibilis nil quo ad p - 1 primus erit, uti desiderabatur. Tun dona haud dissicile cx combinationum thooria deducitur. talium vulorum multitudinent

rE - - Νω. ne diaressio linoc in nimiam molem excrescat. dUmonstrationem. quum ud institutum nostrum non sit nil o ne Pssaria, Omittimus.

4uam 48 in mucro prorsus arbitrarium sit. quuonam radix Primitiva Pro basi adolat tur. interdum tam n bases abno tiruo aliis commoda quaodam P culiaria Praebere possunt. In tabula I somlwr num rum iu pro basi aessumsimus. quandosuit radix primitiva: alioquin basin ita semper doterminavimus ut numeri tu indeX EVnserit quam minimus. i. e. donotante i cxlionent om nil quem l 0IMrtinuit. Quid vero hinc lueromur. in Sect. Id ost demus ubi Dadem tabulaud alios adhuc usus adhibobitur. Sed quoniam etiam hic aliquid arbitrarii remanum Pot Ust, ut ex art. Prii c. lipparet: ut aliquid corti statueremus. Dx omnibus radicibus lirimitivis qua situm prno tantibus minimam gomlwr prii basi olegimus. Iin Pro p P . ubi t se S atque - a' habet ' i. e. 6 valor . qui 8unt 5. l4. 20. 28. 39. 40. ΑΝΑumRimus itaque minimum 5 Pro baSi. S

62쪽

et a

Mothodi radicos primitivas inveniondi maximam partem tentando innituntur. Si quis Oa tnino art. 55 docuimus cum iis c sino infra do solutione congruou-tiae .r- l tradomus consert, omnia sero, cpino tWr mothodos directas Psici pos- Aunt. lial,ebit. Ill. Eulor confitetur vse. Amibi. T. I. p i52. minime dissicile videri. hos numuros nssignare. εκ rumque indolom ad profundissima num rorum ni ystoria osse roscrondam. At toniando satis expeditu soquenti modo dctorminari Possunt. Ex rei intus ol, rationis tirolixitati l Or multifaria artificia particularia succurrere sciet: haos vorO Iwr usitan multo citius quam P r lara copia ediscuntur. l'. Assumatur nil libitum numerus nil p ita semper nuululum designamus primus. a. plerumque ad calculi bro, itatem conducit. si quam minimum ac- Cipimus. eur str. num 'rum 2ὶ dotomi noturisio cius mulodus suri. 46' , i. e. residua minima ipsius Iaotostatum, donec nil Potostatoria af twrvon intur. Cuius residuum minimum sit l j. Iam si surrit i p- l. a est radiX Primitiva. 2'. Si vero - l. accipiatur ullus numerus b in lwriodo ipsius a non contonius. investigeturque simili modo huius lacri ulus. Designato DXIκ non tu ad quem b pertinet i or v. facile Iinspicitur u noquo ipsi t acqualem nequc ipsius

iuinoniis i uni tuti congrua sart. 53J. Quodsi u suo it -p- l. orit b radixi irimitiva: si vi ro u non quid m-- l, sed tamen multilitum ii,sius t , id i

crati sumus. ut numOrais Constot nil cxinmeiatona maiorem Portin 'ns, ndmque SC lvi nostro. qui ost invenire numeriim ad oXPoncutem ma.rimum IMrtinentem. IFr litores iam simus. Si Vcm u nequo - l. noque ipsius t multiplum. tamen numeriini invenire I ossumus ad exponentoni ipsis t. v maiorum I ortinentem. num lie ad eximia ritoni minimo dividuo com ruunt num rorum t. v a qualem. Sit hic -y. resolvaturquo ita in duo' factores inter xe primos. m. n. ut ulter il sum t. altor il sum v motiatur 'l'. Tum sint Ii itustas ilistus a. - A. Pote

'ὶ Qui quis 3 ponte pompletet, non opus ex e has pote talea lpina no rufio, quum cuiusvis residuum minimum facile ex residuo minimo potis iis praecedentiis obtineri possit.=ὶ Quomodo hoe fieri po xit ex art. haud difficulter derivatur. Resolvatur ν in saetores inlus, qui int aut numeri primi diversi aut numerorum primorum di e reorum potestat. n. Horum quisqui ait rutrum nu-

63쪽

stus '' ipsius b. It mod .p . eritque Productum A L numerus nil DXlunaeIit m n pertinens: sacile enim intelligitur, A nd exponentem m. B ad Oxponcntonin Pertinere; iideoque productum AB ad mn liertinebit, quia m. n intor so sunt primi. id quod prorsus codem modo uti in uri. 55. II Procossimus probari potorit. 3'. Ium si s/- Ἀ- I, AD orit radix primitiva; sin minus, simili mi, lo utuntoa alius numerus nillilli uidus orit. iv lviriodo ipsius AB non occumms: ori quo hic aut radix primitiva, aut iwrtinebit ad DXPonontem ipso y mniorem, nutcorto ipsius auxilio suti ante J numerus nil oxponentum ipso y mniorum Portinens inveniri poterit. Quum igitur numeri qui laor reii titionem huius operationis prodeunt. ad mlUneutos continuo crescentes t Ortineant, manifestum Ost tandom numerum inventum iri, qui ad exponentem mclximum laertineat. i. e. radicom Primam. q. e. f.

Por Oxcmplum Pruocopia lui C clari Ora fiunt. Sit Ραα73. pro quo radix primitiva qua ratur. Tontonius Primo num rum 2 cuius IKriodus prodit hare:

Quare noque 3 cst radix primitiva. Exivinentium nutom nil quos. 2, 3 lacrii nunt. 3. e. numororiam 9.l2 lividuus communis minimus ost 36. qui in factoros 9 et 4nd lira 'cri in nrt. Pra c. resolvitur. Evoli nilus ita tuo 2 nil potos inton1 DXl Milontis ἔ, i. e. numerus 2 ipse rotinondus; a autem ad Pot statem DXIa montis 3: Productum Dx his ost 5l, quod ita tuo nil oxpononisem 36 i orti nobi t. Si deniquo ii Hsius 54 Iioriodus computatur num rusquc in hac non contoniuΝ eae. yr. 5 donuo tentatur, hunc osso radicum Iirimitivum. rcIκ'riotur.

meroriun t. di mesetur nive otiam utrumquo . Aliac ibantur singuli aut numero ι aut numero M. prout illum aut hune metiuntur e quando aliquis utrumque motitur, arbitrarium eui adscribaturi productum ex iis qui ipsi ι adseripti sunt, ait in m. produetum e reliqui. α νε, facileque peresses 'tur m ip um e. νε II um re metiri. atque ei e m F.

64쪽

I, E RESIDUS POTESTATEM. Thooremata raris dae per dia es radio ira primuiria. 75.

Antequam hoc ninumentum deseramus. Prolaositionos quasdam trademu8. quae ob simi licitatem suam attontione haud indimino videntur. Productum eae omnibus terminis periodi numeri cuiusvis est in l. quando ipsorum multitudo. xire eae mens ad quem numerus IHrtinet, est in Iri et - - 1, quando ille ea Iumens rat puri M. Pro mo luto la periodus numeri 5 constat ex his torminis l. 5.12 Squorum productum 480 - 1 mod. 13 . Secundum oundem modulum Ileriodus numeri a constat O torminis l. 3,9quorum Pro luctum 27 -l mod. la). Demonstr. Sit Pael oriens. nil quom numerus Portiti t. t. utque indoX numeri. '. id quod si basis rite doterminatur semper fieri potest t. 7lin. Tum index lim lucti Ox omnibus periodi terminis erit

i. e. - m .p-ll. quando i impar, ot P. quando i ivir; hinc in priori casu productum illud i mod p : in liostoriori vom - - 1 lmo t. p . nrt. 62 . Q. E. D.

Si numerus isto in thoor. Pratu odonte ost radix primitiva, eius Iwri uri Omnes numeros l. 2.3 p-1 comprehendet. quorum productum itaque senilier -l numquo P - l sem' r par. unico casu p - 2 excopto in quo -l Pt- - l uoqui valent . Thcoronia hoc elogans quod ita onunciari solot: productum ea omnibus numeris numero primo dato minoribus. v nitate auctum per hunc primum extilirisibile, i rimum a col. Waring ost prolatum armigeroque Wilson nils Til tum. Meditt. olyebr. m. a. p. 380. Sed nouurr domonstrare ΙΜ tuit . et col. V uring λ- tetur demonstrationom se a difficilior m vi dori. quini nulla notatio fingi Possit, pluvnum rum Primum PxΡrimat. - At nostro quidem iudicio huiuςmodi veritatos ox notionibus Itotius quam ex notationibus hauriri dol bunt. Postea ill. Lu Grango demonstrittion m dedit. Noue. Mem. de rae. de Berlin. 177l. Innititur ea Consi-

65쪽

demtioni coesticientium ex ovolutione Producti

cum ou quam nos lito exposuimus conspirantom. Quod si talos viri thoorema hoc moditationibus suis non indimum censuerunt, non improbatum iri Speramus, si ali nni adhuc demonstration in nPIMnimus. 7. uando Secundum modulum p. productum duorum numerorum a. b unitati ost coiigruum, numeros a, b cum ill . Eulor socios vo mus. Tum S ululum

S t. PrueC. quivis numeriis positi A ipso p minor solitum habebit positivum ipso ρ minorem ot quidem unicum. Facile autem probari pol si ex numeris l. 2.3 ρ- l; l ct 1 - 1 osse unicos qui sibi ipsis sint sin ii: numeri Onim sibi itinsis socii, radicos crunt congruentiae quac quoniam est secundi grudus Pluros quam duas radicos. i. e. nlius quam 1 et ρ - l habero ia quit Abiectiri

Potost autem theorema Wilsoni unum generalius sic prolκnii. Productum ea omnibua numeris . numero quo evnque diato A minoribus simulque ad buum I rimis, Onyrmum est A evndum A. unitiati vel neyatire rei positire summe. Nogative Sunion-da est unitas. quando A Ost formas p . aut huiuwD 2 p . designitiato P riumου-

66쪽

runi Primum n 2 divors ina. insupomito quilii IO 1 4: Positivo nutem in omnibus cnSibuη reliquis. Theorema. quale a col. Uilson ost prolatum. sub casu Priori continetur. - M. yr. Pro A 15 Productum e numeris l. 2. l. 7. 8. l. 13.14 CSt limod i5 . Demolnstruit Onom brovitatis gratia non rediungimus: observamus tantum. Pana simili modo Porfici posse ut in nrt. Praco. . cxcepto quod congruential Plii ros quam duas radicos habere imiost, quae considoraticinos quasdam in culinros postulant. Posset etiam demonstratio ex coli si domitionc indicum peti. similiti r ut in nrt. 7 5. si on quae mox do modulis non primis tradomus conserantur.

Productum ei omnibus radicibus primuinis est l. ex pto unico Pusu.

67쪽

UEOREMATA VARIA DE IPERIODIS ET RADICIBUS PRDIITIVIS.

lmsso. Yt quoniam in lus Productis omnes valores ipsius 1 cum omnibus ipsius B etc. combinari olvirint. Omnium horum pro luctorum summa n qualis ost Pri ducto ex summa omnium valorum ipsius A, in summam omnium vulorum ipsius B, in summam omnium valorum ipsius Cetc. uti ex doctrina combinationum notum ost. Designentur omnes unloros ipsorum . . Is CtC., i Ur A. . ', A Utc. II. Η, Η' etc. otc.. oririuo summa omnium radicum primitivarum

mod. si , si Vcro α sucrit l. summam hanc soro -0, similiterquo de reliquis 6. I etc. Simulac haec erunt demonstrata, thoorematis nostri veritas mani-

Determinentur Milicet numeri a. b. e. ete. ita, ut ait a Gilmod. a' et M o moli. O H eis. : b i mod. bI et M o mcd. QAete. ete. svid. ari. Ia , unde fiet a Φ b in e Φ ete. mi mod. ν - ιὶ, sart. 1, . tam M radix primitiva quaecunque. r. per productum ABCete. exhiberi debet accipiatur Λ - μ. Cin eis. , atque pertinebunt A ad exponentem a . B ad exponentem deis. ν productumque ex omnibiis .f. B. Cui c. erit denique saeilo pompitatur . . II. Cetc. alio modo dei ominari rum Posis.

68쪽

sta urit. Quando enim p- l laor quadratum aliquod divisibili κ ost. nliquis Oximnuntium a. 6. Iotc. unitatem superabit. udeoque aliquis iactorum, quorum Pr ducto congrua ost summa omnium radicum Primitivnrum. Prit - 0. et i rota Ptiam productum ita suin: quando vero p - l Iaer nullum quadratum dividi lκ,test. omnos exponcntos α. 6. I CtC. Drunt m 1, unde Summae omnium radicum primitivarum congrua erit Producto ex tot factoribus. quorum quisque -- l, quothul, nitur numeri s. b. cetc.. nil mue erit --i, Prout horum numerorum multitudo par vol impar. Illa uutem ita probantur. 'l'. Quando a l atque A numerus ud exponontona a I ertinoris. reliqui numeri ad hunc Oxi,onenti In I orti notitos Priint 21 . 21 A' 3. Attal--A . . . .. - 21'' est summa periodi complotae. adeoque -0 uri. 79 . quare 2'. faunndo nutoni a l . atquc A num rus ad exponentem a' I writianens, reliqui numori ad hunc cxlvinclitona pertinonios habebuntur . si ex his P . A . A . . . . reiiciuntur A', A ...1 otc.. vid uri. 53: quare summa corum erit i. e. congrua differentiae duarum P riodorum . adeoque -0. Q. E. D.

69쪽

I ropositionos arti. 4 5 - 48 generalitor iam sunt demonstratae. At Prop. ari. 49 ita immutari debet: Si s desisnat, quot numm dentur ad m primi simul jus in minores, i. e. Si f-Φm sert. 3S : expiniens t 'inime potestatis numeri dati a ad m primi. quae secundum modulum m unitati est construa, vel erit in vel pars aliquota huius numeri. DCnaon Stratio Prol'. nrt. 4s ctiam Pro hoc cum valem potest. si modo ubique loco ipsius m. loco ipsius p - 1, 1, ot loco Humoromin 1, 2, 3 P - 1, numeri ud m liri ini sint utque ipso m minoros substituantur. IIuc itaquo lociorum ablegamus. Cotorum domonstrationos reliquae de quibus illic locuti sumus 'rit. 50. blὶ non sino multis niuini gibus nil hunc in sum nPplicari Iuissunt. - At w- SP tu Propositionum sinuenti tun, nrt. 52 sqq. magna differentia incipit inter in dulos , qui numerorum Primorum sunt Potestates. eosque, qui I er Plures num ros primos drifidi i ossunt. Seorsim ita lues modulos prioris goneris comtemplo

bimur. 84

Si modulus m p , designinte numorum Primum. crit j p F-lὶ art. 3S . Iam si disquisitionos in nrit. 53. 54 coiitoniae ud hunc casum M pli nntur, mutatis mutandis uti in nrt. l,raec. Prnoscripsimus. invenietur. Omnia quae ibi domon Atrata sunt otium pro hoc casu locum habere. si modo ante Probatum o et congruentiam forma - 1-0 Mod. Ut plures quam i radicos divorsus habere non IUSSO. Pro modulo I rimo hanc voritatum sex Prolvisitione gonoratiori uri. 43 deduximus. quae aut cui in omni sua extensione de modulis priniis tantum m Ovalot, nequo adeo nil hunc casum repplicanda. Attamon liropositionem pro hoc Casu Particulari vernni osse Ii et methodum singularem demonstrabimus. In ha suci. IIIl id in lacilius in, cuiro docsbimus.

70쪽

metintur. Tum congruontia i secundum modulum p habebit k radices diversetis, quibus lier . l. B. Cotc. d signatis. radiis quaecunquc Diusdom congruontino secundum ino lutum p . congrua osso du t so rundunt modulum p alicui numerorum A. B, C etc. Iam demonstrabimus, congruontiam l mod. ii hu ro p radicos ii, si A. toti doni ii si II otc. rem uas secundum miniuium p. Quo tacto omnium radicum numerus erit kρ sive e. uti diximus. Illam vero demonstration in ita adornabimus, ut primo Osimulamus, si a fuerit radix ipsi alsecrandum nυκlulum P Congrua. ctiam α- -υ α--3ι, η, fore radices; secumlo. num ros ipsi A Secundum modulum se congruos alios ii iam qui informa α - - 11 sint comprehensi denotanto h intomum quemcimque . radicos esse non Iκν,Ν : unde manis sto p rudicos diversae lintonintur. ot uoupturos: atquc idem otium de radicibus, quae singulis B, C in. Sunt congruae . I cum hab st,it: tertio docebimus, quomodo semper milix, i Psi A Secundum p cougrua, inveniri liossit.

TIMOR a. uti in art. Praec. t rat ni erus per ρ', neque t res per di- risibilis. erit aq-hp -- 0 mo l. 'μ ε . at α hsi timod p in 'ri Theorematis i ars posterior locum non habet. quundo 2 simulque l. Demonstratio huius theorematis ex evolutione laotestatis binomii Poti iκγsset. si ostenderetur omnes terminos post Accundum Por divisibilos esse. Sed quoniam conκid ratio denominatorum coefficientium in aliquot ambages deducit. methodum sequontem Praeserimus. Ponninus primo μ l ut luo v - l. eritque Prolitor