Werke Carl Friedrich Gauss 1

51쪽

residua iiiiiiiiiiii Ontilia erunt divorsa; undo sucilo deducitur. inu r brufo omnos numeros l. 2. a. . . . I=- l. qui totidem Nunt multitudino quot illa rosidua minima. relwriri debere, i. e. quomvis numerum lier p non divisibilem itotestati alicui it sius a conmium csso. Insignis hare Iiroprietas Permagnae ost utilitatis. Ἐπι- ratiOI osque arithmeticas. ad congruontius Portinentes, haud parum Rubi vare potest . simili soro modo. ut logurillimorum introductio Olu ruti Onos urit limoticuo vulgaris Radi colu nil tuam primitivam. a. ud lubitum tiro basi adoptabimus. nuquam omnos num ros lier p non divisibilos reseremus. et si lacrit naiad. ιγ'. ipsiuA b immem vin abimus. Er. yr. si liro modulis L . radix Primitiva 2 Prol, i assumatur respondebunt

Ceterum Iritet, manente basi, cuique numero Plures indicos convenire, sed hos Omnes Ν undum modulum p-l soro congruos; quam rein quotios de indicibuΝ ΝDrmo Erit . qui Nocundum modulum p - 1 sunt congrui Pro aequivalentibus haln buntur . simili modo uti numeri ipsi. quando secundum modulum p 8unt

congrui. tamquam ii quiviiloni OS SIκ Ciantur.

Thooromuta nil indicos pertinentia prorsus analom Aunt iis quae ad logarithmos SI Octant. Indeae producti e quotc npre factoribus conflati covrvus est summae indicum xivulorum factorum secundum modulum P - l. Indeae potestatis numeri alicuius confruus est producto eae indice numeri dati ιπσPonentem potestatis, Secundum mod. P - l.

Demonstrationos propter facilitatum omittimuri. IIinc persilicitur si tabulam construcro velimus eX qua omnium numerorum indices pro modulis diversis desumi i Asini. ex hac tum omnes numeros modulo maiore8. tum omnes ctompositos omitti posse. Specimen huius minii tabulae nil calcom OPeris huius adiectuin est, Tub. I. ubi in prima columna vertit ali positi sunt numeri Primi primorumque ivitestatos u a usque ad 97, qui tamquam moduli sunt si ectandi, iuxta hox singulos numeri pro basi assumti; tum soquuntur indi-Cuη numerorum Primorum successivorum, quorum quini soniper rer Immulum iu-

52쪽

DE RESIDUIS POTESTATUM.

to vult mn sunt disiuncti, eodoni suo ordines supra disiκ siti sunt numeri 1,rimi: ita ut quis index numero primo dato secundum modulum datum respondeat. iacile tutoque inveniri possit. Ita gr. yr. Si p - 67 index numeri 60. assumtis l2 tiro basi orit 2 Ind. 2 in Ind. a in Ind. 5 in . 66 58ε0 ε 39 - 10

Indo Daloris cuiux inique eapressionis ι- moi . p. . art. 31 eonymua est Securi dum modulum p-l dis rentiae indicum numeratoris a et denominatoris b. siquidem numeri a. b per ρ non sunt dirisibiles. Sit Onim valor quicunque e: eritque bc a im .p : hinc Ind. ιε Ind e Ind. alinod.p- l) . ad Uiuo Ind. e In l. a - Ind. b.Si itaque tabula hut,etur, ex qua index cuique numero res nitens Iγro quo vis modulo Primo, aliaque ex tilia numerus nil indicem datum pertinens dorivari Possit. Omnes conmientiae primi gradus facillimo no tio solvi poterunt, quoniam omnos reduci Possunt ud talos, quarum modulus DSt numerus Primus art. 30'. E. F. PrOPO ita congruentia

Hinc Ind. ae Ind. 7 - lnd. 29 Ind. 10 - Ind. 29 l 5 - 43 l, ni ad 46 At nuntoriis cuius index lS invenitur 3. Quare ae 3 in . 47 . - Tabulum secundum qui doni non adieci inust ut huius vico alia desungi potorit uti S t. VI

Simili modo ut art. 31 rudicos congruentiarum primi gradus designarimus. in Νcquontibus etiam congruentiaruin laurarum nitiorum graduum radicos P r 8 num exhibebimus. t ii scilicet ζ i nil id aliud significat quam radiconi aequationis A. ita aPIκ sito modulo iter . i. mOd. I denotabitur radix niuei unquCCongruentiae G - 1 .mOd. pl. IIunc expressionem v A in . p tot valores hR-boro dicemus. quot habet secundum p incongruos. omnes cnim qui secundum P

53쪽

hac congruentia deducuntur ad pra Dpta sectionis Praee. valores ipsius Ind. X at- quo ex liis valores respondentes ipsius x. Facile voro peraspicitur X halaero totidem Vulo R. quot radices congruentia n Ind. ae Ind. 4 mod .p-lin. Manifesto

igitur u A unum tantum minio valorem habebit quando n ad p-l est primus: quando vero num ori n. p - i dirisorem communem haboni δ, atque hic est maximus. Ind. ae halaebit δ valores incongruos S cundum p - l, ndemust , AtotidQm VHOres incongruos secundum p. si quidem Ind. ad per δ est divisibilis. Qua constitionc deficiente , A nullum vulorem realem hubobit. Memplum. Quaeruntur valores expressionis ut mod. l9j. Solvi itaque debet congruentia 15 Ind. a Ind. li 6 in . l, , invenienturque tres valores ipηius Ind. a --l. l0, 6 m . lS . His Vero respondent valores ipsius a. 6.9 4.

Quantumvis pxi,odita sit methodus haec quando tabulae necessariae adsunt. debemus tamen non Oblivisci, in directam eam osse. Operno uitiu pretium erit inquirere quantum methodi directae polleant: trademusque lite ea quae DX Pra Odontibus hauriri possunt: alia, quae considerationes reconditiores Postulant. adsectionem I III reservantos. Initium facimus a casu simplicissimo, ubi A l, si vo ubi radi ses congrusentiae His i mod.1νὴ quaeruntur. Hic itaque. assumta radice quacunque primitiva pro hasi, debet osse n Ind. xvi 0 m .p-ll. Quae congruuntia, quando n ud p - l est primus. unam inutummodo radicem hab hit. scilicot Ind. .r-0 m .p-il: quare in hoeee cireu Pl m . si unicum v lorem habet, scilicol - l. Quando nutum numeri n. ρ-l halioni divisorum communem maximum) δ, congrusentiae n Ind. X - 0 mod. a-lὶ solutio completa erit Ind. x 0 mod. e Lὶ V. stri. 29 . i. e. Ind. .r Rocundum modulum p - alicui in his numoris

congruus osso dubebit. si vo δ valores secundum modulum P -l incongruos habebit: quam otinni x in hocce casu δ valores diversos i secundum modulum

54쪽

DE RERIDUIS POT TATUM.

divorsos linhore, quorum indicos cum ante ullatis In Draus conveniant. Quocirca expressio ni od p) huic Pl smod. p omnino a qui valet. i. e. congruontial mod .pὶ easdem radices hal et quas lia . ae vi l m .pJ. Prior nutem inferioris orit gradus siquidem δ ot n sunt tua quales. . v l ni tui. 19ὶ tres habet valores, quia a maxima numerorum 15, i Smon Aura communis, hique simul erunt valores expressioniis od. 19 . Sunt autoni hi l. r. ll.

Per hanc igitur reduction in id lucramur ut alias congruontias formaua - I solvero non Sit Opus. quam ubi n numeri ρ - l ost divisor. Insea vero Ostendemus, conmisnti aes huius formae semi aer ulterius adhuc dolirimi posse. licet pra cedentia ad hoc non sum iant. Unum tamen casum iam hic nbsolvere Ivissumus scilicol ubi n - 2. Manisosto enim valores Oxpressionis sit omni εl et quia plures quam duos habere nequit, hiqiic H- l ot - 1 Remi er fiunt incongruinisi modulus sit - 2, in quo casu unum tantum valorem liniaere IUSSE. Perse Clarum. HinC Requitur, t et - l etiam sors valores expressionis 'P lquando m ad ' sit primus. Hoc semivir eveniet. quoties modulun est ei unindolis ut fiat numerus absoluto primus nisi foris p - 1 2m in quo a8u Omnos numeri l. 2, 3 p - l Runt radicesὶ G. yr. quando p - 3, b. 7,ll. 23, 47 59.S3,107 etc. Tamquam corollarium hic annotetur, indicem ipsius - ISemPer esse mod .p-ll. quaecunque radix primitiva pro basi accipia

Vel smod. p-1ὶ: u vero inmi er index ipsius -- l. atque Η-l et - l semper indices diversos habere delient praeter casum p 2 ad quem hic respicere OPPrae non est Iiretium .

ostendimu8 nrt. 60 expressionOm v A mod.pὶ habere δ valores diversos. mit Omnino nullum, si fuerit δ divisor communis maximus num rorum n. P- l. Iam uti modo docuimus P 4 et a qui valuitios esse. si suOrit A l, generalius probabimus, expressionem spmper nil aliam reduci ivisse cuin qui 'al at. Illius enim valore quocunque deuotato per .r erit iam

55쪽

DICER PRIMITIVAE. INDICEN.

sit i valor quicunque Exprossiouis mod .p- l . quam valoros malos haberct exari. 3l perspicuum; eritque a f at Ρ Ρωr in-δ mod p - l . Quare adeoque quicunque ipsius v A valor erit etiam valor ipsius . 1 . Quoties igitur valorcs malus habet, expressioni A prorsus nequivalens erit, quoniam illa neque ullos halint quam haec neque Pauciores. licet quando v A nullum valorona realem liubet, fieri tamen ibossit ut eis valores ruulos habeat. Ea . Si valores expressionis v2 inod. 31ὶ quaoruntur, erit nil mororum2l ot 30 dirisor communis maximus a. sexpressionisque ἱ mod. 30ὶ unior uliquis a. quare ri V2 valores malos habDt, huic Oxpressioni V2 sive -- qui valebit. involiteturque revera. Postorioris o Pressionis valores qui sunt 2, in. lsotiam priori satissa E . ,

Xo autem hanc oIwrationDm incussum suscepisse I striclitsemur, mulam in voStigare oportet. Por quam statim diiudicari possit utrum O valores reales admittat necne. Quodsi tabula indicum habetur, res in Promtu e8t; namque cxnrt. 60 mani Stum ost. valores mulos clari. si ipsius A iudex, radice quacunque primitiva pro basi accepta. 1R1r 8 sit diviΝibilis. sin voro minas. non dari. Atta mon hoc etiam absque tali tabula invuniri tu, test. Posito enim indice ipsius A

h. si hic lacrit per δ divisibilis, erit por p-l divisibilis ot vico

56쪽

orat. Postea etiam ili. Iai Grange thoormatis domonstrationem tradidit. Murearer Mem. de IAe. de Berlin A. 1775 p. 312. Aliam adhuc demonstrationem in spetione soquenti ubi proprie dct hoc argumento Vendum erit. dabimus.

P tquam Omnos eXPre8 siones PA inod. M ad tales reducem doeuimus, ubin divisor numori p - l, eritoriumque nacti sumus utrum valores reales admittat necne, tales expresssiOnos Q A inod 3ὴ ubi n ipsius p-I ost divisor accur lius conκidorabimus. Primo Ostendemus. quam relationem valores Ringuli e re sionis intor se halumni. tum artificia quaedam trademus, quorum stuXdio unus V lor ex prensionis saepenumero in voviri Possit.

Primo, quando A I, utque r aliquis ox n valoribus expressionis PlimOd p . sive '-l mod. p . Omnes etiam ipsius r potestates erunt intores istius expressionis; horum autem totidem erunt diversi quot unitates habet exl, noris ud quom r Pertinet tart. 48 . Quodsi igitur r est vulor ad exponentemn l ertinens. Potostatos ipsius r hae ubi loco ultimae una as sui stitui imi se omnos Oxpressionis stlimOd.ρὶ vali res involvent. Qualia autem subsidia exstoni ad talos UOres involaiendos qui exlvinetatem n Iaertinount. in hinci. I III susius explicabimus. Secundo. Quando A unitati est incongruus. unusque valor PXI ressioni xv A anod. γῆ notus. qυ sit r. reliqui hoc modo indo deducuntor. Nint valoroge Pre,sionis hi

namque omnes hos congruentiae satisfac re inde mani κtum quod, po-8ito quocunquo eorum et . Potestas ipsius Propter set e is ipsi A fit congrua: omnes diversos osse Ox urt. 23 sucile intolligitur: plures nutCm vvlores quam hos quorum numPrus est n. ex Pre Ssio PA habere nequit. Ita eae. yr. si altor ex P Asionis valor est a. nitor Prit - a. Deni

57쪽

inveniri possit. Hoc evonit quando aliquis valor potestati alicui ipsius A con-ν ius evadit. qui casus quum haud rum Occurrui, aliquantum huic rei immorari non sui oratium crit. Sit talis valor. si cyinis datur a. sive e a1- et m m .p . Hinc colligitur quare si numorus k habetur, ita ut sit A A '. A erit valor quaesitus. At huic conditioni acqui valet ista. ut sit n mod. ti, designante i exponentem ad quem pertinet A stri. 46. 4ου . Ut vero congruentia Iκ3ssibilis sit, requiritur. ut Sit n ad t Primus. Hoc in casu crit ni .h: si vero t et n divisorem crammunem habent. notius valor a ivitestati ipsius A congruus PsSE POwηt.

Quum autoni ad hane solutionem ii sunt i norinse OIn risui. vidismus quin modo Pr edore Iinsimus, si hunc numerum ignoremus. Ibinio facile intelligitur. t ipsum moliri debere. siquid ni v A DOd.1ὴ Vesores reales habeat. uti hic Remlier ΝuPIMnimus. Sit enim quicunque Valor s. eritque tum tum y - 1 nita. θοῦ quare Ple undo I artos Posteriori' congruentiae ud Ivit 'sta- ωm p fiet A in i: adeoque per i divisibilis hari. 48 . lam si e - ad n est primus, congruentia art. Pruum kn l ptiam Secundum modulum solvi poturit . manisostoque ustior ipsius k congruentiae weundum modulum hunc satissa ictis ridem etiam socundum m Hulurn t. qui ipsum motitur . satisfaciet art. 5 . Tum igitur quod quaerolvitur invextum. Si voro ad n non ost primus. omnes ii sius lactores primi qui simul ii,sum n motiuntur ex eiiciantiar. Hinc nanciscemur numerum. n Primum, designante q productum in omnibus illis saetoribus primis. quos Ciecimus. Quodsi iam conditio ad ii iam in nrtio. Pra . PervenimuΝ uti ad n sit primus locum habet. t etiam ad q erit primus tamque otiam iΡ- Eum metietur. Quare si congruentia i sui . solvitur squod fieri potest quia n ad primus'. valor ipsiuη k otium socundum modulum

58쪽

t congruentino satisfaciet. id quod quaerebatur. Totum hoc artificium in eo vo Nutur, ut numerus oriantur qui ipsius t, quom ignornmus, vice lanni 1Ussit. A tamen Probo m minisse OIiortet, nos quando ad n non est primus. SuPla suisse conditionem art. Praec. locum habere, quae si deficit Omnos conclusiones e ron ac orunt; nique Ri r gulas datas tomere sequendo liro e valor invenitur, cuiuε potestas n ipsi A non sit conmia. indicio hoc est. conditioncm deficere ado que methodum hanc omnino adhiberi non I osse. 68. Sed in hoccc setiam casu suope prodosse PoteSt. hunc laborem Su8cPPissct: OPOrneque Iar tium Dest, quomodo hic valor sulsus ad veros scis habout investigare Sul Ponamus itaque numeros k . a rite osse determinatoη sed es non esse - A

mod p . Tum si modo uniores expressionis v in id. pin determinari possint. hOS Singulos Ivir a multiplicando valores ipsius v A obtinebimus. Si enim eost valor aliquis ipsius , : serit ire A. Sod sexpressio eatenus hac, A simplicior, quod mod. p) ad extionentem minorum plerumque potin tquam A. Scilicet si numerorum t. q divisor communis maximus est cl. et mod p ad exponentem d ii ,rtinebit. id quod ita demonstratur. Substituto Pro

r valore. fit in .p . At kn-l twr divisibilis inrt. Praee. . . ' vero luet i sibid.ὶ sive per 1. Atqui ad I est Primus h quare etiam per g sive per . . adeoque otiam Di - i' per b

d ducitur ad potextatona evectum unitati conginum fieri. Quod veroo nd DXPonentem minor in quam d i,ertinero non lUssit sicile quidem domon-ηtrari potest. sed quoniam ad finom nostrum non requiritur. huic rei non immoru-mur. Certi igitur osso possumus. γ mod. Isi sempor ad minorem DXImnentem I rtinere quam A. tuaico excepto cusu. scilicet quando i ipsum g metitur.

Sed quid iuvat. quod et ad minorem exivinentem Portinet quam A' Plures numeri dantur qui 1κ ssunt esso A quam qui possunt osso Et quando Secundum eundem modulum plures huiusmodi expressiones v l evolvere occasio est. id lucrum ur ut plures ex codem sonto haurire in ssimus. Ita ea. yr. Rem Per unicum saltem unior in expres Rionis , i nuul. 29 determinare in Imi sui te orit, '

59쪽

α DICM PRIMITIVAE, INDICES.

si modo expressionis k-l mod. 29ὶ valores qui sunt in 12ὶ innotuerint. Facile enim OX Rrt. Praec. perspicitur, huiusmodi oXPressionum unum valorem Semper dire te determinari posse, quando i impar, et d fieri 2 quundo i par:

praetor - l autem nullus numerus uti exivitientem 2 l, 'rtinet.

Ηace fore sunt. quao hic do talium expressionum evolutione tradere licuit. Ι'ulum est methodos directas satis prolixas saDIM evasuras: ut hoc incommodum tantum non omnibus methodis directis in numerorum thstoria incumbit: neque ideo negligentium censuimus, quantum hic praestam valeant OstEndere. Etiam hic observare convcuit. artificia particularia quae exorcitato haud raro w offorunt sigillatim explicare, non esse instituti nostri.

Revertimur nunc ad radicos quas diximus primitivas. ostendimus. indi primitiva quacunque pro basi assumta Omnes numeros. quo n indices ad p- lprimi. Ptiam soro radices Prinsitivas. nullosque praeter hos: unde simia radicum primitivarum multitudo sim te innotoscit. V. art. 53. Quamnam autem radiconi Primitivum pro basi adoptare velimus. in genero arbitrio nostro relinquitur; und intelligitur, etiam hic, ut in calculo logarithmico, plura quasi systemata dari Posse ' .

'ὶ In eo autem differunt, quod in logarith a sty inmatum numorus est infinitu . his vEro tantus, quantua numerus radicum primitivarum. Manifesto enim hages eongruae idem symma generant.

60쪽

qum' quo vinculo connexa sint videamus. Sint a. b duae radices primitiine. Hi usque numerus m. utque . quando a Iiro basi a sumitur. indox numeri h s. numeri m vero index -μ mod .p- ); quando autem b pro basi a Rumitur, index numeri a α, numeri m vero v m .p-ll. Tum erita 6 1 mod.13 - 1ὶ; namque a - b. quam a -- ι' a mod. M, l . . hinc α6-l m .p-IJ. Per simile ratiocinium invenitur u - αμ. atque 1 -6v mod.13 - l . Si igitur tabella indicum pro baesi a constructa lint, tur lacile in aliam converti potest . ubi h haesis. Si enim pro basi a ipsius b index ost G. pro basi b ipsius a indox erit in i mod p-l , multiplicandoque I er hunc numerum omnes tabellae indices. habebuntur omnos indicos pro basi b.

Quamvis aut m plures indicos numero dato contingere possint. aliis ullisque radicibus Primitivis pro basi acceptis, Omnes tamen in m convenient. quod omnes eundem diosorem nan imum cum p - 1 communem habebunt. Si enim pro basi a. indox nu mori dati At m. pro im Ai b vorci at, utque di isOros maximi his Cum p - commvnos μ. v supponuntur Esse innoqunt s. nitor Prit maior . ex. 9r. μ v. adeoque μ ipsum n non molietur. At designato indice ipsius a. quando b pro basi assumitur. per α. erit sart. Praec.ὶ π - ant mod. p - il adeoque etiam iIγsum n moti tur. Q. E. A. Hunc divisorem maximum indicibus numeri dati. ipsi quo p - 1 commu-uPm, a brusi non Pendore. etiam inde twrstuc ium. quod noqualis ost ipsi designante i OXIκ nentem ad quem num rus. do cuius indicibus nitur. IUrtinet. Si enim index l ro basi quacunque ost k. erit i minimus numerus Por quom k multiplicatus ipsius p-l multiplum ovadit oxcopia cilia in Vid. arti. 4 S. 5 S, si V minimus valor expressionis et m .p-lJ Ρmotor Cisrum; hunC autem nequalom esse divisori mn v mo communi irai mororum k et ρ-l ox art. 29 n 'Vo no-gotio derivat . et t.

Porro isello domonstratur. h in ita senatUr accipere licPre. ut numerus ad exponentem l IK rtinen η indicem quemlit,ut datum nausis atur, cuius quid in maximus divisor cum p-l communis Designemus hunc brevitatis gratia Por d. sitque index PropoRitus -dm. numoriquo propositi. quando quaelibet