Werke Carl Friedrich Gauss 1

21쪽

mmRENATA DR NUMERIS PRIMIS.

non detur. ex elementis notum. 19

Si numeri a. b. e etc. ad alivm k sunt primi. etiam productum eae illis abeete. ad k primum est. Quia enim nulli numerorum a. b, e etc. suctor Primus cum k cst communis productumquo abe otc. ullos sectoros primos habere nequit. quam qui sunt iactoros alicuius num roriam a. b. e etc.. Productum ab e etc. etiam cum k Rctorem Primum commvnom non habobit. Quare ex art. Praec. k ad ab e etc. primus. . Si numeri a. b. e etc. inter se sunt primi. aliumque k singuli metiuntur: etiam productum eae illis numerum k metietur. Hoe a quo facito in arti. 17. l8 derivatur. Sit enim quicunque producti ab e otc. divisor Primus p. quom continent n vicibus, manifestumque est, aliquem numerorum a. h. e et . Dundom hunc divisorem n vicibus continere debero. Quare etiam k. qu m hic numerus metitur. n vicibuη divisorem p continot. Similiter do reliquis producti ab e etc. divisoribus. Hinc si duo numeri m. n secundum plures modulos intre Se primoa a. b. e etc. sunt confrui. etiam secundum productum ea his construi erunt. Quum Pnim m - nitor singulos a. b. e etc. sit divisibilis. etiam Iaer ooriun productum dividi IUterit. Donique si a ad b primus et ah per b dirisibilis. erit etiam hk per bdirisibilis. Nam quo quoniam ah iniri por a quam per b divisibilis. etiam per

ab diridi poterit. i. o. - erit integer.

Quando A a' es etc., designantibuA a. b. e etc. numeros primos inaequales. si potestas aliqua. Putu U: omnes grPonentes a. 6. I etc. per n erunt dii ixibiles. Numε rus enim k alios factores primos quam a. b. c etc. non inVolvit. Continent factorem a. α' ricibus . continebitque P sive A hunc iactorem na vicibus; quare na' - a. et E in toger. Similiter etc. int ros Esse domon

stratur.

22쪽

Quando a. h. e etc. sunt inter Se primi, et productum ab c ete. potestas aliqva. puta in 'r sinsuli numeri a. b. e etc. similes potestutes strurit. Sit a - θω p cur. . dos nantibus i. m,p etc. numeros Primos di Verrans, quorum nullus per hyp. si suctor numerorum b. c etc. Quaro Productum abeetc. factorem I implicabit a vicibus . factorem m vero μ vicibus etc. : hinc art. praec.) a,μ, Π etc. Per n divisibiles adeoque

a l' m' p' etc. integor. Similiter do reliquis b. e etc. Haec de numeris primis praemittonda orant; iam ad ea quao finem nobi κPropositum Iaropius attinent Convertimur. 22. Si numeri s. h per altum k dii isibiles secundum modulum m ad k pri. mum aeunt conymi: i et secundum eundem modulum construi erunt.

Si a ad m prim , et ri s numeri secundum modulum m inconstrui: erunt etiam a e. V incongrui Secundum m. Hoc est uilitum Conversio theor. nrt. Pr-C. Hinc vero manis Atum est. si a Por omnos num ros integros a u usquD ad πι - 1 multiplicotur productaque secundum modulum m ad ro,idua Sua minima reducantur. haec omnia fore inaequalia. Et quum horum rosiduorum, qu rum nullum m. numerus sit m. totidemque dentur numeri a0 usques adm- l. liato t. nullum horum num rorum inter illa residua d esse I oKΝP.

23쪽

sOL IO CONGRUENTIARUM.

Expressis a X - b. denotantibus a, b numeros datos. X numerum indeterminatum seu variabiloni, secundum modulam m. ad a primum, cuivis numero dato eonyrura feri potrat. Sit numerus, cui congrua fieri debet. e. Et rogi duum minimum positivum ipsiuR e - b socundum modulum m. e. Ux art. Praee. ne esSario datur valor i sius Xς m. talis, ut producti ax secundum modulum m residuum minimum fiat e; esto hic valor τ . eritque au-e - c-b; unde av-kb m c mod. 33M Q. E. F.

Expressionem duas quantitatos congruas exilibentem ad instar acquationum. cons entiam vocamus; quae si incognitam implicat. resolvi dicitur, quando pro hac Hor invenitur congruentino satisfacistus sodiae . Hinc Imrro intelligitur. quid sit confruentia resolubilis et eoumentia ire olubilis. Tandem sucido perspicitur similes distinctiones locum hic habere posse uti in aequationibus. Congruentiarum transscendentium infra Oxempla occurrent; alyebraicae vero secundum dimensionem maximam incognitae in congruentias primi, secundi altiorumque framιum distribuuntur. Nec minus congruentiae plures proponi possunt plures incognitas invol-Ventes. de quarum eliminatione diAquirundum.

Congruentia itaque primi gradus a XH-h - e DX art. 24 Semper resolubilis. quando modulus ad a est primus. Quodsi vero u suerit valor idoneus ipsius ae. Sive radix congruyntiae. Palam est. omnes num ros, ipsI v secundum congruDntiae PID sitae modulum congruos. Qtiam radices sors sart. 9 . Neque minus sacile PersPicitur. Omnes radices ipsi v congruos osse debere: si enim ulla radix suerit t. Orit av--b - at H- b. unde an a t. et hinc u t art. 2η. Hinc colligitur congruentiam Σ - η mod .nh exhibere resolution m comPletam congruontiae a ae b e. Quia resolutiones congrusentias per valores ipsius x congruos IHr Se fiunt obviae. atque, hoc respectu. numeri congrui tamquam aequivalentes considerandi. inles congruentiae resolutiones pro una eademque habebimus. Quamobrem quum

24쪽

20 DE CONGRUENTIM PRIM GRADUR. nostra congruentia a X b - e alias r Solutiones non admittat. Pronunciabinius. ues o tantum modo eam esse resolubilem seu unum tantum rusticem liab ri . Itae. g. congruontia fiae Η- 5 - 13 mod. 11ὶ alias rudicos non admittit, quam quae sunt - 5 .mOd. lil. Haud l)erinde res se hui,ut in congruentiis nitiorum graduum . sive otiam in congruentiis Primi gradus. ubi incognita per numerum est multiplicata. ad quem modulus non Pst Primus.

Sut, uost. ut do invoni nila resolutionc ipsn congruentino huiusmodi, qua damadiiciamus. Primo obsorvamus. congruontium somno cla' -t v. Cuius m desum ad a Primum suiqvinimus. ab hac tia l liundere: si enim huic atisfacit a r. illi satisfaciet x - 1 u - t. r. At congruentiae a a' - - 1. modulo per b designato, aequivalet aequatio indeterminata a X byst l. qua quomodo Et solvonda hoc quidem tenatiore abunde est uotum; quare nobis sum- eici. osticuli a Orithmum huc transscripsiSQ. Si quantitates A. D. C. D. E etc. ita uti his α. 6. I. δ etc. Peud ut . ut habeatur

brevitatis gratia ita eas d signamus,

Iam proposita sit aequatio indotorminuta a X hyil, ubi a b positivi. Supponamus. id quod licet. a osse non ς b. Tum nil instar n orithmi noti . secundum quom duorum num rorum divisor communis maximus investigatur. sermonturi or divisionum vulgar in acquutiones. αb-He. b - se d. c Id-be Din. ita ut a. 6. I etc. c. d. e etc. sint integri Positi lii Di b. e. d. e continuo docro cpntes. donec perveniatur ad m n H- l'ὶ Multo generaliua haecce relatio eo dorari potest . quod negotium alia sori an occasione suscipiemus. Hie du- tantum propositionea adiieimus. quae usum auum in prae enti invostigatione habenti selli t. U. s 6, I .... λ, Q. f6, 7, ... λ,M- - . ubi rignum Ruperius aerimendum quando numerorum . λ. μ multitudo par, inserius quando impar. 2'. Numerorum 6, 3 et e. ordo inverti Potest. Γα. I ... M μJ - λ λ . . . I. *J. I emonstrationis quae non sunt difficileη hie supprimimu .

25쪽

Resolutioncm generalem huiu modi aequationum indeterminatarum id. Eulor primus docuit. Comment. Petrop. T. VII. p. is. Melli ues qua usus Ost consistit in substitutionc aliarum incognitarum loco ipsarum X. y. atque hoc quidem tomi vire satis est nota. Ill. La irange Iiaullo aliter rem aggressus ost: scilicet ex ilicoria fractionum continuarum constat. si fractio - in fructionem continuam

convertatur. ha quo deleta ultima xiii Imrto in fractionem communem restituatur. fore aae se byil. siquidem fuerit a ad b primus. Cetorum in utraque methodo id in algorithmus dorixatur. Invcstigationcs ili. Itin Grange e stant mat. de I M. de Brelin Ann e 1767 p. 17 5. ot eum aliis in Supplementis t-si i yallisae Alyebrae Eulerianae adiectis.

29. Congruentiae cuius modulus ad a non Iγrimus, facile ad Casum Pruo dentem reducitur. Sit modulus m. maximusque numerorum a. mdivisor communis 1 rimo patet quemvis valorem ipsius a congruentiuE R eundum modulum m satisfacientem eidem otium secundum modulum δ satisfacere sart. 5 . At Semper aX - uimod o . quoniam δ ipsum a metitur. Quare . niRi t u in . R i. e. t u por δ di sibilis. congruentia proposita non est resolubilis.

26쪽

DE CONGRUENTO PRIMI GRADUS.

I'onaimis linque m cf. t - ιι - δk. eritque e nil f Primus. Tum vero congruentiae propositas δ -- - δ aequivalebit haec eae in k-0 mOd. in . i. e. qui utiquo ipsius a valor huic satisfaciat. otiam illisutissa tot et vice vorsa. Manisosto otiim ea H-k twr 1 dividi iκ tori t. quando ii Ar V di adi polost. et vice versu. At congruentium eae in k-0 in . si Supra solvere docuimus; undo simul patet. si v sit unus ex vuloribus ipsius x. ae , mod. L exhibere resolutionem completam Congruentiae Pr

Quando modulus est compositus . nonnumquam Pra Stat , quonti methodo uti. Sit modissus in m n. atque congruentia Proposita a X b. Solvatur Primo congruentia ha C secundum modulum m. Ivinamusque ei satisfiori. si X - τ in . designante δ divisorem communem maximum numerorum m. a. Ium manifestum cSt, quemvis vulorum ipsius ae congru utiae ax b secundum In dulum mn satissapientem Didom etiam sei illidum modulum m satissa Drct debere: adeoquo in sorina vis. E contineri. dosi nauis , numeriim indotorminatum . quamvis non vico versa omnes num ri in serma as contenti congru- .entiae Secundum mod. mn satisfaciant. Quomodo autom ae' determinari d

primi gradus secundum modulum mn roduci I osse ad solution in duarum congruentiarum s Cundum modulum m ot n. Facito nutem Iaerspicietur. si nitorum sit productum o duobus iactoribus. solutionem Congruontiare Areundum modulum n Pondoro v xolutione cluarum congruentiarum quarum moduli sint illi factores. Generaliter solutio congruontiue socundum modulum conatas siluin quom- cuin illo laendot a Solutione aliarum congruontiarum. quarum mintuli sunt sectoros

27쪽

Simili modo ut . aequationis b radix Per exprimitin . Otiam congruentiae a X b radicem quamcunque Per designabimus. congruentiae in dulum. distinctionis gratia. apponentes. Ita e . g. l 3 mod. leti denotat quemvis numerum . qui est il mOd. 12J J. ἰoneraliter Ox praecidontibus patet.. mod. o nihil reale signi fi mre aut si quis malit aliquid imaginarii . si a. e hab ant divisorem communem. qui iI,sum b non metiatur. At hoc u EX Pto. DX- pressio mod. 6 semper valores reales habebit, et quidem infinitos: lii vom

omnes Secundum c crunt congrui quando a ad e Primus, aut go unitum quando δ numerorum e. a divi 'Or Communis maximuR. Hao Qxpressiones similem sere habent a Orithmum ut fractiones vulgures. Aliquot Iiroprietatos quae facile ex Pra re edentibus deduci possunt hic apponimi . l. Si se undum modulum e. a a. oxpressiones x mod. H ei; mod. Hsunt a 'qui intoni .

Mulino aliae similos Propositiones afferri possent: nt quum nulli difficultati sint obnoxiae, nequo ad sequentia adeo noc s8arine. nil alia P Iaeriimus.

Problema illi κl magnum in Soquentibitis usum habebit. inr ire omnes num ros. qui secumit m modulos quotcunque datos rexidua dum praebent, sucilo ex Praeco-dontibus solvi potest. Sint primo duo mini uti l. B. wcutidum qu num rus

28쪽

DE CONGRUENUS PRIMI GRADUS.

qua Aitus. r. numeris a. b resi, livo congruus esse debent. Omnes itaquo Hi-lores ipsius a sub sorma a continentur, ubi ae est indetorminatus Rod

talis ut fini H a - b m . A . Quodsi iam numerorum 1. B divisor communis maximus est resolutio completa huius congruontiae hanc habebit formam: a v mod. sive quod codem redit. - denotante knumerum intcgrum arbitrarium. Hinc formula Ar-μα - omnos ipsius a valores comprehendot. i. e. z lv-ba m . erit rexolutio com-pipta problematis. Si ad modulos A, B tortius no odit. C. secundum quem num 'rus qua situs a de Ret esse me, manis sto Dinlem mock Pro sedendum. quum hinno prioros conilitiones in unicam inna sint conflatae. Scilicol si numororum J. C divisor communis maximus με, utquc congruentiae

-H Ar a mori. τὶ completo orit resolutum. Similiter procedendum. quot unquὐ moduli Prommantur. Obsorvari convenit osse num rorum A. B: et A. D. C respectivo minimos communes dividuos. Ded quo inde perspicitur. quotcunque habeantur moduli A, B, C tc.. si Orum minimus comm nis diriduus sit II. rosolutionem completam hanc serinam haboro. r r mod. M. Cotorum quando ulla congruontiarum auxiliarium ost irresolubilis. Iiroblema im-1Mκsibilitat in involvero concludendum ost. I orspicuum vom, hoc evonire non PONSU. quando omnos numeri A. D. C otc. inter so sint primi. Er. Sint numeri A. D. C: a, b .c; 50 l. 3. ,, H,: l T. - 4. 33; hic diano conditiones ut a sit -l7 mori. 504J ot -- 4 mod. 35 unimo. ut sit - 52l mod. 2520 nequivalent: ex qua cum huc: z- 33 m . t 6 coniuncta. Promanni a - audi od. 5040'.

Quando omnos num ri 1, L. Cotc. inter So sunt primi. constat. productum Ox ipKis osso minimum Omnibus communem clividuum. III quo casu munifestum ost. Omnos Congruyntius avia in . l): a b mOd. II otc. unicae z - r mod. Iej Prorsus a qui valere, denotante Ie numerorum . 1. B, C etc. Pro luctum. Hinc vero ricissim sequitur, unicam conditioncm a r in . Nin plures dissolvi lvisse; scilicet si R quomodocunque in factores intor se primos A. D. Cetc. r solvitur. conditiones z-r min. A'. g - r mod. L . z r m . otc. Propositum exhaurient. Haec observatio methodum nobis aperit

29쪽

sibilitatiuit imi dicat. Si seo inito II multis, tum ipsius A . conditio rina inod. 1 in huc et in bimi d. II j contenta cςsu dubot. si vo hacc et b in id. quao DXpostoriori doducitur c um priori idontica osso debet. IIndo soquitur conditioncina a mod. 4 . nisi nitori rotiugnet in quo crasu problema impossibilo reiici livisse.

30쪽

Cetorum pestilii ost. Plerumque coriamo si iis soro . si de conditionibus remanentibus one quae ex una cademquo conditionc evolutao omni scorsim r colligantur, quum hoc nullo noxotio fiori possit; e. q. quando ex conditionibus et a in . A .a a mod. 21 otc. utiquae abierunt: quae ex reliquis rostituitur. haec crit. a a secundum modulum qui est productum omnium modulorum ex A. A . A est remanentium. Ita in nostro ex in Plo ox conditionibus z - - 4 ni Od a - - 4 mod. τὶ ca ex qua orta 3 crunt z - - 4 mod. 35ὶ sponto restituitur. Porro hinc sequitur haud prorsus laerinde osse, qua nam ex conditionibus superfluis reiiciuntur. quantum ad calculi brevitarem: sint haec ut inqlic artificia practica. quas Ex usu multo facilius quam Ox Pruecolitis odiscuntur 1sic tradere non est instituti

Quando omnes moduli A. B, C, D etc. inter so sunt primi, sequenti in thodo inopius pari stat uti. Determinetur numerus a socundum A unitati. s eundum roliquoriim Ino lutorum Productum vero cismo congruus. Sive sit a valor quicunque plerumque Praestat minimum nociporo Oxl ressionis mod . .. J