장음표시 사용
331쪽
- 171, 27ὶ. - 269. 83ὶ. - 29 l. 127 . quatuor posteriores sunt reiiciendi. tamquam quatuor prioribus oppositi. Ceterum I,erspicuum est. si B. B'ὶ sit valor sibi ipsi opivisitus. 2B, 2B' et proin etiam 2 Ap. 2Aq. 2Ar Iter D divisibilessore; quod si itaque Δ. D inter se primi sunt, etiam 2p. 2q, 2r per D d sibiles erunt. et quum. Per Ι, in hoc casu etiam p. q. r dirisOrem communem habere nequeunt otiam 2 per D divissibilis esse debebit. quod fieri nequit nisi D vel - l, vel . - 2. Quamobrem pro omnibus valoribus ipsius D mai ribus quam 2 somper orit n - 0. si a ad D est primus. ΙΙΙ. His ita factis manifestum Pst, quamvis repraesentationem ProPriam formae P per f ncccssario ad aliquem e valoribus remanontibus pertinere debero. et quidem ad unicum tantum. Quaro hi valores succossi v fiunt Percurrendi. r praesentationesque ad singulos pertinentes investigandae. Ut inveniantur repra suntationes ad valorem datum B, B in portinentes. primo determinanda est forma tornaria y - in . cuius determinans in a et in qua a p. b q. a r. tib - b ς - R. a b -bb - Β'; valores ii,sorum a . b. V hinc inveniuntur adiumento aequutionum in II art. 276. ex quibus facile persilicitur. in eo casu. ubia. D inter se primi sint. b. h' a' nocessario fieri intcgros nempe quoniam hi treAnumeri, multiplicati tum per D tum per a intomos producunt . Iam si vel aliquis copificiontium b. U. ς fractus est. vel formae f. y non sunt nequivalentes: nullae repraesentationes somno P per J ad B. B in pertinentes dari Ivis sunt: si vom b. v. es sunt integri, formaequo 1. y aequivalentes, quactris transformulio illius in hanc. ut 1. 6. I6'. γ'
manifestoque nulla huiusmodi repraesentatio exstare poterit . quao non ex aliqua transsormatione deduci posset. Hoc itaque modo Da problematis secundi Pars quae investigat repracsentationes proprias. ad Droblema tortium iam DSt roducta.
332쪽
II . Ceterum transformationes diversae formae s in semper producunt rUPra Sontationes diver,as, eo solo casu excepto, ubi valor II. πὶ sibi ipsi olinitositus ost. in quo binae transformationes unicam SemPer repracsentation m sum Iieditant. Supivinende enim. f transire in s otium per substitutionem
si ituque vel uterque k. t supponitur με . vel uterque - - 1, erit quia casum 0 exclusimus ii. 3η - 0. unde saeilo sequitur δ - T. δ' - γ'.o' - γ': quare illae duue transformationcs in oo solo casu diversae esSE POSSunt ubi alter numerorum k, i cst H- l. ultor l: tunc erit B - - B. B' - - B mod. D . sive valor A. B sibi ipsi optu, situs. . Ex iis . quae supra να 27 l) de critoriis sorinarum definitarum et indefinitarum tradidimus. sacile sequitur. Si a sit positivus. D negativus. atque φλrma uogativa. y fieri sormam definitam negativam: si vcro a sit limsitivus, a quo vel D imSitivus. vel D negativus et forma positiva. y evadere sermum
indefinitam. Iam quum I, 9 corto nequival ontos osse nequeant, nisi resty tu huius quali tutis similos sint. manifestum ost. formas hi uarias determinantis Ivisitivi no non positi v . per terriuriam negativam Proprii' repraesentari non POSSE.ncque somnas binarias negativas per tornariam indefinitam doterminantis positivi; Aod tu et sorinum tornariam Prioris posteriorisve speciei unice binarias mistorioris priorisve resp. Simili modo concluditur. Iaer serinam tornariam detorminantis negativi definitam i. e. positivam) unice repraesentari binari aes positivas, per in-d finitam unico negativas Pt formas det. Positivi. 284. Uuum repra sentationes impropriae formae binariae * dotorminantis Dper ternarium f. cui adiuncta est F. eue sint, ex quibufi repraeSentationes
333쪽
32 si impropriae numeri D per formam F soquuntur. laer i manifesto nequit improprio repraesentari. nisi D sactores quadratos imidio t. t 'onamus. omnia quadrata ipsum D metientia praetor 1ὶ osse ee. e.. N etc. quorum multitudo finita erit. quia supponimus . non ΟΝΝΟ Ι b). praebcbitque quaelibet repr. impr. sorinae p twr f repracsentationem numeri D por F. in qua valores indotermina-
inrum uliquem P numoris e. e. e te. Pro divisore communi maximo hab bunt: hoc roslwctu brevitatis caussa quamvis reli r. impr. sorinae nil divisorem quadrutum ee vol e e vel ' etc. pertinere dic mus. Iam Onan es mPr. ranno ad eundoni divisorem quadratum datum ee cuius ructi in e positive n eoPinna supponimus pertinentes Por rogulas Sequontos inveniuntur, ex quarum domonstratione synthetica . prolitor brevitatem hic pruoserenda. unalysis Por quam evolutae sunt.
Primo emantur omnes formae binariae doterminantis cluae in formam *transcunt por substitutionem propriam talem U - μυ. designantibus T. V indoterminatus talis fornaac; t, u indet. sormae F : κ. μ int ros positivos quomini productum itaque se e : λ integrum positivum minorem quam
μ si v otiam ciliam . Hue formae. cum trnnsformiitionibus respondontibus, ita inveniuntur:
AOqu tur ae succossivo singulis divisoribus ipsius e positivo acceptis sinetusis etiam I set ei. fiatque μ pro singulis valoribus determinatis ii Sorum κ. μ tribuantur ipsi λ omnes valores in togri u 0 usque nil μ - l. quo Pacto omnos transformationes certo habebuntur. Iam forma. quae per quamvis substitutionem Τ - κt--λv. V - 11u in P transit. invonitur investigando formam. in quam transit por hanc t - Τ- sormae singuli κ transformationibus respondentes obtinebuntur: scd ex omnibus his sermis me tantuin retinsendas sunt . in quibus Omnes tres codilicio rites ovadunt integri '). Necundo ponamus su esse aliquam cx hisco formis. quae in * transeat Perκuhst. Τ - κt--xu. V - μu: tiri estigentur omnes repraesontationes propritie
'ὶ Si de hoe problemate sustus agere hie lieeret, solutionem admodum contrahere possemus. Id statim
obvium e t. pro x. alios divisores ipsius e aeripero non osse necessarium . nisi quorum quadratum metiaturco meientem primum formae ceterum Me problema. ex quo etiam inlutionen Mimpliciorim probi. arti. 2 ,2 4 deduei po sunt, filia oceasione idonea re umere nobis ros Gamu .
334쪽
6' - λA'H-μE'. 6 - λπ-μμB Eodem prorsus modo, ut forma b, tractentur sormae reliquao per regulam primam inventae si plures adsunt . ita ut ex singulis cuiusque repracsentationibus propriis aliae repraesentationes deriventur, dicoque, hoc modo prodire cuncta repraesentationes formae P ad divisorem e e 1γertinentes. et quidem quamlibet semel tantum. Dem. I. Formam ternarium y per quamvis substitutioncm ρὶ revera transire in P. tam obrium est, ut explicatione ampliori non Opus sit: quamlibet autem repr. ρὶ esse impropriam et ad divisorem e e IRrtinere, inde Patet. quod numeri a 6 - α 6 - α 6 , α 6 - α 6 resp. fiunt in e Tab - TE'ὶ e S E - SE . e SV -TEὶ, unde illorum divisor comm. min. mani sis erite squoniam Nὶ est repracsentatio propria). II. Ostendemus, ex quavis repraesentatione data sp) formae inveniri in sin repraesentationem Propriam lamne determinantis inter formas per r gulam primam inventas contentae. sive ex valoribus datis ipsorum α. α α'. 6. 6'. si deduci posse valores integros ipsorum κ. λ. μ. Conditionibus praescriptis. atque valores ipsorum S. 2I', S . E, E E . acquationibus Rὶ satisfacientos. et quidem unico tantum modo. Primo statim Patet ex tribus aeqv. primis in Rj, pro x accipi debere divisorum communem maximum ipsorum α, α'. α' signo positivo quum enim N E -R E'. R E RE . EN E B divisorem communem non habere debeant. etiam S S', S div. eomm. hahero nequeuntὶ: hinc etiam S. A'. N' determinati erunt, nec non μ et squem necessario integrum fieri facile perspicitur . Ponamus, tres integros a. a', a' ita acceptos esse. ut fiata et Ha R'-ba π - l. scribamusque brevitatis caussa st pro a B ε a'E'-ba E .
335쪽
Tunc ex tribus ultimis aeq. sRὶ sequitur, osso debere ag-Ha 6'ina 6' - λ - μα'. unde statim patet, pro λ unicum tantummodo valorem inter limites 0 et μ- lsitum dari. Quo iacto quum otiam E. E'. E valores determinatos nanciscantur. nillil superest, nisi ut demonstremus, hos semper hinc integros evadere. Fi t
oritque adeo manifesto integer, similitorquo lacilo confirmatur. etiam ipsos S'. E valores integros nancisci Ex his ratiociniis colligitur, nullam repraesentati nem impropriam formae v per s. ad divisorem e e pertinentem. e Stare POSSE.quas per methodum traditam vel non vel pluries obtineatur. Quodsi iam eodem modo reliqui dirigores quadrati ipsius D tractantur. repraesentationesque ad singulos Pertinentes eruuntur. cunctae repraesentationes impropriae formae v per f ha wbuntur. Ceterum ex hac solutione facito deducitur, theorema ad finem art. Prarc. Pro repraess. propriis traditum etiam ad improprias pater . scilicet generalitor nullam sormam binariam positivam det. negativi per ternariam negativam repra sentari posse etc.; patet enim . si φ sit serma talis binaria, quac propter illud theorema per i Proprie repraesentari nequeat, etiam omnes sermas determinantium utc.. ipsam φ implicantes IHr f proprie repraesentari non posse. quum hac sermae omnes determinantum eodem signo affectum habeant ut P, et. quoties hi detorminantes negatiri sunt, vel omnes evadant formae positivno vel negativae. prout ad illas vel ad lias pertinet.
De quaestionibus problema tertium nobis propositum constituentibus sad quod duo priora in prae c. sunt reducta . scilicet propositis duabus formis ternariis eiusdem determinantis. diiudicare. utrum aequivalentes sint necne. et in casu priori omnes traussormationes alterius in altPram invenire. pauca tantum hoc loco inserere possumus. quum Solutio completa, qualem pro problematibus analogis in formis binariis tradidimus. hic adhuc maioribus difficultatibus sit obnoxia. 42.
336쪽
4unmobretii ad quosdam casus linrticularcs. propter quos praecipue haecce digressio instituta est. disquisition in nostram limitabimus. I. Pro determirante in t supra ostensum est. omnes sermas ternarias in duas classos distribui, quarum altera omnes formas indefinitas. ultera Omnes d finitas si v tivas) continout. Hinc statim concluditur. duas sermus ternari qui cunque dot. l aequivalentos osse, si vol utraque sit definita vel utraque indefinita: si vero ultera sit definita. ultora indefinita. acqui valentium locum non habere propositionis liars postorior manifesto valet generaliter pro formis determinantis cuiuscunquH. Simili modo duae formae quaecunque detorminantis - 1 corto aoqui valebunt. si usi uim ius d finita est. vel utraque indefinita. Duae formae definitae detorminantis 2 innilin et nequivulebunt; duase indolinitae non acquivnlebunt. si in altera tres codficientcs primi omnes Imres Sunt. in alteravem non Oinuos sunt Paros: in casibus r liquis si vel utraque uos codilicientes primos simul puros halint. vel neutruὶ aequival obunt. Hoc modo adhuc multo PlureΝ ΡrOIκγsitiones Speciales cxhibere possemus. si Supra tart. 277ὶ plura exempla evoluta sui ΝSunt. II. Pro omnibus hisce casibus poterit otiam, designantibus f Drmastor nurias uequivalentes. transformulio una ulterius in ultorum inveniri. Nam pro omnibus casi hiis in quavis classe formarum tornuriurum multitudo satis Parva sormarum supra assignata est, ad quarum aliquum IMr methodos uni rines quaevis forma eiusdem classis reduci lvissit: has omnos ad unicam roducere ibidem docuimus. Sit F haec sorma in cu classo. in qua sunt f. Poteruntque Iaer Pra copia supra tradita inveniri transformationes formarum f. y' in F, ure non se
inuo F in s. c. Hinc per art. 27 0 deduci l Oaerunt transformati nos formae f
matione formae ternariao f in aliam f omnos transformationcs possibiles derivari inissint. Hoc problema pendet ab ullo simpliciori, scilicet invenire omnes transformationes formae ternariae 1 in se ipsam. Nimirum si s per plures substitutiones et . et et j etc. in se ipsam ct lier substitutionem it, tu f' transit. Patet si ad normam art. 27 0 combinetur transformatio st) cum et . set '). et , etc..prodire transserinationes. per quas omnes sin f transuat; praeterea per calculum facile probatur, quamvis transformationem formas f in f ' hoc modo doduci posseo combinatione transformationis datae st) formae s in f ' cum aliqua set quidem
337쪽
unica, transformation sernino f in se ipsam, adeoque ex combinationu trans r-mationis datae formae s in IV cum omnibus transformationibus sorinuo f in se itingam oriri omnes transformatiouos formact f in f . et quidem singulas semel tantum. Iuvestigationem omnium transformationum fornanu f in in ipsam ad eum casum hic restringimus. ubi f ost sorma defiuita. cuius coefficionios 4. 5. 6 Ovitiosis Sit itaque ' . . EXU beatitur iue omnes SubStitutione Ν. ροπquas f in se ipsam transit. indefinito l3er λ'. fu . si . fita ut satisfieri debeat a quationibus
I. Quando a , a. a qui idem signum habebunt, Omnes sunt invoquuloK. Νupponamus ac a . άα a' si alius magnitudinis ordo adest. euodem conclusiones Prorsus simili modo cruontur l. Tunc acqu. lirima in vj manifesto requirit. ut sit α' - α' - 0. adeoque α - - l: hinc per aequ. 4. 1 erit 6 u. I 0: similitor ex aeqv. 2 erit 6 ot proin si l; hinc fit. Por aeqv. s.f - 0. ct twr 3. 3 in l. ita ut ob signorum ambiguitato in indolinii dentem in
'ὶ Casiis reliqui ubi J ofit somna definiin. ad hune reduei possunt; si vero I efit forma indefinitri, metho-d- omnino diversa adhibenda, transformationumque multitudo infinita rrit.
338쪽
Si vem, secundo, a E, eaedem conclusiones Sic obtinentur: in aeqv. 2, 3 necessario orit 6 - 0. I - 0, et vel 6' - - 1. γ' - 0. 6' - 0. γ' - - 1. vel ε' - 0. γ' - - 1, 6' - - I, γ' - 0; pro suppositione utraque eX uinu. 4. 5 strit α' - 0. α' - 0. atque ex i, α - - l. Habentur itaque, Pro uir que casu, 16 transformationes diversae Duo casus reliqm, ubi vel a m a. vel a prorsus simili modo absolvuntur, si modo characteres α. ά. α' in priori cum 6. 6'. 6 , in posteriori cum I. I f resp. commutantur. III. Quando omnes a. E. a' aequales sunt, aequationes 1, 2 3 requirunt. ut e tribus numeris α. L. α , nec non Ox 6. 6'. 6 , ut et ex r. f. γ' bini sint - 0. tertius - - 1. Per aequ. 4. b. si autem tacito intelligitur. e tribus numeris α. 6. I unum tantummodo *l esse posse, similiterque ex L. 6 . I , nec non Ox L. 6 . 7 . Quamobrem sex tantummodo combinationes dantur
ita ut ob signorum ambiguitatem omnino 4 S transformationes habeantur Idem typus etiam Casus Praec dentes complectitur: sod e sex columnis primis prima sola accipi debet, quando a , . . s omnes sunt inaequales; columna prima et smcunda, quando a ; Prima et tertia, quando a m E; Prima et Sexta. quando
Hinc colligitur, si forma f- a XX- - ά - - HEE in stliam acqui valentems' transeat per substitutionem
omnes trans in contineri sub schomate sequente:
eo discrimine. ut sex columnae primae omnes adhibendae sint. quando a - a' a ;
339쪽
APPLICATIONES AD THEORIAM FORMARUM BINARIAR .
columna 1 et 2 quando ae, es nequales. a inaequalis; I et 3, quando a - a': l et 6. quando a H; denique columna Prima Sola, quando a , . . H Omnes inaequales. In casu Primo transformationum multitudo serit 48, in se 'indo. tertio et quarto Isi, in quinto 8.
QUAEDAM APPLICATIONES AD THEDRIAM FORMARUM BINARIARUM
II. inueniendas ma. a malis dupli rione forma bisaria data meria priseipalia oriatur.
Ab hac succincta primorum elementorum theoriae formarum inrnariarum ea positione ad quasdem applicationes specialas pro dimur. inter quas i rimum i
Pilon M. Proposita forma binaria F - A. B. determinantis D adstenus princimis pertinense: invenire formam binariam s. e evius duplicatione illa
Sol. I. Quaeratur repraesentatio propria sormae ipsi F oppositas V APT 2BTU--CUU por sormam ternarium XX-2yz, quae Sit X - α TH-5U, y - Τεύ' I. a - ΚΤΗ 6 Uquod fieri posse e theoria praec. formarum tominarum sucile Colligitur. Quum enim F per hyp. sit e genere principali, dabitur mior expr. V A, B. Q mod. D . unde inveniri poterit sorma toriastria φ determinantis l. in quam γ, - B. tamquam pars ingrediatur, cuius formae cossifici ntes omnes sero integros nullo nom-tio Wrrspicietur. Acque lacile intelligitur, ip sore formam indefinitam riuoniam
iter hyΡ. F certo non est serma negativa : unde ne Ssurio Drmne aeae-u qui valens erit. Assignari poterit itaque transformatio huius in illam. quas r praesentationem Propriam formae Y Ρor XX - 2ye suppeditabit. Tunc igitur oritA αα - 2a a . - B - αεν - άου - α 6'. C Isi
340쪽
Porro do9ignatis numeris an, - α 6. α 6' a 6'. α 6 - α 6 Iaer a. b. e resp. . hi divisorem communem non ha bunt. critque D - bb-2 re. II. Hinc adiumento observationis ultimae art. 235 tacito concluditur. Firati sim I Pr substitutionem 2 6'. 6. s. 6 ; 2α'. a. a. α in productum sormao 2 a. - b. 6 in Sc ipsam . nec non Iaer substitutionem K . s. s. 2 6 : a. a. a. 2 a in priuhictum sernino M. - b. 2el in se ipsam. Iam dirisor communis maXimus numerorum 2 a. 2 b. 2c ost 2; si itaque e est impar. 2 a. 2 b. e dirisorem communem non habebunt. si vo 2 a. - b. eὶ erit serma Proprie primitiva: similiter. si ει est impar. M. - b. 2 forma proprie primitiva erit: in casu priori F oritur ex duplicatione formae 2 a. - b. e . in postoriori ex duplicatione sormac M. - b. 2 V. con l. 4. art. 23b : unus vero horum cnsuum certo senil er locum habebit. Si cnim utor ius a. e osset liar. ι necessario soret impar; iam facile confirmatur. Osso G a 6 bH-6. - re a-μα bH-tae M o. unde x queretur. 6 b. ab eoque etiam α et 6 osse patros. Hinc autona A et C serent Pares. quini eΝΝet Contra hyl thesin. secundum quam F cst sermn o gonere Principaliud 'oque Ox Ordine I roprio primitivo Coterum fieri otiam potest . ut tum a tum c in Paros Nint . in quo itaque casu duae statim sermae habebuntur . e quarum duplication oritur. Iur. Proposita sit larma F - b. 2. 3 lj. det. -lbi. Valor expres
ρ transit γ r substitutionem Hinc adiumento transformationum in art. 277 traditarum invenitur. transire in * per substitutionem x. . l. Fit itaque asell. 6 - - 7, cis 20: quare quum a sit impar.
F oritur Ox duplicatione formac ll. t T. 40ὶ transitque in productum huius sor