장음표시 사용
341쪽
nimus Prolγrie nccepta . habebuntur aequationes. ex concl. 3 art. 235 facile deducendae :
III. Quum per solutionem ipsam Probi. urt. Iaraec. e rictum sit . quam is classem formurum binariarum proprio primitivam i Ositivam) nil genus principalel ortinentem ex uti uius classis pr. Prim. eiusdem det. duplicatione oriri Ivisse: theo- roma uri. 26 l. lier quod corti oramus. ad minimum semis Ai omnium charactorum 43
342쪽
pro determinante non-quadrato dato D assignabilium genera proprie primitiva positiva resimndere non posse, eo iam ampliatur, ut praecise semissi omnium horum characterum talia genera revera respondeant. alterique ideo semissi nulla respondere possint X. demonstr. illius theor. . Quaro quum in art. 264 omnes im haracteres assignabiles in duas species P. G aequialter distributi sint, e quibus posteriores Q sormis pr. Prim. positivisὶ respondere non posse probatum erat. dereliquis autem P incertum maneret, an singulis genera semper revel responderent: nunc hoc dubium penitus est sublatum. certique sumus, in toto characte rum complexu P nudum adesse, cui genus non respondeat. Uine se ite qu que deducitur, pro determinante negativo in Ordine Pr. Prim. NeFati . in quo omnes P impossibilos solosque Q possibiles esse in art. 264. I ostensum est. omnes Q revera possibiles esse. Designante enim K characterem quemcunque cx Q. f sormam arbitrarium ex ordino pr. prim. neg. formarum det. D, atque κ' ipsius characterem, hic erit ox Q; unde faciis perspicitur, charactorum ex K. K compositum ad normam stri. 246ὶ ad P pertinere, adeoque formas pr. primitivas positivas dct. D cxstare. quae ei respondeant; ex compositione talis formae cum y manifesto orietur serma Pr. Prim. neg. det. D. cuius character erit K. Pro sus simili ratione probatur. in ordine improprie primitivo oos characteres, qui per praecepta art. 264 ΙΙ. III soli possibiles inveniuntur. omnes possibiles CSSe, sive sint P sive Q Haecce theoremata. ni vehementer sallimur. ad pulcherrima in thooria formarum binariarum sunt reserenda, eo magis quod licet summa simplicitate gaudeant. tamen tam recondita sint ut ipsarum demonstrationem rigor sum absque tot aliarum disquisitionum subsidio condere non liceat.
T ria dees oritionis tum numerorum tum forinarum binariarum in tria quadrat .
Transimus iam ad aliam applicationem digressionis praecedentis, nil discerptionem tum numerorum tum sormarum binariarum in terna quadrata, cui praemittimus K quens 2SS. PROBLEM. Desimante M numerum positivum, inrenire conditiones xvb quibus formae binariae primitivae Myatirae determinantis -M dari posSint, quiae Sint residua quadratica ipsius M sire pro quibus i sit numerus characteristicus.
343쪽
DEcOMPORI Tio FORMARUM BINARIARUM IN TRIA QI 'ADRATA.
Sol. Designemus per u complexum omnium characterum Particularium. quos praebent relationes numeri 1 tum ad singulos divisores primos simpuros ipsius M tum ad numerum 8 vel l. quando ipsum M motitur: manifesto hi characteres erunt ' . Np, Np' etc., denotantibus p. p . p' etc. illos divisores Primos, atque i,4 quando 4; l. 8 quando S ipsum M metitur. Praeterea ut mur literis P, Q in eadem significatione ut in art. Praec. sive ut in 264. Iam distinguamus casus Sequentes. I. Quando II por 4 divisibilis est, u orit character integer, patetque DXart. 233 V. t talium tantummodo formarum numerum characteristicum esse posse. quarum charactor sit v. Sed manifestum est, u fore characterem formae principalis l. 0, IIJ, adeoque ad P pertinere et proin formac proprie primitivae negativae Conuaetere non PosSe; quare quum sormae improprio primitivas pro tali det. non dentur . nullae omitino formae Prim. neg. in hoc casu dantur, quae sint residua ipsius M. II. Quando II-3 mod. 4ὶ, prorsus eadem ratiocinia Valent ea Sola exceptione ut in hoc casu ordo improprie primitivus ninutivus oXStet, in quo Ch ractores P vel possibiles erunt, vel impossibiles, prout M a vel -7 mod. S . V. art. 264. III. In casu igitur priori in hoc ordine genus dabitur, cuius character sit v. undo 1 erit numerus charactoristicus omnium sormarum in ipso contentarum; in casu posteriori nullae Omnino formae negativae bac proprietato praeditas dari poterunt. III. Quando Λ1 - 1 mod. 4J u nondum est character completus. Sed insuper accedere debet relatio ad numerum 4: patet aut m, O nocessario in Characterem sormae, Cuius num. char. sit 1, ingredi debere, et vice versa. formam quamvis, cuius character sit vel 2; 1, 4. Vol u; 3, 4. habere numerum char. l. 1am Ω; l. 4 manifesto est character generis principalis. qui ad P pertinet ado que in ordine Pr. Prim. negativo im Imssibilis est; ex eadem ratione ς; 3. 4 ad Qpertinebit art. 263ὶ, unde ipsi in ordino pr. Prim. negativo genus respondebit. Cuius formae omnes habebunt num. char. l. ordo improprie primitivus in hoc
Casu, ut in Sequente . non datur.
I . Quando M-2 Od. 4 , ad u accedere debet relatio ad 8, quo fiat character completus, Puta Vel 1 et 3. 8, vel 5 et T. 8, quando M- 2 mod. 8ὶ: et vel let T. S. vel 3 et 5. 8, quando II 6 mod. 8ὶ. Pro casu priori character se: leta. S manifesto pertinet Rd P, adeoque 2; 5 et 7 8 ad Q. unde ipsi rospon-
344쪽
lebit genus pr. Prim. neg. . similiquo ratione pro posteriori unum genus in ordine Pr. Prim. 11 gativo dabitur . cuius formae proprietate I,raescripta pracditae sint. Puta cuius charactor 3 et 5. S. Ex his colligitur. formas primitivas negativas det. - M. quarum numerus Charactoristicus sit 1. dari. quando II alicui num crorum l. 2, 3, 5. 6 Secundum modulum S congruus sit et quidem in unico scinper genere. quod improprium erit quandia II a: tales formas omnino non dari. quando II - 0. 4 Vol 7 mod. Sin. Ceterum manifestum cst. Si -a, - b. -eὶ Sit serma Primitiva uogativa. cuius num . cliar. ε l. a. b. H essu formam primitivum Positivum, cuius num. Char. -l: hinc licrsilicuum ost. in quinque casibus prioribus Muando II l. 2. a. b. 6 dari genus unum primitivum tu sitivum. cuius sermne habeant num . char. - l. et quid in pro M 3 improprium, in tribus reliquis vero quando M. u. 4 7ὶ tales formaes positivus omnino dari non Posso.
Circa repracsentationes proprias formarum hi nuriarum Iter tornariam I . e theoria gen rati in art. 2,2 tradita colliguntur haec: I. Forma binaria per i liroprie repraesentari nequit, nisi fuerit forma positiva primitiva. ut pio -l i. e. det. fornino fὶ ipsius numerus charactoristicus. Quare pro determinanto positivo, nec non pro nogativo - II. quando II cst vel per 4 divisibilis vel formae Sn-HT, nullae formae binariae Iaer i Proprie repraθ- sontabiles dantur. II. Si vero ρ --rὶ est forma ii itiva primitiva determinantis II. utitu -l numerus characteristicus serinae P. adeoque etiam OPIMSitae p. -q. ri: dabuntur reprau sentationes Protariae formae * Per I ad quemlibet valorem datum expr. V- p. - q, r) pertinentes. Scilicet omnes Odmcientes formae ternariae silet. - 1 tart. 283ὶ Iacccssario fient integri . s vcro forma definita, adeoque ipsi fcurto nequivalens sart. 2Sb. IJ. III. Multitudo omnium repraesentationum ad eundem valorem EXPr.3 - p, - q. η Portinentium in Omnibus casibus. Praeter II l et II α 2. perari. 283, III acque magna est ac multitudo transformationum formae s in s. adeoque. Per stri. 285, - 4 S; ibinde patet. Si una repraesentatio ad valorem datum pertinens habeatur. 47 reliquas inde derivari, valores iPsorum X. y. z
345쪽
omnibus quibus fieri l otest modis tum tutor se laermutando tum signis olitiositis assiciendo: quare omnes 48 repraesentationes unicam decompositionem formae pila tria quadrata produciint. si ad quadrata ipsa tantum . neque ad ipsorum Orditi m rudicumve signa rospicitur. II . I osita milititudine omnium numerorum primorum imparium diversorum ipsum M instientium - μ. haud dissicito ex art. 233 concluditur. multitudinem omnium vulorum divorsorum cXPressionis - p. - q. rὶ mod. II, forem 2'. e quibus Per art. 2S 3 semissem tantum considerare oportet quando duare multitudo omnium repraesentationum propriarum formae * Ivir f erit - 4 S. 2 - 3. 2 ' δ: multitudo autem discerptionum diversamina in terna
r praesentationes 47 reliquas ad eundem valorum Pertinentus, quae Ox horum valorum Permutatione signorumque conversione oriuntur. brevitatis caussa non adscribimus. Omnes vero 48 rDPraesentationes eundem discerptionem sermus in tria quadratat t-l2tu -36 uu . sit in let tu H-4vu, 9tt- si tu H-vvpmduCunt.
liae docompositiones 4, repraesentationibus aequi pollent. Practer haes 192 TePraeSentationes autem, sive quatuor discerptiones, aliae non dabuntur. quum 770 per nullum quadratum divisibilis sit. adeo lue repracsentationes impropria
346쪽
DE FORMIA TERNARUS FECI DI GRADES.
200. Do formis determinantis -l et - 2. quae quibusdam exceptionibus obnoxiae erunt, paucis Seorsim agemus. Praemittimus Observation m generalem, si
φ sint sormas binariae aequivalentos quaecunque. ' transformatio data illius in hanc. ex combinatione repracsentationis cuiusvis formae 7 Per aliquam ternariam J cum substitution 0ὶ pro lire repraesentationem formae ης per fPorro ex repraesentationibus propriis ipsius * hoc modo oriri repracsentationes Proprias formas φ . o diversis diveres . denique e cunctis cunctas. Ha e Omnia per calculum sacillime comprobantur. Quare una sermarum φ. totidem modisper J repracsentari poterit ac altera. I. Sit Primo P amit-Huv. atque forma quaecunque alia binaria ρο- siti Va det. - l , cui itaque φ aequivalebit: transeat * in *' per substitutionem l - αt -6u. u - Forma P repraesentatur Per ternariamf--Ponendo X t. y u. a d; Permutando X, y a hine emergunt seae rei mesontationes, et e singulis rursus quatuor mutando signa ii sorum t. v. ita ut omnino 24 repraesentationes diversae habDantur, quibus unica discerptio in tria quadrata aequipollet et praetor quas alias dari non posso facile rspicitur. Hinc concluditur, etiam formam * unico tantum modo in tria quadrata decomponi posse. puta in et 0, quae discerptio 24 repraesentationibus aequivalet. II. Sit u- - 2vu, ' quaecunque alia forma binaria Positiva dei. - 2. in quam φ transeat twr substitutionem l at u It Tunc simili modo ut in casu praec. concluditur. P. Et proin etiam φ'. unico tantummodo in tria quadrata discerpi posse, puta in niquo φ in arΗ-6v j - - γ -δu H- rt 'H- δό) ; talem docompositionem 24 repraesentationibus aequil, ollere sucile perspici potest.
II inc colligitur, formas binarias determinantium -l ct - 2 rest cita multitudinis repraesentationum per ternariam cum aliis formis binariis omnino convenire: quum enim in utroque caxu fiat μ - 0. formula in art. Praoc. IV. tradita utique producit 24 ropraesentationes. Ratio huius rei ost, quod duae exceptiones, quibus tales formae obnoxiae Erant . se mutuo Com Pensant. Theoriam generalem repraesentationum impropriarum in stri. 284 explicatam ad formam aeae-μυ- -zr applicare. brevitatis grntia supers emus.
347쪽
Quaestio de inveniendis omnibus repraesentationibus propriis numeri positividati II per formam primo per art. 28l roducitur ad investigati
nem repraesentationum propriarum numeri - II Per sermam -XX-yy-zz- hae vero Per Praecepta tart. 280 ita eruuntur: I. Evolvantur omnes classes formarum binariarum determinutatis -31.
quarum formae per XXH- YYH- ZZ F cui formae teratariae adiuncta est finproprie repraesentari possunt. Quando II 0, 4 vel T Dod. Sin, talos classes per art. 2SS non dantur. adeoque Is in tria quadrata. quae divisorem communem non habeant. discerpi nequit j. Quando vero M l. 2. 5 vel si, dabitur genus positivum proprie primitivum, et quando II - 3 , improprie primitivum. quod omnes illas classes complectetur: designemus multitudinem harum classium per k. II. Eligantur iam ex hisce ci sibus k forma ad lubitum, o singulis una. quae sint φ etc.; inve8tigentur omnes omnium repraesentationes Propriae per F. quarum itaque multitudo erit 3 - K. designanto μ multitudinem sactorum primorum impariumὶ ipsius II; deniquQ e quavis huiusmodi r
In complexu harum K repraesentationum . quem Per u designemus. omnes r praesentationes ipsius II nccessario contentae erunt. III. Superest itaque tantumm Hlo. ut inquiramus. num in v reprae8entationes identisae oecurrero possint; et quum ex ari 280. III iam constet. o repraesentationes in D. quae ct formis diversis e. s. ex * ot P derivatae sint. iii
' Haee impo ibilitas etiam inde mam is, quod summa trium quadratorum imparium neeessario fit 3 mod. i summa duorum imparium eum uno pari vel M 2 vel ae sti Eumma unius imparia eum duobus paribus vel S i vel in si denique summa trium parium vel vel - ει sed in castu postremo repra sentatio manifeκto est impropria.
348쪽
DE FORMIA TERNARIIS RECUM I Gl DI R.
atque ex utraque derivari Pundem repraesentationem ipsius M. quae designo turi, or Ie : Oxum incinus linquo. num eadem Ie) ox aliis adhuc repraosontationibus somne * sequi possit. Ex nrt. 230. III facile doducitur. statuendo ibi χ - F. si omneΝ transformationes proprias formae p in se ilisam exhibeantur por
xt o theoria transformationum formarum hi nariurum det. negativi in nrt. I Tu explicata sinuitur, in omnibus casibus praetor II et II se a. duas tantummodo transformationcs Prolirins formae v in se ipsam dari. Puta α, 6. I. ἐ- l. v. u. t et - - l. 0. 0. - 1 resp. quum Onim * sit forma primitiva. id quod in art. 179 designabatur Per m. erit vel l vel 2. et Proiit, practier Cusus CX- copios. certo lὶ locum ibi habebit uare Iei o solis r. H Iirovenire t ostri t. nilo mite quaevis repraesentatio propria numeri II bis et non plurios in v repori t tr. Ct multitudo omnium repraess. liropriarum diversarum ipsius II eriti K - 3. 2 με ι . 4uod attinet ad casus cxceptos. multitudo transformationum propriarum sormno P in sc ipsam per art. l79 orit 4 pro Is l. ct 6 Ρm II 3; reveruque facile confirmatur, multitudinem repraesentationum propriarum numerorum l. 3esse i K. . K resp.: scilicet uterque numerus unico tantulit modo in tria qua-
349쪽
DECOMPOSTP o FORMARUM BINAMARO IN TRIA QUADRATA. 345
Ceterum observamus, si h designet multitudinem classium in genore principali, cui multitudo classium in quovis alio genere proprie primitivo per art. 252 aequalis est. lare k - h pro Is l. 2. 5 vel 6 mod. Sin. sed st se pro 31 - m . 8 . unico casu M - 3 excepto. ubi k - Λ - l. Pro numeris itaque se ae 8n in a multitudo repracsentatio itum seneraliter est se 2 h. quum innumero a duae exceptiones Sese com usent. 292.
Discorptiones numerorum ut formarum binariarum supra) in tria quadratast repraesentationibus per sormium ara inys re ita distinguimus. ut in illis ad solam quadratorum magnitudinem. in his vero insuper ad ipsorum ordinem radicumque signa respiciamus, adeoque reprMSentationes X a, y - b. 2 - c. etae a. y - F, a se ae Pro diversis habeamus, nisi simul a - a, b - b'. e - e:
discerptiones autem in a a in bb ee et in Κά--ἐνν--ee pro una, si nullo ordinis respectu habito haec quadrata illis aequalia inni. Hinc patet. I. Discerptionem numeri II in quadrata a a in ιδ ε ee aequipollere 48
repraesentationibus, si nullum sit -0 omniaque inaequalia; 24 autem, si in unum - 0 reliqua inaequalia, vel nullum 0 atque duo inter se aequalia. Si vero in discerptione numeri dati in tria quadrata duo ex his sunt o. aut unum - o reliqua aequalia. aut omnia aequalia, repraesentationibus 6. aut 12 aut 8 aequivalens erit: sed haec evenire nequeunt nisi in casibus singularibus. ubi M- laut 2 aut a resp., siquidem repraesentationes oras debent Propriae. His exclusis supponamus, multitudinem omnium discerptionum numeri M in terna quadrata divisoris communia experti esse E. atque inter lias reperiri e in quibuκ unum quadratum 0. et et in quibus duo quadrata aequalia: illae etiam tamquam discerptiones in bina quadrata, hae tamquam discorptioncs in quadratum et quadratum duplum spectari possunt. Tunc multitudo omnium repraesentationum Propriarum numeri u per ara: -yy ε xa erit
350쪽
At o theoria sormarum binariarum facito deducitur, e fore vel - 0 vel se prout - 1 sit non-residuum vel residuum quadraticum ipsius M. nec non Duel se prout - 2 non- residuum vel residuum ipsius M denotante iamultitudinem factorum primorum timpariumὶ ipsius 31 v. stri. 182; expositionem uberiorem hic supprimimus). Hinc tacito colligitur, fore E - 2' k. si tum t tum - 2 sit N. R. ipsius II; E - 2 H 2ὶ, si uterque numerus sit residuum; denique E - 2' k--μ l). si alter rosiduum sit alter non- Siduum. In casibus exclusis 31 - 1 et-- 2. haec formula praeberet Esel , quum esse debeat E in l; pro M - 3 autem recto provenit E - l . exceptionibus Semutuo compensantibus.
remata specialia ab ili. Le Gendis per inductionem detecta et in commentatione egregia iam saepius laudata Hist. de PAe. de Paris i 785-b30 sqq. prolata suerunt. etsi sub forma reliquantum diversa, cuius rei ratio imprimis in eo est sita. luod aequivalentiam propriam ab impropria non distinxit . et Proin Classes oppositas commiscuit. II. Ad inventionem omnium discerptionum numeri II in terna quadrata sine div. comm.) non opus ost, omnes repraesentationes Proprias omnium formarum P. q. eruere. Primo enim facile confirmatur, omnes 4Sὶ repraesentationes sorinus p ad eundem Valorem eXΡr. V- p, - q. rὶ Pertinentes statuendo p. q. r)J discerptionem eandem numeri M Praebere . adeoque sussicere, si una ex illis habeatur, sive quod eodem redit, si tantummodo omnes diversa discerptiones' sormae 7 in terna quadrata conscrilitae sint, et Perinde de reliquis *, etc. Dein si φ est o classe non incipito. om rinam, quae e classe opposita electa est. Omnino Ρraeterire licebit, sive e binis cla sibus oppoiatis unicam Consideraro sincit. lauum enim P rsus arbitrarium sit, quaenam sorma esingulis classibus eligatur, supponamus e classe ostposita ei in qua est eligisormam ipsi P OPPositam. quae Rit - έ. Tunc nullo negotio Perspicitur. 8i