Werke Carl Friedrich Gauss 1

351쪽

DMOMPOSITIO FORMAR 'M BINARIARUM IN TRIA QUADRATA.

Omnes discerptiones sorinae φ' expressum iri per si huy- - y't-h'vy -- si h u nec non ex his e dom discerptiones numeri II derivari ut ex illis. Denique pro eo casu ubi φ Pst forma e classe ancipito, attamen neque e classo principali

imPar . e Valoribus ex pr. v - p,-q.rὶ semissem omittere licet: sed brevitatis caussa hocce Oui Pendium sustus hic non explicamus Ceterum iisdem com-l endiis etiam uti possumus. quando omnes repraesentationes propriae ipsius MIFer Xa -- yyd siderantur. quum hae e discerptionibus sacillimo ovol

vantur.

Exempli caussa investigabimus omnes discerptiones numeri 770 in tornaquadrata, ubi μ - 3. e - έ - o. ad quo E -- 2k. Por classificationem sormarum binuriarum positivarum determinantis -770. quam quoniam a quovis ad normam art. 231 sacile condi potest brevitatis gratia non adscribimus. invenitur laxsium IR sitivarum multitudo α: 32. quae omnes sunt proprie primitiva P ot intor 8 genera distribuuntur. ita ut sit λ - 4. et Proin E S. Genus, cuius numerus charactetisticus - l. rospectu numerorum b. T. 1l manifesto characteres Particulares Ieb; NT: Nil habere debet, undo per art. 263 facile concluditur. ipsius characterem respectu numseri 8 esse debere 1 et 3. 8. Ium in m genere. cuius character let 3. S; Ieb; NT: Nil . quatuor classes re riuntur. Pro quarum repracsentantibus eligimus sormas s6, 2. 129J. 6, - 2. l29 . sis. 3. 41 .ls. - 3. 41ὶ: et Sem Secundam vero et quartam reiicimus, utpote Primae et tertiae oppositas. Quatuor discerptiones formae sis. 3. 4lὶ iam in art. 289 tradidimus. e quibus sequuntur discerptiones numeri 770 ins-μ361- - 400. 16H-25--7 29. Si H-400- - 289. 576 - 169- - Simili ratione inveniuntur quatuor direcerptiones formae sit -- 4 tu in 1 29uu in

352쪽

DE FORMIS TERNARIIS SECUNDI GRADUR.

aliae non dantur. Quas ad discorptiones numerorum in inrita quadrata divisores commvnos habentia attinent. tam facile o theoria generali uri. 28l sequuntur. ut non opus sit huic rei immorari.

293. Disquisitiones praecedentes etiam suppeditaut demonstrationem theorematia famosi, omnem numerum inreyrum positivum in tres numeros tristoniales discerpi posse. quod a Formatio olim inventum est. Sed cuius demonstratio rigorosa hactenus d - siderabatur. Manifestum est . quam 4s discerptionem numeri M in trigonales

producere discerptionem numeri 831 3 in terna quadrata imparia

et vice versa. Quivis autem numerus integer positivus 8M 3 per theoriam pru cedentem in tria quadrata resolubilis est, quae necessaria orauit imparia F. annot. t. 29 ij; resolutionumque multitudo Pendet tum a multitudine sectorum prim rum ipsius 8 M ε 3. tum a multitudine classium, in quas formae binariae dete minantis SM 3ὶ distribuuntur. Totidem discerptiones numeri M in te nos trigonales dabuntur. Supponimus autem, la inini J Pro valore quo nque integro ipsius ae tamquam trigonalem sPectari; quodsi magis Placeret etham excludere . incorema ita immutare oporteret: Quiris integer Positivus vel ipso trigonalis ost, vel in duos vel in tres trigonales resolubilis. Similis mutatio in the romate sequente facienda esset, si citiam a quadratis excludere placeret. Ex iisdem principiis demonstratur aliud Fermatii theorema, quemvis numerum inteyrum positivum in quatuor quadrata decomponi posse. Subtrahendo a numero sormae 4n-2 quadratum arbitrarium illo numero minusin, n numero formae

353쪽

43 H-l quininum par, a numero formae 4nH-3 quadratum impar, residuum in omnibus his casibus in tria quadrata resolubile erit. adeoque numerus P POSitus in quatuor. Denique numerus formae 4n exhiberi potest per ita ut N ad aliquam trium formarum praecedentium pertineat: resoluto autem ipso N in quatuor quadrata, etiam 4'N resolutus erit. A numero formae etiam Rubduci potest quadratum radicis pariter Imris. a numero somno 8n-HT quadratum radicis impariter paris. st numero formae 8nH-4 quadratum impar, residuumque in tria quadrata resolubile crit. Ceterum lio e theorema iam ab ili. I a Grange demonstratum erat. Nouv. M . deIAc. de Berlin 1770 p. 123. quam demonstrationem sa nostra prorsus diversam in surius explicavit iv. Euter in Aetis Ae Pere. l. Π. p. 48. Alia Fematii incoremata quae praecedentium quasi continu tionem constituunt. quemvis numerum integrum in quinque numeros Pentagonales.sex hexagonales. septem heptagonales etc. resolubilem esse. demonstratione hactenus carent, aliaque principia requirerct videntur.

Tum M. Designantibua a. b, e numeros inter se primos, quorum nullus ne que - 0 neque per quUdratum divisgilis. aequatio a Xae4-byy -ezz - 0 . . . u resolutionem in inteyris non admittet spraeter hane X - y a - o ad quam non respicimus in nisi -be, - ac. - ab resp. sint reSidua quadratica ipsorum a. b, c, atque hi ni rei signia inaequalibus ameti: his vero quatuor eonditionibus Deum habentibus. uin in inteyris resolutilis erit. Dem. Si vj per integros omnino est resolubilis. Etiam per tales olores

ipsorum x. y, a resolvi poterit. qui divisorem communem non habent; nam via res quicunque, aeqv. u sati8sacientes, etiamnum satisfacient, si per divisorem Communem maximum dividuntur. Ium Supponendo app-kbqq--crr u que p. q. r a divisore communi liberos. etiam inter se primi erunt; si enim q. rdivisorem communem μ haberent, hic ad p primus esset. μμ autem metireturi Psum app adeoque etiam imum G, contra hyP.; et perinde P, r; p. q inter se primi erunt. Repraesentatur itaque -app per formam hinariam byy-heza.

354쪽

tribuendo ipsis y et valores inter se primos q. r; undo illius determinans -be residuum quadraticum ipsius app adeoque etiam ipsius a erit sart. 154 : eodem modo erit -ae R b. - ab Re. Quod vero cu) resolutionem admittere non m sit. si a. b. e idem signum habeant. tam obvium Est . ut explicatione non egeat. Demonstrationem Imopositionis inversae. quae theorematis Partem secundam onstituit, ita adornabimus. ut primo sormam ternariam ipsi amui- valentem invenire doceamus, cuiu8 codffcientes 2. 3. 4 per ab e divisibiles sint. undo secundo solutionem nequationis su) deducemus. I. Investigentur tres integri A, B, C a divisore communi liberi. atque ita comparati, ut A primus sit ud b et e; B ad a Di e; C ad a ct b: a AA--bBB-He CC autem per ab e divisibilis. quod emcietur soquenti modo. Sint a. B. si resp. valores expressionum,-be m . , ψ-ae mod. bj. v - ab mod. H, qui necessario ad a, b, e resp. Primi erunt. Accipiantur tres intoma, b. e omnino ad lubitum . modo ita ut ad a, b, e resp. Primi sint se. s. omnes ij, determinenturque A. B. C ita ut sit

sive per a divisibilis. ot perinde per b. e. adeoque etiam per ahe dirisibilis erit. Praeterea patet. A necessario fieri primum ad b et e: B ad a et e: C ud a et b. Ni vero hi valores ipsorum A. B. C divisorem communem maximumὶ μ implicant. hic manifesto ad a, b, c adeoque ad ab e primus erit: quare illos valores per μ dividendo novos obtinebimus. qiu divisorem communem non habessunt. valorem ipsius a A AH-bBB- - e CC etiamnum per ab e di risibilem producUnt. adeoque omnibus conditionibus satisfacient. ΙΙ. Numeris A. R. C. hoc modo determinatis. otiam A a. Bb. Ce di 4norem communem non habebunt. Si enim haberent div. comm. μ. hic necessario primus esset ad a squippe qui tum ud Bb tum ad Ce primus ostὶ ot similiter ad

355쪽

351b ot e; quam si etiam ipsos A. B. C metiri deberet, contra hyΡ Inveniri poterunt itaque integri α. 6, 3 tales, ut sit α Aa --6Bb--ICe - 1; quaerantur insuper sex integri 6'. r. α . 6'. 7 tales, ut sit 6 7 - 7 6' - ὼε a. γα - a'r' - Bb. α'ς- 6 α' - Ce Iam transeat s Iaer substitutionem

s. e. m. m , n Per a divisibiles erunt: sitiailique modo iidem immeri Per b. eademve etiam per ab c divisibiles inveniuntur. Q. E. P.

356쪽

III. Ponamus. concinnitatis caussa, determinanism formarum f. s. i. e.

in formam tornarium I. Iὶ - ν determinantis d quae itaque sub fconrenta erit. Iam dico. huic somno y' necessario aequivalere hanc e : :ὶ - f. Pasti enim. I-ὶ - y fore sormam inrnariam doterminantis 1 porro quum Per hyP. a. b. e eadem signa non habeant, s erit sema indefinita. unde facile concluditur. etiam y t y ' indefinitas esse debere: quare ρ' aeqnivalebit sormae Art. 277ὶ, poteritque transformatio S'ὶ illius in hanc inveniri: manifesto autem per S'ὶ forma ρ' transibit in s . Hinc etiam ρ' sub f contenta erit. Et ex combinatione substitutionum Sὶ S in deducetur transformatiosormae s in C. Quae si fuerit δ. δ'. δ'

manifestum est, duplicem solutionem aequationis u) haberi. Puta a -δ', y ε a se C. et X - δ . y - ε . a C: simul pawt, neutros valores simul se Deodem Posse, quum necessario fiat δε ζ --δ ε ζεδ εζ' o cc - d. Q. E. S. Memphin . Sit aequatio proposita TXX - qu- λυ- lubilis ost. quia 345R7. -isl Rib. lubR23. Habentur hie valores ipsorum A. E. si hi 3. 7. 6: iaciendoque arib C - - ου. Hinc eruitur substitutio

t per quam f transit in

357쪽

qua cum S) combinata tirodit haec: in i quam 1 transit in s.

Habemus itaque duplicom nequationis Propositae solutionem ae l l . y - Η.z - 4. Et x - 12, 3 - - 9. z a: imsterior simillicior redditur dividundo valores Iaer divisorum communem 3, unde X - 4, y - - 3. z - 1. 295. Pars I OSterior theorematis art. Pru . otiam sequutiti modo absolvi POtost.

Quaeratur integer fi talis. ut sit ah Elmod .eὶ. characteros V. H. E cadum significatione accipimus ut in uri. praec. . satque ah hH-b se ei. Tunc lacilo Perspicitur, i fieri intonum . numeriimque - ab osse determinautem forma binariae sae, ah. IIaoc somna certo non orit positiva quum enim PerhyP. a. b. e eadem signa non habeant, ab ut ac simul Iu sitiri osse nequeunt ;Imrro habebit numerum charactoristiciun - 1. quod Synthetice ita domonstramus: Detorminentur intcgri e . e ita ut site . 0 in .aὶ ct E mod. b : ee' - 2l mod .aὶ et h B mod ι eritque e. e) valor expr. V- uc. ah. ij mod. - ab . Num secundum modulum a crit

358쪽

DE FORMIS TERNAms 8ECUNDI GRADUS.

eritque multiplicando per c,

hinc prodeunt solutiones x T. y - 11, 2 - - 8; ae 20, y 15. 2 - - b. sivo dividendo per 5 et negligendo signum ipsius a. α - 4. y - 3. z l. Ex his duabus methodis acquationcm 2 solvendi posterior eo praestat. quod Plerumque Per numeros minores absolvitur; Prior vero, quae etiam Pervaria artificia liic silentio praetereunda contrahi potest. elegantior videtur ea imprimis ratione . quod numeri a. b. c prorsus eodem modo tractantur, Calculusque Per horum Iwrmutationem quamcunque nillil mutatur. Hoc socus se habet in methodo secunda. ubi calculius maxime commodus forum quo Provenit, si Pro re accipitur minimus. Pro c maximus trium numerorum datorum, uti in exemplo nostro secimuS.

296. Negans theorema in isti. pra c. midicatum primo inventum est ab iu. IAE Gundre. Hist. de IAe. de Paris lTS4 p. 507, atque demonstratione Pulcra a du bus nostris omnino diversa) munitum. Simul vero hic egregius geometra hoc loco Olλeram dedit. demonstrationem propositionum, quae cum theoremato fundamentali

359쪽

S t. PraeC. conveniunt. inde derivare, quam ad hunc scopum non idoneam nobis videri iam supra declaravimus, art. 151. Hic itaque locus erit, hanc demonstru-tionem per se valde elegantein breviter exponendi iudiciique nostri rationes a iungendi. Praemittitur sequens observatio: Si numeri a. b. e omnes sunt I

mod. 4 , aequatio ευνε era - 0 ... uJ solubilia esse nequit. Facillime

enim perspicitur. Valorem ipsius araeq-bνy-Fere necessario in hoc casu fieri vel - i. Vel - 2, vel 3 mod. 4 , nisi omnes X, ν a simul pares accipiantur: si itaque u solubilis osset, hoc aliter fieri non posset quam per valores pares iPSorum X, y. z. Q. E. A., quoniam valores quicunquo aequationi 2 satisfacientes etiamnum satisfaciunt. si per dirisorem communem maximum dividuntur. unde necessario ad minimum unus impar Ρrodire debet. Iam casus divorsi theoromatis demonstrandi ad sequentia momonia reseruntur: I. Designantibus p. q numeros primos formae 4 n H- 3 smisitivos inaequales . ncquit simul esse pRq. q . Si enim Possibile esset, manifestum est Statuendo 1 a. -p - b, -q e, omnes conditiones ad resolubilitaton1 aequationis a XX- - byy -Hezz - 0 adimplotas esse art. 294 ; eadem vero per Obsera ationem Pra c. resolutioncm non admittit; quare suppositio consistore n quit. Hinc protinus sequitur propositio 7 art. 131. ΙΙ. Si p est numerus primus formae 4n-HI. g numerus Primus formae 4n-93. nequit simul esse qRI'. pNq. Alioquin enim foret - pNq. atque aequatio XX -pyy - qar resolubilis, quae per Obs. Praec. resolutionen respuit. Hinc derivantur casus 4 et 5 art. 131.

III. Si p. et sunt numeri primi sormae 4nini. nequit simul esse pNq.qM. Accipiatur alius numerus primus r sormae 4 n-3. qui sit residuum ipsius q et cuius non-residuum sit p. Tunc orit per casus modo IIJ demonstratos

- pq Rr. Hinc aequatio paeae inqνy - rar - 0 resolubilis esset contra Obs. Iγra .; quare Suppositio consistere nequit. Hi ne sequuntur casus 1 et 2 art. 13 l. Concinnius hic casus sequenti modo tractatur. Designet r numerum primum formae 4n- - a. cuius non-residuum sit p. Tunc erit etiam r . adeo

360쪽

nmisit simul osso pNq. Λccilitatur numerus primus auxiliaris r sermae

- pr Eq, qr Γροῦ quare nequatio Pa X-qyy-Freta u resolubilis esset. Q. E. A. Hinc derivantur casus 3 ct si art. lal. 7. Designantibus p. q numeros primos somno in a. nequit simul ESso pNq, qM. Supponendo enim fieri Posso, et accipiendo numerum primum auxiliarcui r sormae 4nini. qui sit non-rcsiduum utriusque p. q erit qr Np,

DemonstrationDiu praec. Proprius contemplaudo quisque facile intelliget. casus I ct ΙΙ ita absolutos esse ut nillil obiici ivissit. At demonstrationes casuum reli luoruin innituntur Oxistentiae nutrio rum auXiliarium, qua nondum demonstrata methodus multi susto omnona vim pordit. Qua suPI Ositiones. Disi tam sPe-ciosne sint, ut minus attondenti demonstratione ne opus quidem esse videri IR, sit . utque certo theor uia clomonstrandum ad minimum probabilitatis gradum evehunt, tamen si rigor geometricus do sideretur, Duutiquam gratuito sunt admit-wndac. uini quid in attinet ad suppositioncm in IV ct V. exstare numerum primum r sormao 4nH- l. qui duorum aliorum primorum datorum P. q non- residuum sit, e S t. IV sucile concluditur. omnes. numeros ipso 4 pq minores ad

ipsumque primos quorum multitudo est 2 p-lὶ q-1ὶ) in quatuor classes a qualitor distribui. quarum una contineat non-residua utriusque P. q. tres rellia quae residua ipsius p non- residua ipsius q, non-residua ipsius p residua ipsius q. residua utriusque P. q; et tu singulis classibus semissum fore niuneros somno 4n- - 1. Semissem sermae 4n--3. Habebuntur itaquo inter illos i 1, - 1ὶ 7 - i nou. residua utriusque p. q formae 4 n-μ l. qui sint s. Hy etc.; numeri ἐγ- l q-lὶ reliqui sint h. h .h etc. Manifesto omnes numeri in larinis 4pqt -y. 4 pqt -H 4 pqt y etc. Gὶ contenti quoque erunt non-residua ipsorum p. q rniue 4n-- l. Iam Patet. ad Ruppositionem stabiliendam demonstrari tantummodo debure. sub formis Gὶ certo contineri numeros primos. quod sane iam Iaer se vulde PlauSibile videtur, quum hac sermao uua cum his 4pqt-Fh. 4pqt- - Κ etc.