장음표시 사용
361쪽
Πὶ omnes numeros ud 4 pq primos adcoquo etiam omnes numeros absolutQ Prismos Practer 2. p. qὶ compreliendant. nullaque ratio adsit . quin numerorum Primorum serius inter illas formas aequaliter distribi iti sint, ita ut pars octava reserantur ad GJ. reliqui ad su). Attamen lac picuum cst. tale ratiocinium n rigoro geometrico longe abesse. Illi. IAE Gendre ipso latetur. domonstrationum theorematis. sub tali forma designautibus P. I numeros inter so primos datos . t indefinitum, corto contineri numeros primos, satis difficit in rideri, minthodumque obitur addigitat . quae forsan illuc conducere Possit; multae Voro di
quisitiones I,raeliniinaros necessariae nobis videntur . ni loquam hacco quidem ria ad demonstrationem rigo sum pervenire licent. Circa alitini vero sul,Positioncm ΙΙΙ. moth. secunda) dari numerum primum ν ranno an H-3. cuius non-rPsiduum sit alius numerus primus datus p formae In H- l. id. Lo Gendro nihil omnino adiecit. Supra demonstravi mitis art. l29 , numeros Primos quorum N. R. sit p corto dari, scd methodus nostra haud idonea ridetur ad existon tinna talium numerorum Primorum pιi simul sint formae t n H- 3 ostendendam ut hic requiritur neque vero in dem. nostra Prim . oteriim veritatem quidem huius suppositionis ita facile probare possumus. Por art. 2ST dabitur genus tmsitivum formarum binariarum det. - p. cuius character a. l: Ap; sit v. b. eὶ talis forma arino a imitar quod sui limnere licet). Tum a erit formae 4nH-3 atquὐ vel ipse Primus vel saltem factorem primum r somno 4 n- - 3 implicabit. Erit autem - pNa, adeoque etiam -pRr, undo pNr. At probe notandum sest. Propp. arti. 263. 287 theoremati suti lamentali inniti, adeoque circulum ritiosum lare, si qua huius pars illis superstruatur. Denique Suppositio in methodo prima III adhuc multo magis gratuita est . ita ut non opus sit plura de illa hic
adiicere. Liceat observationem nildcro circa casum V. qui Per Issethodum Praec. quisdem non Satis Probatur, attamen per sequuntem conanuvio absolvitur. Si illic simul osset PNq.q . seret -ρNq. - ΤΠp. Unde lacilo derivatur. -l esse numerum Characteristicum formae υ. 0, q), quae Proin secundum theoriam so marum inmuriarum) per formam aeae in yy'ra repracsentari Poterit. Sit
362쪽
eruntque OX aequati. l ct 2, omnes α. α', α . s. 6'. 6 impares: tum vero manifesto aequatio tortia consistere nequit. Haud absimili modo etiam casus II absolvi potest.298. PROBLEM. Draignantibus a. b. e numeros quoscunque, quorum tamen nullus - θ: invenire eonditiones resolubilitatis aequationis a XX in byν - -czz - 0 . . . ωὶ . Sol. Sint α α. 66. II quadrata maxima ipsos be. ae. ab resp. metientia.
harius αa - 67.A. 6b - α IB. Ie - α 6 C. Tum A. B. C erunt integri inter se primi: aequatio sui) autem resolubilis erit vel non erit, prout haec ANX - BYY CZZ - 0 . . . su resolutionem admittit vel non admittit . quod per art. 294 diiudicari poterit. Dem. Ponatur be - Ααα, ae E66. ab M EII. eruntque R. E. Eintegri a sectoribus quadratis liberi atque R - BC. T- AC. E - AB; hine ABG - ABCὶ . adeoque ABC - AU - BE - CE noecssario integer. Sit numerorum es, Ad divisor comm . min. m. atque R ym. AR - hm, eritque y primus ad h. nec non quia ei liber a laci. qu.ὶ ad m. Iam sit him est y AAR- yES. unde s metietur ipsum hhm, quod manifesto impossibile est, nisi y ε i. Hinc R in m. A - - 4. et proin integer, et perindo B, C
integri erunt. Q. E. P. Quum a se BC factores quadratos non implicet. necessario B, C intor se primi esse debebunt; et similitor A ad C et ad B primus orit. Q. E. S Deniquo patet. Si aequationi su) satisfaciat Nin P. I in Q. Z R. aequationem stoὶ resolvi per X - α P. y - 6 Q, 2 - IR: et vice verasa si huic Satisfiat per X p. y - q. z - r. illi satisfieri per X - 67p. Y - IIq. Z as r. unde vel utraque rosolubilis vel neutra. Q. E. T.
363쪽
REPRAERENTATIO CIFRAE PER FORMAS TERNARIAS QUASCUNQUE.
invenire, an ei a per eam repraesenturi possit ber ratores indeterminatarum qui non simul se u . Sol. I. Quando a - 0, valores ipsorum X, F ad lubitum assumi Imsgunt. Irat utque ex aequationea ex 2bar, - 'F - - 2 ae bla in b Eὶae inde valoroni determinatum rationalem nancisci; quoties pro ae hoc modo hactio Provenit. oportet tantummodo. valores ipsorum Σ, per Dactionis denominatorem multiplicare. habebunturque intcgri. Unico excludendi sunt tales valores ipsorum E. F. qui reddunt bla Φb'ae' - 0. nisi simul lactanta Eae Φ2bae Fina EF - 0. in quo casu ae ad libitum accipi poterit. Simul Patet. hoc modo omnes solutiones possibiles obtineri posse. Ceterum is casus, ubi
v et b - 0. huc non pertinet: tunc enim ae in f non ingreditur, sive J est
Ιam quando hic X- 0, neque vero B - 0, manifestum est, si a xες bis atque E ad lubitum assumantur. ae et , inde rationaliter dotorminari. et quando integri non fiant, saltem multiplicatorem idoneum integros Producturum. I rounico valore ipsius es puta pro Y- 0 valor ipsius a X in Ur ΓΕ non est a bitrarius sed quoque - 0 poni debet; tunc vero F ad lubitum assumi potoritualoremque rationalcm ipsius ae producet Quando vero simul A' et B - 0. Patet . si . 'sit quadratum in kk, ncquationem sinu reduci ad has duas lineares e quibus vel una rei altera locum habere debet)
si vero sin eadem hyp.ὶ π est nonsuadratus, manifesto solutio aequ. Iγrolvisitae pendet ab his quae simul locum habere debentὶ ae et aae in b ἡ- D.
364쪽
Ceterum vix nocessarium orit observare. methodum in I etiam applicari POSM. quando ae vcl a D. methodumque in II, quando A' - Ω.
sultoni valores rationales ipsorum X. H E. o quibus. si fractiones involvunt. I,ur idoneum multiplicatorem inti ri clici poterunt. Quamprimum autem una solutio aequationis 1 0 in intonis inventa est. problema ad casum I roduci, et Iaerindo ac illic solutiones omnes Oxhibori imwrunt Sequenti modo. SatiSfaciunt nequntioni f o Miloros ipsorum x. H E hi α. α. s. quoes a se toribus communibus liberos supponimus, accipiuntur iter
365쪽
traii Sintque s Por substitutionem
Tunc manifesto crit c αα 0, utque s ipsi s nequivalens. unde facile concluditur. ex omnibus solutionibus nequationi R y - 0 derivari siler Si omnes solutiones aequationis f- 0 in integris. Iain ex Ι sequitur, Onanos solutiones uCqu. 9 0oontiueri sub formulis
dsesignantibus p. q integros indefinitos. a numerum indefinitum. Pro quo etiam fructi oves accipi possunt. modo ita ut integri maneant. His valoribus ipsoruni y. y f in Sὶ substitutis. Omnes Solutiones ac tu. f 0 in integri s
366쪽
M FORMIA BINARIIS SECUNDI GRADUR.
si valores tantummodo rationales desiderantur, quam . Si integri postulantur. supra sart. 216 sqq. in iam absolvimus. Nam omnes valores rationales ipsorum x. y exhiberi Possunt Per - - . ita ut t. v. v sint In te I. undo patet, inlutionem illius u quationis per numeros rationales identicam esse cum solutione aequationis attri-2 btu-Heuu-2d tu H-2 euvH- v oper numeros integros: haec vero convenit cum aeqv. in art. Praec. tractata. ει- cludi debent eae solae solutiones ubi v - 0; tales autem provenire nequeunt quando bb - ae est numerus non-quadratus. Ita e. s. Omnes solutioneS RequR-tionis in art. 221 per integros generaliter soluta in
designantibus p. g integros quoscunque Ceterum de his duobus problematibus arctissimo nexu coniunctis breviter tantummodo hic minus. multasque o servationes huc pertinentes suppressimus . tum ne nimis prolixi fieremus . tum quod solutionem aliam Probi. art. praec. habemus, principiis generalioribus innixam, cuius expositionem. quia penitiorem formarum ternariarum disquisiti nem postulat. ad aliam occasionem nobis referore debemus.
Revertimus ad formas binarias, de quibus adhuc plures proprietates singulares recensere Oportet. Et Primo quaridam observationes circa multitudinem ρο- nerum et classium in ordino proprie primitivo spositivo pro det. neg.) adiiciemus. ad quem brevitatis caussa disquisitionem restringimu . Multitudo generum . in quae omnes formae dar. Prim. p . determinantis datim,sitivi vel negativi distribuuntur, Sem Por cSt l. 2. 4 vel altior potostas numeri 2. cuius eximnens pendet a factoribus ipsius D. st laer disquisitioncs prae c. omnino a priori inveniri potest. Iam quum in serie numerorum naturali numeri primi cum magis minusquo compositis permixti sint. Evenit. ut pro pluri-
367쪽
bus determinantibus succcssivis in D. in D in l). 1 D-2ὶ multitudo generum nunc crescat nunc decrescat, nullusque in hac serie perturbata ordo adesse videatur. Nihilominus si multitudines generum multis doli. successivis
wSpondentes adduntur. Rummaque por determinantium multitudinem dividitur, multitudo seriorum mediocris Provenit, quae circa medium dotserminantium locum habere censeri poterit. progressionemque valde regularem constituit. Suin Ponimus autem, non modo in osse satis magnum, sed etiam D multo maiorem. ut ratio determinantium extremorum D. DH-m non nimis a ratione aequalitatis discrepet. Regularitas illius progressionis ita intolligenda est: si D est numerus multo maior quam D, multitudo generum mediocris circa determinantem --D 'sensibiliter maior erit quam circa D; si vero D. D' non nimis differunt, etiam generum multitudines modiocres circa D et D ' sere aequales erunt. Ceterum multitudo in ioeris genesrum circa determinantem positivum H-D semper serea qualis invenitur multitudini modiocri circa negativum. eoque exactius quo maior est D. quum l ro valore Parvo Prior Paullulum maior evadat quam Posterior. IIae observatiouos magis illustrabuntur per exempla sequentia, e tabula classificationis sormarum hinariarum plures quam 4000 determinantes complectente DX-cen in . Inter Centum determinantes a 80l usque ad 900 reperiuntur z quibus unicum genus respondet; 32. 52, 8, 1 quibus resp. 2. 4. 8. 16 genera reSIUndent; hinc omnino emergunt genera 359. unde multitudo mediocris 3.bs. Contum determinantes Dogativi a -Sul usque ad 900 producunt genera 360. Exempla sequentia Omnia desumuntur a determinantibus negativis. In centadet 6 sa -l50l usque ad -l600ὶ mult. med. generum invenitur 3, Ss; in centade 2b est 4. 03: in centade bl prodit 4. 24; e Rexcentis deti. - 940 l . . . - 10000 computatur 4. 59. Ex his sxemplis patet. multitudinem generum m. diocrem multo lentius crescere, quam determinantes ipsos; sed quaeritur. qua nam sit lex linius progressionis' -- Per disquisitionem theoreticam satis difficilem, quam hic explicare nimis prolixum seret. inventum est. multitudinem generum mediocrem circa determinantem D vel - D quam proxime exhiberi per formulam
368쪽
DE FORMIA I INARIDA SECUNDI GRADUR.
ubi α. 6 sunt quantitatos constantes. et quidem
quae PDr upi roximationem inventa est 0. 9375482543. Ex huc formula patet. multitudinem mediocrem generum crescere in progre tono arithmetica. Ri deurr- minantes nuguuntur in geometrica. I alores huius formulae l3ro D - 850 l. 1550 l. 2450 l. 5050 l. 9700ὲ inveniuntur 3. GlT; 3.S6: 4. 046; 4.339: 4. 604. qui a multitudinibus mediocribus supra datis Parum discrepant. Quo maior fuerit de torminans medius. et u quo pluribus multitudo mediocris computetur, Eo minus a valore formulac difforet. Adiumento huius formulao etiam aggregatum multitudinum generum determinantibus successivis ε' rcflvindentium quam Proximo erui potest . si multitudines mediocreου singulis r spondentes computantur et in Summum colliguntur. quantianoris divorsi sint extremi D. I - - m. Haec summa erit
369쪽
BPRlu'cti I multitv liuix classitim Pr. Priniit. posit. . quod seii Ret subintelligendumὶ do torminantes liositivi prorsus reliter se habent quam n rativi: quamobrem utros tuo seorsim con Riderabimus. In eo lii cum illis conveniunt. quod pro dctorminanto dato in singulis generibus classes a que multae continoritur . ndo quo multitudo omnium classium aequalis est Pro lucto e multitudine generum in multitudinem classium in singulis generibus contentarum. Quod primo nitinet ad determinantes negati vos. multitudo classium pluribus duit. successivis -D, - DH-l . - D--2ὶ etc. reflaondentium pro Q sionem uetluo P rturbatam Constituit. ac multitudo generum. Multitudo Plassium mediocris autem cui definitione opus non eritὶ valde regulariter crescit . ut ex exemplis sequentibus aptinebit. Contum determinantes α - 500 uκ pio ad - 600 supi, itant classos l7 29, unde multitudo modiocris T. 29. Nimilitor in contadc tb multitudo classium mediocris invenitur 2 S. 26: e centudibus duabus 24 et 25 computatur 36. 2S: e tribus sit. 62 ct si a prodit 58. 50 e quinquo ut . . sb. fit 71.56; denique o quinque s 6 . . li 0 fit 73 54. Haec exempla Ostendunt, classium multitudinem mediocrem lentius quidem crescere . quam deto minantes. multo tamen citius. quam multitudin m mediocrem generaim: levi autem attentione cognoscetur. illam Rutis exacto crescerct tu rutione radicum qu dratarum e doterminantibus mediis. Revera per disqui κitionem theoreticam invo-nimus . classium multitudinem modi rem Circa determinant m - D proxime
o v. 2020423073 valores mediocres secundum hanc formulam computati uti iis, quON Sulara e tabula classificationum exscripsimus. Parum differunt. . diumento huius sormulae etiam erogatum multitudinum omnium classium pr. Pr. Ivis. in determinantibus suc-
370쪽
SSi vis - D. -- DH-m - 1ὶ res Pondentium quiliii proxime assignari I otest . quantum ris extremi sint diversi, summando multitudines mediocres illis determinantibus secundum formulam respondentes. unde erit
ita e . s. illud aggregatum Pro Centum deit. - 1... 100 ex larmula Computatur 483. l. quum revera sit 477: mille deis inuntes - ... - l000 secundum
tabulam suppeditant 155 33 classes, sormula dat i555l. 4; millias secunda sistit classes 23595 secundum tabulam, sormula pinobet 28585. I; similiter millias tertia revera suggerit 37092 classos . formula dat 37074.3: millias decima dat 7 2549 per tabulam. sormula 7257 2.
Tabula determinantium negativorum secundum diversitatem classificationum ipsis respondentium di sta multas alias observation s singulares offert. Pro e torminantibus formae - 8n-93ὶ multitudo classium tum earum quae in omniabus, tum Earum quae in singulis generibus pr. primitivis contentae sunt in semper divisibilis est per 3 unico determinanto -3 ex opto. Cuius rei ratio ex art. 256. I simule inquitur. Pro iis determinantibus, quorum formae unicum genus conficiunt. multitudo classium semper impar est: quum enim pro tali determinante unica tantum classis anceps detur, puta principalis. multitudo classium reliquarum, o quibus binae semper oppositae erunt. neceSsario orit par, adeoque multitudo omnium impar; ceterum haec posterior proprietas etiam pro determinantibus Imsitivis vesci Porro sori s determinantium . quibus eadem classi ficatio data i. e. multitudo data tum genorum tum classium in respondet. Semlier abrumpi videtur. quam obsera ationem satis miram per aliquot oxempla illustramus. Numerus Primus. romanus . indicat multitudinem generum Pr. Prim. POS.; sequens multitudinem classium in Singulis generibus contentarum: tunc sequitur series determinantium . quibus illa classificatio respondet. et quorum signum negativum brevitatis caussa omittitur .