장음표시 사용
381쪽
duplicatione C oritur. hae: E MEH-K . EH-K ΕΗ- K etc., quarum Complexus exprimatur Per sa: multitudo harum classium aequalis erit multitudini classium ancipitum sive multitudini generum. Marii sestum est. e classibus in tot ad genus V twrtinere. quot ancipitos dentur in G; designando itaque harum multitudinem per a. patet . in quovis genere vel a classes cx u dari vel nullas. Illuc lacilo colligitur. quando sit a m l. in quovis genPre contineri unam clad
som ex u; quando a - 2. Semissum omnium geuerum binas classes cx u comtinere. rutilliin nullas, et quidem semissem priorum vel totam cum si, coincidere in eadem significatione ut supra III . liosteriorem cum vel hanc cum S. illum
I. Nupivinamus iam, C esse talem claSSem, cuius Periodus DX n tormianis confici. Iterspicieturque facile. in eo casu. ubi a - 2 adeoque n Imr. nullam
ex 2 ad G pertinere possc tunc enim talis classis in periodo classis C contenta foret; si itaque oSset r C. sive 2rC C. foret 2 r l mod. ni. Q. E. A.): quamobrom quum G ad O pertineat. necessario omnes classes se inter genera distributae erunt. Hinc colligitur, quoniam pro dot. rog.ὶ in G omnino dantur
classos periodos n terminorum habentes, pro eo casu ubi a - 2 invoniri in quovis genere e omnino 2 ρn classes, quarum Iri Hodi 2n terminos. adomuotum genus suum tum Prin i pale, comploc tantur; quando vero a l. in quovis genere a principali diverso, huiusmodi classes dabuntur VII. ΙIis observationibus methodum sequentem superstruimus. Systema omnium classium lir. prim. Pro quolibet determi uante regulari dato lirregulares enim omnino exuli mimus quum aptissime construendi. Eligatur ad Iubitum cla sis E. cuius Iγeriodus 2n torminos. nil quo tum genus suum quini sit V tum principale G complectatur: classes horum duorum generum ita disponantur, ut in illa periodo pr inediuntur. Hoc modo ros iam nl,Soluta erit, quando plura ge- nora quam haec duo omnino non adsunt. Sive reliqua adiicere non nocesse videtur e. s. pro tali det. n . . ubi duo tantum genera ΙΜ sitiva dantur . Quando voroci'iutuor aut plum mnern conStru nda Sunt. reliqua hoc modo tractentur. Sit V aliquo i e reliquis alipte , --V'- I dabunturque in V et V duac cla sesancipites s puta vel in utroque una. vel in ultoro dilue. in altero nulla : ox his eli-
382쪽
DE FORMIs BINARIAE RECUNDI GRADLS.
tur una ut ad lubitum, patinique facile. si A cum singulis clasgibus iii G et I componatur. Prodire 2n classes diversas ad U' et pertinentes. adeoquo haec genera omnino exhaurientes; ita haec quoque genera ordinari poterunt. Si praeter haec quatuor genera alia adhuc sultersunt, sit Vr unum e reliquis. atque V . U . V ' genera ea. quae Para leunt e compositione generis Ur eum T V et V . Haec quatuor genstra V ... V quatuor classes ancipites continebunt. Iritetque, si ex his una a eligatur atque cum singulis classibus in G. V. V . V componatur. Omnes classes in V ... V prodire Si adhuc plura genera supersunt, simili modo continuetur, donec omnia exhausta sint. Patet . si multitudo omnium generum construendorum sit 2', omnino opus fore μ - l classibus ancipitibus, et quanaria classem horum generum produci possct vel e multiplication classis E, Vel e comIrasitione classis, e tali multiplicatione ortae . cum una Pluribusve anei Pitibus. Eceu duo exempla, Per quae haec praeeopta illustrabuntur; plura de usu talis constructionis vel de artificiis, per quae labor sublevari potest. hic adiicere non licet. I. Determinans - 6 l. Quatuor genera positiva; in singulis quaternae Classes.
383쪽
II. Determinans -546 Octo non positiva: in singulis tornae classes.
384쪽
iauum sortilis sit arithmetica sublimior veritatibus, quae ira aliis quoque mathes Os Partibus usum Pruostent, lituribus iam Passim locis addigitarimus; quas- dum vero applicationes. quae sexpositionem umidiorem merentur. Seoraim tractarEnon inutile duximus. non tam ut hoc argumentum . quo Illum volumina facile impleri possent. exhauriatur, quam potius ut lier aliqua specimina illustretur. In hacco quidem Sectione primo do resolutione fractionum in simpliciorcs agemus: dein de conversione fractionum communium in decimales; tum mothodum Iiovam exclusionis explicabimus, solutioni inquationum indoinrminatarum incundi diis inservi Platoin; tandem mothodos novas expedit ars trademus. numeros Primos a compositis dignoscendi. horumque suctores cxplorandi. I ii Suctione sequente alitom theoriam genoralem generis peculiaris lanctionum . per totam unalysin latissimo parentis. quainnus cum nrithmetica sublimiori arcti,simo conneXa est. stabiliemus. imprimisque theoriam sectionis circuli. cuius prima tantum ci menta hactemus innotuorunt. novas incremeratis amplificare studebinaris.
309. PROBLEM. Fractionem - . cuius denominator n est productum e duobus numeria inter se primis a. b. in duas ali is discerpere. piarum denominatores sint a. b.
385쪽
Ceterum constat. coii pruentiam bX m radicos infinito multas, sed secundum a coia uas, habere, unica vero tantum Imsitiva minorqust quam a dabitur: fieri autum ivitost etiam . ut y evadat nomtivus. Vita nocesse erit monoro. y etiam per congruentiam ay - m m .'. ntque ae Per Requutionem a se νinveum lκ,sso. E. s. Prolamsita fractione . urit i valor ex Pr.' an Od. 7 . unde resolvitur in f -HA. 3lu. Si fractio P prolponitur, cuius denominator n est Productum e factoribus quotcunque inter se Primis a. b. e. d Dic.: Iγer art. Praec. Primo in duas rexolvi potest, quarum denominatores sint a et bed utc.; Secunda itorum in duaes don initiatorum b ot ed otc.; postprior rursus in durus Pt sic Porro. unde tandem fractio proposita sub hanc formam redigutur
Numeratores α. 6. I. δ etc. manisosto Positivos ac denominatoribus suis minores accit ore licebit. praeter ultimum. qui reliquis determinatis non amplius est arbitrarius . atquo setiam negativus aut donominatore inuior fieri potest siquidem noti supponimus Tum Plerumque e re erit. ipsum sub sorinnm - - k redigero, ita ut ε sit IUsitivus ac minor quam e . k vero integer. Denique Pati t. a. b. e etc. ita accipi posse. ut sint vel numeri primi vel numerorum primorum
386쪽
utque otiam L. 6' etc. I Ositivos ac minores quam a. b etc.. necessario Pritu - ά. 6 - 6', γ - etc.. k F. MultiPlicando Duim I r n abc etc..putot fiori m abed etc. maebed ole. mod. a , unde, quoniam bed etc. ud a primus est, necessario α - ά adeoque αμά, ct Iκ rinde 6 - 6' etc.. undo etiam stγonto k - E. Iam quum prorsus urbitrarium sit, cuiusnam denominatoris numerator Primus supputetur, manis Stum est, omnes numeratores ita investigari Posse ut α in art. Praec . . puta 6 Per congruentiam 5aed etc. -m mod. bj. I per hanc Iabd etc. -m mod. H etc.; summa omnium fiuctionum sic inventarum
vel prolmsitae P aequalis crit, vel differentia numerus integer k, qua ria
simul confirmationem calculi nanciscimur. Ita in PX. Rrt. Praec. Vniores eXPr.
ratores i. 2. I, 4 denominatoribus 4. 3. 7, It respondenteS, Summaque harum fractionum Propositam unitate superare invenitur.
al 2. DEriXmo. Si fractio communis in decimalem convortitur. Seriem figurarum decimalium' excluso si quis adest numero integro . sive finita sit, sive in infinitum excurrat, fractionis mantissam vocamus, EX Pressionem. alias tantummodo apud logarithmos usitatam, in siguificatione latiori accipientes. Ita e. s. fractionis 4 mantissa est 125. mantissa fractionis it 1875. fractionis A mantissa 054054 ... in insEx hac definitiono statim patet, Dactiones eiusdem denominatoris, easdem vel diversas mantissus habere, Prout numeratores i. m secundum n congrui sint vel incongrui. Mantissa finita non mutatur. si ad dextram ciliae quotcunque apponantur. Mantissu fractionis obtinetur, rescindendo a mantissa Bactionis figuram primum et generalitur mantissa fractionis invenitur rescindendo v figuras primas mantissa ipsius Mantissa fractionis statim figura significativa i. e. a cilia diversaὶ incipit, si n non lo; si vero n l0 ac nulli potestati ipsius 10 a qualis. multitudoque figurarum e quibus constat est h. primae k - 1 figurae muratissae ipsius erunt ciliae atque demum sequens erit significativa. Hinc facile deducitur. si mantissus diversiis habeant i. e.
Brevitati, eaux a disquitationem equentein ad sustenta vulgare deeadicum restringimus, quum facito ad quodviε aliud extendi γηsit.
387쪽
si l. m sec. n incongrui . has certo in primis k figuris con aenire non posse. sed altem in k in discrepare debere. 313. Pa L A. Dato denominatore fractionis - atque primis k Iburis ex ipsius mantissa, invenire numeratorem m, quem ipso n minorem Sinponimis. MI onsidorentur illas k figurae tamquam numerus integer, qui Per nmultiplicetur. productum quo per l0' dividatur sive k ultimae figurae rosocontur). Si quotiens est integor bive figurae resectae elisa , ipse manifesto erit numerator quaesitus atque mantissa data completa; sin minus, numerator quaesitus erit intcger proxime maior, sive ille quotiem unitate auctus. Uystquam figurac d cimales se luentes reiecta sunt. Ratio huius regulae tam iacile ex iis . quaeia finem uri. Praec. obsera avimus. cognobcitur, ut ex Idicatione uberiori opus non sit. . Si constat. duas figuras primas mantissae fractionis. euius d nominator 23. esse 69. habomus Productum 23. 69 - 1587. a quo duas ultimas figuras abiiciendo. unitatemque nddendo, numerator quaesitus prodit - 16.314 Inchoamus a consideratione talium fractionum, quarum denominatores sunt
numeri primi vel numerorum primorum potestates, liost que reliquas ad has r ducere ostendemus. Et primo statim observamus. muntissam fractionis cuius numeratorem a per numerum Primum p non divisibilem esse sempor supponimus finitam eme . atque ex μ figuris constare. Si p - 2 aut 5: in casu priori haec mantissa, tamquam numerus integer considerata. crit m 5 a. in posteriori - 2'a. Haec tam Obvia sunt, ut expositione non egeant. Si vero p est alius numcrus primus, tu a per ρ' numquam dirisibilis erit. quantum 4s magnufl accipiatur r, unde Sponte sequitur, mantissam fractionis F - necessario in infinitum progredi. Supponamus. 10 esse potestatem infimam numeri 10, quae unitati secundum modulum congrua fit Ons Sectio III, ubi ostendimus. e vcl numcro γ - l JIi aequalom vel ipsius partem aliquotam esse . IRrspicieturque sucile, etiam tu a fore numerum. in serie tua. iuuai 000aetc. Primum, qui ipsi a secundum eundem modulum sit congruus. Iam quum per art. 312 mantissae fructionum oriantur. demendo man-
388쪽
vARIAE DISQUISITIONUM PRAECEDENTIUM ADDUCATIONES.
tissae fractionis F figuram primam. duas . . . e figuras PrimaS SP. . manisPStum est, in hac manti Ssa Post primas e figuras, neque Prius. Easdem iterum repeti. Has primus e figuras, e quibus infinitios relictitis mantissa formata ost. periodum. liuius mantissae sive linctionis F vocare possumus. Putetque. magnitudinem Peri- Odi. t. e. multitudinem figurarum, e quibus constat. quas est e, a numeratore ι omnino indet,endentem esse. et Persolum denominatorem determinari. Ita e. s.l Feriodus fractionis i 09. fractionis ' periodus 4 2S 571 I. 3ib.
Simulac igitur fractionis alicuius periodus habetur mantissa ad figuras quotcunque produci Imaterit. Porro puto t. si suPrit b- ii 'a smod. J. l, eriodum frac
tionis oriri. si primao λ figurae Imriodi fractionis P supponendo λα e quod
licetin reliquis e-λ postscribantur, adeoque cum periodo fractionis F simul lae-riodos Oiunium fractionum haberi. quarum numeratores ipsis tua. l00a. t 000aetc. secundum denominatorem p sint congrui. Ita e. s. quum 6 - 3.1 03 mod. 7 .l eriodus fractionis 3 statim e periodo fractionis ' fit 857 42. Quoties itaque pro modulo p' numerus tu est radix primitiva urit. 57. 8s .e periodo fractionis . protinus deduci lioterit periodus cuiusvis alius fractionis cuius numerator ni per p non divisibilis , tot figuras ab illa u laeva resecando et ad dextram restituendo, quot unitatos habot index ipsius m. numero I 0 Probasi accepto. Hinc perspicuum est. quamobrem in hocce cariu numerus Iu in tabula I semiter pro basi ac plus sit V. nrt. 7 23. Quando vero tu non est radix primitiva. o periodo fractionis . earum tantummodo fractionum Iaeriodi exscindi Ilossunt, quarum nurnoratores alicui potestati ipsius tu secundum p sunt congrui. Nit 10 potestas infima ipsius tu unitati A cundum p congrua. Ῥ-l es, atque talis radix primitiva r pro hasi accepta, ut index numori tu fiat f art. 71 . In hoc itaque systemato numeratores fractionum . quarum lacriodi o Pori ut a fractionis . cxscindi ii issunt. habebunt indices f. V. 3f. . . . e si simili modo o periodo fractionis d duci possunt periodi fractionum . quarum numeratores 10r. litur. 100 uretc. indicibus se l. 2fini. I etc. respondentos; e lieriodo fructionis cum numeratore rr cuius index 2ὶ deducentur periodi fractionum cum numeratoribus quo-
'ὶ Col. Robortam i,eriodi initium et finem duobus punetis figurae primae et ultimne susim riptis indicat Theoo of eis utim ius fractions. Phaos. Traiis. letis 2 τ), quod hie non nece . arium Putamus.
389쪽
rum indices f- - 2. V-2, 3 F2ein.: generaliterque e pori O fractionis cum numeratoro τ' derivari poterunt periodi fractionum cum numeratoribus, quorum
indicos f*i. υε i. Vinicis. Hi ne facile colliratur. si tantummodo periodi
fructionum Cum numeratoribus 1. r. rr. μ .... liabeantur. Omnos rPliquas
indo per solam transpositionem deduci ivisse uilium iito regulae sequentis: Nit index numeratoris m fractionis Propositas in systemate ubi r pro basi acceptus est, - ι quem sutiponimus minorem quam θ - fiat. dividendo
iter ij i - - - 6. ita ut α. 6 sint in togri positivi sive etiam 0ὶ atque quo facto orietur periodus hactionis p e periodo fractionis . cuius numerator adeoque l. quando 6 - 0 . collocando huius α primas figuras lUst roliquas
ademus hanc ipsam periodum retinendo, quando α - 0 . Uaoc sufficienter d clarabunt. cur tu condenda tabula I normam in stri. 7 2 explicatam sequuti simus. 3l6. Secundum haec principia pro omnibus donominatoribus sermae infra l000 tabulam periodorum necessariarum conStruximus, quam iut grum sive etiam ulterius continuatam occnsione duin publici iuris faciemus. Hoc loco tabula UIusque ud 100 tantum Producta tamquam specimen sufficiat. cui explicationse vix opus erit. Pro iis denominatoribus . ubi tu est radix primitiva. periodos fractionum cum numeratore 1 exhil et sputa pro T. 17. is. 23. 29. 17. 59. 6 l. 973: pro reliquis. y periodos numeratoribus i. r. rr, resPondentes. quae Pernumeros adscriptos s0 . ll. 2 incis. sunt distinctae; pro basi r semper eadem radix primitiva adoptata est ut in tabula I. Hinc igitur periodus fractionis cuius vis, cuius donominator in hac tabula Continetur. adiumento PraecePlorum art. Pra c. erui poterit. postquam numeratoris indox per tabidam I cst computatus. Ceterum pro denominatoribus tam parvis n otium aequo lacilo absque tabula I absolvere poterimus. si Per divisionem vulgarem tot figuras initiales mantissae quaesitae com-Putamus, quot Por nrt. ala necessnriae sunt, ut ab omnibus aliis eiusdem don
minatoris distingui possit spro tabula III non plures quam 2 omneSque periodos donominatori dato respondentes perlustramus. usquedum ad illas figuras initiales Imroeniamus. quae I eriodi initium haud dubie indicabunt; monere tamen oportet. illas figuras etiam separatus osse posse. ita ut prima vel plures) finem alicuius lacriodi constituant, reliqua vel reliquae ciusdom initium. Quaeritur iteriodus fractionis i . Hic pro modulo is laer tab. I
390쪽
vARIAE DISQUISITIONUM PRAECEDENTIUAl APPMCATIONES
habetur in I. 12 - 2 ind. 2 4- ind. 3 - 39 - 3 inod. 18ὶ art. 57); quare quum pro hoc casu unica tantum periodus numeratori l respondens habeatur. huius tres primas figuras ad finem translocare oportet. unde fit periodus quaesita 6 31578947368421052. - Aeque facile periodi initium e duabus primis figuris 63 inventum fuisset. Si periodus fractionis H desideratur. fit pro modulo 53, ind. 45 - 2 ind. 3--ind. 5 - 49: multitudo Poriodorum lite est 4 - f. atque 49 - 12 Fl, quare a periodo cum ij signata 12 primae figurae postponendae erunt ultimae. periodusque quaesita fit 84 905660377 35. Figurae initiales 84 in hoc casu s paratae sunt in tabula. Observabimus adhuc. adiumonis tabulae III etiam numerum inveniri posse. qui pro modulo dato in ipsa sub denominatoris titulo contento) indici dato respondeat, ut in art. 59 polliciti sumus. Patet enim Per praeco. . inveniri posse P riodum stactionis . cuius num ratori ilicet incognitus sit in index status respondeat: sufficit autem. tot figuras initiales huius periodi excorpere, quot figuras habet d nominator; ex illis per art. 313 cruetur numerator sive numerus quaesitus indici
Per praecodontia mantissa fractionis cuiuscunque. cuius denominator est numerus primus mi numeri primi potestas intra limitos tabulae. Q figuras quo cunque sine computo erui Potest; scd adiumento disquisitionum in initio huius Sectionis tabulae ambitus multo latius Patet . omnesque seactiones, quarum den minutores sunt producta o numeris primis aut primorum potestatibus intra ipsius limitem. comploctitur. Quum enim talis Dactio in alias ducomponi possit, quarum denominatores sint hi factores. atque has in fractiones decimales ad figuras quotcunque convertere liceat, restat tantummodo, ut hae in summam uniantur. C terum vis opus erit monere. Summae sic prodeuntis figuram ultimam iusto min rem Evadere posse; manifesto autem desectus ad tot unitatos adscendere nequit. quot seactiones particulares adduntur, unde hae ad aliquot figuras ulterius computare conveniet. quam Dactio Proposita iusta desideratur. Exempli Caussa considerabimus fractionem F j. cuius denominator est productum e nume
n Haee Baetio est una ex iis, quae ad radieem quadratam ex II quam proxime appropinquant, et qui dem Exeessus eat minor quam aeptem unitates in lom figurae decimalia vigesimas.