Werke Carl Friedrich Gauss 1

401쪽

am METHODUS CONGRUENTIAM .rae A SOLVENDI.

nitur; Imrro Iγatet. Omnes α. 6. I utc. ipsi sec. mod. 13 congruos fieri. adeoque nillil ex 2 excludero. si kM3: si vero kΓρ adeoque etiam sit rvalor ex pr. xk mod. ρμ' 'ὶ . qui per p non erit divisibilis, atque e valor huius -- mod.pὶ, eritque α - rr-F2erap mod. p ε' ' . unde facile Colligitur. α esse residuum ipsius atque valores Oxpr. ψα m .pi fieri εν - ea a ): hinc omnes h. E. 4' etc. exprimentur per r-bu p 'Denique nullo negotio hinc concluditur, numeros h. E. V etc. oriri ex additione numeri r cum Pr ductis numeri 1 vel in omnes numeros infra p praetur u puta quando μpar; vel in omnia non-residii a ipsius p infra hunc limitem, quando μ impar atque e Γρ sive. quod hic eodem redit. quando - 2 mrn Np: vel in omnia rosidua praeter 0 . quando μ impar utque - 2 mrn M.

Ceterum simulac pro singulis excludentibus. quos applicare Placet. Humeri h. 4' etc. sunt eruti. exclusionem ipsam Etiam Iaer Operationes mechanicas Perficere licebit, quales quisque harum rerum Iwritus tacite Proprio marto DXcogitare Poterit, si operae Pretium esse videbitur. Tandem observare debemus, quam fis acquationem azae - 2bυ - - cyy II, in qua bb - ae negativus - - D. facile ad eam formam. quam in prae c. COI sideravimus. roduci posse. Designando enim divisorem communem maxillium numerorum a, b Per m. et Ponendo a se ma b - mν. - ae - mob n. a X - ν

qu. illa manifesto aequivalet huic maeae nyy - . M. quae Per praecepta supra tradita solvi poterit. Ex huius utilem solutionibus eno tantum erunt roti-nondae, in quibus ae - ι, Per fit divi Ribilis. sive unde in valores intcgros

auemadmodum fiolutio directa aequationis arae 2b eyy - M in

Nect. contenta valores Oxyr. ψ bb - ad mod. Mi notos supponit: ita rico vorsuPro eo casu. ubi bb- ac est negativus. Solutio indirecta in Pruoco. cxlvisita m thodum expeditissimam subministrat . illos valores cruendi, quae . Praesertim Pro valore permagno ipsius M. methodo art. 322 sqq. longe ost Praeserenda. Supi κ nemuη autem. II DKse numerum Primum, nut saltem ipsius sectoros. si compin

402쪽

situs osset. adhuc indognitos; si enim constaret, numerum primum p ipsum Mmetiri, ainuo esse M - ita ut M' factorem p non amplius implicct. longo commodius foret. valores expr. Vφb - ad pro modulis p et M' sigillatim explorare priores ex valoribus secundum modulum p. an. isti . Valoresque Sec. mod II ex horum combinatione deducere sart. 105J. Quaerendi sint itaque omnes valores expr. - D mod. II . ubi D et MIUsitivi supponuntur, atque 31 sub forma divisorum ipsius a X- - D contentus art. l47 sqq. . alioquin enim a priori constaret. nullos numeros expressioni Pr Imsilao satisfacere ivisse. Sint valores quaesiti. e quibus bini semper optUsiti erunt

II. - r. h). II. H. hJ. II. -κ. 4 etc. pertinent, resp. Per d. - S. C. - T. F. - TCtc.. ipsarumque complexus lHr S. Hae classes quidem. generaliter loquendo. tamquam inc altae sunt si,ectandae; attamen Perspicuum est, primo. Omnes esse lγositivas aulue proprie primitivas, secundo. omnes ad idem genus Pertinere, cuius character ex indole numeri M. i. e. ex ipsius rotationibus ad Singulos divisores primos ipsius D insuperquo ad 1 aut 8, quando hae sunt necessariaeὶ facile cognosci possit sart. 230J. Quum suppositum sit. 31 contineri sub sorma dirisorum ipsius a priori corti esse Ii sumus, huic charactori n Cessariomnus POS. Pr. Pr. formarum determ . - D respondere, etiamsi forsan expressioni V D mod. II in satisfieri nequcat: quum itaque hoc genus sit notum. Omnes classes in ipso contonino crui poterunt, quas sint C. etc., utque ipsarum complexus G. Patet igitur, singulas classes T. - etc. cum inqua Clasge in G identicus osse debere; fieri potest quoque, ut l,lures classes in o inter se. adeoque cum eadem in G identicae sint, et quando G unicum classem continet. ceris omnes in o cum hac convenient. Quare si o classibus C. C'. C' etc. la mae simplissima secto. Eliguntur. unae singulis): o singulis classibus in S una forma inter has reperietur. Iani si 2b H-era est serina in Classe E contenta, dabuntur duae repraesentationes numeri II per ipsam ad Im-lorem r Pertinentes, et xi una est X - m. y - n. altera erit X - - m. y -- n; unicus casus excipi debet. ubi D se l. in quo quatuor r Praesentationes dabuntur v. art. 180j. Ex his colligitur, si omnes repraesentationes numeri II per singulas formas fi ,s etc. investigentur sper methodum indirectam in pru c. traditam , atque

403쪽

hinc valores expr. V-D mini. M , ad quos singulas porti noni deducantur tart. 54 sqq.). omnes valores huius ex Pressionis indo obtineri, et quidem singulos bis. aut . si I l, quater. Q. E. F. Si quac sormae inter etc. rei aeriuntur. per quas M repraesentari nequit. hoc est indicium, ipsas ad nullam classem in pertinere, adeoque negligendas esse: si vero II per nullam illarum formarum

repraesentari Potest. necessario - D debebit esse non-residuum quadraticum ip-xius M. Circa has operationes teneantur ndhuc observationes sequentes.

I. MIγraesentationes numeri Iter formas sy' etc.. quas hic adhibemus. subintelliguntur esse tales. in quibus in determinatarum valores inter se primi sunt; si quae aliuo se offerunt. in quibus hi valores dirisorem communem μ habent quod tunc tantummodo accidere potest, ubi μμ metitur ipsum M. caerioque accidet. quando - DR ὶ: hac ad institutum praesens omnino negligi debent. etsi

alio respectu utiles esse possint. II. Ceteris paribus labor manifesto eo facilior erit, quo minor sest multitudo classium adeoque brevissimus. quando D cst unus o 65 numeris in art. 303 traditis, pro quibus in singulis generibus unica tantum classis datur. III. Quum binas semper huiusmodi repraesentationes ae m. y - n; X - -m, y - -n ad eundem Vulorem Pertineunt. Perspicuum est. Rumcero. si eas tantummodo repraesentationes considerentur. in quibus y positivus. Tales itaque repraesentationes diversae semper valoribus divorsis extar. -I mod. Mι respondent, unde multitudo omnium vulorum diversorum multitudini omnium talium repraesentationum prodeuntium aequalis erit semper excipiendo casum D - l . ubi illa huius semissis orit). IV. Quoniam, simulac alter duorum valorum OPPOSitorum F. - r. COgnitus est. alter sponte innotescit, otierationes udhuc stliquantum abbreviari possunt Si valor r obtinetur o repraesentatione numeri II per formam in classe C contentam. i. e. si G C; Valor OPPOSitus -r manis sis emerget e r Praesentations per formam, in classe ipsi C Opposita contentam, quae differens erit a classe . nisi haec est anceps. IIine sequitur. quando non omnes classes in G ancipites sint, e reliquis semissem tantum considerare oIHrtere. Puta e binis opimsitis quibusque unam, alterum negligendo, e qua valores iis, quos Prior supi ditavit. oppositos resultare iam absque calculo Praevidere licet. Quando autem C est anceps, ambo valores r Et - r simul inde emergent; puta. si ex C forma uno Ps

404쪽

racterque generis, in quo classes O ret,erientur. erit t. 4: Ra: Ieb: NT: Ni 3. In hoc genere unica classis continetur. o qua eligimus formam 6xae I H-229yν; ut omnes reIFraesentationes numeri II per hanc inveniantur. Ivinemus 2 aeq-y F. undo fieri do bit Iaae' - 455υ - 2 II. IIaec aequatio quatuor solutionos admittit. in quibus y cst positivus. Puta y 127. ,- - 10S3. y - 119. ae' - - 1213. Hinc Prodeunt quatuor mlutiones ac tu. Gaeae H-6υ--229Rν II. in quibus si visitivus.

405쪽

DUAE METHODI NUMERORUM FACTOREA INVESTIGANDI.

tiir 2350973; secunda Producit vetitorem oppositum - 235097S; tortili liuite 2600262, quarta oppositum - 2 sint 262. II. Si quaerendi sunt vult rcs cxpr. v - 286 mod. 1272943 - Mὶ . character genoris. in quo classos S contentae sunt. invenitur let T. 8: IN li: R ia: quare erit gonus Principalo. in quo tros classos continentur. Per formas i 0 2363. ll. 6. 2δὶ l i. -6. 23ὶ cxhibitae; ex his tortiam . utivite socundae oppositam negligore licet. Per formam a r--286yy dua r repracsentatione' numeri II inveniuntur. in quibus I positivus. Puta y - 103. .r illa. unde Prode intvuloros ex pr. prolΜ sitae hi l l 934 i5. - l49 ad 15. Per formam si 4. 6. 23 autem

v non repraesentabilis invenitur. unde concluditur. Pra eter duos Valores in votitos alios non dari.

III. Proposita expr. v -70 mini. 99733lὶ . classos G contonino osso do-hehunt in genero, cuius charactor 3 et 5, S: R 5: III; in hoc unica classis roperitur. cuius forma repra sontans haerer 5. 0. 34J. At calculo instituto invenitur. numerum 99733l per formam 5. 0. 14 non E sese repracseu tabilem. quamobrom- 70 necessario crit non- residuum qu. illius numeri.

329. Problema. uuinoros primos a comi visitis dignoscendi. hosque in sectoros suos primos resolvondi. ad gravissima ac utilissima totius arithmeticae Portinere. et go metrarum tum voterum tum recontiorum industriam uo sagacitatum D cupavisse. tum notum est, ut de hac re copiose loqui sulκ rfluum seret. Nihilominus satori oportet. omnos meth Os hucusque prolatas vel ad casuq valde specialos rostrictas esse. vel tam operOSM Ot prolixas, ut iam tiro numeris talibus. qui tabularum a vi ris moritis constructarum limitos non Oxcedunt. i. e. Pro quibus methodi artificiales Ruliervacuae sunt. Culculatoris Ptium exercituti tantientium satigon . ad maiores autem plerumque rix applicari I ossint. Etsi vero illac tabulae . quae in omnium manibus versantur. ut quas subinde adhuc ultorius continitatum iri si orare licet. in plerisque casibus vulgo Occurrentibus utique sussciant: tamen calculatori lwrito occasio haud muro se offert. o numerorum magnorum rosolutione in factores magna emolum lata capiendi. quac temporis dispendium mediocre largiter compotisont. Practoreaque scientiae dignitari requirere videtur, ut omnia subsidia ad solutionem problematis tam olegantis ac celebris sedulo excolantur. Propter hux rationes non

406쪽

dubitamus, quin duae mesiodi sequentes. quamm emcaciam ac brevitatem longa experientia confirmare possumus, arithmeticae amatoribus haud ingratao sint su- turne. Ceterum in problematis natura sun datum ost, ut methodi quaecumque continuo prolixiores evadant, quo maiores sunt numeri, ad quos applicantur; attamen pro methodis sequentibus dissicultates Portente increscunt, numerique e sePtem. octo vel adeo adhuc Illuribus figuris constantes Praesertim per secundam felici semper successu tractati su runt. omnique celeritate, quam pro tantis numeris X spectare aequum eου t. qui secundum Omnes methodos hactenus notas laborem. otiam calculatori indefatigabili intolerabilem, requireronti xntequam methodi sequentes in usum vocentur, sem Iaer utilissimum ost. di- risionem numeri cuiusque Proivisiti per aliquot numeros Primos minimos tontare. puta per 2. 3, 5. 7 etc. usquc ad is 'aut redhuc ulterius, non ROlum, ne Po niteat. talem numerum, quando dirisOrcst. per methodos subtiles ac artificiosas eruisse, qui multo facilius per solam divisionem inveniri potuisset ). sed etiam. quod tunc, ubi nulla divi sio succossit. applicatio methodi secundao residuis ex illis divisionibus ortis magno cum seu tu utitur. Itae. s. si numerus 3 4 159 265 in factores suos resolvendus est, divisio per 3 bis succidit. Posteaque etiam divisiones per 5 et 7, unde habetur 314l 59265 - s. 5. 7. 9973 al. sincitque numerum

9973al, qui lHr ll. 13. l7. is non divisibilis invenitur . examini sui, tiliori subiicere. Similitor proivisito numero 43429448. sectorem 8 nuscremus. meth dosque magis artificiales ad quotientem 542868l applicabimus.

330. Fundamentum an ODI PRIMAE est theorema, qu ris numerum positivum seu

nesativum, qui alius numeri M residuum quadraticum sit, etiam residuum cuiusvis divisoris ipsius M esse. Vulgo notum est, si M per nullum numerum primum infra divisibilis sit. certo M esse primum; si vero omnes numeri primi infra hunc limitem, ipsum II metientes sint p, q etc. numerum M vel ex his solis si insorumve potestatiburi compositum osso. vel unum tantum alium factorem primum maiorem quum implicare Posse, qui invenitur, dividendo ipsum M per p. qetc.. quoties licet. Designando itaque complexum omnium numerorum primorum insea UM exclusis iis, per quos divisio frustra iam tentata ost) lγor ut manifesto

'ὶ Eo magis, quod inter sex numer i genereliter loquendo. vix umιa per omnes I. I. I. . . s non di-Visibilis reperitur.

407쪽

Di AE METIIODI NUMERORUM FACTORES INVESTIGANDI.

sumet t. si omnos divisores primi ipsius M. iii u contenti. liubeantur. Iani si alicunde conStat . num rum alliquem r ni u-quadratum se residuum quadraticum ipsius M. nullus certo numerus primus cuius NR. ost r divisor ipsius M ossa poterit; quare ex 2 Omnes huiusinodi numeros primos qui plerumquo omnium semissoni sore cffeton tu olicore licebit. Si insul aer de alio numero non uadrato. r. COnxint. imum esse residuum ipsius M. e numeris primis in Q post primum exclusionem relictis iterum eos cxcludere Poterimus. quorum NR. est r. qui rursus illorum semissem sero conficient. si quidem residua r ct H sunt independentia, i. e. nisi alterum necessario Por se est residuum Omnium numerorum, quoruni r Siduum est alterum . quod eveniret, quando r esset quadratum . Ni adhuc alia residua ipsius II noti sunt. H. Q etc., quac omnia a roliquis Sunt indoPendentia' , cum singulis exclusiones similes institui possunt. Per quas multitudo numerorum in si rapidissime diminuetur, ita ut mox vel omnes deleti sint. in quo casu II certo orit numerus primus . vel tam pauci reston ι inter quos omnes divisores primi ipsius M. si quos habet. manifesto rotaerientur , ut dirisio I er ipsos nullo

negotio tontari lmssit. Pro numero missionem non multum Superante Plerumque Sex aut ScΡtem; pro numero DX Octo aut novem figuris con Stante, novem aut d cem exclusiones abundo suffcient. Ino iam sunt. do quibus agere oportebit, primo quomodo residua ipsius M idonoa et satis multa inveniri possint. deinde mao pacto exclusionem ipsam commodissime perficere liceat. Sed ordinem harum quaestionum in ortemus. praesorum quoniam secunda docebit, qualia ivitissimum residua ad hunc si nona sint comm R. 331. Numeros Primos quorum residuum eSt numerus datus r quem Iaer nullum quadratum divisibilem supponere licet . ab iis. quorum non-reSiduum est, sive divisores exPr. aeae - r u nondivisoribus distinguere. in . ut. IV copiose docuimus. scilicet omnes priores sub cortis huiusinodi sermulis rari-a, raH-bctc., nut i libus 4rz-Ha. 4rz-kbete. contentos esse. posterioresque sub aliis similibus. Quotiex r est numerus valde Iinrvus. exclusiones udiumento harum sormularum') Si productum e numeris quotcunque r. e. r' est. qu dratum est i quinque ipwrum e. s. r erit residuum euius di numeri primi nullum ex ipsis metientin, qui reliquorum Q r' eis. reriduum est. Ut igitur re. idua quotcunque tamquam indepecidentia eo siderari pomini, nullum prodactum nee e binis . nee e ternis est. quadratum e se oportet.

408쪽

Iiorconami de twrfici possunt; e. s. Paecludunili erunt omnes numeri formae 4a minudo r--l: Omnos numeri formarum Se 3 ct ε quando 2 etc. Υed quum non sonuier in liotestate sit, huiusmodi residua numeri tiropositi II invenire. ncque formularum applicatio Pro valore massio ipsius r satis commodii sit. ingens lucrum cst, laboremitust exclusionis mirifice sublevat. si pro multitudine satis magna numerorum rὶ twr quadratum non divisibilium tum iamsi ti-voriun tum n nativorum tabifla iam constructu habetur, in qua numeri primi. qu rum rosidua sunt illi singuli r . ab iis. quorum non reSidua sunt. distinguuntur. Tulis tabula Iaerindo adornari poterit ac staecimen ad calcem huius o ris adiectum stipinquo iam descritatum; scit ut ad institutum praesciis utilitatem satis um-

Illam Praestet, numeri Primi in margino laositi moduli longe ulterius puta Malismusquo ad 1000 aut ad 10000 continuati esse debent, Pructoreaque Conanainlitas multum augetur, si in sucio otiam numeri cou lositi et negativi recipiuntur . etsi hoc non sit absoluto nocessurium. ut e S t. I PDrSPiguum est. Ad Summum uu-lcm commoditatis sustigium usus talis tabulae evelletur . si singulis columellite verticulus. o quibus constat. exsecutitur lamellisque aut baculis Xei,orianis similibus Glutinantur. ita ut eae. quae in quovis Cusu Sunt uCCERSarine l. e. quae nu-na ris r. r. r etc., residuiη numeri Propositi ui factores resolvendi, reςponderit. separatu examinari possint. Quibus iuxta tabulae columnum I rimam squae mi dulos sex hibet) rite liosius. i. e. ita, ut loca Singulorum baculorum eidem numero primo columitae primae respondentium ι um hoc in directum luceant, sive in o

dum linea horimitiali siti sint: manifesto ei numeri primi, qui post exclusiones

cum residuis r. r. H. OX u remanent, per Solam inspectionem immediuto cogno ci laoterunt. nimirum hi convenient cum iis tu columna Prima. quibus in omnibus haculis adiacentibus liueolae respondent. reiici quo debent omnes, quibus in ullo huc illo si, alium vacuum uillucet. Ilar exemplum linoo Austicienter illustrabun

residua ipsius 99733 l. consociandae erunt columnu Prima quae in luΜ casu usque ad 997 contiuuata esse debet, i. e. usque ad numerum Primum P ximo minorem quam us 97333ὶ ut lue lamelluP. in quarum facie numeri -6. H la etc. Sunt suprascripti. Ecce partem Schemutis hoe modo Prod unus

409쪽

etc.

est.

4uemadmodum hic ex sola inspectione cognoscitur, ex iis numeris Primis, qui in hac schematis parte continentur. solum i 27 post cxclusiones cum ri sidui, - 6. la ore. in v rolinqui. ita schema intomum usque ad 997 cxtensum ostendit. omnino nullum alium Ox u romatiore; divisione autem tentatu. 9973 il per l27 revera divisibilis invonitur. Hoe ita tuo modo illo numerus in factores Primi Νi 27 μ TS 5a resolutus habetur . iterum ex linc expositione abunde colligitur. Pruosurtim utiliu ussu re,iduunon nimis magna, uut saltem in factores Primos non nimis magnos resolubiliv. quum tabulac auxiliaris usus immoeliatus non ultra numeros in facie positos Pateat, ususquo miniatus talos tantum complectatur. qui in factorcs in tabula inuitonios resolvi possunt. 332. . d inveniunda residua numeri dati M tres inutivulos diversius tradumus. iuurum expositioni duas obsorvationes liraemittimus. quarum vilium 'nto O re,iduis minus idoneis simpliciora dorivari ii sunt. Primo. Si riumuruq akk Peripia iratum kk divisibilis quini ad II lirimum esse supponitur; cst residuum il3Aius M. etiam a crit residuum: liri Pter hanc rationem μηidua laur mi uti', Auctor apparatum satis amplum tabulae hie ideseriptae. quoni ait usum suum toti truondum currevit. Publici iuris lubenter si pauetina eorum, quibu u ui e se potis,t. sumtibus tali A incepti su tentandi umueret. Si quis interea arithmeticae amator, principiis probe penetratia . proprio marie talem tabulam iabicondrre optat, auctor magnae voluptati sibi ducet, omnia eum Do emolumenta ae artificia p.r liter an eommunior .

410쪽

quadrata divisibilia aeque utilia sunt ac I arva: omitiaque residua per methodossoquentes suppeditata a fractoribus suis quadratis statim liberata suI,ponemus. Secundo si duo pluresve numeri sunt residua. otium productum ex ipsis residuum erit. Combinando hanc observationem cum Praec . . Iaerane Pe e Pluribus residuis. quae non omnia sunt satis simplicia, aliud admodum simplex deduci postst, si modo illa multos factores communes implicant. Hanc ob caussam talia quoque

rosidua valde Bunt opportuna, quae e multis factoribus non nimis magnis com-Iκ sita sunt. convenietque omnia statim in suctores suos resolvere. Vis harum obsorvationum melius per exempla ustimque frequentem quam Per praecePin Per-eipietur.

I. Methodus simplicissima, iisque. qui iwr lioquent m sexercitationcm iani utiquam dexteritatem sibi conciliauserunt, commodissima, consistit in eo, ut Maut generalius multi liliam quodcunque ipsius II quomo locunque in duas Inlrtes docomponatur kM a -b sive utraque sit positiva sive altera Imsitiva altera negativu). quarum Productum signo mutato erit residuum ipsius II: crit enim - ab - aa-bb mod. II). adeoque - ab RM. Numeri a. b ita accipiendi sunt. ut Productum per quudratum magnum divisibile quotiensque vel parvus vel saltem in factores non nimis magnos resolubilis ovadat. quod sonat,or non dissicile ossici poterit. Imprimis commendandum est, ut pro a accipiatur vel quadratum. vel quadratum duplex. vel triplex etc. a numero II numero vel parvo vel in

II. Mothodus secunda et tertia inde Potuntur. quod . si duao lamae binuriae A. B. Cl. B', σ) eiusdsm determinantis II. aut -II. aut generalius in s M. ad idem genus pertinent, numeri A C. AG, AC sunt residua ipsius hoc nullo negotio inde i erspicitur, quod numerus quivis characteristicus

unius formae, puta m. etiam est numerus Char. alterius. adeoque m A. m C.