장음표시 사용
411쪽
DUAE METRODI NUMERORUM FAGORES INVERTIGANDI.
ma. m ς' omnes residua ipsius kM. Si itaque p. b. a 4 est forma reducta determinantis positivi M aut generalius kM. atque M'. R a ). M'. Γ, etc. formae ex ipsius periodo . adeoque ipsi nequivalentos et a potiori sub eodem genero contentae: numeri aia, a a . aia etc. Omnes erunt residua ipsius M. Computus
multitudinis magnae formarum talis Ileriodi facillimo adiumento algorithmi art. 187 instituitur: residua simplicissima plerumque prodeunt statuendo a - l; ea quae saetores nimis magnos implicant. crunt reiicicnda. Ecce initia periodorum krmarum t. 998. - 1327ὶ ct l. 1412. -9l8ὶ . quarum determinanteR sunt 99733l. 199 4s62:
Sunt ituque i Sidua num ri 99733l omnes numeri - 1327. 670 etc. : negligendo autem ea. quae factores nimis magnos implicant, haccco habemus: 2.5 67, 37. 13. - 17. 83. - 5.11.13. - 2.3.l7. - 2.59. - 17. 53; residuum 2.5.67. nec non hoc - 5. l. quod e combinatione tertii cum quinto evolvitur. iam Supra eruoramus.
III. Si C est classis quaecunque formarum det. neg. - M sive generalius - kM. a principali diversa. ipsiusquo periodus haec 2 s. 3C etc. t. 307ὶ: clas-Sos 2C, 4 C etc. ad genus principale pertinebunt; hae vero 3 C. 5 eis. ad idem genus ut C. Si itaque M. b. o est forma bimplicissimal ex C atque M. b. ei rma ex aliqua classo illius periodi puta sx n C. erit vel a. vel a a' residuum ipsius M. prout ri par vel imitar in casu priori manifesto etiam e . in posterioriae. cu' et μ' . Evolutio periodi. i. e. formarum simplicissimarum in ipsius classibus. mira lacilitato perficitur, quando a est valde parvus, praesertim quando est 3. quod semper emcere licet. quando 2 mod. al. Ecce initium
periodi classis, in qua est forma 3. l. 332444)
412쪽
l Illic Iironiaiiant residua inutilibus rei octis 3 476. l027. l0S5. 42b sive tollendos actores quadratos 3.7.17. 13.79. b. 7. 3 l. i T. e quorum combinatione apta cum octo residuis in II inventis facile eruuntur duodecim sequentiu - 2. a. la. - 2. T.
quibus in art. 33l usi sumus. Adiici i otuissent residua tu et - 29. si ea quoquo in usum vocare voluissonius. quae in I reperta sunt: reliqua illic cruta ab iis quae hic evolvimus iam sunt depondentia.
mira ut 8 Arari NDA . numerum datum M in factores resolvendi. twtitur o Gn,ideratione valorum tulis ex pr. V-D mod Mi. observationibusque sequentibus innititur. I. Quando II cst numerus Primus aut potestas numeri primi imparis ipsumque D non motiuntis l. orit - D residuum vel non-residuum ipsius M. prout M vel in forma divisorum vel in forma non-divisorum ipsius continetur . et in casu Priori cxpressio xt D mod. IIJ duos tantummodo valores diversos habebit. qui oppositi crunt. II. Quando vorO M ost compositus. Putu -ppstotc.. designantibus ρ, ν. I etc. numeros Primos di Versos impares ipsumque D non nacticii insin aut talium numerorum Iiotestates: - D tunc tantummodo residuum ipsius II erit. quando est residuum Singulorum p. IH p etc.. L e. quando hi numeri omnos in
multitudo fiet 2 ρ. designante μ multitudinem numerorum p. p .p etc. Quodsi itaque hi vult res sunt Ic. - Ie. R R . R etc.. silonis crit R N Secundum omnES p. p si' etc., sed secundum nullos R - - R. unde divisor ire minuitis
413쪽
maximus numeri u cum R-R orit M. ct i div. comm . max. ipsius II cum R- - Γ; sed valoros duo nec identici nec opi siti ut R ot R' nocessario unum Plur vo numerorum p. H IV etc.. neque Vero Secundum Omneη, congrui erunt,ot S cundum reliquos Γ- - Γ': hinc illorum Productum crit divisor communis maximus numcrorum II et K - Π productumquc horum d. c. m. ipsorum Iset RH-R'. Uine lacilo Aequitur, si omnes divisores communes maximi ipsius II cum disserontiis inter singulos valores Oxpr. V D in . IIJ atque aliquem viil
rem datum computentur. liorum complexum continero numeros l. Iλ. p . p' Ct '. ut lue omnia Pr utra e binis, tornis etc. horum numerorum. Hoc itaque modo eratoribus illius cur Aioniar numeros p. p p etc. eruere licebit. Uctorum quum methodus art. 327 singulos hosce valores ad valores expro
sionum huius sorinuo P in . Mi reducat. ita ut denominator n ad II primussit: ad institutum praesens ne nocessarium liuidem DSt. has iΡΝns computare. Nam div. comm . min. numeri II cum differentia inter N et Γ'. qui cum nveniunt, munifesto etiam erit diu. comm . mnx. ipsorum II ot nn i R - Γ' .sivo ipsorum II et mn' - m n. quippe cui n n' R - Γ ὶ secundum modulum II
Applicatio observationum praeco. ad probloma. de quo agimus, duplici nuulo iustitui potest; prior non solum docidet. utrum nurneriis propositus II lγrimus sit an compositus. sed in hoc casu etiam iactorcs ipsos suppeditat; posteriornutom Oatenus PraPsint, quod Plerumque calculum expeditiorem I Hrinittit. sed laetores ipsos numerorum compositorum . quos quoque a primis protinus distinguit, interdum non profert, nisi Pluries reIwtatur. I. Iuvestigetur numeruκ negativus - D. qui sit residuum quadruticum ipsius II. ad quem linum methodi in nrt. 332 sub I et II truditae adhiberi lvit rimi. Per se quidem arbitrarium est, quidnam residuiam eligatur, nequc hic ut in methodo Praco. Opus est . ut D sit numerus Ilurvus; sed calculus co brevior erit. quo minor est multitudo classium formarum binariarum in Singulis generibus Pr. Pr. det. - D contulitarum; quamobrem imprimis talia residua. quao intur 65 numeros art. 303 continentur, si quae so osserunt. opportuna erunt. Ita Pro II - Η9733l ex omni bres residuis negativis supra erutis hoc - tu 2 maxime 52
414쪽
idoneum essot. Eruantur omnes valores diversi expr. V-D mod. II : quodsiduo tantum proxeniunt oi positi . Is certo erit vel numerus primus vel numeri primi 1κ testas; si liliares, puta 2 II compositus crit ex μ numeris Primis, aut primorum Potestatibus, diversis. qui factores Por methodum art. Praec. erui Poterunt. Utrum voro hi sectoros numeri primi sint an Primorum potestates . tum γ)r so sacillimum erit durnoscoro: tum etiam via ipsa. Per quam Valores e Pr. -υ inveniuntur, omnes numeros primos, quorum Potestas aliqua ipsum Mnictitur. simitte indicat; scilicet si II divisibilis ost per quadratum numeri primi ille calculus certo Otiam unam pluresve repraesentationes tales numeri M. II amm 2bmn-cnn. produxerit, in quibus dirisor comm . m . numer rum m. n est iet sol quidem ideo. quod in hoc casu - D etiam cst residuum ipsius - . Quando vero nulla repraesentatio prodiit, in qua m et n divisorem communem habent, hoc certum indicium ost. II per nullum quadratum divisibilem esse adeoque omnes p. p. IcctC. numeros Primos. . I er methodum supra traditam inveniuntur quatuor valores CXPr. v - 408 smod. 09733lὶ cum valoribus harum convenientes: di-vbsores communes maximi 99733l eum his 3.1664 - 1 13. 28 24 ot 3.1664-μl l 3. 28 24 sive cum alit 20 ut 32li 04 eruuntur hi 7853 et 127. undo 997331- l27. 7853. Ut Supra. ΙΙ. Accipiatur aliquis numerus negati rus - D talis, ut Is contentus sit in forma divisorum ipsius aeΣ - - D; per se arbitrarium est, quis huiusmodi numerus eligatur, sed commoditatis caussa imprimis videndum est. ut multitudo elassium in genoribus det. - D sit quam maximo parva. Cotorum inventio talis numeri nulli difficultati obnoxia ost. si tentando adeatur; nam Pleruntiliae inter multitudiuom transidorabithm numerorum tentatomim pro totidem sero II in sernia dirisorum continetur, ac in forma non divisorum. Quam maxime e re erit, tentamen a 65' numeris art. 303 inchoare set quidem a maximis . et si eveniret . ut nullus idoneus esset quod tamen genoraliter loquendo inter 16384 casus semel tantum accidit . ad alios progrodi. ubi classes binae in singulis generibus continentur. Tunc investigentur valores DNPr. ρ- D m . 3 . et si qui inveniuntur. suctores ipsius II prorsus codem modo inde deducantur ut supra; si vero nulli valores prodeunt, adeoque - D cst non-residuum ipsiuη II. certo 31 neque numerus primus neque numeri primi potestinas esse poterit. Quodsi in hoc
415쪽
casu factorcs ipsi dosiderantur, vel Pandent operationem repetore opori t. ali OS VR-lores pro D accipiendo. vel ad methodum aliam confugere. Ita e. s. tontamine secto 9973al contentus invenitur tu sorma non-divis rum ipsorum a XΗ- 1365. XX in l320, sed in forma divisorum ipsius a X ε Sl0; pro valoribus ex Pr. V-S40 mod. 997aalὶ prodeunt ex pr. unde iidem factores deducuntur ut ante. Si quis plura exempla desiderat. art. 328 consulat. ubi primum docet osse 54286Sl - 307. 7683: Secundum. 4272943 osse numerum primum; tertium. 99733l certe e pluribus primis
riserum limitos huius operis praccipua tantum momenta utriusque methodita tores investigandi hic exsequi permiserunt: disquisitionem uberiorem una cum pluribus tabulis auxiliaribus aliisquo subsidiis alii occasioni res rvamus. 52.
416쪽
Inter lucrolitentu sploiulidi SNima. nintlicsi per recontioruni labores Micctii. thseortu iunctionum a circulo penitenti uin lirocul dubio locum imprimis insignem tenet. Cui mirabili iiii antitatum geucri. ad quod in disquisitionibus maximo ho-ti rogoneis saepissimo deserimur, cuiusque subΚidio nulla univcrsau InatheS 8 l ars inrcro IM tost. Summi geometrase recontiores industriam sagacitatemque suam tam assiduo imponderunt, disciplinamque tam vastiam inde efformaverunt. ut Parum exst octari potui,sol. ullam huius theoriae partem. nedum clementarent atque in limine quasi Iκ sitam. gravium udhuc incrementorum en Pucem cs8e. I κλquor de theoria lanctionum trigonometricarum . arcubus cum i eriphoria commensurabilibus roSI ondentium, sive do theoria I Olygonorum regularium. Cuius quam Parva pars hucu8que onu leuta sit. Sectio pracsens patefaciet. Mirari Ivissent lociores. talem disquisitionem in hocce potissimi ina opero. dis nPlinae primo uSlaectu In xime hetero nono imprimis dicato. institui; sed tractatio ipsa abundo declarabit. quam intimo nexu hoc argumentum cum urit limotiea sublimiori coniunctum sit. 'oturum Principia theoriae, quam exponere V Ddimur. multo latius pulcnt. quam hic cxtenduntur. Namque non solum ad functioncs circulares. Sed pari si
417쪽
cessu ad multas alias functiones transscondentPS nPPlicari POSSunt. e. s. ad eas. quaPal, intcgrali iunident, Pra tereaque etiam ad varia congruentiarum g nera: sed quoniam de illis functionibus transscondontibus amplum opus P Culiare Paramus, de congruentiis autem in continuaticino disquisitionum arithmeticaraim copiose tractabitur. hoc loco Molas sinctiones circularcs considoram visum ost. Imo has quoquo. quiis summa generalitato amplecti liceret. Per subsidia in nrt. sq. exivinenda nd casum simplicissimum roduconius . tum brevitati consulentes, tum
ut principia plane nova huius thooriac eo facilius intelliguntur.
Designando circuli periphoriam si vo quatuor unguli S roctos per I . SuPIn Iiendo luct m. n CSNe integrori. ut luo n productum e sectoribus inter se primis a. b. c Dic.: angulus Α-- Per Rrt. 3l0 sub hanc formam reduci potest A in ι ----How.ὶ P. iunctionosque trigonometrieno ipqi roςl, dentos o lanctionibus ud Partes otc. portinentibus Iler methodoη notas doduc uitur. 4uoniam itaque I ro a. b. e ct C. numoros Primos aut numerorum Primorum Iri testates accitHro licci: manifesto suffcit. Sectioncm circuli in I artos. quarum multitudo ost numerus primus aut Primi I Olcstas, Considerare. Polygonumque n latorum e Polygonis a. b. e etc. latcrum Protinus habebitur. Attamen hoc loco di ciuisitioncm nil um casum rostringemus . ubi circulus in i,artes dividendus est. quarum multitudo est numerus Iirimus sim Imr . sequenti liraesertim ratione inducti. onstat. sunctiones circularcs angulo z respondentes o lanctionibus
ad itertinentibus per solutionem acquationis gradus dorivari. et perinde ex illis i or nequatit nona uoquo ultum functiones nil itertinontes etc. . ita ut . Ni Polygonum p laterum iam habuntur. ad determinatio nona pol moni ' laterum n Cessario solutio λ- l nequationum p ' gradus requiratur. Etiamsi vom si e riam sequentPm ad hunc quoquo casum extendere liceret, tamen hac via non minus ad totidem ase luatio nos p gradus delaboremur, quae. Si quidem p est nume rus primus, ud inscriores dolFrinii nullo modo Imssunt. Ita e. s. infra osten lotur. Polygonum 17 latorum geometrice construi I Fosse: sed ad doterminationem polygoni 289 lutorii in acquutionem lT udus nullo modo evitare licet.
418쪽
DE AEQUATIONIBUS CIRCUM RECTIONm DEFINIENTIBUs. Aequatio a pro funetionibias Disonometrisis armum, qui eunt para avi paries totiua yori erisor duello Itinet ianua trigonometriearum ad radisos aequationis o.
337. E PSatis constat. lanctiones trigonometricas omnium angulorum - . denotando per k indefinite Omnes numeros 0. l. 2. . . n-l, per radices aequationum n
gradus exprimi, puta sinus per radices huius h
harum aequationum, pro eo quidem casu. ubi n est numerus Primus, hactenus non habebantur. Attamen nulla harum aequationum tam tractabilis et ad institutum nostrum tam idonea est, quam haec P-l - 0. cuius radices cum radicibus illarum urctissimo conn as Esse constat. Scilicet. Scribendo brevitatis caussa i pro quantitate imaginaria V- l. radices aequati ovis P -l 0 exhibentur Per
419쪽
ubi pro k accipiendi sunt Omnes numeri 0. l. 2. . . n - 1. Quo ima quum Sit - - cosa ι aequationis I exhil, buntur per - r-sivo peri ' radices a quationis II per denique radices nequationis III itor Hanc ob caussam disquisitionem considerationi aequati nis U-1 - 0 RuINrstruemus. ipsum n esse numerum Primum imparem suPP nendo. Νc vero investigationum ordinem interrum perse oporteat. seqvsens lemma hic praemittimuR.
a 38. Ι'ROBLEMA. Datia aequatione
IVὶ . . . Az -- etc. - 0. invenire aequationem I, J. cuius radices sint potestates λμ' radicum aequationis IV . sisnante x ea ponentem inteyrum positivum datum. Sol. Designatis radicibus nequationis Π lier a, b, c etc., radicos aeqv. IV' esse debebunt a '. b . ore. Per theoroma notum Nowtovianum e c mcientibus aeqv. IV invenire licet aggregata quarumlibet potestatum radicum a. b. eost. Quaerantur itaque summaeotc.. a' in otc. etc. usque ad a--μι -- - etc.
undo via in vorsa per idem thoorema codificientes uequ. IV deduci poterunt. Q. E. F. Simul hinc liquot. si omnes cocyssicientes in IV sint rationales. Omnes quoque in II ' rationatos evadere. Alia iiuid in via prohari imisest. si illi Omnes integri sint. etiam hos omnes intcgros fiori; huic autem thoorcinati. nd institutum nostrum non tam nec Sintio, hic non immoramur. a 39.
420쪽
I,E AEQUATIONIBUS URCUM SECTIONES DEFIXIENTI BIS.
denotabimus. Si itaque r est radix quaecunque ex P. Orit 1 - otc..et generalitor r ' - 1 pro quovis valore intomo ipsius e. positivo suu negativo; hinc Iκ'rspicuum ost. si λ. μ sint intogri secundum n congrui. fore in νη. Si vero λ. μ S c. min. n incongrati Sunt. ct re inaequatus erunt: in hoc enim casu integer v ita accipi luatost. ut fiat λ - μὶ, l mod. f. unde r. nilomure certo non I. Porro Patet . quamvis lκ,tostatem it, si us r otium radi Om ne tu. α - l u esse; quocirca quum quantitatos i ). r. re . . r omneς sint diversae, lino exhibebunt omnes radices aeqv. a -l - 0. et Proin hae r. rr. P ... ' cum v coincident. Facile hinc generalius colligitur . uconvenire cum H, H , H . . . r,' in . si e sit intcger quicunque Pur n non divisibilis. imsitivus sola noxativus. Erit itaque unde
huius a qu. quomodocunquo conflatum . per in exhilwri poterit. ita ut λ sit vel D. vel imsitivus et et n. Designando itaque per sunctioncm ut timicam rationalem intcgram indeterminutarum t. v. v est.. qualom Por Rummam in-lium partium exprimem licet: munifestum est. Si Pro t. v. v etc. quia dam e radicibus aeqv. x -l -0 substitunntur, Puta t a. v - b. v - ceae
a. b. c. . . t sub formam reduci posse. ita ut codfficiuntos l. a rore. e quibus etiam nliqui deesse adeoquo in v fieri ivissunt sint quantitatos determinatae, insuperque omnes hos indificientos integros fieri. si omnes cocilicientes determinati in F t. v. v. . . . i. e. Omnes