장음표시 사용
421쪽
quae tiropositio maximi est momenti. sundamentumque disquisitionum inquentium constituit. Hinc sequitur otiam P l. l. l. .. *μ', b c'. ..ὶ - Α - . 1 ΦΛ' - ...H- . '
F a. b. c...ὶ - - P aa. bb. cc. . b . H. . .) - . . . in F a'. ν', es. . . n Aquae itaque summa semper fit integra per n divisibilis, quando omnes codfficientos determinati in F t. v v. . . in Sunt intcgri.
TvEoam . Si functio X per functionem inferioris fradus P - A.r' in B.δ' - - . . . in Kae in Lest dirisibilis. coesscientes A. II ... Lis omnes inteyri se nequeunt. Dem. Sit X P Q. atque I complexus radicum aequationis P u. D comissexus radicum a quationis Q - 0. ita ut u constet sex et C simul sumtis. Porro sit ist comi lexus radicum ipsis reciprocarum. E complexus radicum ipsis C reciprocarum. sintque radices. quae continentur in N, radices uu- quationis Γ - 0 quam fieri u facile persiit citur , Cainlue quae continentur in E radices uoquationis S - 0. Manisost otiam radices N et E iunctae complexum sa officient. ac orit RS - X. Iam quatuor casus distinguimus. 53
422쪽
I. Quando convenit cum N ad quo P - R. In hoc casu manifesto hinas sona per radicos in I reciprocae erunt. adeoque P productum ex t λ. factoribus uilibus duplicibus aer - 2ae cosisH- 1 ; quum talis factor sit - ν - Osio 'sin iis . facile iterspicietur, P pro valore quocunque reali ipsius ae noceSsario
uniorum mulum Imsitivum obtinere. Sint nequationes. quarum radicos sunt quadrata, cubi . biquadriita . . . Potestates n-1 radicum in I resp. lino P -0. P D, P ' 0. . . . P 0. Sintque valores lanctionum P, P, P . . . D. quos Obtinent Statu ndo a resp. p. p. p ... p . tunc I er ante dicta P orit tuantitas positiva et prorsus simili ratione etiam p . p otc. ivisitis ac serunt. Quum
l. v. v etc. radices in is valor eiuSdom, Statuendo Pro t. v, v otc. quadrata illarum rudicum etc., insuperque valor Pro t - 1. v I. v - 1 etc. manis sto fiat 0: Summa PH-ρ --p ... - is orit integer per n divisibilis. Practorca facile perspici Otur. Productum P P P . . . fieri in adeoque psi . . . - n .
Iam si Ouinos Cociliciolitos in P rationales essent, omnes quoque in P P eris. Per art. 338 rationesus evaderent; per art. 4 2 autem cuncti hi coirim dii latosncccsstreio forciat intcgri. II inc etiam p. H p etc. omnes intcgri larent, quoruml roductum quum sit n multitudo vem n - 1 λ. necessario quidam ex ipsis saltona n- 1 -u osso debebunt se l. reliqui vero ipsi νι vci potestati ipsiusn aequales. QuodSi itaque est eae ipsis sunt i, Summa pyetc. muli susto orit, mod. νιὶ udooque certo per νι non divisibilis. Quare supivisitio
II. Quando I et M non quidum coincidunt. nitamen quasdam radicos Communes continent, sit T harum complOXus atque Τ - 0 aequatio, cuius radices sunt. Tunc Τ orit ili 4wr communis maximus functionum P. N ut e theoriaue iuutionum conStat . Manifesto autem binae semper radices in T reeiprocae erunt. unde twr iunio demon Strata Omnes coossicientes in P rationales csse ne tu unt. Hoc vero certo eveniret, si omnes in P adeoque otiam omnes in E rati nates ESSent, ut e natum Olκrationis, divisiorem comm. min. investigandi sponto sequitur. Quare suppositio est absurda. III. Quando C et is vel coincidunt. vel saltem radices communes impli-Cant. Prorsus eodem modo omnus eodificientes in Q rationales esse nequcunt; fierent vero rationales, si omnes in P rationales essent; hoc itaque est impossibile.
IV. Si vero neque I cum N noque T cum 2 ullam radicPm commu-
423쪽
nona habet, omnes radices nocosqario reperientur in S. omnosque C in M. undo serit P - et Q - Γ. uamobrem X PQ orit productum ex Piii R i. e. Ex uda r . . . in K.r in L in .r -.δ' ' . . . in .r in 1 unde statuendo .r se l. iii
In in si omnes codifici clitos in P rationales. ndomno per art. 12 otiam tuu ri essent. L qui coiJnicientem ultimum in X h. e. unitatum metiri deberet. n ossario foret i l. unde n esset numerus quadratus. uod quum h34 othesi re-Pugnet, SuPPOSitio consistere nequit. Ex hoc itaque theoromato liquet luomodi cunque X in factores rusOlvatur. horum codssicionios partim saltem irrationatos fieri, adeoque alitor . quam ivir nequationem elevatam. determinari non posse.
Propositum disquisitionum sequentium, quod paucis declara fisso haud inutile erit. eo tendit. ut X in saetores continuo plures GRADATIM resolvatur. Ot ipli- dum ita. ut horum cinnstici ontes Por nequaticlites ordinis quam infimi determinon-tur, usque dum hoc modo ad sactorcs simplices sive ad radicos 2 ipsi porveni n-tur. Scilicut Ostendemus, si numerus n-l quomodocunque in factorcs integros a. l3. I etc. resolvatur pro quibus singiuis numeros i rimos accipere licet). X in a factores dimensionum resolvi posse. quorum coustici ontes IUr aequationem α gradus determinentur: singulos hos factores iterum in o alios dimensionum adiumento a quationis 6v gradus cic. . ita ut designante v multitudinem lactorum α. 6. I etc. inventio radicum sa ad resolutionum v acquutionum
6 3. γ otc. gradus roducatur. E. s. pro n- l7, ubi n-l - 2 2.2.2. quatuor nequationes quadraticus solvero olvirtebit: Pro n-V3 tres quadraticus duaSque cubi Cm. Quum in sequentibus persa IM talos Imtestatos radicis r considserandae sint. quarum exponentes rursus sunt dignitates. huiusmodi expressiones autem non
sine molestia typis describantur: ad facilitandam impressionem sequenti in po-53 -
424쪽
DE AEQUATIONIBUR CIRCUM RECTIONEA DEFIXI TIBUS.
Atoriani abbreviatione utemur. Pro r. rr. Dic. Scrilκ mus ti J. 2J. f.ιJ otc.. norali torque Pro . donotante x integrum quom cunque. IV. Tales itaque Ox- Pressiones Penitus determinatae nondum sunt, scd fiunt, simulac pro r sive ita radix determinata ex 2 accipitur. Erunt itaque generaliter L . M aequales vel inaequalos. Prout λ. μ Secundum modulum n Congrui sunt vel incongrui; porro
uci u vel n. prout λ Dor n non divisibilis est vel divisibiliq.
343. Si, Pro modulo n. y est numerus talis. qualem in Sect. III radicem primitivam diximus , n-l numeri l. s. yy . .. y his l. 2, 3. . . n - 1 SPCundummo l. n congrui erunt. etsi alio Ordine, imia quivis numerus unius seriei congruum habebit in ultera. Hinc sponte sequitur. radices Ll'. L . iv l . . DC Vcum v coincidere: et prorsus simili modo generalius Cum fucoincident. designante k in ingrum quemcunque por n non divisibilum. Porro quum sit s in .n . nullo negotio perrepletetur, duas radices λy''. ω 'idontica η vel diversas osso, lirout μ. v secundum n-l congrui sint vel incongrui. Si itaque G est alia radix primitiva. radices fi J. VJ . . . t etiam cumliis flJ. convenient. si ad ordinem non respicitur. Sod Praetorea sucile probatur. si e sit divi8or ipsius n - l, atque Ponatur n-l V. y h. etiam i numeros l. h. his l. II. secundum n congruos esse siue respectu ordinis . Nupimnamus enim G s Od. n)Sitque μ numerus arbitrarius 1κ, sitivus et in f atque u residuum minimum ipsius μω inod. ). Tunc orit ue - μω e mod .n - l). hinc y si mod .n .sivo I h . i. e. quivis numerus Posterioris seriei 1. II, II ' etc. congruum habebit in sorte t. h. hh . . ., et perinde vice Versa. Hinc manifestum eSt.
generaliusque Dodem modo facile Ipersilicietur,
425쪽
non mutetur accipiendo Pro s aliam radicem primitivam. tamquam indoliendensa st considerandum est. I wr j. η designabimus; earundem radicum comat Tum vocabimus periodium n, ubi ad radicum ordinem non respicitur ' In e Ilibenda tali I,Driodo o ro crit, singulas radices. e quibus constat. ad cxprcssionem simplicissimam r ducem. Puta lim numeris λ. λ h. λhh etc. residua minima sec.mod. n Substituere. secundum quorum magnitudinem . si placet. etiam iteriodiliarios ordinari livit erunt. E. s. Pro n-l9. ubi 2 cst radix primitiva. I eriodus 6. lj constat e
344. Circa huiusmodi i seriodos statim se offerunt observationes sequeutes:
indicibus constantes squalos similes diccinusὶ ullam radiconi commvnom habent. manisos in idonticae crunt. Quare fieri nequit, ut duase radices in aliqua periodo simul contineantur. tu alia simili vero una carum tantum re Iieriatur; IMITO Putet .
si duae radices V. VJ ad eandem periodum s terminorum Pertineant. valorem extir. ς mod. nὶ alicui Potestati ipsius h conmium csse. sive SuPIunii P asso v - λy mod. H. II. Si f - νε- l. e l, Periodus in, lὶ manifesto cum v coincidit: in reliquis vero casibus u cx e periodis in. iὶ f. yὶ, γ, sy, . . . in. 9' ' compositus erit. Hae periodi itaque omnino inter so diversae erunt, patetque. quamvis aliam similem periodum si u cum harum utiqua coincidere, siquidem V ad u laertineat. i. e. si λ Per n non divisibilis siti Poriodus is autum aut in. k1M manifesto ex f unitatibus est comi Osita. Aoque lacile Perspicitur.
'ὶ Amregatum in sequentibus etiam periodi valorem numerieum voeare limat, aut impliciter periodum, ubi ambiguitas non metuenda.
426쪽
III. Si n - 1 est productum e tribus numeris Positivis a. b. e. manifestum est . quamvis Periodum b c terminorum ex b Periodis e torminorum compositam
Tmo ΜA. Sint f. u. f. se duae periodi similes, identicae aut dirersae. constetque t f. u e radicibus I9q. xl i. J etc. Tune productum eae in. M in s f. Merit Myroeatum s periodorum similium puta
Dem. Sit ut supra u-l - σοῦ s radita primitiva pro modulo n. atque
quac expressio omnino Π radicos continet. Quodsi hic singillae columnae vomticales Scorsim in summam colliguntur, manifesto prodit
quam eXPressionem cum IV convenire nullo negotio perspicitur. quum numeri λ. v. V cte. per hyp. ipsis λ, λ h. λhh . . . λι Secundum modulum n congruiosso debeant quonam ordino hic nillil interest) adeoque etiam k--μ. ΓΗ-μ λ --μ etc. ipsis λ- - μ. λ4-μμ, λhh--μ . . . λh- H-μ. Q. E. D.
427쪽
II. duum singulau partes, e quibus IV constat, vel cum ii rogato in. 0 . quod est f, vel cum uliquo ex liis j. l). γ, yj. F. yri . . . f. f 'in conveniant. IV ad sormam soquentum reduci poterit
Posse, et codilicientes c. dotc. integros ac positivos sive 0ὶ evadere, insu-Porque Pro Valoro quocunque integro ipsius k fiori
Perinde hoc theorema ad producta e Iieriodis similibus quotcunquo extuliditur nihilque interest. sivo hac periodi omnes diversae sint. Sivo partim aut cunctae idonticae. II . Hinc colligitur, si in functione quacunque ni braica rationali int graF t. Pro inde torminatis t. v. v etc. resp. substituuntur Periodi similes j, λὶ f. μὶ. f. v etc.. eius valorem ad sermum
roducibilem esse, coefficientesque A. B. B etc. omnus integros fieri, si omneso meientos determinati in F sint intom: si vero lUSteu Pro t. v. v Utc. TU SP.
428쪽
ntur; haec annotatio manifesto etiam ad acqu. Ι extenditur. Si modo λ Per nnon divisibilis accipiatur. Supponamus in μ) Isi; facillimo cuim perspicietur, si j. μὶ cum ulla iteriodo ex p .p etc. conveniat. ratiocinia sequentibus Prorsus analoga nilhiberi ivisse. Quum multitudo acquutionum I. II. III etc. sit e l. quantitates I etc., quarum multitudo me-2. I er methodos notas inde oliminari ',ssunt. ita ut prodeat acquatio tallis Zὶ ab ipsis libera0 - 2IH-BρH- 3Iν-hotc. in isti - - 2 1,' quod ita fieri potorit . ut Omnes coeffcientes 2I. V . . . 9ὶ sint integri atque corte non Onan η - u. Iam si hic non est 'l 0. protinus liquet, k inde ita. ut in
429쪽
theor malo enuntiatum os t. determinari. Sulierest ituque. ut demonstromuΝ.- 0 fieri non poSSU. Supponendo osse θὶ - v. nequatio Z. fit - - ore. -- U - 0.cui. quum ultra gradum e-l '' corto non nςccndat, Plures quam e-l vii res divorsi ipsius p satissacoro nequeunt. At quum uoquutiones. e quibus Z d ducta fuit. a x sint init pendoutos. liliuet. otiam Z n. λ non pondero. si vo locum haberc. quicunque in togur per n non divisibilis Pro λ nccipiatur. Quare neqv. Z satisfiet. cuicunque ex e n rogatis l f, yl. y ') umun-lis statuutur p. unde Allonio Sequitur. haec aggregata omnia inuoqualia o se non posse. sed nil minimum duo intor so ncqualia usso dobore. Contineat unum e dii bus talibus ii romtis nequalibus radices i. ζ J. zJ etc.. alterum hasi i Jetc.. Sul lic namu SqUE quod ii CPq, omnes num ros c. otc- η. i'. otc. esse positivos ot cn: mundosin omnes etiam divorsi orunt. nullusque - u. D signotur sunctio
cuius terminus Summus non ultra .r' ascendet, Per I . patetquo fiori in i . si statuatur ae li; hinc I implicabit sectorem ae- ll. quum cum functione in pretioc. Iaer X denotata communem hi obit; hoc vero absurdum osse. tacito monstrari imierit. Si enim F cum X ullum sectorem commvnoni haberet. divisor communis maximius stinctionum X, I quem certo usquo ad n - l dimensioneΝ udore non Ροωse turn inde putet . quod I l or ae ost divisibilis . omnes codificientes suos rationales haberet, ut o nutura operationum, divisorem communem maximum duamina uilium lanctionum invostigandi. quarum cinymciculos Omnes fiunt rationales. SIκ nis Sequitur. Sed in uri. 34l OStondimus. X implicare non ivisse factorem Pauciorum quam n - i dimensionum. cuius co dissicionios omnes sint rationales: quamobrem suppositio. esse 9ὶ - 0. consistere nequit. M. Pro 19. f 6. fit ρρ - 6- - 2 pH-νε 2P . unde ei exu em l ερ - p doducitur ιν - 4-pp. ρ - - uuare
430쪽
Tlim NA. Si F - u. v. . . in est functio invariabilis' ulyebratea rationalis inteyra i indeterminaturum t. v. v ete. . atque substituendo pro his f radices in periodo contentas, valor ipsius F per praecepta art. 340 ad formam
reducitur: radices quae in hac expressione ad eandem periodum quamcunque s terrainorum pertinent. eoefficientes aequales habebunt. Dem. Sint bi J. iqJ duae radices ad unam eandemque Periodum Pertinen tes. Supponanturque p. q Positivi et minores quam n ita ut demonstrare oporteat
vos et minores quam n supponimus; dsenique sint residua minima positiva numerorum V . Py . Us etc.. Secundum modulum n, haec μ. μ'. μ' etc., quae manifesto cum numeris λ. V, c etc. identica erunt, etsi ordine transposito. Iam ex art. 340 Patet,
reduci ad lin alci in 1 tW J- etc. aut ad - - 1 IJ in etc. - Π designando per h. V etc. residua minima numerorum s . 29 etc. Recundum modulum n, unde manifestum est. tqJ habere eundem codmcientem in IV' . quem bil habeat in IV . Sed nullo negotio perspicitur. EX evolutione EXPressi Dis IJ idem provenire atque cx evolutione huius φί M. f J. μ etc. , quoniam μ - λyV. λy'' etc. mod. H: haec vero expressio idem I, ducit ac haec M. R J. λ etc.ὶ . quoniam numeri μ. ψ. Motc. ordine tantum ab his λ, Γ, λ etc. discrepant . cuius in lanctione invariabili nihil intorsist. Hinc colligitur. Domnino identicum lare cum II ; quamobrem radix fqJ eundem coenicientem in
Hinc manifestum est, II reduci posse sub formam
Funetiones invariabiles eas vocari constat, quibus omnea indeterminatae ec em modo insunt, sive ela. rius, quae non mutantur, quomodocunque indeterminatae inter te permutentur; euiusmodi sunt e. s. Rumma omnium, productum ex omnibus. summa productorum e binis eis.