장음표시 사용
51쪽
48 Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
Constat ex hoc, si ellipsis A E helicem contigerit, dcellipsim BD helicem similiter permutatim contingere. Quod si A E in pluribus punctis helicem secuerit, & B D helicem similiter in pluribus punistis secare; si vero A E helici non occurrerit,neque B D helici occurrere. Quς quidem omnia facili negoti' similiter ostendentur.
Ρerspicuum est etiam ex his helicis portionem AF ipsi BH aequalem esse. Si enim intelligantur triangula rectangula AKF BGH, cum sint AK BC aequales,veluti KF CH aequales,erit helicis portio AF portioni BΗ aequalis.
Data cochlea inter basim & helicem ellipsim describere , cuius planum transeat per basis diametrum, & helicis initium ellipsis vero helici amplius non occurrat.
52쪽
In data cochlea AB sit helix, AC basis vero A DE diamctersit A D , oporta t cx A cylindrum ellipsi ita secare, ut eius planum transeat per A D; ellipsis vero inter basim A CD, & heliacem AC existat, helicique non occurrat nis in A. Fiat A E ci culi quarta. Ducaturque cylindri lati s EC, quod helici occurrat in
C; quod quidem bifariam diuidatur in F. Deinde cylindrus secetur, sectioque transcalper lineam
AD, S: punctum F, quae stelli psis AF D. Dico ellipsim AF Dcum AC non conuenire, nisi in A. S ccc tur circunserentia E A bi fati in G. Deinde GA bis Iram In L. Ducaturq; cylindri latera GH Κ LMN, qu quidem plano basssunt erecta; deinde ad ADPuiluendiculares ducantur EO GP L QIunganturq; OF PH QM. Quoniain enim cylindri latus FE est basi AED erexm, erit angulus EO rectus,&quoniam E O ellipsi AD perpendicularis, linea F Ocriticidan A D perpendicularis, & est O F in plano ellipsis AF D; &O E in plano circuli AEDi erit igitur EOF angulus inclinationis dictolium planorum,smiliter os endetur G PH LQM eorundem planorum inclinationis angulos existere, angulos vero HGP ML Q rectos esse. Q re anguli ad O P Q intersissentςquales Veluti quoque anguli ad EGL stant interse aequales,unde colligitur, triangula OFEPH G MIL interse similia esse. Quapropter ut DL ad PG, ita est EF ad G H. At verὁ quoniam AE eliquarta circuli,erit punctum Occntrum circuli ADE, unde erit PG minor OE, &ob id etiam GH minor est,quam EF, siquidem est E O ad G P, ut E F ad G H. Cum autem propter helice itast EA ad AG, ut EC ad GK; est autem ea dupla ipsius A G, erit igitur E C dupla G Κ, quare ΗΚ EF in-t so sunt aequales,ac proptere climst GH minor,quam EF, erit GH mihόr,quam GK. hacq; ratione Ostendetur LM minorem esse,quam LN, atque ita circunferetiam diuidendo LA bifariam,&sic deinceps primum ostendetur,ellipsim AF D in his punct is cum helice AC nunquam conuenire posse. G Caeterum
53쪽
ue o Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
Caeterum cum liticusq; ostensum sit, ellipsis puncta FHM, &c. hisi est' mientia cum helice non conuelitie. Dico insuper ellipsim neq; occurrere possc helici inter pucta MH. schiilucr H F, seu inter aha . modii ut m α. figura ellipsis si fieri pol set in conueniret cum helice ubicunque in T interpuncta H F, ducatur TS latus cylindri, ducaturq; SR ad AD pcrpendicularis, iungaturque R T, similiter ostendetiir cum punctum T sit in ellipsi , triangulum I TS ipsis O FE PH G simile esse; vnὰe erit O E ad R S, ut E Fad ST; & RS ad PG, vi STad G H. At quoniam RS ad PGminorem habet proportione, quam SA ad AG; habebit quoque ST Gad GH minorem proportIonem, quam SA ad AG; seὸ cum punctum T si in helice; erit SA ad AG. vi ST ad G Κ, maiorem igitur habebit proportionem ST ad G Κ, quam ad GH, quod fieri non potest:ostensum est enim GH minorem esse GK; ellipsis ergo helici non occurret interpuncta ΗΚ parique ratione, neque in alijs punctis ellipsm helici occurrere ostende tu r. Ducta est igitur ellipsis,ut dictum est,quod facere oportebat.
Data dimidia ellipsi AFD; ex A helicem
describere, quae ellipsi amplius non occurrat.
54쪽
Fiat A E quarta circuli, cylindrique latus ducatur EF C. Fiatque FC aequalis F E, helix vero describatur, quae transeat per A C, eodem modo,Vt in praecedenti ostendetur ellipsim AF D cum helice non conuenire nisi in A, quod facerς oportebat.
Si in cochlea ellipsis per initium, ac medietatem helicis transierit, Conueniet ellipsis cum quarta helicis ; portio autem helicis, quae inter principium. dc dictam quartam existit, magis a basi disi abit, quam ellipsis, reliqua Vero pro
pinquior erit basi, quam ellipsis, neque ellipsis
Sit cochlea A B, cuius basis A C D, helix vero sit AEF; cuius initium sit ρ, medium F, quarta vero A F, sit in cylindro ellipsis, quae transeat perpuncta A F. Dico ellipsim cum helice in puncto E conuenire, helicis Veropo tionem ab A vsque ad E existentem, hoc est A GF abasi magis distare, qua ellipsis AH E; sed partem helicis a puncto E usque ad F, hoc est quartam ΕΚ F basi propinquiorem esse, quam ellipsis EL F, secetur cylindrus per axem parallelogrammo A B. Ducaturque cylindri latus E C, erit utique AC circuli quarta, siquidem propter
helicem ita est AGE ad AGEF, ut AC ad ACD, sumantur inter AC CD ubicunque puncta M N; a qui
55쪽
ue 1 Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.
bus cylindri latera ducantur NHGM KL, sitque punctum G inhelice; H vero in ellipsi ; K in helice, & L in ellipsi. Quoniam igitur propter helia
y tm cem ita est AC ad CE, ut AC Dad DF, propter ellipsim vero eadem ρr. mi est proportio A C ad latus inter b ι' sint,&ellipsim interceptum, ut A CD ad DF; proportio vero, quam habet A CD ad DF, eadem est, quam habet
AC ad CE; ergo,&propter ellipsimita est AC ad CE, ut A CD ad DF. quare punistum E in ellipsi existit, sed est quoque in helice; ergo punctum E, &in ellipsi,&inhelice reperitur. Quoniam autem propter ellipsim minorem habet proportionem AC ad p .pra 3CE, quam AN ad NH, propter
helicem vero ita est AC ad CE, ut AH ad N G; maiorem habe bit proportionem A N ad NH, quam ad N G. Quare maior est NG, i quam N H, unde p tet, N G stiperare ipsam N H, est autem punctim G in helice, & H in ellipsi, helicis ergo punerum G magis dictata basi, quam ellipsis punctum H, atque hac ratione omnia alia helicis puncta inter AE existentia magis a basi distare, quam ellipsis puncta, demonstrabitur. Deinde quoniam propter ellipsim maiorem habet proporti nem AC ad CE, quam ACM ad ML, & propter helicem ita est AC ad CE, ut ACM ad MK; minorem habebit proportionem ACM ad ML, quam ad MK; quare maior est Mia quam M Κ, de punctii in L est in ellipsi, Κ vero inhelicetergo helicis punctum Κbas propinquius existit, quam L punctum ellipsis,&hac ratione omnia helicis puncta, quae inter EF reperiuntur basi propinquiora esse stendetur ;quam puncta ellipsis. Constat igitur ellipsim cum helice cc uenire in puncto E, helicis vero portionem inter A E existentem. magis a basi distare,quam ellipsis,eam vero qua est inter EF basi propinquiorem esse,quam portio ellipsis. Praeterea nec potest ellipsis helici amplius occurrere, primum enim ex demonstratis perspicuum est helicem AGE, ipsamque E KF ellial si occurrere non posse inter puncta AE, & EF, perducatur igitur helix in OP, &si fieri potest, ellipsis ei occurrat in O, cylindrique la-c . rus ducatiar Ο Quoniam enim circqnferentia AC D vaior ' - ' est, quam H CD, propter ellipsim vero maius est latus DF, quam
56쪽
ad DF, propter helicem vero ita est ADQ ad QO, ut A CD ad DF, quod fieri non potest. Verum hoc modo,quoniam propter ellipsim, ut dictum est maior est DF. quam O in propter helicem vero maior esse debet ori quam D G, non ergo occurret amplius helix ellipsi,nisi in punctis A FG, quae προ quidem omnia demonstrare oportebat. Hoc autem loco,quemadmodum insequentibus quoque,portionem helicis esse basi,propinquiorem,quam ellipsis portio, & e conuerso, intelligimus secundum ea puncta, quae in eodem cylindri latere repertulitur; ut in demonstratione ostensim sitit.
Si in data cochlea ellipsis per initium helicis transeat; helicis vero medietas inter basim,& ellipsim existat , ellipsis dimidiam helicem in puncto inter principium, dc helicis quartam existente secabit neque dimidia ellipsis dimidiae helici amplius occurret.
In data cochlea AB sit basis AC, helix verbsit A DE, cuius quarta AG, sit ellipsis ABD, quae basim ACF contingat, sitq; pun-ehim E medietas helicis inter B C. Dico priamum ellipsm ABD helicem AGE secare. Ducatur ellipsis ΑΗ C inter basim AF C, &helicem AGE, quae helici non occurrat, Ut antea docuimus,&quoniam ellipsis ABD ellipsim AH C secat,ellipsisquς AH C helici AGE non occurrit niti in A, multo magis ellipsis ABD helicem AGE secabit. Quare secet in D, quod quidem punctum, dico in helicis quarta AG existere;&esse non post e,neq; in ipso G, neque in quarta G E. Nam si ellipsis helicem secare posset in puncto G tunc ellipsis helici quoque occurreret inpunisho E, quod fieri non potest, suppon- ρ eatur enim punctium E eskinter B C. '
57쪽
14 Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
Praeterea si ellipsis helicem secare possetin secunda quarta GE, Vt in D, ut in 1. figura, ducto cylindri latere D K; erit A K circuli Exues pri quarta maior,cum sit AG D maior quarta G A. Sed quoiatam propter ellipsim minorem habet proportionem A K ad K D, quam ΑΚ Cad CB, propter helicem vero ita est ΑΚ ad KD, ut AC ad CE, minorem habebit proportionem AC ad C E, quam ad C B, quod fieri non potest,cum sit minor CE, quam CB, punctum ergo D in AG helicis quarta necesso est est . Denique dico dimidiam ellipsim ADB in uno tantum puncto dimidiam nelicem AGE secare; neque ipsi amplius occurrere,etenim ut in figura.) si fieri potest, secet ellipsis quidem helicem in D in prima helicis quarta, ut opus est dcinde in alio quoque puncto,ut in I. helici occurrat, ducantur cylindri latera DM L habebit propter ellipsim proportionem maiocor. rem A M ad M D, quam A N ad N L, propter helicem vero ita erit A M ad MD, visa. primi AN ad N L, quod fieri nullo modo potest, quod demonstrare oportebat.
Ex hoc manifestum est in hoc casu elim simhelicem Contingere non posse. Nec este est
enim, ut secet,ut demonstratum est.
58쪽
Si in data cochlea ellipsis per helicis initium transiens helicem secet, fueritque punctum medietatis ellipsis inter basim , & helicis me. dietatem elliptis ambitus tantum punctis helicem secabit, quae in secunda helicis quarta existent, neque helici amplius occurret.
In cochlea AB sit dimidia helix ADB, sitq; AG helicis qua ta . Primum quidem ostendendum est,ellipsim helicem secare post e,ut propositum est. Ducatur planum per AB puncta, quod quidem inscctione faciat ellipsim parallelogrammo AB erectam, nimirum ellipsis transibit per punctum G, sumatur in hac ellipsi utcumque in- l lter BG punctum E,'&per E du- .catur cylindri latus E D, quod qui- .dem helicem secet inter GB, ut in D, porro punctum D propinquius ἐλ,ςsi basi,quam E. Deinceps alterum ducatur planum per AD paralle- ilogrammo itidem A B erectum, sitque sectio ellipss ADF, &inter ED quod vis sumatur punctum H, S per AH planum similiter ducatur parallelogrammo AB erectum, quod in sectione sit elliptis
AH Κ, cuius medictas Κ, erit inter BC. Dico ellipsin ΑΗΚ heliacem secare in duobus punctis in quarta GD B ex is cutibus. Nain quoniam plana AGEB AH Κ sibi ipsis occurrunt m A, quorum cominu nis sectio per A transiens est parallelogramo AB crecta, ellipsis AH Κellipsi AGB non occurret, nisi in A, plana enim sibi ipsis non occur. runt,nisi in recta linea ipsbrum communi sectione, eademque ratione ostendetur ellipsim ΑΗΚ ellipsi ADF non occurrere nisi in A. Cum igitur ΑΗΚ, neque portioni GEB, neque portioni DF occurrere pcissit,
59쪽
, 6 Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
' possit, necessario ellipsis ΑΗΚ helicis portionem G DB secabit; nam primum ellipsis portio A H helicem secabit inter GD, ut in L, siquidem AH duo spacia necessario secat , nempe
quorum communis est helicis portio GL D. At vero quoniam
putustum B est helicis medietas,& in linea BC reperitur,crit helicis portio DMB inter latera ED BC. inare cum sit Κ medietas ellipsis inter BF, eitq; Κin linea BC; ellipsis portio HKhelicem necessario secabit inter B D; ut in M, quandoquidem
ΗΚ duo diuidit spacia EDMBE, ac BM DF B; quorum communis est helix DMB. Vnde primum constat ellipsim AH Κ helicem in duobus punctis LM secare, quae in quarta GDB reperiuntur. Verum ostendendum est puncta LM semper in helicis quarta GDBreperiri; neque enim ellipsis AH Κ transire potest per punctum G, &aliud punctum, etenim quae per G transi ellipsis, Pertingit in B, ob eandemq; causam neque potest ellipsis AH Κ transire per punctium B, quoniam ellipsis,quae transit per B, per punctium quoque G pertransit. Neque punctorum LM, alterum quidem, vel ambo esse postunt in prum a Delicis quarta Ata ut inprccedenti ostensum est,sequimr ergo puncta LM in quarta GDB temper existere. t
60쪽
Deniq; ostendendum est ellipsim nopota amplius helici occurreres nam si fieri potest, occurrat primum in tribus punctis BFM, ut in α. figura j quae snt prius in quarta GB. Ducantur Cylindri latera L E FD MN, erit utiq;h E circuli quarta maior,cum sit AG Lmaior helicis quarta ΑG, &quoniam propter helicem ita est A E ad Eus-cut AD ad DF, & adhuc ut A N ad NM, punctaque L FM sunt quoque in ellipsi , ergo & propter ellipsim e dem erit proportio Α E ad EL, ut AD ad DF, &vt AN ad N M, quod fieri non potest. Quapropterelli pusin duobus tantum punctis LM . helicem socat, quae quidem puncta in secunda helicisquarta G B existunt , neque etiam heliti amplius occurret; quia prirnum liquet non posse ellipsim helici occurrere in β, squidem supponitur punctam Κ esse inter B C; neq; si perducatur helix ex B ellipsi occurret. Nam si fieri potest perduc rur helix in HO, quae occurrae ellipsi in H , ducatur cylindri latus H P. Quoniam enim ΑCP maior e1h A DC, cylindrique latus P Hpropter ellipsim minus est CK, maiorem habeSit proportione AC Pad PH, quam ADC ad CK, sed quia propter helice ita est AC Pad P H, ut A D C ad C B; ero maiorem nabebit proportionem ADC ad CB, quam ad C Κ, quod fieri non potest, supponitur enim pun m K esse inter BC, unde CK minor est C B, quae quidem omnia demonstrare oportebat.
Ex hoc patet ut in i . figura, si in helice inter L M quod vis sumatur punctum D; latusq; cylindri ducatur D H, helicis punishum D propinquius es e basi, quam ellipsis pun-dhum H.