Sectionum conicarum elementa methodo facilllima [sic] demonstrata [electronic resource]. ... Authore L. Trevigar, ..

131쪽

THEOREMA. 111. Si in Sectione Omica per punctum quod vis P dia-Fig. 19,6λmetri Aa productae in B perbola, quando Aa eis prima di si ' ameter agatur recta PMessiusce diametri ordinatisp missili dis hanc sectioni occurrere in duobus punctis M, , a puncto P quidψlantibusueti vise versa, si rectam ad Sectionem terminata bifariam secetur a diametro Aa in puncto P non centro, Misi ea diametri ordinatis parallela erit. Hoc ostensum est in articulis io 12, 23, libri primi; i, 3 3, 3 libri secundi; dic si s 3 116 libri

tertii. COROLLARIUM.

rue α. HINC si recta M ad Sectionem Conicam terminata a diametro a bifariam seretur in puncto non centro, omnes rectae ipsi M parallelae, re ad Sectionem terminatae ab eadem diametro hisecabutitur.

ameter vim per medium punctum P rectae MM .ucta, transib etiam per medium Q ipsius NN. 'Art.

132쪽

Def. . I. UA DUCTA alia quavis diametro Dd, constat ae-ctionem Conicam esse Parabolam, quando Dd ipsi Aa Dos ' est parallela; Ellipsin, quando id ipsi Aa intra Secti ubes si nem Occurrit Hyperbolam Vero, vel Hyperbolas op- III. positas, quando Dd ipsi Aa extra sectionem in puncto

occurrit; ita tamen, ut in his duabus postremn casibus punctum concursiis C sit centrum. Qtiando tota Ellipsis datur, centrum ejus facile in notescet, ducta diametro Aa, eaque bifariam secta in pulm cto C. Eadem prorsus ratione investigatur centrum, aistis Hyperbolis oppositis. COROLLARiUM II.rss. HINC, data Conica Sectione, ita sunEho ou

parallel. s Lllipsis, vel Hyperbia vel Hymbolae in

positae, ducatur recta Dd per punctum datum d per centrum C, ope consecutri praecedisti inventum. COR L cIUM III. as c. HINC rem AM Sectioni Conis non nis in duobus punctis , M occuriaene potest ducta enim ex ' Art. 3 i. mestum P ipsius M diametro Aa, constat ri tam UM istiusce diametri ordinatis esse parallelam, ideoque Sectioni in duobus tantum punctis occvnit. Si recta per cerarum C transis, res patet per articu

133쪽

D TRIBUS ECTIONIBUS CONICIS s

COROLLARIUM IV. is . At allipsi, vel Hyperbola, invenire binas Fig. 69 70 ejusdem diametros conjugatas Aa, Bb; Asymptotos ducere, quando Sectio fuerit Hyperbola. Inventa ope Prallelarum MN, N, diametro Aa, luctaque per centrum C recta Bb ipsis M, N, Drallela liquet diametros Aa, Bb, esse coniugatas, ex Des. 3. eo quod rectae MM, N a diametro bifariami tu , ad diametrum illam parallelae erunt. Iam ver ad ducendas Asymptotos CG, g, sat AP, Pi: PM: CA: CB vel Ck quod eodem recidit ut media proportionalis inter AP Ia ad PM, ita C ad CB A C, Duistis igitur rectis AB, Ab agantur per centrum C rectae indefinitae Q, CG ipsis AB, Ab, parallesae, de erunt Asymptoti quaesitae constat enim Bb magnituclinem esse secundae diametri Bh, ipsi Art. 88. Aa conjugatae unde, per definitiones i Wis libri ter- tii, liquet propositum.

PROPOSITIO VI.

PROBLEMA.

118. DATA Semon Conica, ita es ijsius diametro Aa, Fig. 9, ,hmvenire 9iiusce diametri ordimatarum tum Actis ad diametrum datam Aa parallelis, laetioni in punctis, occurrentibus dico rectam M, quae diametrum datam in puncto P secat, ordinatam in ex utraque parte istiuste diametri, si modo punctum 'oon

fuerit centrum.

134쪽

Recta enim M ex hypothesi bifariam secatur a di Art. iue i. ametro A in puncto P, ideoque 'erit ordinata ex utraque parte diametri Aa Hac ratione semper licet invenire situm Orilinatae Fir. 9 M ad diametrum Ia in Parabola enim, in Hy- perbola quando diameter data fiterit prima, Iiquet, quocunque intervallo rectae diametro Aa parallelae a Se-istione distant, eas Sectioni tandem occurrere in puncto aliquom ex e quod Sectio magis magisque in infino Arta 1 tum recedat a diametro M. 3 In Ellipsi Fig. co .in Hyperbolis oppositis Figia 6 1 quando Aa fuerit secunda diameten liquet semperduci posse duas parallela ex utraque parte diametri an sectionem in punctis, , secantes, ita ut recta. MM diametro datae Aa in imo, p. non cenixo, occurrat ex eo, ubd in Ellipsi Ordinatae ad diam 'Art. a. trum inam minores, is contrarita in Hyperbola eoi λὰ L nrajor si vo remotiores a Gntro

COROLLARIUM I. iis . HINc duci potest tangens per punctum A secti Ait is uernis Conicae datum , ducta' enim per illud punctum diametro Aa, inventaque ad istam diametrum ordinata Art. i. -- liquet, si per punctiam A agatur ad rectam. ri δ. M parallela, eam esse tangentem in A.

m. COROLLARIUM II. oco. DATIS, Hyperbolis oppositis, vel Ellipsi, ita&imium diametro quavis Aa, racile inveniri potes di

137쪽

D TRIBU SECTIONI PII CONICIS ' roi

meter B ipsi a conjugata. Ducatur scilicet per centrum C recta B Ordinatis ad illa diametrum para tela. Sit autem B diameter data, cujus conjugata a se invenienda: Ducta M ipsi Bb parallela, ad taci ionem terminata, bisecentur recta MM, Bb , in pu ctis per P, C agatur Α - ea erit diameter quaesita. COROLLARIUM III. rc 1. D ATA Hyperbola ΑM Fig. i. ita Qeeundae diametrii positione, magnitudinem ejus dete minare, Ordinatarum situm invenire. Inveniatur prima diameter Aa, ipsi Bb conjugata per Corollarium praecedens, fiat etiam AP, p.r: PM: CA:

CB vel C, erit Bb magnitud secundae diametri ita ' B Ordinatae ejus diametro Aa parallela: erunt. PROPOSITI VII.

1 61 A, datam Sectionem Conicam, es a uino T. Fin 6M,C . e et , eam isto, duas tangentes M, TM, durere. psto PARABOLA. DUCTA per punctum datum T diametro, quae Ρ, ' μ. 3 rabola in punisi, occurrat, sumptaque parte A ipsi. AT aequali agatur per punctum P recta M Ordin, Art. 118. tis parallela, Parabola in punctis occurrens; Art. 3r junganturque M TM,' erunt rectae M TM, , , tangentes quaesitae, Ro-Q16.

138쪽

PRO ELLIPII. - Αρ . si DUCTA per punctum datum T diametro Au, sum-taque C tertia proportionali ad CT, Α agatur per punctum P recta Mordinatis parallela, Ellipsi in duo- At.isi bus punctis occurrens i junganturque IM,IM,

DUCTA Fig. 63. per punctum datum T diametro Aix J FI Aa cujus magnitudo . determinanda est, si fuerit secunda diameter sumatur CP tertia proportionalis ad CT, ex eadem parte puncti dati , quoad centrum, si modo punctum illud in angulo ab Asympi tis ficto contineatur ex parte opposita, quando pum in in alterutro angulorum, qui deinceps sint, i Veniatur agaturque per punctum P recta mordi- natis parallela, Hype laolae vel Hyperbolis oppositis o currens in punctis iis junganturque Tm M ue 'Art. Is i. erunt TM, M, tangentes quaesitae. Si punctum datum ut centrum, Asymptoti CG, CD erunt tangentes, quas ducere liceret per articulum 337. bd si purustum datum S in altero A*mptoton gfuerit, bilaecetur C in H, ducatur recta HM alteri Artio . A*mptoto CG parallela, Hyperbolae in puncto in o Is.currens, in jungatur SM erit M una tangentium quaesitarum, Asymptotos autem in altera.

139쪽

m TRIBUS SECTIONIBUS CONICI s. 4ο3

163. QUONIAM recta PM Ordinatis parallela S ctioni occurrat in duobus punctis , a puncto P Arti is r. αquidistantibus, sequitur duas lummodo tangentes duci posse a puncto T extra sectionem dato unde si per punishum concursus T duarum tangentium in M, agatur diameter P, ea bifariam secabit rectam MPM Et vice versa, si diameter P rectam PM puncta comtactuum ungentem biseriam secet, ea per puniriam comcursiis T ira, sibit

PROPOSITIO VIII

- PROBLEMA. 1σ . DATID micae Sectionis Diametro, Para tro ejus,

est Ordinatarum μαε vitio etiam in sperbola, si data meter fuerit prima vel secunda; describere modo sis lisi est aequabisi tres Θωcas Sectiones.

s1 HAL triangulum sestelas, cuius est m cras g. s. A super diametrum datam AP ex utraque verticis parte pro fiam constituatur, alterum vero AL super tangen- rem ii definitam A per punctum A ductam. Iam si fingamus basim H motu sibimet parallelo ita seni, minia ipsius extremitas L rectam indefinitam LM ipsi APDarat dini secum rapiat, abera vero H, recta, Hipsi A par telam, diametri autem AP parametro aer qualem ue ita tamen, ut ipsius FH extremitas F secum rat rectam F ipsi, parallelam, circa punistum fixum

140쪽

fixum A mobilem dico, contini iam rectarum FA LM, intersectionem, dum recti H in angulo HAL, de ejus verticali moveatur Parabolam quae sitam designare. Acta enim ad Diametrum in Ordinata P, erunt triangula AH F, PM, similia; ideoque erit. AH vel 46 El. r. ΑΙ vel PM : R: A' PM ergo PM- ΑΡ, H F.

'Art unde erit punctum M ad Parabol a. - . ' Notandum est autem, punctum H ultra diametri AP verticem A cadere debere, quando puncta , L, ex utraque parte illius diametri cadunt. mitu

PRO ALII SECTIONIBUS. Fig. 67, 68. EADEM erit constructio ac prior, excepto quod rei hi L circa alteram extremitatem a datae diametri Aa mobilis esse debet quum tamen in Parabola ei parallela sit. Ponitur datam diametrum in Hyperbola esse primam ita 'Art. χ3 enim esset secunda facile inveniretur prima ei Conjugata, tam arameter. Asta enim P ad diametrum Aa Mitiata, trian-'4-U- s gula PM, A , APM AH enunt similia.

t. 9.Ergo is, AP PM : aA HR ideoque punctum M est 2. '' ad Sectionem. Notandum est, punctam, , ex utraque parte puncti in Ellipsi cadere debere dc ex eadem, quando in Hyperbola puncta , L, ex utraque parte diametri a unt. PRO-