Sectionum conicarum elementa methodo facilllima [sic] demonstrata [electronic resource]. ... Authore L. Trevigar, ..

151쪽

COROLLARIUM II PR, PARABOLA. et r. HINC per data tria puncta A, , , describi potest arabola, cujus diametri AF, C rectae positione datae parallelae fuerint. Junish MN agatur per tertium punctum A, recta AF rectae positione datae parallela ipsi etiam MN in puncto F occurrens is per medium ipsius magatur, ipsi

AF parallela fiat deinde MD, IN; G, GN vel M: AF: GC; 4 CH tertia proportionalis ad rectas Art. 3s, CG, GM; tum mrametro CH, diametro G, si cujus vertex C, Ordinatae autem ipsi MN parallela fuerint, deseribatur Parabola ea erit quaesita. Transibit Venim per punitam QN quoniam CH ' Art , CG - GM A GN; per punctum A, nam G Arx 7. 9GN: MFκFN:: CG: A. Porro Diametri AF, CG, rectae position e datae pares lae sint; cum Parabola hac ratione deseripta, abeat pro diametro rectam G, cujus vertex sit punctum C, M pro parametro determinatam rectam CH, constat hanc esse solam, quae per data puncta A, , , destribi possit. COROLLARIUM VII. PR, PARABOLA.i 1 si duae rectae AR, MN ad Parabolam termi Fig. 6 natae sibi mutuo occurrant in puncto R; fiat autem AP, ' in, yN: AP PF, Gungatur AD; dico hanc rectam esse diametrum. Ductis enim contingentibus CB, B, ad rectas N,

152쪽

Pg; Qubd si punctum Rex altera parte puncti P cappretur destribi posset etiam aliae Parabola, quae per quaru puncta data transiret. Sin vero punctum F supra alterutrum punctorum M N, caderet, una tantum describi posset Parabola. quaesitis conditionibus.

153쪽

D TRIBUS SECTIONIBUS CONICIS. 411

Quando autem sina pineta F, F, super bina puncta M, , cadant, nulla omnino describi potest parabola sex eo quod in hoc casis Parabolae diamete AF per duo

vi punω transsiet, quod feri hequit H. COROLLARIUM IMPRO HYPERBOLA VEL HYPERBOLI OPPOSITIs.1 4. Si rectam ad Hyperbolam vel Hyperbolas Fig. 7, oppositas terminata re, etiam positione datae parallela, 7 Asymptoto CB in puncto occurrat ducatur autem per punctum quodvis A recta AP eidem Ajmptoto parallela, ipsi se in puncto P occurrens; dico rectangulum P, PN esse semper ad rectangulum AP, PQ in ratione data, quacunque iii Sectionis parte cadant redhae M ARSi enim in Theoremate Fig. i, et ponamus semidiametrum C fieri Asymptoton, constat latera trianguli CB tum infinita evadere , ideoque si in figuris 77, 3, per terminum, diametria per medium

ipsius M ductae agatur ΚS ipsi MN parallela, Asympi

tot occurrens in S, constitutum erit triangulum CKS, cujus latera sint finita, quodque triangulo CBE simi- Ait cis. re erit. Unde Κ ΚS vel Coe: CELEB, ' Arti et r. Hoc est lac :e: n, unde ce t ac proinde si loco 34-Si mipsius e substituatur valor ejus ni in aequatione

154쪽

Vel M , PN: AP, PQ: EB CB nam extremis mediis in se invicem ductis, evadet aequatio Et cum reste S, S, eaedem maneant, quacunque in Sectionis parte cadant rectae MN, A sex eo quod diameter L per medium ipsius MN ducta, transit Arx etiam 'per medium rectarum omnium ipsi MN parablelarum, ad Sectionem terminatarum erit semper M'κ PN: AP, PQ: EB CB : S: Cf. Fig 77 Sed, hoc alio modo demonstrari potest Sit Κ - tue S vel CO-c CS-m CD-s; AD ADI-r; P-x; M I; N F Et erunt triangula CSΚ, AP silmilia, Unde

155쪽

stenditur AF vel DG- - ,

156쪽

Eadem prorsiis est demonstratio pro Hyperbolis op p sitis, signis selummodo quibusvis mutatis.

1 1. Ex Corollario princedenti sequitur, im si duae,ectae MN, HG, ad Hyporbolam vel Hyperbolas opp. it et minatae, jmptot C in punctis I& occurrant raucantur autem per duo quaevis Sectionis puncta A, B recta AP, BD, Asymptoto in parallela ipsis MN, HG, in punctis P occurrentes liquet esse semper M' PN: AP, Ρ : H MOG: BD, DI, Ide ue in P AP, PQ : Hin DG BD, DI.αι. Si duae rectae MN, HG, sibi mutuo parallelae, di ad Hyperbolam vel Hyperbolas oppositas terminatae Α*mptoto S in punctis Q vid occurrant ducatur a tem ex sectionis puncto quovis A recta AO, ipsi CS pDxa la, ipsis MN, HG, in punctis , O occurrens; constat, si ponamus in praecedenti numero rectam BD stipe AP cadere, esse MP, PN HO, OG: M, PQo AO MDI: M A Ergo PN HO, OG: AP AO. tio, Si rectam ad Hyperbolam vel Hyperbolas oppositas te minatae Asymptoto C occurrat in I agantur autem per duo quaevis Sectionis puncta A, B, recta AO, BD, Asymptoto Cyparallelae, ipsi H in puncti O,

D occurrentes; erit

HO, OG:HD-DG: AO, OI: BDκDI. Hoc etiam sequitur ex numero imo, si rectam MN super HG cadere fingamus.

157쪽

D TRIBU SECTIONIBUS CONICIS. '

COROLLARIU M. 1 ς. Si fingamus rectam BD, quae Sectioni Coricae in duobus punishis B.Doccurrit, motu sibimet parali io eo usque serri, dum fiat tangens S liquet puncta

occursus tum in unum coitura ad punctum, contactus L ideoque punctum contactus pro duobus intersectionis punctis in se mutuo cadentibus haberi. potest. Hoc pesito; constat δε- si duae contingentes S, LS, sibi mutuo occurrant in puncto S agantur autem duae aliae rectae MN, AR, contingentibus parallelae, ad Sectionem terminatae, sibi mutuo occurrentes in pu

cto PseM MPwPN: AΡκPR::ΚS: LS hoc enim in Theoret te de Parata jam ostensiim est Pro aliis autem sectionibus, si in primo consectatio fingamus,' rectam FG super tangentem ΚS cadere,in BD saperas,hque puncta intersectionis F, G in puncto contactus x conventura, ita, puncta B, D, in puncto contactis Lue unde re igulum Q QG evadet quadratum KS, & reelangulum B. QDerit quadratum S; ac prininde erit Z PN AP, PR: ΚS I S. ido. Si in Ellipsi vel in Hyperbolis oppintis ducatur con; tingens TX ipsi K parallela rectae S in pumis X occv

xens, eadem rationem innumero praecedenti ostenditur,

esse M PNEAP IR:: VX LX cadente enim re FG super tangentem TX, puncta intersectionis eonvenient in T; ita suncta B, D convenient in L

158쪽

to Si duae rectae AR, FG ad Sectionem Conicam terminatae, duabus contingentibus KI, LO, occurrant in

R, si enim fingamus rectam BD in corollari, iri mo fieri tangentem O, rectam MN fieri tangentem KL res patet. sto. Si duae parallel AM BD ad Sectionem Conicam terminatae contingenti ΚH in punctis I, H o

currant, erit

luper tangentem ΚΗ cadere. εω Si in numero praecedenti ponamus Sectionem Conicam fieri Hyperbolam, cujus siymptotos sit tangens

159쪽

D TRIBUS ECTIONIBUS CONICIS. oritangens ΗΚ, liquet rectangula H, H AD IRRre aequalia, punctum enim contactus; infinite dis ac Art. a punctis H, I ideoque rectae infinita ΗΚ, Κ, finita quantitatem inter se differentes, pro aequalibus

rectis lunt habendae. mo. Si duae contingentes S, LS, sibi mutuo occumrant in punctori, recta autem AR ad Sectionem termi minata, alteri etiam contingentium LS parallela, alteri RS in puncto Ioccurrat dico esse KI AD IR: ΚS: LS, hoc contabit ex corollario secundo, si ponamus rectas Art. 167. FG, BD, siper tangentes S, I S, cadere.

3mo. Si in Ellipsi vel Hyperbolis oppositis duae contii gentes ΚI, TV, sibi invicem parallelae, occurrant in punctisti V rectae A ad Sectionem in A, R terminatae dico esse I: AI, IM: TV: RV, VA; hoc etiam ex corollario secundo deducitur, si parallelae MN, FG, si ertangentes V, I cadere ponantur.

sno. Si rectae HX, PI, sibi invicem parallela: Iectio Pig 80-nem secantes in punctis Y P, C tangenti H occuriant in punctis H, P erit H ad AI in ratione composita ex ratione rectanguli H, HY ad rectangulum H, H in ex ratione rectanguli BH, H ad rectangulum PIκIC. Nam A LAI': XH- 4Y PI, C. ' Num F, Sed XH, H est ad PI, I in ratione composita ex Arx 330 ratione ipsius H, H ad H, HDi ex ratione BH, H ad IAIC. Ergo sci immo. Hinc si ducantur parallelae H, I tangenti HI in puncti H es occurrentes agatur autem ex pum

160쪽

F. limo. Si rectae Α, Ε, Sectionem contingentes, concurrant in agatur autem redi I tangenti est

ri L parallela Sectioni in punctis , , tangenti autem alteri in puncto I occurrens, raucatur utcunque recta I Semonem in duobus punctis C, D secans, ipsi AP per puncta contactuum A, P ductae occurrens in D; dico esse XIMIY:LP:: CI, ID: CL,LD. Ductis enim semidiametris E EN, M ad ipsas Iri Num. . IL, A, parallelis, erit XI kIY: IA:: ΓΚ:EM,

uicem