장음표시 사용
111쪽
DVis triangula C A Γ sunt aequiangula, quia angulus C esy communis., isti Aes uni aequales angulis AsB, per 29. primi. Ergo utcgad CB, ita C A, ad C A; velut A B ad A B, tu C A ad C A.
sium montium aut turrium distantias ab invicem, una cum altitudine, determinare.
SInt tres montes, aut turres A E, BF, DC. In monte DC elige s j xii duas stationes, C & D. In statione C colloca Instrumentum reόuisVILita,ut planum ipsius transeat per cacumina B & A simul,&directa in A,&. in B Regula, cum Cursore posito stupra punctum C, duc rectas CB, CA, CD. Deinde transfer Instrumentum in D, dccolloca iterum ut antea; dc a puncto C Instrumenti ad punctum D numera tot particulas, quot palmis distat statio D, a statione C; de directa iterum Regula cum Cursore in A,& in B,duc rectas D A& DB, intersecantes rectas C B, CA, in punctis Boc A,&duc rectam B A. Dabunt particula: D B, distantiam D B; particulae B A, distantiam B A; particulae D A, distantiam DA; particulae C A, distantiam CA; particul e denique CB, distantiam CB.
DVo triangula D A unt aequiangula: nam angulus D est communis, angulus AC D est idem in utroque.,reliqui fuν AEquales, per 3 a. primi. Ergo sicuti didantia D C continet tot palmos, quot linea D C particulas, ita distantiae C A, es D H, continent to a mos, quot linea C A ct D A particulaΥ.l terum, duo triangula DCB, sunt requiangUla: nam angulus ad D est communis, angulus B C Destidem in utroque; reliqui sunt r quales, per 32. primi. Ergo sicuti C D distantia continet
tot palmos quot D C linea particulas , ita C B& DB distantiae continebunt tot palmos, quot C B & DB lineae particulas. Iterum, duo triangula D A B sunt aequi angula: nam angulus D est communis, latera D A, D B sunt lecta proportionaliter,
112쪽
68 Liber II. ac proinde anguli D A B, D B A parvi trianguli, sunt aequaIes ei
dem magni trianguli, per 29. primi, cum lineae A B parvi, dc A Bmagni, sint parallelae, persecunda mi Sexti. Ergo sicuti A D di stantia continet tot palmos, quot AD linea particulas, ut probavimus, ita AB distantia continet tot palmos, quot AB linea partia
R Llitudo A E colligitur ex particusis linea D E ejusdem parvi trian a guli, demisia perpendiculariter expuncti A in lineam C E In rumenti ,siturres sint in eodem plano horizontali. Similiter altitudo B Vcolligitur ex linea B FInstrumenti. Distantia D E, ex particulis lineae D E ejusdem parvi trianguli colligitur. Ratio patet ex dictis. Si turres non set in eodem plano horizontali, investigentur distantiae C F, Ca in palmis, s expuncto C Instrumenti inque adpunecta F, E, transferantur tofidem particulae , se ducantur rectae A E, B F; da buntque hae turrium A E , EFasti Iudiues.
113쪽
erficies apud Mathematicos e t mmitudo longa ac lata, carens profundia tale. Geometra tamen practicisu Agri- menseres, nomine ery cierum intesi gumplanities camporum, hortorum, visearum, pr
torum , es similium rerum , item Ilvas perplanities extensas 1, s quidquid denique in longum , in catum, in circulum, in quamcunque Aurum plauam est extensum, secundum superficiem suam mensiur bile. De superficierum itaque dimens tone, ut non Ν-
iam methodice ac ordinates, sed claria ac breviter mgamus, nonnulla praemittenda duximus, praesertimis gratiam Tyronum. Duas ergo partes habebis hic Liber , Prima continebit Protegomena ; altera Pr
114쪽
Vetur in his Prol omenis de mariasseciebus seu ἀ- isionibus seuperficierum, de famosis me uriis Geometrarum, tandemque de calculo Geometrico ,seu deaArithmetica Geometrica. Licet enim in dimensiones perhiberum per nostrum InstrumeNtum non sit omnino nectaria Arithmeticae cognitio atque operatio, ut sitio loco iudicabimus; tamen
ιs cum ilia, quam siue illa, dimensiones prae tritaeem in aliquibus casibus. facibus sue certuperaguntur, alt
De variis Superficierum ecie πι
ς Uperficies dividitur in planam, cavam, & conveXam. Plana odividitur in rectilineam, curvilineam, circularem, dc mixtam. R ectilineae superficies sunt, quae rectis circumscribuntur lineis, seu quorum omnia latera sunt recta. Dividuntur rectilineae superficies in tri lateras,quadrila teras,&multi lateras; sive in triangulares, quadrangulares,& multangulareS; quae etiam vocantur g ece trigonae, tetragonae, & polygonae. Tri laterae, seu triangulare, appzllantur triangula,& dividuntur in triangula rectangula, dc obliquangula; dc haec in acu tangula, dc obtus angula. Hae tres triangulorum species appellantur graece triangula orthogonia, Oxygoma, & amblygonia. Quadrilatera superficies dividuntur in quadrata, oblonga, rhombos, rhomboides , dc trapeZia. Multi laterae dividuntur in regulares,dc IrregulareS. Regulares sunt, quae habent Sc latera aequalia & angulos aequales. irregularia sunt, quae aut latera ,aut angulus, au t ucraque inaequalia habent.
115쪽
Curvilinearum superficierum variae sunt species. Inter is-Ias censentur et lyptica quas aliqui vocant ovales) hyperbolicae, dc parabolicae. Circulares sunt circuli: Mixtae sunt, quae habent latera partim recta, partim curva , cujusmodi sunt circulo rusegmenta, dc similla. Superficies Cavae sunt interiores superficies sphaerarurri ,
cylindrorum,conorum,Sc similium rerum intus cavarum. Convexae sunt eXteriores superficies earundem rerum , dc quorum .cunque solidorum sphaericoruIn , cylindraceorum , dc conicGOmnium superficierum hactenus enumeratarum figurae propriis locis exhibentur. pedibus, passibus, cubitis, ulnis, perticis, milliaribus, dc similibus majoribus minoribusve mensuris; cum hac tamen differentia, quod latera mensurentur simplicibus palmis, pedibus, passibus&c. area vero seu capacitas, palmis, pedibus, passibus ecc. qua
Ut haec intelligantur, sciendum est, pedem geometricum quod dico de pede, intelligendum etiam est de palmo, passu,cubito, pertica, milliari dcc 2 triplicem esse. Primus dicitur simplex, dc est linea uno pede longa; qualem refert linea C, si sit uno pede longa. Secundus dicitur pes quadratus; dc est superficies uno pede longa, dc uno pede lata; qualem refert figura A, si singularius latera sint longa integro pede. Germanice vocatur Erctig cliue i pes cruciatus, hoc est, superficies secundum longitudinem de latitudinem , seu quasi per crucem, habens mensuram unius pedis. Tertius dici turpes cubicus ;& est corpus aliquod habens sex superficies, quarum quae libet est longa dc lata uno pede; qualem refert figura B, si singula ejus latera seu superficies sint longae ac latae uno Pede, seu contineant unum pedem quadra
De variis perficierum mensuris
116쪽
Horum trium pedum primo metimur lineas, eoque hacte rius usi sumus in praecedenti Libxo nostrae Geometriae practicae; Secundo metimur superficies, eoque utimur in hoc tertio Libro,& in quarto sequenti, tertio metimur corpora, eoque utemur in Libro quinxo dc sexto. Itaque lineas metimur linejs, superficies superficiebus, corpora seu solida corporibus seu solidis. Mensurae porro communissimae apud Agrimensores seu practicos Geometras sunt duae,pes,& pertica. Pedis magnitudo
apud varias nationes varia est, S nunc major, nunc minor, ut vidimus Lib. i. par. a. Pertica apud nonnullos con inet I 6 pedes, apud alios in, apud plerosque io, ut ibidem diximus. Et haec di visio perticae in decem pedes etiam apud Antiquos in usu erat; unde Decempeda dicebatur; ec Agrimensores, qui ea utebantur, Decempedatores. Est etiam haec divisio commodissima, prae coeteris, dc miram in arithmyticis operationibus , ad superficierum dimensionem necessariis, facilitatem asteri, ut postea videbimus. Quare suaserim, ut omnςs utantur persica di visa in decem aequales partes, quae pedes, aut palmos, aut aliaS mensura spertica minores repraesentent; praesertim cum quaevis aliae perticae in Decempedas facile converti possint, ut docet Erasmus Rheinoldus in suo de Geometria Libx0 germanica lingua scripto. Decempeda igitur, ut 6c aliae mensurae supra nominatae, triplex est; Simplex, quadrata,&cubica. Simplex continet decem
pedes simplices, estque nihil aliud, quam linea decem pedibus longa ; qualem repraesentat linea A B hic posita. Decempedaquadrata continex centum pedes quadratos, estquae nihil aliud,
quam superficies longa decem pedibus simplicibus, & totidem pedibus simplicibus lata; qualem repraesentat figura C D E F apposita: si enim singula eius latera dividantur in aece impedes, repuncta divisionum opposita con)ungantur rectis lineis; resultat superficies continens centum pedes quadratos, ut figura monstrat. Decempeda cubica est corpus lonsum, latum, & profundum seu altum, una Decempeda Campi, horti, prata, vineae, sylvae, de similia dividi solent, ac mensurari,alia majori mensura, quae apud antiquos dicebaturJugerum, quia tantum erat terrae spatium, quantum uno die jugum
boum arare potest, Apud nonnullos populos adhuc in usu est bu -
117쪽
jusmodi mensurae genus, & variis nominibus appellatur, Z ha varias minores mensuras dividitur, praecipue tamen in perticas, Ac pedes. Jugerum semper habet longitudinem ac latitudinem, ideoque non di viditur in simplex & quadratum, sed semper est quadratum, aut Qquivalens quadrato. Tandem notandum est, pedem dividi solere in duodecim aequaleSpartes, quas uncias vocant germanice soll; Schas in alias duodecim, quas vocant minuta ; quorum quodlibet subdividi potest in alia duodecim,quae appelle, turminuta secunda. Melius tamen & commodius erit, si pes dividatur in decem partes, seu uncias; & uncia in decem minuta; minutum in decem secunda, dc sic deinceps, si opus fuerit; sic enim longe facilius peragentur operationes arithmeticae, ut videbimuS. itaque.
pedes simplices uncias simplices Decempeda simplex Pessimplex l UUncia simplex c* J decem Minuta simplicia Minutum simplex Secundum simplex
Secunda simplicia Tertia simplicia. Decem peda quadrata
Pes quadratuS Uncia quadrata Minutum quadratum Secudum quadratnm3
pedes quadratos uncias quadratas z. centum Minuta quadrata Secunda quadrata Tertia quadrata, B i
De Numero, Calculo Geometrico eu de Operatio-mbus arithmeticis in Geometria practica italis, O gmere.
I hoc & quarto sequenti libro, licet non omnino nece D tariae, uti inlimae tamen sunt quatuor vulgatae species Arithmeticae practicae, quae sunt Additio, Subtractio, Multiplicatio, Di vi-Κ sio;
118쪽
sio; & praeterea Extrachi Gradicis quadratae. Bene ergo in illis e
ercitatum esse oportet Geometram. Quoniam vero, si per usitatam viam incedatur, solodi plurimum negotii facessere numeri fracti; excogitarunt Recentiores Mathematici numeros, quos
vocant Geometricos; quorum ope facillime, & sine ulla fractionis molestia, praedictae operationes absolvuntur. Operationes vero Arithmeticas hujustri odi Numerorum subsidio peractas appellant calculum Geomesticum. Ut vero scias, quid Numerorum Geometricorum, & quid calculi Geometrici nomine Mathematici intelligant, recolenduest id, quod in praecedenti Capite diximus, nempe Recentiores Geometras dividere Decempedam in decem aequales parte6, easque appellare Prima ; deinde singula hu)usmodi Prima subdi videre in decem alias aequales putes, easque Secunda appellare; rursus singula Secunda distribuere iterum in decem aequales partes,easque appellare Terῖia. Potest ulterius, si lubet, aut expedit,
quodlibet Tertium divi cli in decem Quarta, quodlibet Quartum in decem Quinta, & sic deinceps.
Ex his constat prim , Decempedas esse Integra, Prima esse pedes,Secunda esse uncias,Tertia esse minuta. Constat ulterius, Prima seu pedes esse partes decimas Decempedarum; Secunda centesimas, Tertia millesimas. Et tametsi in agrorum dimensionibus raro ultra Prima seu PedeS procedatur: tamen in aliis di. mensionibus, praesertim stereo metricis, de quibus in sequenti
quinto dc sexto libro, saepe accidit ut ultra Prima & Secunda progredi sit nesesse.
Compendii porro causa Geometrae, eXemplo Astronomorum hos suo, Geometricos numeros peculiari ratione signare solent: nam supra numeriam integrarum Decempedarum notare
solent cyphram, supra Prima unam virgulam, supra Secunda duas, supra Tertia tres, supra Quarta quatuor virgulas, dc ita deinceps. Exempli gratia, numerum significantem decem decempedas, i Prima, o Secunda, in Tertia , ita scribere & signare solent:
Io,8,6, 4. Item hunc alium numerum: zO, 3, O, γ, F, H C signant
Aenunt jant; viginti Decempedae, tria Prima, nulla Secunda,
septem Tertia; quinque Quarta, Nota
119쪽
Embado metricus. 7s Nota hic, quod diximus supra demensuris simplicibus qua
dratis,& cubicis, applicandum etiam esse pretesentibus mensuris: simi enim Decempedae, Prima seu pedes, Secunda seu uncia Tertia seu minuta&c. simplicia, quadrata & cubica.
De Additione Numerorum Geometri orum
TN superficierum dimensionibus addi solent eu in unam coIligo Asummam, Decempedae, Prima,Secunda&c. Simplicia, & quadrata. Recolendum igitur est, decem Prima Simplicia efiicere unam Decempedam Simplicem ; & decem Secunda Simplicia
unum Primum Simplex; & decem Tertia simplicia unum fecundum Simplex. At vero centum Prima quadrata essiciunt unam Decempedam quadratam; & Centum Secunda quadrata unum Primum quadratum; & centum Tertia quadrata unum Secundum quadratum. Quod bene notandum est , alioquin enormes committi possunt errores in Additione, dc in aliis sequentibus O perationibus. In Additione igitur Simplicium Numerorum scribantur Integra sub integris, Prima sub Primis, Secunda sub Secundis,d ertia sub Tertiis&c. Deinde instituaturo peratio ut in vulgari modo, nempe incipiendo a dextra versus sinistram,& colligendo numeros in dextima columna repertos in unam summam,& deinde numeros reliquarum columnarum. QuotieS vero rCpereri S IO. in summa aliqua alicujus columnae collecta, toties pone unum ad proxime sequen tem numerum, dc residuum pone infra num e bos
additos. Sed in Exemplis res melius patebit.
Sint igitur addendi hi tres numeri : 2 , 6, 3, 2 O, 2, qt 8, 4. 2 , 6, 3 Scribe illos ut in exemplo vides: deinde incipiendo a deXtra col- o tilige in unam inarnaim 3& 4 Secunda; quae quoniam efficiunt so 2P, δ, Α lum γ, scribe r infra lineam. Collige deinde 4,&a,&is Prima: o , quae quoniam ericiunt i 1 Prima, decem Prima efiiciunt unam q. Decempedam; scribe infra lineam solum 1,ωpro reliquis decem
adde unum numeris sequentis columnae. Collige tandem S& T. 2 Inte i
120쪽
Integra, quae faciunt ii ,& addito uno prius retento, l3; scribe ergo 3 infra lineam, dc unum adde numero sequenti, qui est r,fcr, quae addito uno faciunt 1,infra scribenda. Erit igitur totalis summa, =3,2, 7, id est , Quinquaginta tria Integra, duo Prima, & Se-i ptem Secunda. o ir. In Additione quadratorum Numerorum scribe numeros 18, 1. ut ante,&incipe asinistra,"ies summa collecta unius serieio. excedit IOO, appone unum sequentis seriei numeris, dc residuum dio, o. scribe infra lineam. Exempli gratia, sint addendi numeri hic in 36, 3 exemplo positi. Prima addita efficiunt i 32; scribe ergo infra 31, dc adde unum Integris , quae simul cum hoc ericiunt 8 8.
De Subtraditione Numerorum Geometricorum. Possunt ac solent subtrahi numeri Simplices a simplicibus, &
quadrati a quadratis; non vero simplices a quadratis,& e con
Utrobique numeri eodem signo notati,seu ejusdem speciei, sibi invicem supponuntur, nempe integra sub Integris, Prima sub Primis, Secunda sub Secundis&c incipitur a dextra versus sinistram; operatio fit, ut in vulgata Subtractione; residuum quod scribitur infra lineam, eandem denominationem accipit, quam habent numeri supra lineam scripti.
Q Uando subtrahendae sunt partes, scilicet Prima, Secunda, Tertia dcc. ab Integris, re numeri sunt Simplices; tunc numero