장음표시 사용
251쪽
scindas tertiam partem B D,& ducas lineam A D, quia videlicet Fig.xclx; to O fiunt pars tertia 6Oo. Quia igi ture toto triangulo ABC abscia k-va'L V, disti 1oo perticas quadratas, continebit residuum triangulum AD C perticas quadratas Aoo, ex quibus pro secunda parte accipiendae sunt iso, quod ita praestabis. Metire latus AC, sitque operticarum simplicium utere Regula proportionum, dicendo: si ooperticis quadratis trianguli A DC, in latere AC resipondet o perticae simplices; i3o perticis quadratis quot perticae simpIices respondebunt in eodem latere A Cὶ invenies is . Abscinde eolo ex latere A C perticas is ab Ausque ad E, &duc rectam DE; abebisque secundam partem desidera tam , nempe trianguIum A D E, continous perticas quadratas IIO; residuum vero triangulum DEC contineb it perticas quadratas a so. Quia vero ex toto latere B C so perticarum simplicium abscidisti perticas r6ἰ, exivresiduum latus D C perticarum 33 . Dic ergo: si aso quadratae perticae trianguli DEC, habent latus D C33: perticarum simplicium; I3o perti cae quadratae, nimirum tertia pars adsignata, quor perticas in eodem latere habent Z Invenies iγ; perticas simplices; quas si abscindas ex latere DC in puncto F, dc ducas rectam E Rerit triangulum D E F pars tertia, residuu vero EF C pars quarta. Ratio patet ex dictis Problemate a , dc 4,dc ex ipso operanda
CIt dividendus triangularis campus ABC in quatuor partesii quarum prima contineat secunda bterela'quarta residuum; Iineae autem dividentes non ducantur ab eodem angulo,sed a diversis, ut in praecedenti Problemate factum est. Quaere numerum in quo contineatur: , sine fractionibus. Ad quem inveniendum, multiplica denominatores praedictos inter se, nempe per 3, re productum it per F, re inuni CS 6o, Cujus pars tertia est Fig. cacoro, paro quarta is, pars quinta Ia. Finge jam totam campi gularis supersiciem continoro OOParim quadrat tale 'n quales
252쪽
est dividendus, nempe perticas, passus, palmos &C. Metire p-terea duo latera B C, & A C , habeatque B C so partes simplices, v. g. passus, AC Vero o. His factis, accipe ex linea BC so pasivum tertiam parpem B D, nempe i6 , dc duc lineam A D , eritque A BD pars tertia totius trianguli ABC,6c continebit pasius quadratos io ex so, quos finxisthinontineri in toto; reliquum vero triangulum AD C continebit passus quadratos t, ex quibus abscincienda est pars quarta totius trianguli A B C6O passuum quadrarorum, nempe pastus quadrati is; quod ita ericies. Latus ACcontinet perticas simplices Α Ο, dc triangulum A DC Perucas quadratas itidem o, ex quibus abscindendi sunt i s. Dic ergo: si operticis quadratis respondent in latere A C4o perticae simplices, quot hujusmodi perticae respondebunt quadratis perticis IF c invenies is. Accipe ergo in latere A C, is perticas ab Ausque ad Ei& duc rectam D B, habebisque unam quartam totius trianguli AB C, nempe triangulum A D E,Continens pedes quadratos i si reliquum vero trigngulum E D C continebit 21 pedes quadratos, ex quibus abscindendi sunt pro tertia Parte Pertica: Iz, nempe Stotius trianguli ABC. ita procede. Linea D C continet perticas simplices 33:. Dic. 11 perticae quadratae trianguli E D Cabsumunt in latere DC perticas simplices 33 , quot a bium en i perticae
quadratae ii e Invenies is perticas simpliceo, quas numera in linea D C, a Dusque ad F, dc duc rectam E conti nebitque triangulum D EF, perticas quadratas ra, residuum vero triangulum FEC continebit residuum totius trianguli A C B, nempe perticas quadratas i 3, posito quod totum triangulum ABC contineat perticas quadratas 6O. His peractis,dic. ut 6 Oadiso o, ita ro ad lJ,ltare ad aliud; dc invenies jdem quod in praecedenti Probi.
DEmonstratio patet ex dictis o fundatMr in Propollitione prima lib. G. Euclidis.
De divisione tri gulorum per lineas a llatere ducta S.
255쪽
Dividere triangulum iu dum aquales partes per lianeam a quovis punino dato in uno laterei sim ductam .
Hoc Problema absolvi potest: pluribus modis. Omnium facillimus videtur is , quem ex Pelerario adducit Clavius in Scholio 38 Primi, quoque alii etiam passim utuntur. Sit triangulum AB C,&punctum datum D, in latere B C. .s, uoportet igitur ex D, rectam lineam ducere, quae bifariam divi ' 'μ' dat triangulum. Si igitur punctum D,dividat latus B C bifariam: recta D A, ducta ab A, dividet triangulum bifariam, ut est ostensum cap. praecedente Problemate primo. Si vero D non dividat B C bifariam, secetur B C bifariam in E Deinde ex D, ad angulum oppositum A, ducatur recta D A, dc per B ducatur redia E F, par allela ipsi D A, secans A C in F. Si igitur ducatur recta D F, erit triangulum di visum bifariam a linea D F. Nam ducta recta EA, erunt triangula EF A , EF D, aequalia , per 3γPrimi, cum sint super eandem baseim EF, es inter e dem parallatas
EF, A D. Addito ergo communi EF E, emunt tota trianguli A E C , C DF aequalia: Hi autem AEC dimidium totius a B C, ut jamfuit sensum in loco citato , Igitur se C D F dimidium ens ejusdem trianguli AB Qq oderat probandum.
OVod sipunctum Dfuerit in altera medietate E C, eodem modo pro- Fig. C ILblema conficiemin e sed tunc triangulum ab indetur ad partes RiςQR. XVI, trapedum vero ad partes C. u praesens pigura ostendit i demon stratio tamen eadem erit, ut patet.
Hoc tet, quomodo dividendum sit trian unum in duas partes a punm cIo in latere ad libitum assumpto: in cnim eadem operandi ratio.
256쪽
Dividere triangulum in duas partes per recitam a quovis puncito is aliquo latere ductam, in propo
tionem datam . Ad solvit hoc Problema Clavius primo in fine Iib. 6. Eu es. nempe propos. i . Schol. propos 33. α deinde in lib. 6. Geomet. pr ct. propos . Sed prior modus facilior est, & conformis praecedenti. 'Fie. CIII. Sit triangulum ABC, oporteatque a dato puncto D,in late- μ' - Π re BC, lineam rectam ducere, quae secet triangulum in duo segmenta secundum.proportionem datam Ead F. Dividatur BC, in G, secundum proportionem E ad F,per corost. decimae Sexti, cadetque punctum G vel in ipsum D, vel inter C&D, vel inter B& D Cadat primo punctum G, in datum punctum D, ut in prima figura. Ducatur ergo recta D A, dc erit Problema absolutum.
Q niam enim est ut BD a DC, ita trian Iulum B DA ad triangulum C DA, per primam Sexti; secabit recta D A, triangulum A EC, secuntam proportionem duam BG ad G C, hoc eu, E a F. pik civ. C d. x s*Cundo punctum G, inter C & D, u i in secunda figi Icon. X VII ra. Ducatur ergo recta DA, cui per G agatur parallela G H, conjungaturque recta D H. Dico rectam D H secare triangulum datum secundum proportionem datam, hoc est, e de tu perium ΑΒ D H ad triangulum CDH, ut BG ad G C, hoc est, ut L ad F.
DVcta enim recta G A, erunt triangula HG A, G H D, aequalia, per 37 Primi, cum isuper eadem basii GH, se interes de Iarallibus H, DA. Addito igitur communi triangulo CGH , ent aequalia trian-σula C GA, C D N itemque trapezium A B D Herit aequale triangulo B GA:) Ac proinde, per septimam Quin ti, totum triangulum ASC, eandem habebit proportionem ad C G A, es ad C D H. Dividendo i Iur .
257쪽
oer tr Quinti , erit ut triangulum B G A, ad triangulum c. G A, ita ira perium B D HA ad triangμlum C DH. Eis autem, per primam S ti. B G A, ad CG A , ut B Gad G C; Igitur erit se trapezium BDHA ad ιriangulum C D H, ut B Gad G C, hoc eic, ut E ad P. Cadat tertio punctum G, inter B dc D, ducaturquerecta D Fig. A, cu i rursus per G agatur parallela G H. Dico igitu r rursus, re-kςφη ctam ductam D H secare triangulum ABC , secundum proportionem E ad F, hoc est, esse triangulum B D H ad trapezium C DHA, ut Ead R
Dyma enim recta G A, erunt ut prius, per 37 Prim triangula Hs A, G H D aequalia; additoque communi B G H qualia Aeetu B G Λ, BD K. Mareeritier septimam Quinti, ABC ad BGA, ut ad BDqDividendo ergo, per Iz Qiminii, eris ut CG A ad BG Λ, ita traperium CDHA ad triangulum P DΗ: se convertendo, per coroll. Quarta Quinti, ut B G A a CG A, ita BD H ad trapezium CDHA. EB autem BGA, per primam Sexti, ad C GA, utSG ad G C: Igitur O BD Hi ιrapezium CDHA, erit,at BG ad G C, hoe emut E aa F.
Dividere triangu lum is tres aut quotlibet panes aquales, per re Ia s epuUcto in latere absumpto.
SIt dividendum rriangulum AB C in tres partes aequales , per Fu rectas lineas ductas a puncto D. Divide latus B C in tres aequa yς'μles partes in punctis Edc F; & ducta recta D A, erige ex punctis E& F ipsit D A parallelas E G, F H; tandemque duc rectas G D, HI . Dico, triangulum est e divisum in tres aequales partes B GD, GD H, H DC.
QVoniam Oim triangulum BGD ae Vale est triantulo B AE nam t= iangulum GE A aequale est triari is G E D , per Cp Primi ergo addito communi b G E, erit A A E aequalei BGD, erit prae ictam triangulum BGD, ad totum triangulam Ad C, ut triangulum B A E ad
258쪽
idem totum tria: ulum B AC, hoc eis,ut BE ad BC, per Primam Semti : Est autem B E pars tertia totius B C; ergo otiam B G Dpars tertia es totius trianguli A B C. Eodem modo probatur, quadrilaterum B AH D sese duas tertias totim triangusi.
HInc patet, quomodo dividendumsit quodlibet triangulum in quoi libet partes aquales apuncto in quovis latere dato. Si enim a puncro dato D ad angulum oppo tum ducatur recta D A, es latus in quo est punctum assignatum,dividatur in partes aequalespropositas is expunctis di- sonis erigantur rectae parasielae ipsiD A, ricantur recisae adpunctu, Di habebitur quod petitur. II. Patet praeterea, quomodo a quovis dato puncto in latere aliquo triangνli ducendast recta linea , qua auferat a toto triangulo pay Iem
quamcunque imperatam, v. g. teritum, quarIam,quintam sec. 'i enim
latus in quo assignatum eispunctum, dividas in partes aequales tres, quatuor, quinque isc. se opereris ut dictum, habebis partem imperatam, sequidem ad quamcunque volueris partem assignati puncti, hoc eis, sive aia
Triangulum dividere in Ares aequales partes per liueas a latere ad latus ductas e diversis pinctu.
Maecedens ratio dividendi triangulum in tres aequales partes, λ non est contoda pro camporum divisionibus; in quibus comodius est, si ducantur lineae ediversis punctis in duobus lateribus a Lsumptis, ut patet ex apposita figura. Sit itaque praesens triangu- sum dividendum modo dicto. in quolibet la tere, v. g. in A C,elige duo puncta, DdcE, ex quibus putas dividi posse triangulum Fig- CVH. per lineas ad latus B C ductas, & fac lineas occultas B D, B E. φφ' Xyik Deinde divide lineam AC in tres aequales partes in punctis H duI, ex quibus duc rectas H F, HG, parallelas rectis D B, EB. Tandem duc rectas D F, E G, eri tque quadrilaterum A B F D una certia pars , quadrilaterum D F G E altera tertia para, reliqua vero tertia pars eritiriangulum E GC. Ratio patet ex dictis. . CV
259쪽
Geodaeticus. δηHInc colligi Q, 'a ratione triangulum quodcunquesit dividendum
in quotcunque aequales partes, per lineas a duo opposita latk ctas e diversis utrimquepunctis est enim eadem in omni ν operanaei
velis ut quadratiterum extremum cadat ad latus A C, eligepuncta Dcto Ein latere A B. Sin velis ut cadat ad latus B C,elige eadempuncta in eodem latere AB. Sed tunc ex alio atque alio angulo ducen sunt i
l I. Puncta divisionis D, E, possunt assumi in o nibus lateribus ubi voluero.
Dividere triangulum in tres partes i quale -- dum quam uuque rationem datam, lineis a latere adfatus ductis, s ita, ut pars qualibet cadat
It dividendus campus triangularis A B C, inter tres lia, ut pri- mus habeat secundus I. tertius reliquum; hoc est, ut primus habeat A, secundus Λ, tertius L; ita tamen, ut pars quarta cadat ad latus AB. Divide latus quodcunque secundum rationem datam , v. g. latus B C in punctis D dc E. Deinde quia divisio facta requirit, ut quarta pars cadat ad latus A B; elige punctum F ubi libueri melius tamen est, si eligatur inter B M D) dc duc rectam Fig. CVm occultam A F, & huic rectam parallelam D G, tandemq; rectam IVRR XVI F G: eritque quadrilaterum A B F G, pars quarta totius trianguli ABC. Quia deinde divisio lateris B C in puncto E requirit, ut pars tertia cadat intra medium; elige punόhum l ubi volueris indicto latere melius tamen est, ut eligatur inter D dc E, deinde ducatur recta occulta Α I, 6c alia occulta ipsi parallela E H, tan .demque recta l H; erit quadrilaterum G Fl H pars tertia totius trianguli; reliquum vero erit triangulum HIC. Ratio ex dictis Pater. Bb χ ANNO
260쪽
Potest divisiosecundumproportionem datam sieri in alio latere, procro ueri artes divis 1 respicere alia atque alia latera.
O igitur hinc, quomodo triangulumst dividendum in qVsit - -
De divisione triangulorum per lineas lateribus parallelas, & non parallelas.
Triangulum quodcunque per linea s un; lateri paral&
artes Gij et x C It triangulum A C B dividendum in partes aequales v. g. qua- Iconi xvIi tuor, por lineas lateri C Bae quid stan tes Secetur utrum vis reliquorum laterum , v. g. latus A C in quatuor aequales partes in punctis D, E, Fr&inter duas A D, A C, inveniatur, per I 3 Sexti, media proportionalis A E: item inter duas A E, A C, alia media H proportionalis AN: denique inter duas A F, AC, alia media proportionalis A G. Ducantur tandem recta El, N Κ G L, parallelae lateri C B. Dico, has parallelas dividere triangulum datum inquatuor aequales partes.
Q mamentim, per Corolle quartae Seliti, imiliasunt triangula AEL AC B; erit, per Coroll. decimae nonae Sediti A EI ad ACB, ut AD ad A C: Eis autem A D una quarta totius A C; Ergo se triangu- tam A E Ierit una quarta IOIim AC L. Propter eansm rationem triangulum A N Verit ad triangulum A C B, ut AE a A C quia igithr A E ea dimidium seu duae quartae totius A C; erat etiam tria citam AN A dimidiumseu duae quaria Nisu AC B: Et quia demonstrathm est, Iriangulam