장음표시 사용
261쪽
Ium A EI se unam quartam totius A C B; erit etiam quadritiserum g v K Iuna auaria totius A CB. Simili modo demonstrabimus, triangulisis A G L ei se tres quarta olim triang si a C B , eo quodsit ut AF ad A Ghoc eis, ires quartae ad otum, ita φώm triangMum A GL ad trianguiaris Acs' Abluis igitur duabus quaris, hoc eni, triangulo ANK, erit quadrilaterum N G L Κ tertia quarta , se quod remanet quadrilaterum G GP L, quarta totim trianguli AC B.
EX his colligitur primo, quomodo dividendumst triangulum in Auis
partes aequales per lineam uni Ateri parasielum. I l. Vlterius colligitur, quomodo a quovis triang*lo auferenda sis pars quaevis imperata, v g. tertia, quarta sc. per lineam aut tineas rectis uni Lieriparasielas cisve pars imperatasit auferenda prope unum la- tW sive prope unum angetuum ive circa medium es tu trianguli. Si enim vereris modo praedicto, eris qualibetpars inventa, pars imperata.
Dividere triangulum in duas partes habentes quam-cuu e proportionem datam , per lineas uni lateri parallelas , ita ut antecedens proportionis sit versus quem volueris angulum,aut versus quod
tolueris latus TN triangulo A C B praecedentis figurae ducenda sit linea paras
Mela lateri C B, quae ipsum triangulum dividat ita in duas partes, ut pars versus A ad partem versus CB, sit sicut Mad H. Dividatur alterutrum reliquorum laterum, videlicet Α C, in F ita, per Schol: decima Sexti,catsiit AF ad FC, sicut M ad Η; Sic enim antes cedens AF erit versus A, ubi desideratur antecedens proportionis trianguli di visi. Deinde inter duas A C, A F, inveniatu per δε- rimam tertiam Sexti, media proportionalis A G, de ducatur rectai GL parallela lateri C B. Dico, ipsani GL dividere eriangulumi Propositum, sicut postulatum est.
262쪽
O mam enim triangula a CF, AGL, ita sunt, per Coroll.
quartae Sexti; erit AC B ad A GL sicut AC ad A F, eo quod AC, AG, A F int tres continue proportionales, ex constructione facta. Ergo per comersionem rationisseu proportionis, per Coroll. d ecimae n onae Quinti, erit triangulum ACB aa quadrilaterum GCAL, sicut eis A QAE FC: es dividendo, per decimam septimam Quinti, triangulum AG L ad quadrilaterum GCBL, sicuti est A F ad F C, hoc eis, ut Madu
QVoniam ect triangulum ACB ad triangulum AG L, ut rem AC ad A F ; erit dividendo trapedum GCEL ad triangulum A GL, ut FCad AF: Et convertendo, triangulum Λ G Lad trasenium G B , ut A Fa A C, hoc eis, ut M adH.
SI velis ut antexedens proportionis vergat versius latin C B, cui recta ducenda eis parastelai divide latin C A in Osecundum datam prosor-eionem Mad H, ita ut antecedens proportioni, incipiat a latere C A. De-inis inveniatur inter solam C A Or ejus partem O A, quae eo consequens proportionis, media proportionalis , se procedatur ut dictum. Demon-sratio veroerit eadem.
Dividere in plures partes triangulum modo dicio.
EX dictis Problemate praecedenti patet, quomodo dividendum sit triangulum dicto modo ri tres, lio Vor, S quotcunque partes; nempe dividendo unum latus secundum proportionem propositam , dc inter quoslibet duos terminos proportionis inveniendo mediam proportionalem, S Operando ut dictum.
265쪽
quando sicitur area isse ius, latera.
Est campus triangularis ABC, cujus latus.AB est 36 perticarum, latus AC 8, & latus BC6o, area vero seu capacitas est 86 perticarum quadratarum. Dividendus sit dictus campus inter
tres, per lineas uni lateri utcunque oppositas, ita ut unus habeat perticasqUadratasM6, alter 288, tertius 36o. ita procede.
Elige in latere B C, incipi endo a C versus B pos es etiam in-elpere a B versus C ὶ punctum D,equo ducta recta,opposita lateri A B, censeatur, oculorum)udicio, abscissura perticas 2is qua dratas,& duc rectam occultam D A. Deinde dic si 86 perticae quadratae dant όo perticas simplices in Iatere B C, ris perticae quadratae quot perticas simplices dabunt in eodem latere Inve- Fig.CX.ntes 11. Abscinde ergo Is perticas in puncto v. g: E, incipiendo a λς0 3VIC,& duc rectam E F parallelam lateri D A. Tandem duc rectam DF. Dico, triangulum D F C continere eti6 pertieas quadratas.
DVcatur recta A E, eritque, per 37 Primi, triangulum A E p aqua e
triangulo DEF, se addico communi EF C, aequalia erunt triangula A E C, FD C. Sed triangulum AEC continet perticas quadratas ais, quia tot debentusegmento E C, ut vidimus, ct constat ex prima Sexti,
Ergo se triangulum DFC σco Iterum, in latere A Celige punctum G, eXquo recta, opposta eidem lateri A B , abscissura censeatur 288 perticas quadratas. Deinde dic: si 86 perticae quadratae absumunt in latere AC 48 perticas simplices; 18 8 perticae quadratae quot perticas simplices absument in eodem latere λ Invenies 16. Abscinde ergo is perticas in puncto v: g: H. His factis, duc retiam B G, & ipsi parallelam Ηl, tandemque rectam Gl. Dico, trapeZium A BIG continere 288 perticas quadratas. Intermedium vero quadrilaterum GlFD, continet residuum DEM
266쪽
DVeatur recta B H; eritque triangulum B G I aequale triangulo RGAE addito communi B A G, erit triangulum B A Η aequale trapedo BA G I. Sed triangulum B A Η continet 18 8 perticas quadratas; Ergo or rapezium Γ AGI. Reliquas autem 3 6o continet quadratiterum GI DF.
I. . LT Vncta electas inventa in latere B c,poteris etiam eligere Ur invenia re in latere AC, se contra ; se operatio demonsiretioque erit eadem. II. Poteris quam volueris ex tribus partibuου collacare in medio iad dexteram, ad inistram. Et idem intellige desecunda se tertia parce.
Dividere triangulum in partes aequales per linea partim parasielas , partim non parallelas
QIIamvis hic casus non spectet proprie huc, quia in eo dividitur partim trilatera, partim quadrilatera figura; tamen quia in camporum divisione utilis esse potest, eum nolui omittere. Sit igitur triangulum ABC dividendum in quatuor a quales partes, per lineas rectas, quarum una sit parallela lateri alicui, reliquae vero minime. Abscinde versusC aut versus alium quemvis angulum triangulum E F C , continentem quartam totius trianguli ABC partem, operando juxta dicta supra Problemater. Deinde divide tam latus A B, quam rectam F Ε, in tres aequales partes, & duc rectas G I, H Κ; & habebis intentum. Ratio ra vim paret ex dictis, partim patebit ex di cendis.
De divisione triangulorum per lineas a punctis mediis ductas. PRO-
267쪽
PROBLEMA Issi angulum a puncto invento in ejus medio dis deri
MEminit hujus rei Clavius lib. 6. Geom. pract. Propos 8. N eam dependenter ab aliis duabus demonstrationibus indicto loco demonstrat. Ego vero immediate id demonstrabo. Sit igitur triangulum quodcunque ABC. Di vi dantur bifa- Fig. CXH.riam singula latera in punctis D, E, G, & ducantur rectae adaneu-' ' ην los oppositos D C, E B, G A. Punctum F, in quo in tersecant 1ese hae lineae, est illud, equo si formentur tria triangula, BF C, BFA, C F A, erunt inter la aequalia.
DVo triangula AGB, AG C sunt inter se aqualia, per 38. Primi: Glem duo BFG, CFGsunt qualia intersese, per eandem 38. Primi abialis ergo his, ab illis duobus, remanent BF A, CF Λ, intersequalia. Iterum, duo triangula BEC, B E A,sent aequalia, s CF E, AFE militer aequalia: ablatis ergo his duobus ab istis, remanet B F C aequale si Γ F A. Omnia ergo triasunt aqualia interse.
Intra triaugulum quodcvuque invenire puncta , ex
quibus ducta recita dividant ipsSim in quotvis
Ita triangulo AB Cv. g. ab angulo quocunque ad latus opposi Fig.CXui tum ducat ur perpendicularis,ut AE quae dividatur in quotcun x V XV tu i que partes aequales, v. g. in duas in puncto D ; a quo ad reliquost duos angulos si ducantur rectae, habebis quod postulatur.
I triavgula BDE, BDAs- qValia, per H Primi: item duo C, D E, CDA, per eandem. Ergo OBD E,C D mulinunt aequa. fi lia duobus A DA, CD Asimul, per secundum Axioma lib. I. Euclid
268쪽
Q modo Glom triangulum perrectam expuncto extra triangulum
dato, aut assumpto n duas partes aequalest divitaendum, docet Cla- vim lib. 6. Geomet.pract. Propo fidi se Leonardus Pisanm,cum Nicolao Tartaleo , quos citat. diuod quoniam inutiis videtur, stamen intricatis um eis, omitto,
De divisione triangulorum per lineas lateribus perpendiculares.
angulum dividere in duas partes aeqzales per li
neam uni laterum perpendicularem.
I triangulum est aequila rerum absolutum erit Problema, si quod volueris latus diviseris bifariam, α ab angulo opposito duxeris rectam: tunc enim recta ducta erit perpendicularis lateri in Quod cadit, per octavam es quartam triangulumbifariam,m 38 Primio Praeterea, si triangulum est Isosceles, & dividatur basis bifa riam. a puncto divisionis ad angulum oppositum ducatur recta, erit similiter absolutum Problema, propter eas deni rationes. At si triangulum est Scalenum, vel Isosceles quidem, sed lionea debet esse perpendicularis uni laterum idissicillimus est casus, eumque arithmetice solvit Re in holdu p. I. GVOm, practica , c. J.. geometrice vero sic solvi potest. vii CXIv. Sit triangulum ABC, dividendum in duas aequales partes, Icu AVlU. per lineam lateri A C perpendicularem. EX angulo opposito B, demitte perpendicularem B G. & ipsum latus A C divide bifa fiam in H. Deinde inter GC,& H C qua remediam proportionalem CI ,per I3 Sexti, ω ex s erige I K perpendicularem lateri AC, parallelam vero rectae BG. Dico, rectam IK dividere triangulum modo Postulato..DD
269쪽
SI ducatur recta 5 H erit divisem triangulum A B fariam,mam Sexti; eratque ut triangulum G Γ Cad triangulum IKC, ita GC ad CH, per coroll. decimae n onae Sexti, quod tres GC, CACH nraeontinueproportionales, O triangula similia similiterqueposera. Vt au iem eis G C ad CR, ita eis quoque triangulum G B C adtriangulum H ἔC, per primam Sexti: aequalia igitur erunt triangula IU C, HB C, per nonam Quinti: cum igitur H b C sit dimidium totiuου trianguli; etiam IKC erit dimidium, se consequenter reliquum revenium IKB A erit alterum dimidium,
Triangulum dividere per lineam uni latera perpendicularem in proportionem datam.
SI: dividendum idem triangulum A B C, in datam proportiO- Fig. CX v. nem D ad E, per lineam perpendicularem lateri A C. Demitia Ico.XVm. te ut ante ab angulo B perpendicularem B G, ad latus A C. Quae si dividat latus A C in G,secundum proportionem datam Dad E; factum erit quod jubetur, quia tunc triangulum G B C ad trian-B A, erit ut C G aa G A, per primam Sexti, hoc est, ut DSi vero perpendicularis B G non di vidat latus A C in datam proportionem, dividatur, & punctum divisionis cadat in H, inter G 5: C, ita ut A H ad H C, sit sicut Dad E; deducatur recta H B, dividens totum triangulum ABC in eandem proportionem D ad L, per primim Sexti. Deinde inter GC, H C, inveniatur media proportionalis C I; &per i ducatur i K , parallela ipsi G B,δc perpendicularis ipsi A C. Dico i Κ efficere Problema, hoc est, esse trapeZium A B Κ l ad triangulum i Κ C, ut Dad E.
Q Uiam eoim est, ut triangulum G P adtriangulum IK C,ita G Ca CH, per coroll. decimae nonae Sexti; ut autem G C ad C H ita est quoque triangulum G C B ad triangulum H C dierunt triangula GC, UύG, aretalia, per nonam Quinti. Ac Proinde in reliquum trapezium Ce a ' ABKI,
270쪽
A B UI, reli ra relanguis ABI aequale erit. Igitur erit, per septimam Quinti, ultrapezΘνma b KI ad triangulum I C sita triangulum A PHaὸ triangulum HB C, hoc eis, ut A HadHC, velut D ad E.
Smili modo dividitur triangulum in plures partes secundum datam
De divilissione parallelogrammorum in
Dividere datum paragelogrammum in plures partes secundum quamlibet proportionem datam, Per lineas lateribus o positis aequidstantes.
Fig.cxvi. C Ie dividendum parallelogramum A B C D, uve rectangulum, Iιο. XV ui Psive non rectangulum, in tres partes aequales, lineis rectis late tibus A D, BC aequi distantibus. Dividatur alteriurum reliqum rum duorum laterum, nimirum D C, in tres aequales partes in punctis E & F, & ducantur E G, F H, parallelae lateri bus A D, B C; eritque factum quod jubetur, per3 6 prim/, or primam Sexti.
ν cxvii C lt deinde dividendum idem parallelogrammum ΑΒ CD in eo.AViu. partes secundum proportionem rectarum N, O, P,. Divida. tur idem latus D C, in I & Κ, secundum proportionem datam,nr hos i O . Mxti,ita uteres, D U Κ,KC,habeant proportionem trium N, O, P; dc ducantur rectaei L, KM, parallelae lateribus AD, BC, quae divident parallelograri mum ut jubetur. Nam,per primam Sexti,parallelograminum D L est ad parallelogrammum IM, ut