장음표시 사용
271쪽
I M, ut DI ad I Κ, hoc est, ut N ad O: dc parallelogrammum IMest ad parallelogrammum ΚΒ, u t IK ad KC, hoc est, ut O ad Ergo &C.
I Tu issi ex latere D Cauferatur pars dimidia, tertia, quarta, vel alial quacunque pars, aut partes, sper puncra divisionis ducantur parasielae
lateri Λ D i ablata erit ex toto parallelogrammo eadem pars, vel eadem partes. Sic vides in primo caseu, A E esse partem tertiam totius parallelo grammi A C.
Dividere datum parallelogrammum bifariam per rectam ex puncto, sive in larere, sive extra, sive intra sum dato, aut assumpto.
C Ie primo dividendum parallelogrammum ABCD in duas par. p. XvIII. tes aequales, per rectam ductam ex E puncto, in latere B D d, Ιco.XVui to, aut avum pto utcunque. Ducatur diameter A D, eaque dividatur bifariam in puncto F; & a puncto E, per F , ducatur recta EG. Dividet haec parallelogrammum bifariam. idem fiet, si ducatur diameter BC, & dividatur bifariam in F,&ducatur recta E G. Idem praeterea fiet, si latera opposita A C, B D, dividantur bifariam in punctis I & H, & ducatur recta I H, dividaturque aequaIiter in F,& per F ducatur E G.
T lameter A D dividit bifariam totum parallelogrammum, per 34
Primi, ergo triangulum A C D aequale eis triangulo AB D. Eu au . tem o A FG triangulum aequale triangulo E F D, ideoque se trapezium GF DC trapetio EFA d. per 3 Axio:) Nam anguli G A F, Ε D F inunt, si aequales, per 29 Primi , utpote alternilitem anguli A FG, o DFE, per illis Primi, utpote ad verticem, se latera ARDF, quibus adjacentpraedi- ii ii anguli in duobuου triangulis aequales uterque utrique sunt per constru- l ctionem aquales; Ergo, per χ 6 Primi, tota triangula A FG , DFE,sunt
272쪽
Liber VII. aequalia. Ergo quadrilatersim AGEB, aequale in aquilatero DEG Q per E Axloma. Eadem haec demonstratio applicari potest tam sicuncce ructioni, quam tertiae.
C It deinde idem parallelogrammum A B C D, dividendum bi- iE xViii serjam per rectam ductam ex puncto E extra dato, aut assum- ' 'pto. Ducatur ut antea diameter A D. dividaturque in F bifariam, & pex F ducatur E G, secans la tus B D in H; eri tque quadrilaterum AGHB, aequale quadrilatexo D HGC. Demonstratio est eadem.
QI expuncto I intus dato, aut assumpto, dividendum esset bifa Priam praedictum parallelogrammum iducatur ut ancea diameter A D, eaque divisa in F , ducatur per F recta I G, 6c ab l puncto protrahatur usque ad H punctum, dc habebis idem quod antea.
Dividere parasielogrammum datum in plures partes sicundum rationem datam, quando nota e Li
Fig. CXX. It datum parallelosrammum A B C D, cujus superficies totaico SIS, sit re jugerum quadratorum , dividendum in tres partes ita, ut prima habeat sugera quadrata secunda , tertia . Metire latera opposita A B, CD,&contineat unumquodque perticas simplices i91. Divide utrumque secundum raxionem datam j, q, , utendo ter, aut bis saltem Regula Trium , sic: Si in dant i 'i, quid dabunt; quid ψ λ qu i d 38 Inveniesquz8O, , 8. Metire jam mutroque latere A B, C D, perticas to, a b A usque ad G. dc a C in sq: ad E: deinde perticas 5 a G usque ad Hi&ab Eusque ad F. Demum constange rectis G E, H F punctc divisionum, δ habebis iurentum. Ratio est eadem, quae in Problemate primo , inloca Isidem in re . verbis diversus ; volui tamen proponere eZetcilli
275쪽
omodo operandumsit , parasielogrammum esset dividendum pra
sineam,aut lineas, oIractas ab uno angulorum aut laterum, infami secundumproportionem datam, patebit ex dicendis capiteIHηenu.
De divi sio ne trape Ziorum, quorum duo quaelibet opposita latera sunt parallela.
PROBLEMA LDividere trapezbium laterum Damasidorum in partesae ales, lineis a latere ad latus tractis.
FAcillima est in hoc casu geodaesia. Nam si latera parallela opini posita dividantur in ror partes aequales, in quor dividendum est totum quadrilaterum, & puncta correspondentia in dictis oppositis Iaeercibus conjungantur rectis lineis ; erit totum quadrilais terum divisum ut postulatum fuit. Exempli gratia, sit trapezium piis. cxxtA B C D, cuius omnia quatuor latera inaequalia sint, duo tamen Icon. XIX. opposita A MCD, parallela: sit autem dividendum in tres aequa-las partes. Divide latus A Bintres aequales patres A E, EF, FB, si li ter latus C D in parres tres aequas C G, GH, H D- Duc deinde rectas E G, F H,eritque divisio peracta,hoc est, tria trapeZia, A G, E H, F D, erunt inter se aequalia. Vais enim rectis IA, G F, ΗΓ, erunt tam tria trianguia E CG, F GH, B H D, quam tria CAE, GEF,HFΓ, interse aequalia, per 38 'rimi, utpote infer ea emparatis insuper aequalibus resective bi usonstituti; Ergo M.
276쪽
Inota eget supersicies trapezii in mensuris quadratu, se dividenri effiei in paries aequales ; eodem prorsm modo operandum esset. Et quidem Atera parallela aequali unt, sussci emel uti Regula Trium mori docto in Cap praeced. Problem. 3. Si autem inaequalia sunt, bis erit adhibenda dicta Regula , semelpro majori latere, o semelpro minori ; s δε- inde puncta divisionis conjungenda rectis lineis. Exempli gratia. Est superficies trapezia laterum parasielorum inaequalium continens Iugera quadrata I 6, debetque dividi in tres partes ita, utprima habeat Iugera ψ, fecundas tertia 7 sit autem citus majmperticarum 246, minudi L. Ad dividendum latin majus dic: Iugera is dant perticas 146,quid dant 'qui 3 ' qui τ' Invenies ox, 7 reliquum pro tertia parte. Addi-midendum deinde latuου mium dic,utsupra capas. Probl. 3. ConjungeIam peritis linei puncta divissionis, or erit alvisioperacta. II. Si ollatum trapezium habet quidem duo opposita latera para leti,atqui lineae dividentes non debeant duci ab uno talereparasielo ad alterum , sedab uno ad alterum reliquorum laterum, tunc procedatur ut β-
Dividere trape ium laterum parallelorum in partes inaequale ecundum proportionem datam ineis a latere ad latus.
F. CXXiLTAdem est hic praxis, quae in praecedenti Problemate: dividi-Ιcon. Zix. Itatur enim utrumque latus parallelum secundum proportione datam,&puncta divisionis conjunguntur recta, aut rectis. Ut si trapezium ABCD dividendum silet in duas partes secundunt proportionem subduplam, seu i adr: dividi deberet tam latus AB, quam latus CD, in punctis E&F, secundum dictam proportionem , oc trahenda recta E F, haec enim efficeret divisionem quassi tam
DVctis rectis C E , EB, erit tam triangulum ECF ad trianguliam B Fquam triangulum C A E ad triangulum F E Γ, ut I a 2, per primam Sexti; Ergo sic. PRO-
277쪽
Dividere trapetatum duorum aquid tantium laterum, per lineam ab angulo protractam, in duas par cs secundum proportionem datan .
Q It trapezium A B C D, dividendum per lineam protractam ab Dangulo A, secundum proportionem M ad N. Protrahatur la. tus B C versus C, & sumatur C F aequalis lateri A D, ducaturque recta D F. His factis divide lineam B F secundum proportionem Maa N; cadetque punctum divisionis vel in C, vel citra inter Bdc C, vel ultra inter C& F.
Adat primo punctum divisionis in C, ita ut sit eadem propor-: φη lx tio BC ad CF, quae est Mad N. Dico, lineam ab angulo A 8'''protractam ad punctum C, dividexe trapezium secundum proportionem M ad N.
DVcatur enim diameser A F. Erit igitur triangulum ACF aequale triangulo D CF, per 37 Primi .er consequenter triangulo ACD, quodaequale est triangulo D C F, per 3 Primi. Atqui triangulum ABC adiriangulum A C F, est ut B C ad C F, hoc eis, ut Madm per primam Sexti ; Ergo etiam idem Iriangulum ABC ad triangulum AC D Hs , ut B C ad C F eu M ad N.
Adat secundo punctum divisionis in E citra punctum C 'ta ut laon. XIX sit eadem proportio B E ad E F, quae est M ad N. Dico,tineam t. CXXιν ab A ad E protractam, dividere xrape Lium secundum proportionem Mad N.
DVcus a C σ A F, erit ut antea tri Mulum A CD aequale triaragulo ACF, addito ergo communi trianguis AEC, erit trapentu HECD, Dd aequa
278쪽
aequali trianguis A EF. Atqui triangusum A b Erat ad triangulum AEF, ut B E ad E F, hoc eis, ut M ad Ni Ergo circ.
Adat tertio punctum divisionis in G, ultra punctum C, ira ur init eadem proportio B G ad G F, quae est Mad N. Dico, si expunctota ducatur linea G H,parallela linea: F D,usque dum concurrat cum linea CD in punlio H; & deinde ducatur recta A in dico inquam, quod proportio spatii A B C H ad spatium A H D. erit ut M ad N.
s ex xv τ ρους- - diametri ACO AF, o recta A G. Erit igitur trian Ieon. xi fgulum AB C aequale friangulo A GC, per 37 Primi, qt Iunisuper eadem basi A C, es in eisdemparasielis A C,H G: EB autem se totum triangulum A C D aequale toti triangulo A C F; Ergo se residuum triangulum A HDeritaequale residuo A F G. Addito ergo triangulo ABC communi duobus tria usis A C H, AC G aequalibin; erit Irapedum AB CHadiriangulum AD H, ut triangulum A EG ad idem triangulum A HD. hoc eis, ad aqua e i A G F. Sed proportio trianguli A BG ad triari tum A GF, eis sicuti proportio M ad x Ergo circ.
CI quaisilaterum AB C D esset parasielogrammum, seditiri debertio strandumproportionem Mad Ν, per lineam ab angulo A tracta , deberet eodem modo procedi in omnibuου tribus casibub, uti adversimus e iam Capite praecedenti Problem. 3.ll. Hae praxes , demonstrationes hum Problematissent Mahomeri Bagdedini tib. de Disi is nesspersici erum Propos 7. orex ipso PMderici Commandini libesto eadem re, ProbL I. I. Sit quadrigaserum O c. neuter tamen distinguit inter quadrilaterum cujuου duo opposi a laterasent paratula, se quadrilaterum cum latera non sunt parasteti ; quo tamen omnino necessarium, cumpraxis se demonstrati iam habeat θ- sum in primo casμ, non in sicundo ut patet
279쪽
Dividere quadrilaterum seu trapeziaum a quidistantium titerum, in plures partes secunsim pro portionem datam, per liueas ab uno angulo
C st quadrilaterum A B C D , laterum parallelorum duorum, di- F. CXXVI. videndum secundum proportionem H, I, Κ, per lineas ab an- 1 in. xix gulo A protractas , sed aliter quam in praecedenti Problemate. Protranatur B D in Ε, ut D Esiae aequale ipsi A C, ducaturque recta C E. Deinde dividatur recta B E secundum proportionem datam in punctio F&G, cadetque punctum secundum G vel in D, vel citra, vel ultra. Cadat primo in punctum D. Ducantur igitur rectae A F, A G, seu A D; eritque quadrilaterum divisum intres partes A B F, A F G, seu A F D, & A D C, secundum proportionem datam H, I, Κ. Cadat secundo secundum punctum Citra D. Ducantur igitur rectae A F, A G, eruntque tres partes A B F, AFG, AGD C,ut proportio data H, I, K. Cadat tertio punctum secundum G ultra D. Producatur recta G H parallela lateriC E, donec occurrat ipsi CD in H,&. ducatur recta A H;eruntque tres partes A B F, A F D H, A H D,ut proportio data. Demonstratio in omnibus tribus casibus est eadem omnino quae in praecedenti Problemate:
siuadrangulum duorum aequidis antium laterum dia videre per bueam ductam apuncto tu uno aquid, tam Iium laterum a senato, sicundum proportio
CIt quadrilaterum seu quadrangulum aequidistantium laterum p.CXXvII ' ABCD, ω punctum assignatum in latere BC, aequid istante i QR. XiX. lateri A D, sit E; debeatque ab hoc puncto E trahi linea,quae d i vidae quadrangulum secundum proportionem Lad M. Protraha- , Dd a tur
280쪽
tur BCIatus ulterius usque ad F, ita ut linea CF sit aequalis lineae AD,& dividatur tota linea B h secundum proportionem L ad M. Cadet igitur punctum divisionis vel in Ε, vel citra versus B, vel ul
CAdat primo punctum divisionis in E , ita ut proportio B E ad EF, sit sicuti Lad M. Dico, lineam E A dividere quadrangulum secundum proportionem L ad M.
DVcatur enim recta A F. Eritque triangulum AGD aequale triangulo F CG. per is Primi, quia duo anguli D A G, DG A, trianguli AD G, aequalessunt duobus angulis CF G , C GF, trianguli FG C, uterque utrique, per i , Primi; se latus AD eis aequale lateri C F , per constructionem. Addito ergo communi trapezio A B C G, erit totum trian- subum AB F aequale toti trapedo AB C D ablato communi triangulo A B E. erit reliquum triangubum aE F aequale reliquo trapeῆio Λ Ε C D. Sed triangulum A B E ad iriangulum AEF , eis ut B E ME F. per primam Sexti, hocen,ut L adM: Ergo idem triangulum AB Ea lurium AE C Reu ut L adM.
rist. A dat secundo punctum divisionis cirra Ein punctum H, ita C XasvΠr. proportio B Had H F sit sicut Lad M. Ducatur recta H Κ ς λ' δὲ - parallela rectae E A, secans rectam A B in puncto K , & a puncto Κ, ad punctum Educatur recta ΚE. Dico, rectam Κ E dividere quadrangulum prout Peticur.
DVcatur enim recta A H. Euoniam igitur rectae A E. YH ,sinis rasielae, erunt triangula VHA,sΚH E, aequalia, per 37 Primi; ad Hioque communi triangulo K B Butrique.erit Iriangulam A B H aequa-υ triangulo K B E. Eu autem se triangulum AKE aequale triangulo AH E, per 37. Primi ; Igitur addito communi A E CD utrique,erit siverficies A X E C D aequalis quadrangulo AH CD. diuadrangulum vero AH C D aequale eu triangulo A HF, ut probatum in in primo casu. Er go eadem eis proportio trianguli UB E adseupersicum AKECD, quae eis