장음표시 사용
291쪽
rumvis auarum rerum progecturae Jummafacilitate delineas uut augera, ac minui. causa en, cur non omnia Problemata declaraturus sim mechanice ope nostri instrumeun; qui enim uuam aut alteram praxim beneperceperat, absq; ulla difficultate reliquas perficere poterit. Sempertamen ut clarius pateat praxium nostro Pantometro exhibeudarum ratio, dabo methodum transformandi, augendi, aut minuendi eademptauas corpora, geometrice, praestertim quia
aliqua instrumento nostro perfici non sunt. Hertam quoniam i eometricem planis figuris esci non potentsine invennone media proportionalis inter dun recito lineas dataου; nec in Abdu, ni sim ter duas recit, datas
dua media reper antur proportionales ; ideo de uir que re prius et udum est. Quouiam praeterea non raro βμra, bime plana vesi sida,augenda vel minueu-da est per numeros, id vero siue iuventione unim me dii proportionalis , vel duorum mediorum inter datos duos numeros, per i uon pote It; ideo eadem de Pausa prius de histe iuveuiendis agendum eni. Ee 3
292쪽
D erte bis Lector prosiquentibus praxibus, prΦtoto Pantometra Uu , si ad normam Fantometra in Libra primo desicripti hiat quadratum maj- v. g. qvamstr aut quinque pedum Romanorum, versatile circaseum Orbem in Cursoreseo instructum longefaciliorem in unιν ἴ- sabore uturum Instrumenti nostri usium.
De inventione mediarum proportion lium , tam in discreta, quam in continua quantitatαλ
Omniam non perse, sed in ordine ad Sicenda tum hoe, tum aliis libris tractabimus de mediarum proportionalium inventione, Lemmata vocabimus sequentes Propositiones.
inter duos numeros medium proportionalemi venire . ' iDUos numeros propositos multiplica inter se, &ex producto
erue radicem quadratam;erit haec radix medio loco proportionalis inter duos numeros datos. Exemplum. Sit inter &is inveniendus medius proportionalis numerus: multiplica is per 4, fiunt s*; cu)us radix quadrata est 8,estque medio loco proportionalis inter & is , quia ut est 6 ad 8, ita 8 ad 16. Qua porro ratione eruenda sit ex numero quovis data Radix quadrata, docui. mussupra lib. 3. Parit,eap. 8. Demonstratio sumitur ex Iz Sexti, dc io Septimi lib Euclidis: Vide etiam quae dicimus infra Libro Io. parte 2. cap. I. Probl. 8.
293쪽
Inter duos numeros datos invenire auos medios
Ultiplica quadratum minoris numeri dati in majorem n .iV1 merum datum; & ex producto erue radicem cubicam; αhabebis primum medium proportionalem post minorem num rum datum collocandum. Iterum multiplica quadratum majoris numeri dati in minorem numerum datum, dc ex producto erue radicem cubicam, & habebis secundum medium proportio natem anre majorem numerum datum collocandum. Exem plum. Sint inter 8 & 27, inveniendi duo medii proportionales in proportione continua. Accipe quadratum numeri minoris 3 quod est 6 , & duc in majorem, nempo in zγ, dc producentur1728, quorum radix cubica estis, scilicet primus medius proportionalis collocandus post S. Iterum accipe quadratum numeri maioris ατ, quod est Irst, & duc in minorem ,scilicet in8,&. proia ducentur 183r, quorum radix cubica est i8,scilicet secundus medius proportionalis collocandus ante L7. Sic ergo stabit Exemplum: 8, 12, 18,α7. Demonstrationem vide apud Clav. lib. 6. Geom. Pract. Propos. I 8. Caeteriam in vento alterutro mediorum proportionalium numerorum, reperietur etiam alter, si inventus per extremum remotiorem multiplicotur producti numeri radix quadrata capiatur; haec enim erit alter medius quaesitus. Ut si in vento primo ia, is multi Plicetur per 27, dc eX producto extrahatur radix quadrata, quae erit 18. Praxin extrahendi radicem cubivam videto. Cit. Cap. '
luter duas re fas lineo datas iuvenire mediam
proportionalis. Conjungantur rectae A B, B C in unam rectam CXXXm. ontinuam A B C ,eaque divisa bifariam in D, describatur semi I 'μjs ἔδ'
294쪽
circulus A E C ad intervallum D A vel D ta tandemque ex B pu
isto erigatur perpendicularis B E ad circumferentiam usque; eritqueBE media proportionalis, quaesita. Demonstrationem vide apud Euclidem, libro 6. Proposit. 13. Lege etiam Mersennum in Phoenomenis Hydraulicis Propos. l l . & quae nos diximus in Mechanica Hydro pneumatica, Parte prima, Protheoriae . cap. 3.
Proposit. 8. Ex his colligitur, quomodo duabus datis inveniatur vertia prop ortionalis,
inter duas rectas lineas datas, reperire duas alias
Ic Problema de inveniendis duabus mediis proportionali Lbus inter duas quascunque datas, praecipud tamen inter duas habentes inter se duplam proportionem, agitatum fuit spatio bis mille annorum inverGeomedras antiqcios & Modernos, o saliO- ne Oraculi Delpirici de cubico Alcari duplicando ad placandum Apollinem pelitzGraeciamdevastantern, ur putabatur. Ee quamvis quamplurimi omni aevo,ac praestantitani Mathematici in sol. vendo Problemate desudarint, nemo tamen ad hanc usque diem vere ac geometrice duas medias proportionales inter duas recitast datas, inveniet , ut sentir Clavius loco citando; quamvis contrariumvideatur Bertino Apiar. S. Progym. 3. Propos . tr. Excogitarunt tamen multi praeclarissimi viri modos ingeniosissimos mechanice id praestandi, cujusmodi sun e incerAntiquos EratostengS, Plato, Pappua Alexandri. lib. 8. Recoli. Mathem. Sporus, Meneclimus, Archita, Hero, Apollonius Pergaeus, Philo Bysantinus, Philoponus, Diocles , Nicomedes , & incer modernos Orontius Finaeus, Villat pandus, Bdetinus, S alii. Qui voler legere modo Anti quorum, inveniet ipsos in Commentariis Eutocii Ascalonitae lin lib. 1. Aresai med. de Sphaera & Cylindro, dc in Libello Ioannis merneri Norimbergensis defeetionibus Conicis; & aliquos a Lfert Clavius lib. 6. Geom: pracit. Propos iF. Fgo ex mutris quo reperi apud multos,afferam duos solummodo,qui mihi omnium simplicissimi videntur. Primum habet Κircherus lib. . Musurgiae cap. 7. Propos. v. pag, ros, dc ros. Alter est Villalpandi tona. Parte I. lib. , cap. . Proposit. ultima. Pr
295쪽
Frimus modus iuveniendi duas medias proporti nales inter duaου dat s re fas linea3.
SIne datae duae rectae A B masor, & A C minor. Constituantur ad angulum rectum B A C, ut in figura patet, & producantur ambae ad punctum A utcunque versus D dc E. Deinde interior normae alicu)us angulus D, super rectam Α D stirsum deorsumque moveatur, servato semper latere interiore D B super punctum B lineae A B datae,donec alia norma ad intersectionem E ap- CAxxivri plicata,& prioris normae lateri D E contigua, transeat per pun- Fis ctum C extremum alterius datae rectae AC. Dico, duas rectas A RVMi η D, A Z, medias esse proportionales inter duas datas A B, A C.
CVm enim angulus B DE sit rectus, erit is insemicirculo, per 3 i. Tertii Euclid. eruntqueB A, AD, AE continueproportionales, per O-l ctavam Sexti Euclid. Similiter A D, AE, A Cproportionales esse consat , propter eanism rationem: Erunt igitur omnes quatuor continue proportionales, quod erat faciendum. Si igitur datae rectae sumantur in dupla ratione, erit Cubur minoris mediae proportionalis duplus cubi minoris extremae,peri8. Decimi tertii Euclid.
Secunduae modus inveniendi inter duas rectas datas, duas mediaου.
LIat ex aere, aut quavis alia materia solida,norma ABDC,quam A accuratissimEconstructa, ita ut linea A B D sit recta,&uterque angulus A BC, DBC, sit rectus, punctum B exactε respondeat angulo recto D B C; factumque erit instrumen tum, duabus mediis inveniendis non incommodum, cujus omnem formam vides in figesra. Eius vero usius est eiusmodi. Sint datae duae rectae, E F, E G, & circa majorem E F descriptus sit semicirculus E H F, quem perpendicularis G H secet in H ι & centro E, intervallo E H, describatur arcus HI; & rurseim exl erigatur perpendicularis lΚ; eritque E H, vel El, minor quidem quam secunda ex quatuor proportionalibus , incipiendo a
296쪽
F c XXV majori, at recta Eia vel EN erum Mor quam eadem secunda, ut ς'μ μ demonstrat Villalpandus loco citato Proposit. 9. Fiet igitur ut secunda ex quatuor proportionalibus, si applicetur ex puncto E, ad peripheriam semicirculi E H F, necessario cadat ad aliquod punctum inter puncta H & K. Quae applicatio ut per Instrumentum positum fiat, describantur prius centro E utcunque aliquot arcus Iecantes diametrum E F, & arcum H Κ in punctis inter puncta Hα Κ; eisque descriptis, ut videre est in figura,applicetur puncturui ristrumenti B, nempe angulus rectus, perpendiculari G H; & latus B A protendatur per punctum E; idemque angulus B sursummoveatur vel deorsitam, per rectam G H, donec regula A D, quae interim semper protenditur per punctum E , secet circumferentiam E H F, dc altera regula BC secet diametrum E F iis in punctis, in quibus eandem circumferetiam & diametrum secat unus aliquis arcuum ab initio descriptorum; vel certe verisimile sit, Scita sensus judicet, si per alterum illorum punctorum centro E describatur arcus,eum transiturum esse per reliquum punctum: tali enim in situ si Instrumentum consistat, inventae erunt duae mediae inter datas. Ponamus enim centro E, per punctum L, in quo regula B C secat diametrum,descriptum arcum transire perpunctum M , in quo circumferentiam secat regula A D. Dico, rectasA EM, EB, esse duas medias inter EF, EG . Ducta enim M F, erunt MF, BL parallelae, per28 Primi; ac proinde triangula EME, EB L, similia erunt , per Corollara quartae Sexti Euclid. Est autem, per octa. iam Sexti Euclid. triangulo EB L, simile quoque triangulum EB
G, ob perpendicularem B G, quae in basim E L cadit ex angulo
recto E BL Igitur omnia tria triangula erunt similia. Quare eadem erit proportio EF, ad EM, sive EL, eo quod EL, E M ponuntur aequales quae E L, ad E B,& EB ad EG. Atque adeo inter duas datas inventae erunt duae mediae, quaS invenire erat propositum.
HIc se in m modin eis longe facilior es se implicior priori. In Irumentum etiam hujus secundi modi mel propterea aliis eis praeferendum, quodptinum,acsolidum si mucissimumquest,es in quo nulla mo- venis sit ejusdem pars. Alis aenim nos docuit experienIDr,inquit Di
297쪽
Mpandus in Scholio citatae Proposit. in timenta siti qΠaram partes moisveudae, a literque utque aliter aptandaesunt, exactoseri vix posse, exacten bin deservire nusia ratione posse. In hoc vero instrumento non tantum ejus fabrica es examinatio facilis, verum ipsi operatio haud difficilis;eam vero examinarefacillimum erit. Nam constituto, ut praediximuου, Infrumento, notanda in figura tantummodo essent puncia Mes L, se circini pedes o in E , alter extendendus usique in M , velL, se circumducendi circinus ,probandumque num cum reliquo exutae concordet: hoc enim invento , jungetur recta E M, quae duas medii dabit, EM,EB: si veron n ita emacte resondeuicircinus, iterum applicandum esset instrumen-ι-, O reliqua peragenda, ut praefertur.
Imentio duarum mediarum mechanica modis dictis, aut aliis allarum rationibu sussci ropraxi,nec major requiriturpraeciseo,necflgeome-rrice essent inventae duae mediae, major inpraxi haberi posset praecisio. φuare perinde eis, sive mechanis sivegeometrice inveniantur dua media in ordine adpraxis..
Datis duobus numeris, tertium continue proportionalem invenire. Uc secundum in seipsum, & productum divide per primum;
quotuS productus erit tertius proportionalis. Sint dati numeri r & 4: multiplica in se, fiunt i 6; haec divide per l,siunt 8, sic licet tertius proportionalis quaesitus.
Datis tribus lineis rectis, quartam proportiona
lem invenire . T Oc etiam Problema hic apponendum est: ex Euclide, quo- Aniam i lio frequenter indigebimus. Sint ergo tres lineae rectae A B, BC, A D; quibus in venienda ri si v quarta proportionalis, ad quam sit A D, sicut est A B ad B C. ς ηδη L
298쪽
Disponantur primae duae A B,B C,secundum lineam rectam,quaelsit A C Tertia vero A D,cum prima A B,faciat angulum A quem-icunque. Deinde ex B ad D ducatur recta B D, cui per C parallela ducatur C E, ac rectae A D productae,in Epuncto. Dico,D Lesse quartam proportionalem. Demonstrat Euclides lib. 6. Pro-POsit. it.
Datis tribuae numeris quantum proportionalem
invenire UTero Regula Proportionum , quam Arithmetici appellanc
Regulam trium, seu Regulam Auream, disponendo numeros datos ut iidem docent, Minvenies quod quaeris.
De transformatione triangulorum plano rum rectilineorum in alias planas rectit i neas figuras.
FIgura plana est superficies, quae sub uno aut pluribus terminis
comprehenitur atque concluditur,ut sunt circuluS, triangulum, quadratum, parallelogrammum, & similia. Harum alia: sunt rectilineae, aliae curvilineae. inter alia, affectiones, quae planis figuris rectilineis tribuuntur, eit, quod aliquae sunt inter se similes, similiterque positae. Similes figurae sunt, quae angulos lingulos singulis habent aequales,&latera quae sunt circum aequales, angulos, proportionalia, ut habet Euclides lib. 6. Element. Uefinit r. Similiter possitae dicuntur figurae, quando termini proportionales simili situ respondent, superi superis, inferi inferis, d eri dextris, sinistri siuistrio, proutmox patebit eX siguri s.
299쪽
triangulo cuicunque dato constituere aliud simule, similiters positum, cujus simula latera simi vel alumba, vel majora, vel minora , in quacunque
Qit primo datum triangulum ABC qualecunque, hoc est, sive eYEVst, aequilaterum sit, si ve i sokeles, sive scalenum; sitque constitu leo..xcendum aliud quoad peripheriam majus in quacunque propo tione, verbi gratia, in tripla, priori tamen simile, similiterque positum, juxta sensium explicatum. Firma instrumentum supra suum sustentaculum seu pedem, illudque coniti tue horironti parallelum, ut serviat loco mensulae. Deinde cavitati ejus impone chartam quadrata m, prout diximus supra libro i, 3, & . His factis, colloca triangulum AB C datum supra chartam Instrumento impositam & promove Cursorem supra lineam B C; & Instrumento manente immoto retrahe cursorem quantum libuerit, aut necessarium judicaverisi di juxta ipsius latus duc lineam EF triplo longiorem linea B C. Hoc etiam facto, relinque Orbem interiorem instrumenti una cum charta imposita omnino immotum; Quadratum vero instrumenti una cum Cursore gyra circa orbem, & colloca Cursorem supra lineam C A; eoque r tracto manente interim toto Instrumento omnino immobili promove ipsum praecise supra purustum F lineae EF, & juκta ipsius latus fac lineam FD triplo majorem linea C A. Tandem hoc praestito, relinque ut antea Orbem instrumenti immotum,& gyra Quadratum una cum Cursore, & Cursorem promove supra lineam A B; eoque retracto manente instrumento fixo) promove ipsum supra punctum D linea: FD, juXto ipsius latus duc lineam D E; quae si non cadat supra punctum E, erra cum est ; si vero cadat supra hoc punitum, erit triangulum D E F simile triangulo ABC, eoque triplo majus. Ratio patet ex ipso ruodU Ope
300쪽
randi ; triplicata sunt enim latera, & ubique servata est aequalitas angulorum, propter latera utriusque parallela. Sit secundo datum triangulum D EF qualecunque, eique constituendum sit aliud simile, priori tamen triplo minus quoad circumferentiam. Firmato Instrumento ut dictum, ipsique imposita ichnographia trianguli dati D E F, pone supra ipsum aliam
chartam, & operare ut antea, modo tamen contrario. Hoc est, colloca Cursorem supra lineam EF, &orbe manente immoto, promove ipsum intus quantum vis, aut quantum necesse est, reducjuxta ipsius latus lineam B C triplo minorem linea E F. Gyrato deinde Quadrato, colloca Cursorem supra lineam F D; eoque intus promoto supra punctum C lineae B C,duc lineam C A triplo minorem linea F D. I andem gyrato Quadrato, dc Cursore collocato supra lineam DE, promove illum intus supra punctum Aliaeae C A, &fac lineam AB; eritque factum quod petebatur. Sit tertio datum triangulum ABC cujuscunque conditionis, eique constituendum sit aliud D E F & simile dc aequale. Firma supra Instrumen tum ichnographiam trianguli A B C,& poneri Cursorem supra lineam B C, dc juxta ipsius latus fac aliam lineam CXXXV X E F priori omnino aequalem. Deinde gyra Quadratum Instru- ς0' XX nienti, & colloca Cursorem supra lineam C A; moxque retractum promove supra punctum F, & juxta ipsius latus duc rectam F D aequalem ipsi C A. Tandem gyrato Quadrato colloca cursorem supra lineam A B, eoque retracto, promove ipsum supra punctum D, seu E, & fac rectam DE; eritque factum quod petitur.
Non est necessarium ut figura augendaformetur circa, O gura m-nuenda extra prototypum sed potent formari juxia,u actum vides in hoc tertio casu, es υiribu in praxi equenti , praesertim i ad normam Pantometri consscias tibi majm Instrumentum, ut supra diximus in Ad
It primo dato triangulo ABC constituendum aliud D EF si Omile, cujus tamen sigula latera sint triplo majora singulis lateribus prioris. Fac primo lineam E F triplo longiorem lina BC: