장음표시 사용
321쪽
Dato circulo aequale parallelox mmum rectangulum,squadratum invenire quam proxime. Vtroque modo.
Constitue per praecedentem dato circulo aequale triangulum rectangulum ; invento triangulo inveni aequale parallelograminum rectangulum, per Probl. 3. cap. a. parallelogrammo consti tue aequale quadratum,per Probi. . cap 3.& habebis quod quaeritur.
dAliter dato circulo aequale quadratum conflauere .
Libro 3. par. a. Probi. io. diximus, quadratum diametri ad circulum habere fermE proportionem , quam 1 ad ii. Si quis igitur volet secundum hanc proportionem reperire quadratum circulo aequale ; dividenda erit diameter circuli in i 4 parteS aequales , dc ex undecima parte, eXcitanda perpendicularis usque ad circumferentiam i recta enim ducta a principio diametri ad punctum , in quo praedicta perpendicularis secat circumferentiam, erit latus quadrati circulo aequalis. Demonstrationem vide apud Clavium lib. 7. Geometri pract. in Appendicenum. lil. in .fine. In apposita figura, AC est diameter, AD continet partes e)us Fig.CLVII H ex i , D B est perpendicularis, A B est latus quadrati aequalis cir-ΦςR culo, cujus diameter A C, Ex qua quidem figura sta tim cuicun- que circulo inveniri potest aequale quadratum, si nimii um ex AC abscindatur diameter circuli oblati, &. circa ipsum semicirculus describatur, resecabit is ex A B latus quadrati circulo aequalis, urprobat Clavius loc. cit.
. Adhuc aliter dato circulo aquale quadratum co,irtuere.
322쪽
F. CLVM- Nveniendum sit quadratum aequale circulo, cujus semidiame- φ V Iter A. Quaeratur recta B, aequalis semiperipheriae dati circuli, per dicta lib. 3. par. 2. Probi. 7. & 9. & inter A & B accipiatur media proportionalis C, per Propositi. decimam tertiam Libri Sexti Euclidis , aut per Lemma 3. Capitis primi. Dico, quadratum rectae C, fore aequale circulo cujus semidiameter A.
O niam enim , per dicta Lib. par. r. Probi P. Coro . I. rectangulum comprehensum sub semidiametro A, es semiperipheria b , aquales circulo, cujus radius A; se per Proposit. i . Lib. 6. Euclid. quadratum recta C, aequale est rectangulo eidem ex A sB; consat pro- possum.
Dato quadrato consituere circulum quam pro
Q It datum quadratum CB A D, cui circulus aequalis sit descri- . bendus. In figura Problematis 3. praecedentis,ex recta A Bab- Fig.CLiX scindatur recta A E, dati quadrati lateri aequalis. Et ex E ducatur ' ἔδδk -A B,perpendicularis E F,secans A C in F. Eritque circulus ciametri A F, quadrato lateris A E aequalis.
Dra triangula, A E F, AB C, sent aequiangula,quia angulus A est communis, angulus A EF aequalis est angulo A B C, per uel Ter t. cum uinque sit rectu , utpote instemicircuis, ac proinde E F, B C parallel Pnt, per 18 Primi, ideoque, duo anguli A F E, A C BAEquales seunt. ν tergo B Aa AC, ita EAad AF: ste quadratum lateris B Aiat aequale circuod metri A C, ut diximuι Probi. 1. O probat Claviud loco ci . ergo oro.
323쪽
Circulum cuicunque rectilineo dato aequalem
Onstrue quadratum dato rectiIineo aequaIe,per Probl.3.Cap. praeced. Deinde per antecedentem Propositionem describo circulum dicto quadrato aequaleri L
HInc colligitur, qua ratione aeato parallelogrammo aequatas circulus constituatur; s nimirum parallelogrammum datum prius conve latur in quadratum,per Probi 4. aut , Capitis tertii, hujus Libri, Od inde quadrato fiat aqualis circulus er paulo ante dicta.
Pluribur circulis datis desicribere unum circu
lum aequalem , Onverte singuIos cIrcuIos in singuIa quadrata, per ProbI. a, aut 3, aut A. huius capitis; & omnibus quadratis constitue unum quadratum aequato, per Probi. γ. capitis tertii hujus Libri. Huic quadrato si circulum aequalem constitueris, per Problema quintum hujus capitis, habebis quod quaerebatur, non quidemeaeacte, sed quam proxime
Dato chrculo figuram rectilineam aequalem con- struere .
4 Ac dato circulo aequaIequadratum,per Problema secundum, -- aut tertium, aut quartum hujus; quadrato autem fac rectilineum aequale dc simile alteri rectilineo dato, per i s. Sexti Euclid. eritque haec figura rectilinea constituta circulo dato aequalis
324쪽
Circulum is quavis proportioue data augere,
vel minuere. CVm circuli inter se sint, ut a diametris descripta quadrata,
per L. Duodecimi. circulos datos non aliter augebimus, vel minuemus, qu1mipsia diametrorum quadrata. Sit itaque datus c,rculus ad diametrum AB descriptus,oporteatque alium describere, ad quem idem circulus datus eandem habeat rationem, quam tecta D ad rectam E. Tribus lineis D, E,& A B, in veniatur quarta proportionalis F, per ια Sexti, aut Lemma f. cap. primi h in lib. Deinde inter A B, M E, inquiratur media proportionat s G H,per 13 Sexti Lemma . primi hujW. Circulus circa diametrum G H descriptus, erit iS, qui quaeritur; hoc est, circulus datus cuj us diameter AB, habebit eandem proportionem ad circulum, cuius diameter G H, quam habςt D ad E. Simili ratione minuetur cirisculuS
OVodsi circulsector, vel siectio sit augenda, aut miscenda, comple
tur circulus, ct in data ratione augeatur , velminuatur ; eademque omnino erit ratio circulorum,atque eorundom similivmpartium. Vt autem constituantur sectiones esse fores similes, necesse eis, ut ad circho-νum centra anguli constituantur aequales.
Circulum duplicare, triplicare , vel quavis proportio
ne aequali augere, ac misHere. Ε Centro A descriptus sit circulus B E C D , qui sit duplicandus,
triplicandus, quadruplicandus&C. Dirime Cir Uium d .ltum duabus diametris, orthogonaliter sese intersecantibus in centro A, m quatuor quadrantes, & diameter C Bad partes B prolongetur. Demde recta conneXa D B assumatur in d ametro prolon
327쪽
CIrcutimter mi, ut proxime dicebam exsecunda Duodecimi, ut a diametris quadrata, σ consequenter ut quadrata a semidiametris. Sed quadratum D B duplum eis quadrati D A, vel B A, per ψ7. Primi; Ergo or circulusemidiametra A F duptus eis circuissemidiametri A B. Rursus sumatur distantia F D, dc transferatur e centro A in G; erit circulus ex AG descriptus priori triplus. Si rursus D G transferatur ex A in H, dc circulus ad radium Α Η describatur , emis priori quadruplus. Atque ita quoties idem hoc feceris, citaculum semper augebis. Contraria ratione minuitur circuluS, Ratio colligitur ex demonstratione facta.
De transmutatione figurarum solidarum in alias figuras solidas.
c Olidarum figurarum definitionem, saltem aliquarum, disces ex Libro quinto Stereometrico. Hic brevi ter agemus de illis ad invicem transmutandis,augendis,ac minuendis. Pantometrum nostrum tunc locum hic habet, quando laesra solidorum, hoc est, superficies, converti debent in alias figuras planas. in
Datum cylindrum in parallelepipedum aequale e cdem altitudinis conveniere ; oe datum para Lelepipedum in cynndrum aequalem eis dem altritudinis.
T litus sit cylindrus A B C. in parallesepipedum aequase eius- p CLXII dem altitudinis convertendus. Fiat basi circulari BC, ico.Z in quale quadratum E D, per Problema secundum, aut tertium,aut quartum praecedentis capitis, erectisque super E D ad angulos rectos planis , Hat parallelepipedum DI habens eandem altitudi-Ii x nem
328쪽
nem cum dato cylindro A C; eritque cylindro,qui ex B C circulo sit in altitudinem B A, aequale parallelepipedum, quod fit ex quadrato D E, circulo aequali,in altitudinem E F, quae ipsi A B est
Quod si datum sit parallelepipedum F D, cu i oporteat cyl in drum aequalem in aequali altitudine Constituere; hist primo circulus B C, ipsi basi D E aequalis, per Problema quintum prae CC- dentis capitis. Deinde erigatur cylindrus in eadem altitudine 6 habebitur intentum.
Blis S C in aequalis basi E D, s altitudo B A altitudini EF, ex β'- positione; es e contrario: Cum ergo iam crlindrin, quam parasi epipedum , producatur ex dum basism altitudinem . ut constat ex Libro quinto ProbL a fiet ex multiplicatione seu durita B C in B A, cylindrud AE . qualisparallelepipedo facto ex ductu D F in E F.
Smui ratione convertetur obnder se parasielepipedum in quodlibet prasma Udem altitudinis, o e conversos nimirum basi lindri vel parallelepipedi fiat aequalis basi uturiprismatis , si per imam exserua Iur prima eiuydem altitudinis cum cylindro aulparallelepipedo.
Dato couo aqualem pyramidem ejusdem altitudinis consumere; Sr vicissimni amissi conum aequalem ejusdem altitudinis.
τι Atus sit contis ABC, convertendus in pyramidem EFG, Ieo XX iii . quotcunque laterum. Construatur planum recti lincum, ii ve criangulum sit, sive quadrangulum, sive multa iugulum,a quale basi coni dati A B, per dicta capite pra: cedenti: De Inde su pcr re-Glmeum illud construatur pyramis, eiusdem cum cono dato altitudinis habebis quod quaerit Ur.bs pyramis convertenda iit in conum , descii ben ius est circulus aequalis basi pyramidis,dc supe r circulum construenduS c - nus ejusdem cum pyramide altitudinis. D L.
329쪽
LX dum basis a b in altitudinem D Ceroducitur cylindrus, uita teris ita ars in conus A B C: ex ductu item basis EF in altitudinem HG, producitur praedicto Ibubo aequale parasielepipedum, cum tertia quoque pars elanram EGF H, ut diximus in Libro quinto, Probi. IV. E go constat proposi tum.
Dato pr mali, vel cylindro. aequale ub eadem alti tudine pyramidem vel conum construereio e conve se, data pyramidi vel cono aquale prima , vel cγlindrum ejusdem altitudinis.
Di Asis prismatis vel cylindri dati triplicitur, hoc est, sub ratione tripla augeatur,per ea, quae diximus supra capite 2, 3, 4, dc α super eadem bati triplicata extruatur pyramis, vel conus, ad altitudinem ipsiis prismatis, vel cylindri ; ecfactum erit quod in prima parte petitur. Vice versa, si data i ramis, vel conus datus, in aequale prisma, Vel Cylindrum, eiusdemitamen cum pyramide, vel cono altitudinis, trans Utandi sint, minuenda erit basis ipsius pyramidis, vel coni dati, sub praefata ratione tripla supra ipsam erigCdum prisma vel cylindrus, ad ipsius pyramidis, vel coni altitudinem.
TUῖpra basin triplo majorem, quam sit basis primatis, aut cylindri, e- rigatur prima, aut cylinurus ejusdem altitudinis cum dato primare , aut cylindro, consurgit prima triplo majub priori prismate,' θnder triplo maJorpriori lyndro, per Propos. 6 Sc ii Lib. Duodec. Euclidib. Cum ergo pyramis oe conus sigra triplicatas istas basis constructi, sint tertia para dicti primatu es min eriplicati; per Corollariam Propos t. γ. Libri duodecimi Euclid &per Proposit. io eiusdem; erunt j aequales priori prismati s c lindro, per Proposit. 9 Libri quinti Euclud. Contraria est ratio secundae partis.
330쪽
QVia igitur per Probsema secundum se tertium hujus capit omis prisma in cylindrum, se Dramu in conum converti potenti se contra,cylindrm in prisema, o conus in pyramidem: Item cylindrus in conum , se prima in nramidem, se contra mus in Ulindrum, ornramis in prima converti poteis: sit ut indifferenter tam cylindrm, quam prima transmutaripossit in I ramidem, aut conum i ac Dramis in ulindrum aut Irisma aequale.
Ex diciis patet, quamlibet pyramidem se conum, item quodlibet prisma or Olindrum possetransenutari in parasielepipedum rectingulum, cujus basist quadrata. Na juxta pracedentia praecepta Dr, amis conus, cylinder m prisma qualecunque transmutetur, sequadratum ejusdem primatis basiaequale constrmatur, o super istud in eadem altitudine parasielepipedum rectangulum extruatur ; erit hocprimati, ac proinde nramidi, cono, vel cylindro dato aequale, per secundum CorolL Proposit. 7 Libri duodecimi Euclidis.
Datum cylindrum , ve prisima ; silmiliter datum c num , vel pyram irim, uinque altitudinis, in Palem cylindrum uec. data qualibet alia altitudine, s*pra basim quotcunque angulorum
IN proportione quam data altitudo habet ad altitudinem pro- 1 positi solidi, augeatur vel minuatur basis e)usdem solidi, per ea quae diaimus Capite secundo, tertio, arto, & quinto. Nam solidum supra hanc basem aut tam vel diminutam secundum datam altitudinem constructum, erit id quod quaeritur: Erit enim aequale dato solido, per Propos i s ct 9. Dussis , Lrb. Euclidis, quandoquidem altitudines cum basibus reciprocae sunt.