Pantometrum Kircherianum, hoc est, Instrumentum geometricum novum à celeberrimo viro P. Athanasio Kirchero ante hac inventum : nunc decem libris, universam paenè practicam geometriam complectentibus explicatum, perspicuisque demonstrationibus illus

311쪽

Metamorphoscus. 239 Quadrato. intelligendum est de quovis alio Quadrangulo) cui

conii ruen dum sit magus secundum proportionem K ad i. Tribus lineis l, Κ, & C D , inveniatur quarta proportionalis L, ad quam nimirum se hibeat CD, ut I ad K. Deinde inter C D,& L,reperiatur media proportionalis G H , supra quam constituatur Quadratum EFGH. Erit hoc Quadratum ma)us priori secundum

proportionem datam.

Simili modo constituetur Qu adrato EFGH aliud minus secundum propor tionem l ad Κ

T Odem prorsim modo operandum est in augmentando ac diminuenis Rhondo. In Obtonys Rhomboide supra mediam proportionalem inventam erigen iam si tritas in angulo aequali, quod ad mediam iliam proportionalem habeat rationem lateris homologi ad Lim homologum mediae proportionali inventae. Exempli gratia, s quadrangulum hi o- situm A BCD esset oblongum , ct consituendum esset aliud oblongum EF G H,majinsecundum proportionem K ad I supra mediam proportion lem G H, deberent erigi rectae G E,H F, quae ad G H haberent eandem proportionem, quam haberent C A, D b, ad rectum C D.

PROBLEMA lIL

Aliter quadrangulo cuique dato construere aliud simia militerque positum Majus, Vel minus, si Πudum proportionem datam. Utroque modo.

la AEc praris est Alberti Dureri, eamque refert Clavius in Scho- CXL v III. - Alio 3 . Sexti Euclidis, nec differt a priori nili in eo, quod haec 'son, Si eadem opera inveniat mediarn proportioualem, ut patebit. Sit igitur primo Quadratum A B C D quintuplicadum. Producto latere AB, ad partes B, quantumlibet, sumantur Cum quo artes ipsi A B aequales, a puncto B incipiendo usque ad F, ud sit BE quintupla ipsius A B. Divisa deinde tota A E bifariam in F, describatur ex F, ad intervallum FA, vel FE, semicirculus AG E,

312쪽

et o Liber VIII.

producaturque latus B D ad circumferentiam usque G. Dico, quadratum B G H I,ex B G descriptum,esie quintuplum quadrati AB CD.

DEMONSTRA Tlo.

G media proportionalis eis inter A B Coroll. Propos. Sex. Erit igitur ut E B prima, ad B A tertiam, ita B H quadratum secundae B L ad AD quadratum tertiae B A, ex Coroll. Propos. 2o Sex. Est autem E B er construmonem, ipsius A E quintupla , Igitur es qμώ-dratum B H quintuplum erit quadrati A D.

ANNOTATI I

SIBE sumatur tu a lateris A B, erit quadratum recu B γψώ-plum quadrati A D. Si autem B C fuerit pars dimidia, aut tertia i AB, erit se quadratum B H dimidium, aut pars tertia, quadrati A Dis Denique in quacunque proportione sumatur BE ad A B, eandem habebit quadratum B Had quadratum A v. Hac Clauius loco citato, ubi etiam addisquentem praxim. F. CXLIX. Sit rursus rectangulum ABCD sive quadratum, sive Ob- ς0R X i longurn J cui inveniendum sit simile similiterque positum, quod

duplum sit ipsius. Ex Iatere A B producto sumatur B E, dupla ipsius A B. Divisa deinde tota A E bifariam in F,& ex F descripto semicirculo ut prius, ac producta CB ad G erit BG unum latus rectanguli quaesiti. Quare si abscindatur A H,aequalis ipsi B G,&per H agatur ipsi B C Parallela HI, occurrens diametro A C prO- tractae in I, perficiaturque parallelogrammum H Κ; erit H Κ ipsi B D simile similiterq; positum , quod etiam qo duplum ede ipsius B D, propter rationem paulo ante dictam.

ANNOTATIO.

V odem modo supra A B conssilutum fuerit quodcunque quadrangu- Italim, . erit quod ex BC illi simile similiterque positum describitur, ipsius duplum. Atque in hunc modumsemper eam proportionem habebit quadrangulum ex B G, adquadrangulumsimile ex AP, quam habere Io*etar recta E B ad rectam B A, ex constructione.

315쪽

Metamorphoticus. a I

Parallelogrammo rectangulo aquale siuadratum

constituere .

Utroque modo.

INveniatur inter parallelogrammi dati basim & altitudinem media proportionalis, per i3 Sexti, sper Lemma 3. Cap. I. hujus ;nam quod super ea fiet quadratum, aequale erit dato parallelogrammo ,per i7. Sexti Euclidis. Praxis porro hujus rei ita institui sit ei potest. Sit datum parallelograminum rectangulum AB CD. Ico. XII. Producatur in directum recta AB, sumaturque B M aequalis r ctae B D. Deinde divisa bifariam A M,in O,describatur ex O,intervallo O A, semicirculus, producaturque recta B D, donecsecet semicirculum in N; eritque B N latus quadrati aequalis parallelograrnino dato, quia B N est media inter A B, B Dore 13. Sexti.

PROBLEMA U.

Parallelogrammo non rectangulo aequale sivi dratum constituere .

Utroque modo.

PArallelogramma non rectangula sunt Rhombus,&Rlhomboi-μ des. Ducatur ergo a quovis angulorum parallelogrammi dati ad basim perpendicularis, dc inter ductam perpendicularem dc basim inveniatur media proportionalis; ejus enim quadratum aequale erit dato parallelogrammo, eandem 1 Sexti. Et ratio est, quia tali ratione parallelogrammum non rectangulum reducitur ad rectangulum.

PROBLEMA UI.

Datis duobus quadratis, stive aqualibus, sive inaequalibus, unum quadratum aquale invenire. Hii

Sint

316쪽

a4r Liber VIII. Utroque modo.

pit. cvi. CInt data duo quadrata, A minus,&B majus. Producatur la- ς.. XXII. OeusFG majoris versus G,& ex producta abscindatur G H aequalis lateri D E minoris, ducaturque hypothenusa Hi, quae erit latus quadrati inveniendi,W47 Primi Euclid.

PROBLEMA VII.

Propositis quotcunque quadratis, sive aqualibus ve

inaequacibus, invenire quadratum omnibus illis aequale..

Int latera quinque quadraeorum, A, B, C, D, E; oporteatquei . xxi invenire quadratum aequale Omnibus illis quinque. Fiat an-' 'gulus rectus FGH, sitque recta FG,a qualibrectae Ai&recta GH, rectae R. Ducta deinde recta H Ffiat angulus rectus F Hi, sitque HI aequalis rectae C. Ducta rursus recta lF, fiat angulus rectus FI

Ius rectus FKL, sitque KL aequalis rectae E, ducaturque recta FL. Dico, quadratum rectae FL, aequale esse quinque quadratis positis, per 47. Primi Eucliae ita Clavius in 7 Propos cit. apud quem vide etiam Demonstrationem.

COROLLARIUM.

Ex dictis hactenus pstet, qua ratione reperiatur quadrasum aequale quotcunquerectangulis, ct non rectangulis parasielogrammu; sint. mirum hae rius reducantur ad quadrata, Crq aerari inventis reZeti. mrq aeratum aequale.

PROBLEMA UIII.

Duobus quadratis inaequalibus propositis, invenireaba duo quadrata. quae Ο aequalia ut /ntersi, caesi mulsumpta duobus inaequalibuspropo itissimulseremptis aqualia.

317쪽

Metalia orphoticus,

Sine instrumento.

SInt &s latera duorum quadratorum inaequalium. Fiatam Fig.CLur. 'ulus rectus D C E, sitque D C recta aequalis rectae B,& C E reesico. XXII. cta aequalis rectae A. Ducta deinde recta D E, conjungente duo puncta D, E, consstituantur super ipsam duo anguli semirecti D EF, E D F; coeantque recta: D F, E F coeunt enim, per II. Pronun lib. i. Euclid. in F. Quoniam igitur in triangulo FD E, anguli FDE, F E D, aequales sunt ; erunt & latera D F, E F, aequalia, Per Sextam Primi Euclid. ideoque & quadrata eorundem laterum aequalia. Dico jam, eadem quadrata linearum D F, E F,aequalia esse quadraris linearum Α, & B, hoc est, quadratis linearum C E, & C D.

DEMONSTRATIO.

Am cum in triangulo D E F, anguli F DE, F E D laetant unum rectum ; erit reliquus angulis F rectin. Euamobrem p er 47 Primi Euclido erant quadrata linearum D F, EF aequalia quadrato linea D E. Sed eidem quadrato linea D E aequali unt quoque quadrata linearum CD, C E, per ψ7 Primi, Igitur quadrata linearum DF, EF, aqualiasunt quadratis linearum DC, E C, per primum Pronunciat. Lib. I. EM- Uid. ita Cluvius in Scholio Propos47. Euclidis.

COROLLARIUM.

1T Inc colligitur quomodo datis parallato grammis quotcunque sve rea ectangulis sive non rectangulis, consituedum sit aequale quadratum. Si enim parasielogramma illa covertas in quadrata , ct haec in unum quadratum; habebis intentum.

PROBLEMA IX.

Dato quocunque recti eo, aqualesarallelo ram-mum, es quadratum constituere.

Ectilineum datum resolvatur in triangula, ductis rectis ab u-λ no angulorum, ad reliquos omnes angulos, uno excepto; triangula resolvantur in parallelogrRmma, per tertium Probi. secundi capitis; & parallelogramma in quadrata, per quartum hu-sus capitis, dc quadrata in unum quadratum, per septimum hujus capitu. Hh i CAPUT

318쪽

a 4 Liber VIII

CAPUT QUARTUM.

De transmutatione polygonorum rectilineorum in alias figuras.

Polygona seu multangula rectilinea sunt, omnes figurae planae A rectilineae,qui; plures habent angulos & latera quam quatuor, sive regularia sint,sive irregularia.

PROBLEMA I.

Polygono cuicunque dato destribere aliud simile sim

bterque post tum, majus, vel minus, in quacuuque proportioue, 'Voad latera. .

Per instrumentum facillime.

Cit dato polygono rectilineo A FGHI describendum aliud si-

., milesimiliterque positum masus, aut minus, in quacunq, proportione, v.g. in proportione quam habet recta A B,ad rectam AF. Pone figuram iupra chartam instrumenti,&productis duobus lateribus A F,AI, si maius fieri debeat polygonum educantur ex A per omnes alios angulos rectae AC, A Ddcc. quantum libet,aut necessarium 1udicaveris. Deinde ex A Fabicindantur A B,aequales datis rectis A B. Post haec positoCuriore supra rectam F G, dc I nstrumento immoto manente, promoveatur ante, vel retro, supra punctum B notatum in latere A F producto, & ducatur juxta Cursoris latus recta BC, parallela recta: FG. iterum posito Cursorosa pra rectam GH, promoveatur supra punctum C,&ducatur recta CD. Tandem posito Cursore supra lineam H l,promoveatur supra punctum D,dc ducatur recta DE. Eodem modo ul- Lerius Operaberis,si plura adsunt latera. Demonstratio pendet eKλ' Primi, e X quarta Sexti .dc ex ipsa Constructione.

ANNOTATIO.

Eodem modo minuuntur alque augentor gracunq; alia recticinea pol 'ona , imo se qua rara ita, atque IrIangula, utIam supra vidimus.

319쪽

Metamorphoticus,

Sine Instrumento s

H bis facilὶ patet, quomodo operand um sit sine Instrumento. nempe simili prorsus ratione ducendo parallelas BC, CD, D

E, lateribus F G, G H, H i, eX puRctis B, C, D, E.

PROBLEMA II.

PErgono dato constituere aliud Milesimiliter uep situm,majus et minus,quoad aream, ecuniam datam proportionem. Utroque modo.

SIt datum, ut antea, polygonum A FGHI, eique describen-pit. LV. dum sit aliud majus, vel minus, quoad aream seu superficiem, Ico. XXu. hoc est, quoad capacitatem, secundum proportionem V. g. rectae A ad rectam B. Operare modo dicto capite secundo Probi. r. MCap., Probi. a. nempe quaere tribus A, B, A F, quartam proportionalem C,dc inter duas AF,& C,mediam proportionalem D; Mex latere A F producto polygoni dati abscinde rectam A B aequa. lem rectae D, dc caetera perfice ut dictum. Ratio desumitur ex dictis locis citatis.

Multangulo dato aequale quadratum constituere Utroque modo.

IDem Problema suit propositum ac solutum capite praeceden-Πg CLV re Probi. y. Ico. XXII. Sit igitur datum multangulum seu polygonum ABCDEF, cui inveniendum aequale quadratum. Resolvatur polygonum in quotquot potest triangula, ducti, eX uno δngulorum v. g. A, rectis ad reliquos angulos,ad quos duci possunt. Deinde per Problema 6 Cap. d. inquire latero,qui sum quadrata sint ipli, triangulis ordine aequalia. Tandem per Pioblema 7 C. p. 3. hat qua-

320쪽

Gratum omnibus dictis quadratis aequale; & habebis quadratum quaesitum. Ratio per se patet.

ANNOTATIO.

Vlta alia adhoccapuissectantia, leges apud Hios Auctores, o pra a Acipue apud Clavium in Geometria practica Lib. ult. se passim in Scholiti ad Elementa Euclidis. '

IPUT QUINTUM.

De transformatione circulorum in alias figuras planas, & e contrario.

Locuti sumus hactenus de transformatione figurarum plana. rum rectilinearum in alias figuras planas rectilineas; nunc loquemur de transformatione curvilinearum,id est, circulorum in alias tam rectilineas,quam curvilineas; sicut & harum in illas.

PROBLEMA I.

Dato circulo aequale triangulum rectangulum

invenire.

Cum Instrumento, & sine Instrumento.

MEtire circuli dati diametrum, aut semidiametrum, si potes,& per diametrum investiga circumferentiam , per dicta Lib. 3. parte a. proposit. 9. Deinde, semidiametrum circuli,& re ctam aequalem circumferentiae, conjunge ad angulum rectum,&duc hypothenusam; eritque triangulum rectangulnm consti-surum quam proxime aequale circulo dato,per dicta loc. cit. Pro. pos. γ.

ANNOTATIO.

arte constimatur triangulum aequilaterum aequale dato circulo, docet Meum in Geometria pract.rar. p. cap. 7 pracepto 8.