장음표시 사용
331쪽
Quod si basi constructi solidi fiat aequalis basis quoecunque angulorum, & supra eam construatur solidum stib data altitudine; erit hoc etiam solidum proposito talido aequale.
Dato parallelepipedo redit angulo aequalem cubum
construere. Si datum parallelepipedum habuerit basin quadratam, tunc Fper Lemma IV. Capiti, primi, huius Libri, inveniantur duae k mediae proportionales inter ipsius parallelepipedi dati altitudinem,atque ejusdem basis quadratae latus; atque ex ea media proportionali, quae eidem basi vicinior fuerit, fiat cubus; eritque hic parallelepipedo dato aequalis. Si vero datum parallelepipedum non habuerit basin qu dratam, sed oblogam,tunc perdicta Probi. . Capitis tertij, hujus
Libri. converte basin in quadratum,hoc est, inquire latus quadrati eidem basi aequalis. Deinde inter altitudinem parallelepipedi dati, dc latus quadrati inventi, quaere duas medias proportionales. Tandem eX ea media proportionali, quae vicinior est lateri Juad rati inventi, cubus construitur; qui erit da to parallelepipeoaequaliS.
Sit gratia exempli parallelepipedum datum ABC D, cujus altitudo C D, latitudo B C, longitudo AB ; oporteatque ipsi parallelepipedo aequalem cubum constituere. Inveniatur basis AClatus tetragonicum sive quadratum, hoc est, linea recta, cujus quadratum aequale sit basi A C; quae quidem linea recta sit E. Deinde inter rectas E&CD, binae proportionales mediae invenian-zur, F, G. Aso, quod cubus ipsius rectae lineae F, aequalis sit dato parallelepipedo A D.
enim parasielepiperim AE D aequale siti starallelepipedo , cujus basis eis quadratum ex recta E, ct altitudo C D, per si, LIGdeca ini Euclidis; eidemque parallelepipedo sub qVariata basii rectae E, O sub a titudine C D, P, per 34 Undecimi Euclidis, aequatu cubus ex recta R
332쪽
propterea quod ut basis cobi ex F nempe quadratum rectae F arquadratum ex E, itasis, per corollarium Proposit. 1 o. Libri Sexti Euclidis, recta C D, nempe altitudo para elepipedi p dicti, ad F, altitudinem cubi ex recta F, quae quidem proportio est reciproca basibu orastitudinibus; erunt quoque interbe aequales cubud ex recta F, or paraΩ- opipedum A D.
COROLILARIUM LCylindro b Prisemati aequalem cubum constituere.
Colligitur hinc primo, quomodo cylindro sprismati dato construatur aequalis cubus. Si enim juxta Propositionemprimam hujus Capitis Uut dato Cylindro aut prismati aequale paratu lepipedum , sper pra- sentem Propsitionem facu parallelepipedo fiat aqualis cubm; erit hic qualis Ulindro dato.
6ono pyramidi aequalem cubum facere.
Olligitur secundo , quomodo cono se nnumidi datis, aequata, cubus confruatur ; s nimirum cono, or pyramidis at aequaleparasielepipedum,per Coro arium secundum Propositionis tertia hujus, or deindeparallelepipedo at aequalis cubus.
Dato cubo aequale parasitae pedum rectangulum com fruere in altitudine data, vel si tam bastem
SIt datus cubus B, & altitudo data sit A , sub qua construendum sit parallelepipedum rectangulum aequale dato cubo B. Esto C recta linea aequalis uni lateri cubi B, fiatque ut A ad C, sic Cad D, hoc est altitudini A datae, & lateri C cubi propositi inveniaturi tertia proportionalis D, per dicta hoc eodem Libro cap. i. Lemmate. 3. atque inter C dc D rectas lineas inveniatur media proportionalis E, per dicta eodem Lemmate tertio capitis primi hu-i
333쪽
Metamorphoticu S. 3ius LibrF. Dico, parallelepipedum, cujus basis aequalis sit quadrato ipsius E, dc altitudo aequalis ipsi A, aequale esse dato cubo B.
CVm enim per constructionem, tres rectae C, E, D, t continuestro portionales, erit, per Corollarium Proposie. zo Libri Sexti Eucli d is, q saeratum i nos C, ad quadratum Vsius Gut C ad D, velut A ad C s ex constructilone enim es ut A ad C, ita C ad D: hoc eis, ut quadratumstu bassis cubi Γ, ad quadratum ex E, quod voLimus esse bimpa Llelepipedi construendi; ita erit recta a,quae debet esse altitudo ejusdemμ- rasitelepipedi, a C altitudinem cubi B, hoc est, bases cum astitudinibus ero reciprocae. rauare, per Propositionem 34 Libri. ii. Euclidis,parallelepipedum habens bus, aequalem quadrato E, es altitudinem aqua .
lam datae rectae. H, aletale erit dato cubo P.
Sit deinde data basis B D; quae si non est parallelogramum, revocetur ad parallelogrammum aequale, per dicta in praecedentibus Capit. χ,3, , & F. Et quam proportionem habet basis B D, ad basim cubi dati, eam habeat latus cubi E F ad rectam A quod fiet si supradatus cubi E F fiat rectangulum aequale basi B D, & Ω- per alterum latus hu)us rectanguli aliud rectagulum aequale quadra tolateris cubi E F. Nam tunc erit , ut primum rectangulum , hoc est, basis B D, ad secundum rectangulum, id est, ad quadratum, vel basem cubi; ita primi rectanguli basis, videlicet E F, adb a sena secundi rectanguli. Nam si supra basem B D exigatur parallelepipedum in altitudine A, erunt parallelepipedum S cuous aequalia, quippe cum bases M altitudines sint reciprocae ex con
CI fiat rectangulum sub rectis C dc D,δc super ipsum construatur c parallelepipedum rectangulum ad altitudinemA erit similiter hujusmodi parallelepipedum aequale cubo B, quoniam rectangulum praedictum sub C dc D, aequale est quadrato sub E, per proin
334쪽
aeum non rectangulum aequale sub data altitudine.
Olligitur prater ea, quomodo cuilibet cylindro,primati, cono, ac n- ramidi construipossit aequalis cubus; st nimirum dicti obris constri ιuatur aquais rectangulumparasielepipedum per dicta inpraecedentibus; huic deinde mi aequalis cubus,secubo aequale parallelepipedum recta tutumsub data altitudine. - Atum parallelepipedum non cubicum sit A, & data altitudo L sit linea B,&linea C sit aequalis altitudini dati parallelepipedi A. Invenia tur latus quadrati aequalis basi parallelepipedi A, &sit recta D: fiatque ut B ad C, ita D ad E, hoc est, ipsis B, C, D, inveniatur quarta proportionalis, per Lemma 1 Capitis primi, hujus Libri ; tandemque inter D& E inveniatur media proportionalis F, per Lemma tertium Capitis primi hujus Libri. Ajo,parallelepipedum habens altitudinem aequalem ipsi B datae rectae lineae, basim vero aequalem quadrato rectae lineae F, este aequale dato parallelepipedo A. . QVia enim ex constructione,ut D ad Rita ent Fad F; erit, per corollar. Proposit. 1o. Libri Sexti Euclidis, qua ratum i us D, ad quadratum i us F, ut D ad Ε, vel ut Bad C, per Propolit. D Libri Quinti Euclidis. At quadratum usius D,per confructionem eII aequale basi'rallelepiperiis igitur , per Proposit. 4 Lib. II. Euclid
335쪽
rasielepipedum habens altitudinem aequalem rectae linea B, basim autem ipsitu F quadrato aequalem grate eriis dat arallelepipedoA, quia altitudines basibus uni mutua.
Dato quocunque parasiclepipedo excitare siver dato auo quadraetulo qualeparallelepipedum
D Arallele lipedum datum sit A, datumque planum quadrangu- r α tum B; sitque super B erigendum parallelepipedum aequale CLX v II. dato A. lnveniantur,perpropositionem ultimam Lib.x. Euclidis, XXiii. duae rectae C,& D, quarum quadrata sint aequalia quadrangulo B dc basi parallelepipedi Α, bc ipsis C, D, proportionalis fiat tertia E, per dicta hoc Libro capite primo Lemmate tertio; tandemque altitudini parallelepipedi A aequalis fiat F;&ut C ad E,sic fiat FadG. Ajo, parallelepipedum habens pro basi quadrangulum B, altitudinein autem G, aequale esse dato parallelepipedo A.
OVia enim tres recta tisice,C,D,Esunt ex spothesi continu proportionales, erit, per Coroll. Propos. 1o. lib. 6. Euclidis, sicut quadratumi in C,adquadratumi in D,ita CadE, Fad G. Eis autemper constructionem,quadratum ipsius C, aequale quadrangulo B, o quadratum i in D, aquale basiparallelepipedi At, atque Frem linea, aqualis altitudiniparallelepipedi A. Igitur rasielepipedum habens basin B, o altitudinem aequalem ipse G, aequale est dato parallelepipedo A, per Proposit. 34. Libri undecimi Euclidis.
EX dictis colligitur quomori convertendus sit cylinder, Prisina, Conuri pyramissub altitudine data,in rectangulum parasielepipedum. - 1iam enim ter propositionem primam ψecundam, o tertiam hujus capi-ru, ilibet cylindro ramati,cono,arpyramidiaeonstruipotest aequalem rani Verim ; si hunc parasielepipedo, per Propositionem quintam esstatam hujus capitis si aequale parasielepipedum siub data altitudine vel base data; revoratus erit Ulindrin, prima conm,ac Dramis in parallelepipedum aquale sub data altitudine.
336쪽
Data sphaera qualem cubum coΓ irrefre.
R Rchimedes lib. 1. de sphaera&cylindro Proposit 32. demon- strat,quod cylindrus re stus,cuius basis est, maximus sphaerae oblatae circulus , dc altitudo diametro eius dem sphaerae aequali S, habeat sesquialteram proportionem ad sphaeram. Habet autem idem cylindrus ad cylindrum ejusdem basis,cujus altitudo contineat duas tertias diametri sphaerae, proportionem quoque sesqkΠ- alterant, per Proposit. 14 Libri undecimi Euclidis. Si igitur fiat hujusmodi cylindrus, Scylindro fiat aequale paralles epipedum, per Propositionem primam hujus capitis, parallelepipedo vero aequalis cubus, per Proposit hujus eiusdem capitis , habebitur quod quaeritur,per Proposit p. Libri. II. Euclidis.
Dato cubo aequalem *baram construere.
Ato cubo tanquam prismati, constituatur aequalis cylindrus, per Propositionem tertiam hujus capitis. Deinde Constituatur sphaera constructo cylindro aequalis, hoc est, constituatur sphaera habens diametrum sesquialteram altitudinis cylindri, id est, sphaetae axis comprehendat in se altitudinem cylindri semel, ac insuper ejus dimidiam partem Haec enim sphaera cylindro, ac proinde&cubo dato coaequabitur; propterea quod Cylindrus ejusdem basis altitudinem habens aequalem diametro sphae essesquialter est tam prioris cylindri, quam datae sphaerae, per i
Duodecimi Euclidis, Libri phimi deshaera es cylindro Archimed
ra diximus hac Pra sitione, non sunt vera praecise o geometric laba enim essent cylindrus dato cubo fas Iris aequalis Per Pr Uoprionem Lerriam hu in capitis, haberet diametrum basis aequalem alii ad ni,cuj- hicbemper conirarium imperatur: eu enim diameter cIrcati mi nor altitudo lateri cubi aequalis.
337쪽
oluerdarastharae aequalem cubum constituere.
Diameter datae sphaerae sit A, circa quam circulus in data sphae- C LXVm ra maximus describatur, eique inveniatur aequale quadra-i-x uitum, per Propositionem secundam,tertiam,aut quartam Capitis quinti hujus Libri, cujus latus sit B; accipiaturque linea C aequalis duabus tertiis partibus ipsius diametri Α, atque inter B dc C inveniantur duae mediae continue proportionales D, dc E; atque super D describatur cubus F. Dico, huius cubum esse aequalem datae sphaerae,
FIat enim parasielogrammum G cu im quadrata basis sit aequalis quadrato ipsius B, hoc eis, areae circuli maximi /n propositaθhaera, habeatque altitudinem ipsi C aequalem, nempe duabuου tertiis partibus diametri egu em datasthaerae: eritque, per ea quae demonstrat Vikalpandus tom. 3 par. 2. lib. I cap. 4. Proposit. 6. 9 Clavim lib. γ . Geometr.pracp. Proposit is solidum G ipsis harae aequale. Eidem autem aequalis est cubus F. Nam quoniam quatuor lineae, B, D, E, C sunt conti-Reproportionales, rei', per Corollar. Proposit. ao. Libri Sexti Euclidis quadratum ipsius B, nempe basis solidi G, ad quadratum ipsius D, nempe basiucubi F , cui B ad E EIt autem permutando sicut δε ad Ε, ita D altitudo cubi F, ad C altitudinem solidi G. Habent ergo solida GOF bases cum altitudinibus reciprocas, se idcirco sunt inter se aequales , por 3 Undecimi Euclid.
liter dato cubo aqualem Maram invenire.
LAtus dati cubi sit A, & intelligatur sphaera B, cuJus diameter sit FbcLX1xaequalis lateri A, eique inveniatur aequalis cubus, per praece- lao XXIudentem Propositionem,cujus latus sit C dictat sicut C latus cubi, ad diametrum ipsius sphaerae B, hoc est, ad A, ita ipsum latus A dati cubi ad D. Dico, sphaeram circa diametrum D descriptam, α- qualem est e cubo dato A.
338쪽
Ntelliganturenim qηatuor lineaeproportionales, C prima ad secandam AA, ut diameter B, hoc eis , ut A tertia ad D quartam,juxta con structionem: eruntque ipsis in enti olida cubicas milia etiam proportionalia, per 3 . Libri Undecimi Euclidis. At 'haera ad haeram habet ean dem rationem, quam cubus seper diametrum primae haera adcubum super diametrum secundae,ut demonstrat Villalpandus loco cst. Cap. l. Lem male a. quoniam demonstratum eis ab Euclide Proposit. ι8. Duoricimi, spharin intersi esse in triplicata ratione diametrorum qua etiam ratione se habet cubus ad cubum, per 33. Indecimi Euclid. Ergo sicut cubusμ- per C, adcubumsuper A desicriptum , it haera B, ad ρ baram, quasuper D deseriberetur: spermutando, per 36. Quinti Euclidis, ut cubusώ- per C, a Pharam B , ita cubus super A, a 'haera ver D des iam. Sed cubus super C,postus eaqualis θhara b , ergo se cubos A erit aqua-
supra basiim quot Mue angulorum s es e
QPhaerae datae fiataqualis cubus, per nonam hu)us; &basicubi fiat aequalis figura quotcunque laterum, si ve ea regularis sit,sive non,per i 7. Sexti Euclidis, & supra hanc figuram erigatur sollidum rectangulum ad altitudinem c tibi; erit solidum hoc aequaIccubo constructo, . Coro ar. 7 Duodecimi.
Sphara data aequalem pyramide acere .
OUia cuicunque prismati construi potest pyramis aequalis, per Probl. 3. hujus: si sphaerae sat aequalis cubus per nonum hu.jus; dccubo tanquam prismati fiat aequalis pyramis; erit eadem Pyramis sphaerae aequalis.
339쪽
Sphaera data aqualem cylindrum facere
ARehimedes lib. i. de sphaera & cylindro, Proposi ti32. demonia strat, cylindrum rectum, cujus basis est maximus sphaerae datae circulus,& altitudo diametro ejusdem sphaerae aequalis,sesquialteram habere proportionem ad sphaeram, hoc est, esse ut 3 ad x. Habet autem idem cylindrus ad cylindrum ejusdem basis, Cusus altitudo contineat duas tertias diametri sphaerae, proportionem quoque sesquialteram : Ergo posterior hic cylindrus est aequalis sphaerae,
Data obara aqualem Conum facere .
Ioniam cuilibet cylindro conus fiori potest aequalis, perProblema tertium hujus capitis , Si cylindrus extruatur sphaerae aequalis,per praecedens Problema,supra basem videlicet maximo circulo in sphaera aequalem, & cujus altitudo Contineat duas teriatias diametri; deinde huic cylindro aequalis conus fiat ; constitu tus erit conus datae sphaerae aequalis.
Sphaeram cuilibet corpori regulari aequalem
construere s Ubo aequalis sphaera construitur per dicta Problemate decio mo & duodecimo. Tetraedro sive Pyramidi regulari aequalis sphaera construitur, si Pyramidi fiat Parallelepipedum aequale, per Problema tertium hujus Capitis, huic parallelepipedo fiat cubus aequalis,per Problema quintum hujus Capitis , & tandem huic cubo fabric tur sphaera aequalis, per Problema so Ocri hujus Capitis. Octaedro, Dodecaedro, & Ico edro fiet aequalis sphaeret hac ratione. omnibus basibus cuiuslibet corporis regularis his tribus, fiat quadratum aequale, reducendo nimirum quamli- α
340쪽
bet basim in quadratum,per Problema nonum Capitis terti au-jus Libri; dc deinde omnibus basibus in quadrata reductis inveniendo unum quadratum aequale omnibus quadratis, per Problema z. Capitis tertii, hujus Libri. Deinde super hoc quadratum fiat pyramis habens altitudinem aequalem perpendiculari e centro corporis ad quamlibet basim ductae, hoc est, altitudini uti lus
pyramidis ex iis, in qu as corpus dividiture centro. Erit haec pyramis, per Sextam Duodecimi, corpori regulari aequalis, quippe curii, per nonam diuisti, ita se habeat tam pyramis haec quadrilatera ad unam pyramidem corporis regulariS, quam omnes pyramides corporis regularis ad unam pyramidem, ut basis illius, vel bases omnium pyramidum corporis, ad unam basem, propterea quod in Octaedro proportio est utrobique octu pla, in Do de cad-dro duodecupla, in Icofaedro vige cupia . Quare si toti illi pyramidi construatur cubus aequalis, eo modo, quo diXimVS paulo ante de Tetraedro; atque huic tandem cubo sphaera aequalis fabri-lcetur; erit eadem sphaera illi pyramidi, hoc est, corpori regulari
D ris duobus aut pluribus cubis, uUum aquam lem Ocer
SI dati cubi duo, vel plures, fuerint inter se aequales, facile in unum cubum coagri entabuntur, si duae quaevis lineae accipiantur, quarum una aleeram toties continear, quot sunt cubi adsignati, ac mOX cubuS UDUS inveniatur, per Problema vigesimum sequens,qui habeat ad unum ex dictis cubis eam rationem,quam masor linea habet ad minorem; cubus enim e)usmodi inventus aequalis erit omnibus datiS. Si dati cubi sine inaequales , construatur , per Pro lema octavum hujus capitis , supra basem superiorem primi cubi parallelepipedum rectangulum secundo cubo aequale, ut fiat unum parali
lepipedum duobus cubis aequale: & supra hujus parallelepiped basem superiorem aliud parallelepipedum aequale tertio cubo,& sic deinceps, si plures adsint cubi: his enim factis, constructum erit parallelepipedum omnibus propositis cubis aequale. Huic