장음표시 사용
433쪽
ctionis planorum; vel hoc signo, Δ, ad significandum quod inserviat reductioni planarum figurarum in alias figuras planas cloquendo semper de regularibus figuris) v. g. trianguli aequilateri in quadratum, circulum, pentagonum, hexagonum &c. & victu
Hanc lineam ita divides tam geometrice,quam arithmetico ex linea fundamentali, divisa in mille particulas. Concipe triangulum aeqni laterum N aequiangulum DA B,descriptum ad intervallum fundamentalis lineae,cujus proinde latus A B sit mille partium. Quaere quadratum aequale huic triangulo; quod sic invenies. Divide ΑΒ bifariam in C,& ex angulo D demitte rectam D C, quae perpendicularis erit ad basin A B,per schol. 16 Primi, seper Coronr. tertiae Tertii, ac proinde parallelogrammum rectangulum ex DC, &CB, erit aequale triangulo DAB, per dicta siu-pra Lib. 3 Parte 2. Probl. 3. dc consequenter quadratum huic parallelogrammo aequale, erit etiam aequale triangulo. Latus autem quadrati dicto rectangulo aequalis est media proportionalis inter D C, & CB, nempe recta CE, vel CF. Quam quidem invenies geometrice per Lemma 3. Lib. 8. praecedi arithmetice vero per Lemma f. esusdem Libri. Eandem per sinus M Tangentates invenies esse partium 618, qualium fundamentalis est mille. Nam quia in triangulo D C B, latus B C est soo partium, & angulus D B C 6o graduum; erit DC tangens 866 partium. inquire jam inter C B Foo ,& D C 8 66, medium numerum proportionalem , addendo scilicet duo latera C B, D C, & ex summa inventa extrahendo radicem quadratam; invenies illam partium 618 , laeus videlicet C E seu C F, quadrati E p, quod erit aequale rectan. gulo praedicto,per decimam septimam Sexti. Si itaque in lineam aed. Plan. transferas ex fundamentali particulas 618,&facto puncto rapponas hoc signum, G, habebis latus quadaati aequalis triangulo AB. Ad inscribendam Diametrum Circuli proximε aequalis ei-em triangulo D A B, seu quadrato E F ; sicprocede. Quoniam quadratum diametri cuiuscunque circuli se habet proxime ad rculum ipsum ut i4 adta,ex Archim.libet. Di mens circuli, proos. 3; accipe rectam C H, quae se habeat ad rectam C F, ut i adi, id est, cujus particulae ad particulas 618 habeant illam propor-
434쪽
tionem, quam habent r4 ad ri; deinde inter has duas lineas C F. C H, quaere mediam proportionalem C G ; eritque C G diameter circuli proxime aequalis quadrato E F, dc consequenter triangulo AD B. Nam cum tres rectae C H, CG, C F, sint continue proportionales ex hypothesi, erit,per Corollar. vigesima Sexti, CH ad C F, ita quadratum C G ad quadratum CF: Sed CH ad CF se habet ut i ad ir; Ergo & quadratum rectae C G ad quadratum rectae C F, erit ut i ad ri. Ergo C G erit diameter circuit aequalis quadrato EF, seu triangulo AD B. Reperitur autem numerus p reicularum diametro C G competens, si fiat, ut ii ad i ,
ita quadratum lateris C F, 6s8, quod est 432 64, ad aliud ; reperies enim Ffio 3,cujus radix quadrata dat 7 2particulas prodiametro C G. Transfer ergo in lineam praedictam Reae Plan. particula4 7 2, &punctum inventum nota hoc signo O. Simili ratione inscribes lineae praedictae in Instrumento notatae latera reliquarum fisurarum planarum regularium. Ut si inscribere velis latus Pentagoni aequalis inscrjpto Jam triangulo, aut quadrato, aut circulo , sic procedes. Describatur pentagonum aequilaterum&aequiangulum ΚNO cujuscunque magnitudinis; &a puncto ipsius medio I, quod invenies per dicta Libro tertio,Parte 2,PrQblem.1,in Anno t. ad quodlibet ejus latus, nempe ad latus No,ducantur rectae I N, IO, eritque triangulum
INO, quinta pari dicti Pentagoni, ut patet ex dictis loc. cit. Dividatur jam unum latus supradicti trianguli aequilateri AD B,v. g. latus AB,in quinque aequales partes,quarum una sit Q R eritque, ductis rectis D Q D R,triangulum quoque D O R quinta pars totius trianguli A D B,per primam Sexti. Fiat jam ut perpendicularisIP,adlatus N O,ita perpendicularis DC ad aliam S,bc inter duas, Q R, & S, accipiatur medi proportionalis T. Dico, hanc esse la. tus Pantagoni aequalis triangulo A D B, dc consequenter quadrato EF,N circulo C G. quod ita demonstro. Sumatur V X, aequalis ipsi T, dc supra ipsam fiat triangulum VXY simile similiterque positum triangulo l N O,per decimam
octavam Sexti Euclid. ita ut lateri No correspondeat latus V X; dc ab angulo Y demittatur in latus V X, perpendicularis YZ. Erit igitur, propter triangulorum lNO, YUX, similitudinem, ut i pad N O, ita YZ ad V X , per quartam Sexti Euclid. Sed ut i P ad Ν
435쪽
Varius. 3 VO ita Lista fuit DC ad S, Ergo DC ad Serit, ut YZ ad VX,pim undecimam Eainti Euclid. Praeterea, quia S ad T, hoc est , ad V X. quae ipsi T aequalis est, eandem habet proportionem, quam eadem V X. hoc est T ad Q R est enim T media proportionalis inter S & QR erit ex aeq ual j tate vigesima ecunium Euinii Eu- ebd DC ad vX, si ut YZ ad Q R. Quare cum in triangulis DQR, V X Y, reciprocentur altitudines cum basibus, erunt illa inter se aequalia , per decimam quintam Sexti Euclid. ideoque quinque triangula V X Y, aequalia erunt toti triangulo D AB. Atqui quinque triangula V X Yeficiunt pentagonum aequi laterum & aequiangulum, propter similitudinem quam habet triangulum V X Ycuiutriangulo lN O; Ergo latus VX,quod respondet lateri NO, erit latus pentagoni, quod quaerebatur, hoc est, aequalis dicto supra triar gulo, quadrato,& circulo. Quod quidem latus V X erit partium Oo circiter, qualium A B est iooo. Si igitur inventam lineam V X, aut particulas JOo lineae fundamentatis,transferas in Lineam Reductionis Otinorum jam antea in Instrumento notatam,& apposueris puncto notato signum O , habebis latus Pentagoni aequalis triangulo D A B scc. Eodem omnino modo invenies latera reliquarum figurarum planarum regularium, nempe latus Hexagoni, Heptagoni, Octogoni dcc. eaque in lineam Reductionis planorum transferes. Latera Polygonorum aequalium & aeque capacium, a trigono usique ad dodecagonum, una cum diametro circuli aeque capacis, exhibemus in sequenti tabula, in qua prima Columna continet ordinem polygonorum, secunda cotinet latera in partibus iooo, tertia vero latera in partibus ioo. Addidi in quarta columna r dios, si lubeat polygona circulo inscribere.
Pro Reductione sim commutatione planorum
436쪽
PRAGMATI A X.Lineam Reductionis Corporum regularium Instru
mento Insicribere . IN Instrumento fac lineam aequalem lineae fundamentali,& extremitati ipsius appone signum tetraedri seu pyramidis, vel syllabam Terea: Deinde ex linea fundamentali transfer in hanc lineam particulas hoc ordine: 6 O,6O8, 9o, 3782 9; ac primo quidem numero adscribe syllaba Octa. secundo Gob tertio Cub. quarto Icos: quinto Dodec. sed haec omnia intuere in sequenti tabula. Significant hi numeri magnitudinem laterum corporum regularium, ac globi, aequalium&αque capacium,posito uno latere tetraedri seu pyramidis regularis Io oo partium. Si autem pyramidis latus ponatur roo partium, reliquorum corporum latera exhibentur in tertia columna. Quomodo in veniantur latera reliquorum corporum dato latere tetraedri, idque geometrice, docet ac demonstrat fuse Cla vius Lib. s. Geometriae practi eae cap. . & Mutius Oddi in Fabrica circini polymexri cap. 7, quos vide.
Pro Reductione Corporum regularium.
Qubd si quinque regularia corporabo, utere sequenti tabuiqinscribere desideras glo-
437쪽
Pro inscriptione Corporum regularium in il bara.
Lineam media sextrema ratione siectam Insis mento insicribere.
IN Charta aut plano quocunque fac lineam rectam aequalem Lineae fundamentali, eamque seca media & extrema ratione, M sic factam transfer in Instrumentum, adscriptis syllabis, Lin. meae seram rat. hoc est, Linea media & extrema ratione secta. Censetur autem linea tunc secta esse media dc extrema ratione, quando tota ad majus segmentum habet talem proportionem, qualem majus segmentum ad minus. Haru vero sectio fietali pacto, ex Euclid. lib. 2. Elem. Propos. II. Sit secanda media & extrema ratione linea AB. In puncto Fig.CCXVA erigatur A C aequalis ipsi A B, & dividatur bifariam in D, duea i*0 3 i turque recta D B. Haec recta D B transferatur ex D in E lineae DA productae, spatium vero A E transferatur in F; eritque A B in F secta prout postulabatur. Vel brevius , erigatur normaliter AD aequalis dimidiae AB, &ducatur DB, in quam transferatur spatium D A usq ue in G, spatium vero G B transfer in A B ex A in F, dc habebis intentum. Non potest haec sectio exhiberi in numeris, quia nullus numerus potest praedicta ratione secari, ut probat Clavius lib. p. Elem. Euclid. Propos. 16.
438쪽
Lineam metasticam insicribere Iustrumento.
Orpora regularia, ut sphaerae,cubi,& similia, diversorum me M tallorum, aliarumque materiarum , comparari inter sepose sunt dupliciteri, mole, ac pondere. Pondere comparatio fit,quando inter corpora diversi generis mole aequalia, at inaeqUalia pondere constat enim, corpora diversorum generum, licet mole aequalium, non esse e usdem ponderiSὶ quaeritur quae sit ratio ponderis illorum, & quanto unum altero sit gravius, aut levius. Magnitudine autem fit comparatio, cum posita pari gravitate earundem, quaeritur, quae sit ratio seu proportio magnitudinis eorundem, quantove sit unum altero majus, aut minus. Possunt praeterea corpora ejusdem generis, sed molis differentis, comparari inter se quoad pondus, & e contrario corpora ri uidem generis, sed differentis molis, comparari inter se quoad magnitudin C. Omnibus his comparationibus inservit sequens linea instrumento nostro inscribenda, quam Lineam metallicam vocabimus, quia frequentius fit comparatio corporum metallicorum, quam alterius materiae. Sie autem praeparatur dicta Iinea. In Instrumento duc lineam rectam cujuscunque longitudinis, in eamque transfer ex linea fundamentali partes in sequenti Tabula nota tas, desumptas vel eX prima, Vel ex secunda, vel ex tertia columna, Punctis finalibus appone vel signa, vel syllabas, quae significent metalla & Iapides, eo ordine, quo in tabula notantur. Crux apposita significat accipiendum esse paulo plus; vir gula vero seu lineola transversa, paulo minus.
π Stannum ' Ferrum 2 Cuprum D Argentum a plumbum
439쪽
Lineam decem librarum c usicunque metalse
determisare UT oblatis quibuscunque globis ferreis inveniatur illorum
pondus, necesse est notam habere diametrum unius globi ferrei determinatum pondus habentis. Similiter ut oblatis globis plumbeis, stanneis&c. sciatur illorum pondus, necesse est,unius illorum determinati ponderis diametrum habere notam. Hic ergo docebimus, quomodo possimus invenire diametrum globi metallici cujuscunque librarum decem,&ponemuS CXemplum in globo ferreo ; caeterorum enim metallorum emi eadem
Sume igitur globum ferreum, quam poteris maximum, eumque diligentissime & exactissime pondera. Sume deinde ejusdem globi diametrum circino recurvo, & sit A; pondus vero globi sit i librarum. Divide A in partes 2 ,α illarum decem trans-F. CCXII. fer in lineam B. Inter has duas lineas A&B, quaere duas medias Ico.XXiX, proportionales per dicta stupra hoc Lib. cap. 1, & Lib. 8. cap. 1; quarum illa quae diametro A vicinior erit,nempe C,erit diameter globi ferrei decem librarum. Ratio est, quia sphaerae habent triplicatam rationem suarum diametrorum, per 2. Duod. Euclid. Hanc lineam C inventam inscribe Instrumento, eique appone syllabas, Lin. Metal. Eadem ratione invenies aliorum metallicorum globorum pondus decem librarum.
PARS SECUNDA.De usu Linearum polymetrarum Instrumento inscriptarum.
Uras linearum, quas hactenuου Instrumento nostro inseriberericul- min, Immensus prope est, er omnes fere Mathematica blectes vagatur,
440쪽
gatur, ut exsequentibu patebit. A ipsum Uum requiritur Regulcera. mrecta, se circinus ordinarius bene acuminatu Docebimus earum usum in Numeris, in Lineis, in Super ciebin, in Corporibus, ct aliis.
De usu Linearum pol metrarum in Arith meticis operationibus, Problemata Arithmetica .
OUam ingeniosus, tam facilis est usus Polymetrarum Line,
rum in Arithmeticis operationibus, saltem in abi quibus, ae praesertim in quatuor Vulgatis speciebus,quae sunt AD D m o,Sus TRACTio, MuLTIPLI CATIO, DI VI Slo: adeoquidem, ut intra smmiquadrantis spatium quilibet, etiam nullo paene ingenio praeditus, ac vel ipsi pueri praedictas quatuor species addiscere queant ut patebit ex primis quatuor Sequentibus Problematibus ; reliqua vero paulo plus ingenii requirunt.
PROBLEMA LEAddere plures numeros inter se.
AD hanc oporationem inservit Linea Arithmetica in partes
aequales divisa. Sin autem instituitur. Accipe circino ex Linea Arithmetica tot particulas, quot unitates continet primus numerus addendorum, & circini a peratura manente in Variata pone unum pedem in termino alterius numeri addendi,alterum vero pedem extende quousque pertingit; &. habebis summam duorum numerorum. Si adsint plures numeri addendi, additis inter se duobus prioribus modo dicto, extende circinum eX ultimo termino usque ad initium Lineae, occircino itidem invariato manente, pone unum pedem in termino tertii numeri addendi, alterum vero extende quousque pertingit; & habebis summam trium numerorum. Eodem modo procedes in additione quotcunque λliorum numerorum.