장음표시 사용
461쪽
De divisione Circulorum in suas partes problemata Cyclometrica.
INter reliquas lineas Instrumento inscriptas habetur una pro divisione Lineae circularis, altera pro divisione quadrantis. Harum ope persicientur sequentia Problemata. Posthac autem omittimus fere Demonstrationes, quia vix, praedictis differunt.
circulum is quotlilet partes diviar
FIt hoc ope Lineae, cui adscriptum est, tineae circularis divisiosic. Sit datus circulus FGI, cujus pars decima sit 3CCipienda. Ducleo. xxx. rectam A C, dc centro A,intervallo totius praedictae Lineae Instrumenti fac arcum C D, in eoque coapta semidiametrum F G circuli dati, a C usque iii D,& duc rectam A D. Deinde sume circ no ex eadem Linea Instrumenti intervallum inter principium oceto, ta ex centro A describe arcum E F; eritque subtensa E F deci. ma pars circuli dati in ter G & I.
Polygona quaelibet cuilibet circulo inscribere .
la Dic patet, quomodo dato cuicunque circulo inseribendasitquaecunias, que silura postgova regularis, V g hexagonβ, sep agona, octogonas . Si enim praesenti circulo inseribenda esset silura decagona seu decem
laterum se angulorum aequalium, transferendum esset intervallum EF, Ceu G I deciesper circumferentiam circuitis uncia inventa rectis lineis onneriunda. B odemque modo procedendum ens in aliis suris in cribem
462쪽
SI magnus aliquis circulm esset dividendus in partes, aut eidem inscribenda Aura poluona regularis, describe intra Vsum ex centro ejus circulum minorem, eumque divide modo praedicio, or ex centro per puncta in minori circulo inventa educ ad circumferentiam magoris lineo, seu a recta, o nota puncta, eaque rectis deinde lineis connecti. I l. Si circulus datio esset dividendus Jpartes,quae in Linea Instrumenti non sunt notatae; aut si eidem circulo inseribenda orent fgura regulares trilatera, quadrilaterae, quinquelaterae; divide ipsum modo jam dicto in f, 8, io partes, ct Jpatium inventum duplica, O subtensa duarum hujusmodi partium erit pars aut latus desideratum. v. g. s dividendus esetpraesens circulus FGI, in quinquepartes,aut i inseribenda gura quinque laterum aequalium: divide ipsum prius in decem paries, quaerendo partam ipsiud decimam GI eamque transfer in Y; eritque*atium inter G es V quinta pars circuli dati, latusque pentagoni. III. E contrariosicirculus esset dividendus in partes minores,quarum numeri non essent notati in Linea Instrumenti , v. g. ect notatum punctum J, non veropu ium Ioisc operare. Euarepartem quintam circuli, nempe GK,s arcum G Κ divide bifariam in I, eritque GI, vel x Apars decima. Idem judicium esto de altu similibus partibus.
quadrantem, aut Circulum in quotlibe radus
Raecedens praxis divisionis circuli dat solum partes, quae sinta latera polygonorum aequi laterii mdc a quiangulorum. Nunc videndum, quomodo dividensus idem circulus, aut quadrans circuli in gradus dc partes quotcunque, sive deinde latera dictorum polygonorum sint quarienda, live non. Fit hoc ope Lineae, cui adscriptum est, Euadrantis divisio, sic: Supra dictam AB praecedentis figurae describatur ex A arcus C Dad intervallum a principio usque ad punctum sexagesiimum praedictae lineae Instrumenti; atque in hoc arcu applicetur semidiameter quadrantis aut circuli dati, ec ducatur recta A D. Hoc
463쪽
Hoc facto, ex eodem A,ad intervallum propositi gradus notati in Linea, describe alium arcum EF, ejusque subtensam transfer in peripheriam propositi quadrantis aut circuli; dc habebis gradus quaesitos. Ratio ex dictis patet. I
CInumerusgraduum quaesitorum major in quam so qui tam in Li- ne a Instrumentisunt notati )quare primo 'O gradin, o deinde relia quossupra 'o, evique adde ad 9 O prius inventa .vgolat accipiendigra- ου 13 O: quaere primo gradu 9O, se deinde reliquos 4 O, eo que adae adpo in circuloproposito inventos. II. Si circului, aut quadranspropositus esset nimis magnus race. de ut di tam Annot. L praecedentis Problematis.
Tartem quamcuuque ex circulo, aut si drante,
EX dictis praecedenti Problemate colligitur, quomodo pars
quaecunque eX circulo,aut quadrante sit accipienda beneficio Lineae Quadrantis. Sit enim accipienda pars trigesima ex toto circulo. Divide totum circulum, hoc est, 36o, per 3O, & provenient in quoto n. Accipe ergo in gradus, & habebis trigesimam partem circuli. Si trigesimam partem quadrantis Vis accipere, divide 9O per 3 O, provenient 3; eruntque eres gradus accipiendi pro parte trigesima quadrantis.
Unum, duos, tres, quatuor sc. gradus ex circulo .
aut quadra te, a Cisre. LIcet hoc possit fieri modo dicto in praecedenti Problemate,
quia tamen arcus E F, descriptus ex centro A praecedentis si-gurae , est nimis vicinus centro A, ac proinde nimis parvus, ideoque lubtensa ipsius dissiculter potest accipi; sic operare. Accipe Aa a 3 Prius
464쪽
Prius modo praedicto gradus quotcunque, V. g. triginta, eosquCnota in circumferentia inter G & Κ: deinde accipe gradus 3i, eo que similiter nota ex eodem puncto G, inter G&L. DistantiEinter Κ& L dabit unum gradum. Simili ratione invenies duos ν
Data Circuli, seu peripheriae portione , in Umire quos
ritu a C It data peripheria GH. Ducta recta A B, accipe circino ex li- c. I es Rea Quadrauli interVallum sexaginta graduum, id est, semia' δ diametri circuli, de describe arcum C D ex centro A 1 iterum ex eodem centro A, intervallo I G, describe arcum E F, i n eumque transfer amplitudinem G Harcus dati ab E usque in F, dc duc rectam A FD: tandem distantiam CD circino interceptam transafer in Lineam Quadrantis, posito uno circini pede in principio Lineae ; alter enim pes ostendet tibi numerum graduum arcus GD, dc consequenter arcus E F, id est, arcus G H dati.
circini aperturiae quantitatem reperire.
CX his facile cognoscitur,quor graduum sira pertura circiniali x cujus, si nimirum in linea A B sumatur porcio A E aequalis cruri circini, & fiat arcus E F aequalis aperturae circini; & ducta recta AF D, fiat alius arcus CD intercapedine sexaginta graduum Lineae Quadrantis, indageturque modo dicto quantitas arcus C D. Sed de hac re, uti dc de angulorum quorumcunque amplitudine cognoscenda, dicentur plura paulo post in capite sequenti
Datum circuli arcum imperatis gradibus augere, vel minuere.
Q It praecedentis schematis arcus G Haugendus,vel minuendus gradibus, Auge, vel minue arcum CD viginti gradibus. - que
465쪽
Uarius. inque ad punctu mL, vel Κ ti & ex A per L aut K due rectas A N L, A
MK; eritque arcus FN,&FM, viginti graduum. Ratio ex dictis patet.
Circumferensia c rculi dati lineam re iam εν
FIeri hoc potest beneficio Lineae Arithmeticae, dc Lineae Proportionis Diametri ad circumferentiam. Per Lineam proportionis Diametri ad Circumserentiam σῖ- . sic. Sit datus circulus FGH, cujus diameter GH. Duc lineam CC xxIVIA C,& ad intervallum totius praediistae Lineae fac arcum C D cen- ico. AARtro A, ad intervallum vero signi ε ejusdem Lineae fac alium arcum E F; in hoc arcu applica diametrum G H circuli dati, ab Eusque ad F, dcducreetam A D, secantem arcum CD in puncto D; eritque itervallum C D aequale Lineae circulari circuli dati; quod is tervallum si transferas in lineam Arithmeticam, invenies
eandem curcumferVntiam in numeriS. .
Per Lineam vero Arithmeticam sic idem assequeris. Ducta recta AC, ad intervallum cotius Lineae Arithmeticae,nc a cum CD, ad intervallam vero particularum 3iφου si in centum divisa est Linea fac arcum E F, & procedui dictun a. Ratio hujus utriusque operationis est facilis.
HInc patet, quomodo data diametro circuiti, inveniatur circumferentia circuli in linea recta. II. Patet praeterea, quomodo data circumferentia circuli reperia-sκr diameter, si nimirum circumferentia applicetur arcui GD, s ducta recta A D fiat arcus E F modo dicto.
A Liter etiam ex Linea Arithmetica reperies circumferentiam ex diametro datas ad intervallum eptem, aus quatuordecim,aut viginti unius, aut viginti octo punctorum describas arcum E F, eique applices diametrum datam, o ducas rectam A F D; ct deinde adinter vastum D,
466쪽
aut 44, 66, 88 sec. punctorum destribu arcum CD: nam intervalgum CD da bit circumferentiam. Data vero circumferentia invenies diame
Datia Circuli arcu, reperire diametrum circulicujus est arcus.
P. CCXXV D dasti arcus terminos subtende rectam, eamque biseca, My-ψ, ex pusincto bisectionis erige perpendicularem in arcum datum, quae a rcum secabit bifariam ; subtensa semiarcus erit media proportionalis inter diametrum 6c interceptam. Sit datus arcus E A D, M sit quaerenda diameter circuli, cujus est arcus. Ducta recta E D pe r arcus dati extremos terminos E & D, seca illam bifariam in B., & erige perpendicularem B A; semiarcui vero AD subtenderoctam A D. Dico, hanc esse mediam proportionalem inter erectam B A,& diametrum quaesitam. Quaere ergo rectis A B, A D, tartiam proportionalem, per undecimam libr. Sexti Euclidis, & habebis intentum. Ratio est,quia duo triangula A BD, A E D, stan tarquiangula: nam anguli A BD, A D EAunt recti, ille per consti uctionem, hic per trigesimam primam Tertii; angulus vero EA D communis est utrique triangulo, & reliquiae. quales sunt, per 2. Prami. Ergo, per Parram Sexti, ut B A ad AD,
SI AB es A ra notissint in numeris, duc A D in sic ipsum, se productum divide per A B ,prodibisque A E; quoniam qui a medio A D est icitur numer- qmilis ea I ei quisub exiremis A A, AE coniiuersor, per vigesimam Sepristit.
Datum circulum in data proportioue a gere, vel
miuta re. INter terminos datae proporticinis quaere mediam proportionalem, per Problema decimum Capitis secundi praecedentis. Fac deinde, ut primus terminus proportioniS ad mediam proportionalem
467쪽
nalem inventam, ita circuli data diameter ad aliam; ex hac enim circulus descriptus eandem habebit proportionem, quam termini dati. Esto circuli data diameter T,& circulus faciendus novies major. Igitur termini proportionis datae sunt i& 9, interque eos medius proportionalis est 3. Dic ergo, uti ad ita γ ad ri, eri que circulus cujus diame uer est 2 i, novies major circulo dato, Cujus diameter est I. Demonstratio patet ex dictis Lib.8. Capite V. Problem. 2. dc Io.
liter datum circulum in data proportione augere,
vel minuere. FIt hoc ope Lineae Arithmeticae & Tabulae sequentis, quam desumpsimus ex Amuis Ferdinan dea Decade 2 Problem. 7.
Tabula pro augendis ac minuendis circulis in data proportione.
N hac sequenti Tabula proportio est expressa numeris Roma nisi termini vero respondenteS,siVeradices quadratorum, expressi sunt numeris vulgaribuS. I
468쪽
s auit Usus hujus tabulae hic est. Sit augendus circulus A B in pro .eCYXVI. portione quadrupla. Duc rectam CD,¢ro C, intervallo ςQ- XXX decem particularum lineae Arithmeticae, fac arcum E F, in eoque applica diametrum A B circuli dati,abE usque ad F,6c duc rectam CF indeterminatam. Et quia ad numerum i V m quem data magnitudo multiplicanda est adscriptus est numerus zo, ideo eodem centro C, intervallo viginti particularum Lineae Arithmeticae, fac alium arcum G H, secantem rectam C F productam in punctu H. Recta G H, subtendens arcum G H, est diameter circuli, eXquo descrjptu circulus quadruplus est prioris. Esto iterum circulus G H diminuendus in proportione sub quadrupla, hoc est, danduβ sit circulus, qui sit quater minor ci culo dato. Expone lineam, ut antea, C D, & centro C ad inter eo quod in tauula praemiua numero IV adscriptus est numerusto in eoque applica diametrum G H, ducta recta C H. Deinde ad intervallum decem particularum Lineae Arithmeticae fac a lium arcum E F. Recta EF huic arcui sub Nisa, est diameter cir-
OV dixi de Diametro, dicendum uin eo de radio circuli dati se quaesiti, in enim eadem proportio diametri adste diametrum, quae diametri ad diametrum. Ratio porro hujuc praxis fundatur in dictissupra lib. 8. cap. V. De transmutatione circo in alias figurassianas aequalis capacitatis, dicemWlρ si ea
469쪽
De usu Linearum Polymetrarum in angu lis, atque triangulis;
Mn lum rectilineum ad desideratam mens-
ram conseruere. Construendus sit angulus rectilineus triginta graduum. Du' ccxxvli
cta A B qquali lineae fundamentali,dc facto arcu B D indeter-ico. XXX. minatae magnitudinis,accipe ex linea Graduum intercapedinem triginta graduum, eamque transfer in arcum BD, ex Bin D, dc duc rectam A D; eritque angulus B A D triginta graduum.
Amplitudinem anguli rectilinei dat; cognoscere.
SIt datus angulus rectilineus G F Η, cujus amplitudo quaeritur. Ducta recta A B,fundamentali lineae aequali,& arcu B D quantocunque.describe ex angulo F dato arcumG Had quodcunque intervallum Deinde ad intercapedinem F H describe ex puncto A, arcum C E indeterminatae magnitudinis, accipeque circino transversam HG, eamque transfer in arcum C E, ex Cin Ε, dc duc rectam A E D,quae secet arcum B D in D. Tandem trans. versae BD magnitudinem circino acceptam applica ad lineam graduum,dc dabit tibi amplitudinem anguli A, dc consequenter anguli R
470쪽
Dato crure utroque trianguli rectanguli, invenire basin, s utrumque angulum acutum.
SInt crura data partium 8 dc 6. Constitue in plano aliquo angulum rectangulum C A B, cujus utrumque crus aequale sit lineae si .iae e sensi mentali. Deinde eX linea Arithmetica sume circino par xxviii. tes 8, easque transfer ex A in D; item partes 6, easque transfer ex Ico. XXX. Ain Ε,&duc basim ED. Tandem intercipe hanc basin circino, eamque transfer in lineam Arithmeti Cam; & quot particularum erit haec basis, tot particularum erit basis trianguli dati. Angulorum acutorum amplitudinem invenies per praecedens Problema.
PRO numeris 8 6, accipipossunt eorum multiplices 8o , χ. Sinmmeri dati sint nimis magni, ut 8o O, ct 6o O ,simi possunt eorum locoseubmultiplices 8o96o, vel8 or 6, aut alii quicunque. Vestartes linea Arithmetica sunt olimandae multiplices, tribuendo uni decem, aut cen-
Datis basi crure uno trianguli recit anguli , crus a
terum, , angulos acutos Invenire.
SIt basis data decem partium, & crus datum octo partium. Fac angulum rectum, ut antea, C A B, & accepta circino in linea AB intercapedine 8 partium ab A ad D, accipe eodem circino intercapedinem decem partium, dc posito uno circini pede in D, altero invariato manente nota punctum in A C, nempe E v. g. deduc rectam E D. Quot jam partibus Lineae Arithmeticae 'qualis erit Linea A E, tot partium erit alterum crus trianguli dati. Angulos mensurabis per praecedens Problema II.