장음표시 사용
451쪽
magnum; si, rus,perparvam. Sic in casi risito octavapars auferenda multiplicii poreuper cessa σψO, o intercapedine ψOparticulam eri unus arcu interca aene vero sartium quinque, aliuW, ct ab Lis operatio ut dictum. II. Si nimis longa esset linea data, ita ut intra areum desiriptum nonposset commos applicari, eo quod nimis obtuyussieret angulus DA C; procedi potest ut dictum in praecerinti Problemate, accipiendo videlicet secundam, rertiam sec. partem totim lineae datae, in procedendo eum styasI cum iota linea, partemque inventam duplicando, ιriplicando potest etiam sic procedi. Accipe tertiam V. g. partem totius lineae, quam in octo partes vis dividere,dc multiplicando S per ro, describe ad intervallum 8o particularum arcum CD, in eoque applica partem tertiam, di fac angulum D A C. Multiplica deinde io per 3,ut fiant 3 dc ad intervallum triginta particularum describe arcum E F,in eoque applica lineam, echabebis tertiam partem totius lineae datae. Ratio patet ex demonstratione facta. II l. Sipars aliqua valde parva user accipienda procede ur dictum inpraecedente Problemate Annotatione tertia, ct diuor in Problemate sequeoti annot. 3.
Ex quavis recta linea accipere quotcunque partes de
cimas , ac centesimas. F It ope lineae Arithmeticae,quae divisa est indecem partes,& harum quaelibet in alias decem. Si data linea est aequalis Lineae Arithmetieae, accipe partes circino ex Linea Instrumenti dicta, & transfer in lineam datam, di habebis intentum. v. g. vis accipere ex linea septem decimas raccipe ex Arithmetica linea septem partes majores. Vis accipere Parte 37, accipe eX eadem 3 minoreS.
Si data linea est inaequalis Lineae Arithmeticae, duc, ut supra, Figura rectam AC quae adaequet lineam totam Arithmeticam , fac ar-ς LXV iii, Cum CD, applica lineam datam a Cv. g. usque ad D, d uerectam 'μ' ἔδ/K A D. His omnibus factis, accipe circino ex Linea Arithmetica P rte. dosideratas, v. g. 7, auς37, Rad ipsarum intervallum duc
452쪽
arcum E FI&ducta linea E F erit aequalis γ,aut 37 particulis linea datae, si ea in decem, aut centum particulas divita intelligatur. Eodem modo procedes, si Linea Arithmetica sit divisa in mille particulas, & tu desideres eae linea data accipere part quotcunque millesimas.
L Emonstratio est eadem cumpraecedent busproxime Problematibu
I linea data longior eis quam Linea Arithmetica, operare contrario modo, hoc est, intercapedine linea data fac arcum CD ex A centro, in eoque adapta lineam Instrumenti a C inque ad D, se ac angulum DA C. Accipe deinde circino ex Linea Instrument partes desiderata , v. g. 3T, ct ista divaricatione circini quaere duo puncta, E , F, aequaliter a centro Λ distantia, in duobus cruribus AD, AC, se alium A E, aut AF , contatinebispartes 37 ex linea dat .
Tmodus operandi inversus eis, ita se demonseratio. Trianguli D A C latera AD, AC, aequabasunt, per decimam quintam Defin. Primi lib. Eucliae Latera item A E, A F, trianguli AEF, aequalia sunt . ex conseructione: ergo proportionalitersecusnς latera A D, AC; ergo parallatae sunt lineae EF, C D, per secundam Sexti , ac proinde aequiun- tulissent duo praedicta triangula. Vt ergo E F ad C D, ita A E, ad AC sed E F continet partes 37 totiuK D C; ergo , A E continebit 37 totius AC partes,
Ed quia discile eis, invonire circini apertura immota duo pun D E 'aequaliter remota a centro A, operaripotessic. Ex rec a C D applicata ut dictum Annotationepraecedente , abscindepartem CG 37 particularum, accipiendo isias ex Linea Arithmetice ; Grduc recisam GF parasielam recta A C, eritque F unum duorum puncZorum : si itaque recta
A F aequalemsum eru AE, o duxeris rectam E F quae parasiela erit rectae DCP habebis alterum punctum, es con equenter rectam A E conti, νω cm partei 3 7 Iotim lineae data.
453쪽
LAtera a P, C Usunt stem proportiona iter, per 2. SeXei, propterparallelas F G, A C;αν ut C G continet partes 3 toti-C D, ita a F 3 utims AT . Iterum FE, ct D C sunt parallelae, quia ex operatione Derititera AD, AC ,sensecta prvortionaliter inpunctis EsFi ergo ut a continet 37 totiuου A D, ita A E 37 totius A C.
ADhuc aliter se facilius ex data linea longiori accipies partes deside
ratas, v. g. 37 stoliud linea datae accipias partem dimidiam , remitam sec. sproceri, ut dicrum Problemate primo Annot. 2.
SI una, duae orescentesima essent accipienda ex linea proposita, operara c. Accipe dicio modo particulo lineae propositae v. g. triginta primo , deinde triginta es unam, aut triginta duaN, aut triginta tres oec. ea isque nota impressissimctis ; se disserentia inter duas uias lineis stupuncta notata dabit unam, δεπι, tres centesimo.
Ex data liuea recta auferre partem, quae vel ad totam , vel ad res iduam, habeat proportionem
datara . SIt G H linea data, sitque secanda in duas partes, ita ut una ad tota trilit v. g. ut ad H, seu ut γο adi Io.) Problema absolvitur ope lineae Arithmeticae. Ducatur recta A B, in eaque sumatur A C aequalis undecim particulis Arithmeticae lineae; item A Eaequalis septem particulis ejusdem Arithmeticae. Deinde centro DCCXIX. A,antervallis A E, dc A C, fiant duo arcus D C, & F E ; & in arcu D IRR- δὲ εC aptetur linea data G H,a C scilicet usque ad D, ducaturque recta A Daecans arcum F E in F. Dico, si circino accipiatur aistantia E F, & transferatur in datam ab H in I datam G H esse sectam
454쪽
CIAtet eo militudine triangulorum E A F , CA L n quibus in ut A E- ad AC, hoc est, ut Tadu, ita EFadCD, hoc eis, HIadHG. Atque hac ratione secta est recta ita, ut pars ad totam habeat rationem datam. Si secanda sit ita, ut pars ad partem habeat rationem datam, v. g. ut γ ad 4; sumatur ex recta A B primo paraticulae septem, v g. A E, deinde particulae quatuor, v. g. E C,&procedatur ut dictu in; eritque GI ad lΗ, ut ad γ.
Lotopartium γ se ii, accipi possunt ex Linea Arithmetica, s transferri in AB, earum multiplices, nempe dupti, tripti Oc. se procedim dictum. Et hoc expedilfacere, quando data en nimis parva. l I. Si data linea in nimis longa ta ut in arcu C D non possP applicari ; dividatur in duas, aut tres partes,c cum una parte procedatur modo dicio, spartes G I, IHrepertaesumantur toties, in quot parte uit di. mi se tota linea data. Vide dici a Problemare primo Annot. 2.
Datam re tam terminatam sicare, usecta e Li
aba data. r. ccXX. C It data recta N O, secta in P dc Q; sitque data recta IX secanda
coa.AXA om L& M similiter. In rectam A B transferantur partes N P, NQ,N O, aut earum multiplices, aut etiam submult iplices &. ad ipsarum intercapedines e centro A describantur arcus HG, FE, D C. Arcui D C adaptetur recta I Κ, a C usque ad D. v. g. dc ducatur recta AD, secans reliquos arcus in FI&F. Dico, si intelli gantur ductae rectae G H, dc EF, & transferantur in I K ab I in L& M ; totam IK esse sectam in L & M, ut secta est N O in P & Q.
457쪽
T TIM eolligitur, quomodo siecanda it recta data secundum Ham ρυ- 1 a portionem, quam habent duae aut tres aliae datae inter se. Sint enimaeva lineae NR, O .sto, qua habeant rationem quamcunque,s divideπ- risit Lysimiliter. In rectam a B transferantur NwsRO, flantque iseis quales AE, or EC. Deindefiant arcuου CD, EF,ctis arcu C Da licetur Ix, ducaturque recta A D scans arcum EFin F, ct cattarrecta E F, quaesitranferatur in IKab Iin M, erit haesecta ines iis, inrMMMRhabeat eamproportionem, quam habet Ndia Ito.
Datam rectam di Uidere is proportioue datam, quam do numeri proportionissimi majores quam num rus particularum Lineae Arithmetica.
Inea Arithmetica divisa est, ut suppono, in centum particulas, uterque vero proportionis terminuS,hoc est,tam antecedens, quam consequens, est major quam centum, vel saltem unus ipsorum, nereipeantecedenai sic proczde. . cc rix' Quando solum antecedens terminus est major quam Ioo, ' leo.XAM. g. quando in exemplo praecedentis Problematis quarti dividenda est GH lea, ut tota G H ad partem G Isit,ut ii o ad 87: divide majorem numerum tr o per numerum quemcunque dummodo quotus resultans nou sit major quam Ioo v. g. per 2,ita ut quotus sat ys: similiter divide lineam GH datam in duod im pamtes. His factis expone lineam AB, Sc intervallo yy particularum describe arcum DC, in eoque applica duodecimam partem lineae GH;&ducta recta AD, describe alium arcum EF ad inter vallum 87 particularum. Dico, rectam EF, si intelligatur ducta, habere ad totam G H proportionem, quam habent87 adii o.
in eoque applicata tota linea G in angulus DA Cnon esu major aut minor quam nunc sis: Ergo nec arcus E F, deseriptus ad intervastum ST Iarticularum, major esset aut minor quam nunc. ergo M . Quan
458쪽
Quando verb tam antecedens, quam consequens proportionis terminus major est quam io O, procede cum antecedent ut dictum,SI consequentem di vide per numerum quemcunque,V.g. per si Mad intervallum particularum aequalium quoto reperto describe arcum E F, repertamque lineam EF replica quinquies in tota G H usque ad I v. g. eritque G H divisa in I, prout desiderabatur. Ratio patet excuctis in Praecedentibus,& ex demonstratione proxime facta
Titidere lineam rectam datam in plures part , qM
habeant inter se rationem data . SIe in figura Problem. V. snea N O, dividenda in tres partes,
quarum prima sit ad mediam, urio ad A ;& media ad tertiam , ut 6 ad 8. Colligo tres numeros, io, , 8, in uNam summam, ut fiant ar ; item duos p riores, Io,q, i n unam, u e fian et . Expon e d e- inde lineam A B in determinatae longitudinis , & ad intervallumeta particularum ex Arithmetica linea desumptarum describe arcum C ta item ad intervallum quatuordecim particularum arcum E F: demum ad intervallum decem particularum arcum
G H. In arcu C D applica totam lineam N O, a C usque ad D.V.g. & duc rectam A D,quae secet reliquos arcus in F & H; duc-que rectas H G, PE; qtras deinde transferes in rectam N O , usique ad puncta P, in Dico, rectam No in punctis P&Q esse se ctam secundum proportionem desideratam; hoc est, N P ad P Q
459쪽
Datis duabus, quarum uua in quotcuuque partessit, aut intesilatur divisa, quot talium partium a
tera couliueat, isquirere. DEntur duae rectae . A & B , & A sit divisa in partes v. g. quaeritur in quot sit di visa B c Ducta A B,sime ex Arithmetica Linea 7s particulas,&ad intercapedinem ipsarum fac ζX centro A ,eekkiarcum D C, eique applica rectam A, C usque ad D, ω fac angu- id. xxx. tum D A C. intercipe deinde circino rectam B, & quaere inter duo trianguli D A C crura, duo puncta, E dc F, aequaliter a centro A d i stantia i dabitque A E in Arithmeticam translata partes desideratas ipsius B.
Lege etiam qua diximus supra Problemate tertio.
Datam rectam lineam media oe extrema
ratione seca e . Docet hoc Euclides lib. x. Elem. Propos ii, dc lib. spropos 3o.
Auxilio vero Linearum nostrarum ita fit. Sit data linea G H. secanda in duas partes inaequales ita , ut quam proportionem halbet tota linea ad ma)us segmentum, eandem habeat masus segmentum ad minus: seu, quod idem est, ut quadratum ex masori segmento, aequaIe sit rectangulo ex toto in residuum. Extat in Instrumento linea aequalis Linea:Arithmeticae secta media dc extrema ratione. Ad hujus lineae intercapedinem describatur su-F CCXI S per A B, eae centro A, arcus C D,in quo coaptetur segmentum vel Φῆμ' ἔλδ'. Aa a maJuS,
460쪽
majus, vel minus praedictae lineae Instrumenti sectae praedicta ratione, dc ducatur recta AD. His factis, secundum longitudinem lineae G H datae, ex centro A describatur arcus E F,citra aut ultra arcum C D,dc ejus subtensa E F dabit segmentum ipsius GH,vel majus, vel minus, prout arcui CD coaptasti vel ma)us vel minus segmentum Lineae Instrumenti. Ratio ex dictis colligitur; ubi etiam disces, quid faciendum, si linea data est nimis longa.
Inter duas datas mediam proportionalem invenire.
SInt datae duae, A & B, praecedentis figurae Problematis 8. inter quas invenienda sit media, ad quam iit A, sicut ipsa ad B. Fie hoc auxilio Linearum Arithmeticae dc Geometricae sic. Lineas datas transfer in Lineam Arithmeticam,ut fiant notae in numeris, sitque B , Ais partium. Quibus factis, operare ut dictum supra Cap. i. Problem. 6 nempe ducta recta A B, ad intervallum puncti decimi sexti Lineae Geometricae,desi ribe arcum DC ex centro A, in eoque applica lineam majorem datam , dc fac su btensam CD ipsi aequalem. Iterum ad intervallum puncti quarti ejusdem Lineae Geometricae describe arcum E F ex eodem centro A,ejusque subtensam E F transfer in Lineam Arithmeticam, di invenies octo partes pro media proportionali: sic ergo stabit exemplum. l4. 8.is. ubi vides, quod sicut primus numerus seu prima linea est dimidium secundae; ita secunda est dimidium tertia
inter dum datas, duas medias proportioniss
DAtas duas lineas transfer in Lineam Arithmeticam, ut fiant lnotae in numeris; deinde auaeilio Linearum Arithmetieae de Stereometricae operare, ut dictum supra de numeriS cap. I. Pris- i