장음표시 사용
441쪽
Exemplum. Sint addendi, seu in unam summam colligen-p. CCXIn. di hi quatuor numeri, ', IJ, 7, I9. Pone unum circini pedem in te. XXIX, principio Lineae Arithmeticae, nempe in A, & alterum extende 'usque ad nonam particulam inclusive,nempe usque ad B: dein domanente hac apertura circini, pone unum pedem in decimam γtertiam particulam Lineae, nempe in C, & alterum extende quo- usque pertingit; cadetque in vigesimam secundam inclusive, 8 nempe in D: ab hoc puncto D extende circinum usque ad A principium Lineae,& manente hac apertula pone unum pedem infeptimo puncto divisionis, nempe in E, di alterum extende quousque pertingit; dc cadet in vigesimum nonum punctum,scilicet in F: ab hoc puncto iterum extende circinum usque ad principium Lineae,eoque sic aperto pone unum pedem in decimo nono puncto, hoc est, in G, dc alterum extende quousque pertingiti, cadetque in punctum 48, nempe in L Summa igitur praedictorum numerorum erunt 8. Simili prorsius modo procedes, si adfine plures numeri addendi. Ratio operationis per se patet.
Subtrahere unum numerum ab altero.
HUic etiam operationi inservit Linea Arithmetica, & instituitur ut sequitur.
Accipe circino ex Linea Arithmetica tot particulas,quot unitates continet numerus subtrahendus;& circino in variato m nente pone unum pedem in termino numeri illius, a quo facienda subtractio, alterum vero extende versus principium Lineae, revide quot particulae remaneant a secundo pede circini usque ad principium Lineae; fc habebis intentum. EAemplum. Sint subtrahenpa γ ex 2'. Accipe circino se- F.CCXIV. ptem puncta seu particulas &posito uno pede circini in vigesimo λςψ ψ, nono puncto seu particula, scilicet in F, alterum extende versus principium Lineae, cadetque in septimum punctum,nempe in G, a quo puncto G usque ad F sunt puncta iginti duo; signum ergo est, ii γ siubtrahas a zy,remanere 12. Eodem modo in aliis subintractionibus procede. Ratio operationis per te pater.
442쪽
Multiplicare Unum numerum per alterum.
Otandum quod numerus qui multiplicatur, appellatur mul-λ tiplicandus ti numerus vero, per quem alter multiplicatur, vocatur multiplicator. Operationi inservit Llnea Arithmetica.
Accipe igitur circino ex Linea Arithmetica tot partes,quot unitates continet multiplicandus,& hanc circini aperturam tras-fer in eandem Lineam a principio versus sinem toties, quot unitates continet Multiplicator, dc habebis summam quaesitam. r ccxv. EXemplum. Sint multiplicanda raper6. Accipe distantiam reo.XXIX duodecim particularum in Linea, nempe ab A usque ad B, eamque transfer in eandem lineam sexies quia Multiplicator, 6,continet sex unitates nempe primo ab A in B, secundo, a B in C, tertio a C in D, quarto a D in Ε, quinto ab E in F, sexto ab F, in G, ubi pro summa invenies 72 in idem recidit, si primo accipias tot particulas ex Linea, quot unitates continet Multiplicator, nempe in casu posito, 6, Millam distantiam seu aperturam circini transferas in Lineam toties, quot unitates continet Multiplicandus, nempe duodecies rsicut enim sexies duodecim essiciunt γr, ita duodecies sex erici uni similiter γα. Ratio praxeos patet per se.
Di Uidere unum numerum per alter O.
Umerus qui dividitur, appellatur Dividendus; & numerus per quem dividitur, Divisor. Eadem linea Arithmetica adhibetur sic. Accipe circino ex Linea tot Particulas, quot unitateS continet Divisor, eamque distantiam seu aperturam circini tolle S replica in eadem Linea, donec pervenias vel ad ipsum Dividendum praecise in Linea notatum, vel ad proxime minorem numerum,& habebis quotum cum residuo, si quod est.
443쪽
Exemplum. sint dividenda γα per ra. ac spe ex Linea duodecim particulas, illamque circini aperturam,quae est A B, transfer in eandem lineam, donec pervenias praecise ad septuagesimam secundam particulam, & lnvenies te sexies replicasse dicta aperturam, ac proinde quotus erit, 6, nihilque remanebit. Sist iterum dividenda per, io. accipe ex Linea decem particularum distantiam seu intercapedinem, eamque transfer donec pervenias ad 7o, inveniesque te illam replicasse septies, dcremanere duo;ac proinde quotus erit Dia residuum L. Ratio pra
rues igitur, quanta facilitate peragantur praedicta quatuor Arith-V metica operationes. Euae quidem tanto facilius fient, in quan/o plures o minutiores particulas divisa erit Linea, se quanto major eri circinus. si operatio faciendasis in numeris majoribus, possunt putari gulae particulae Linevro 2, 3, y, Io sc. Potest etiam multiμ talio se alvisio fieri primo per medietatem, tertiam, quartam sec. pa rem multiplicatoris ac di oris; deinde per reliquas partes. Ingenium
o industria funeret tibiptura compendia.
Tribus numeris datis, quartum proportionalem invenire, hoc eu, Regulam vi perscere .
seu cognitis, tertium ignotum, qui tamen talem habeat pro-tionem cum tertio dato, qualem secundus cum primo; quaeausa vocatur etiam Regula Proportionum. En quidem tres neri noti in operatione seu usu actuali Regulae Trium ita di-nuntur. ut ille qui annexam habet quaestionem semper enimis illorum annexam habet quaestionem in ponatur tertio loco; vero qui eandem rem cum tertio significat, ponatur primo lo- Exempli gratia, emit quis to aureis Is libras certarum me ira, vult scire,quot libras emat 4o aureis t Hic Ao aurei habentiexam quaestionem, idemque in specie significant quod ro au-: sic ergo stabit exemplum. Sipo aureis emuntur II libr. , 4OΥy aure
444쪽
aureis quot librae ementuri facta autem operatione provenire debet numerus quartus, qui habeat cum tertio eandem proportionem, quam habet secundus numerus cum primo. F. CCXVI. Ad solvendas hujusmodi uuaestiones, seu ad inveniendum quartum numerum proportionalem ex tribus datis, adhibe Lineam Arithmeticam, Sc sic procede. Dispone numeros tres da-- tos modo praedicto, nempe in dato exemplo sic: zo. is oc Deinde in charta, seu plano quocunque duc lineam rectam A B, dccircino intercipe ex Linea Arithmetica primum numerum, scilicet viginti particulas, easque transfer in lineam A B ductam, ex Ain C v g. dc limul fac arcum C D. Postea ex eadem Linea Arithmetica in tercipe secundum numerum,uidelicet quindecim particulas, easque transfer in arcum factum, 1 Cusque in D v. g. κ er D duc lineam rectam A D G , facientem cum linea A B angu-umGAB. Tandem ex eadem linea Arithmetica intercipe citacino tertium numerum, nempe quadraginta particulas, easque transfer in lineam A B, ex A usque ad E v. g. 5c simul fac arcum EF. His factis, intercipe circino arcum E F, seu ejus subtensam, eamque transfer in Lineam Arithmeticam; dc invenies quartum numerum quaesitum: quot enim particulas comprehendet arcus seu subtensa E F, tot unitates continebit quartu S numeruS, nempe in casu nostro, Jo.
REcra D C, FE sunt parallati, per secundam Sexti, quia latera AF, AE, quae aequalia fiunt, perdecimam quintam Defin. Primi, funisectaproportionaliter in D s C, quia AD, A untsi militer aequa
lia. Ergo, per vigesimam nonann Primi, anguli A C D, A D C sequa- essent angulis A F E, A E F. Cum ergo angurus A communis sit utrique triangulo, AD C, se A FE; erunt illa eadem trianguis aequi angula, a proinde, per quartam SeXti, AC do inca post si, ad C D, i ii ita
Uecun in numerus ex tribus datis eu major quam tertiW,ut si exemptumstare scpro, O,s Pitum ponatuscundus tertio loco,O Iemus secundo: idem enim iνvenisur tunc quar m numerus. Et rasio eis, A
445쪽
tertium, sive tertius per secundum. Et rario hujuου rationis en uia summa ex multiplicatione secundi in tertium, aut tertii insecundum, idΘΗ, duorum mediorum, eis aqμali Ummam multiplicatione primi in qua tum, id est, duorum extremorum, per decimam sextam Sexti,& decimam nonam Septimi. Si primus numerus, aut omnes tres, sunt nimis magni, ponsunt divadi per unum communem divi rem, hoc est, omnes ire duas, tres, quatuor&c. partes, & operatio institui per partes, Minventi numeri Correspondentes in unam summam colligi. Pol-
sunt etiam singulae particulae Lineae Arithmeticae reputari pro duabus, tribub, dc
E menstuprobatio operationissa sic institutpote P. Multiplicetών
numerus primus in quartum numerum repertum, item fecundus in
inter duos numeros invenire medium pro- portionalem.
Solvitur hocProblema ope linea:Arithmeticae&Geometricari F.e ex . Sint dati duo numeri, , dc is, inter quos iii veniendus sit me kς dius proportionalis, ad quem scilicet se habeatit 4, ut ipse ad I 6. Duc rectam A B, ut in praecedenti figura,& ex Linea Geometrica instrumenti accipe distantiam a principio usque ad 16, v g. usque ad E, dc hac intercapedine describe eX A, arcum v. g. E F. Deinde ex Linea Arithmetica accipe intervallum sedecim partium, re coapta arcui E F, ab Eusque ad RV.g. & duc rectam A F. His factiS, accipe ex Linea Geometrica distantiam a principio usque ad ,V g. usque ad C,6 hac intercapedine describe arcum CD,V g.,&fac subtensam C D. Hanc iubtensam transfer in Lineam Α-rithmeticam,dc invenies ipsam esse aequalem octo partibus. Dico itaque, 8 esse medium proportionalem inter dci6. Razi pendet ex conitructione Lineae Geometricae. 3 . Υy3
446쪽
inter duos numeros datos invenire duos medios
Solvitur per Lineam Arithmeticam& Stereometricam. Sint
numeri 8 , & 17, inter quos sint inveniendi duo alii in continua proportione. Facta linea AB, accipe ex Linea Stereometrica instrumenti intervallum usque ad octavum punctum, & describe arcum CD,in eoque applica ex C in D intercapedinem octo partium ex Linea Arithmetica,& duc rectam A D in infinitum. t terum ex Linea Stereometrica accipe intervallum usque ad vigesimum septimum punctum,dc describe arcum EF,ejusque subten, fam E F transfer in Lineam Arithmeticam, & invenies la pro primo numero intermedio. Iterum ex Linea Arithmetica accipe intervallum 27 parim, Ieb XXix. illudque applica arcui E F, ab E usque ad G, & duc rectam AG, intersecantem arcum C D in H; subtensam vero C H transfer in LineamArithmeticam,&invenies i8 pro secundo numero intermedio. Ratio pendet ex eonstructione Lineae stereometricae.
Dati numeri radicem quadratam invenire .
CIt per Lineam Arithmeticam & Geometricam. Et quidem a-Γ liter in numeris minoribus, aliter in mediocribuS, aliter in maioribus. Minores voco, qui sunt infra i Ooo; mediocres, qui infra, IO OOo; majores, qui infra i Oo OOo. Incipio a mediocribus. i . xxi Sit igitur extrahenda radix quadrata ex hoc numero: o. Fxpone in plano aliquo lineam rectam AB, uti in Problemates, aequalem lineae Geometricae; & centro A, intervallo usque ad punctum decimum sextum Lineae Geometricae, fac arcum C D, an eumque transfer intercapedinem o partium ex Linea Arith. metica circino acceptam, a C usque ad D, & duc rectam A D. Aufer deinde a numero proposito duas ultimas figuras versus
dextram quae significant unitates & decades nempe in casu posito 3o, dc residuum 46 serva. Tandem eodem centro A, intervallo
447쪽
Varius. vallo usque ad quadragesimum sextum punctum Lineae Geometricae, fac alium arcum,qui sit v. g. E F. Hujus arcus subtensiam EF transfer in Lineam Arithmeticam, dc vide quot partes contineat. Invenies In casu posito continere partes G. Ergo 68 est radix quadrata numeri propositi. Eodem modo procedes in aliis numeris mediocribus. t Notandum autem est, si duae ultimae figurae ablatae superant so, residuo numero addendam esse unitatem;ut si extrahenda eruiet radix quadrata ex hoc numero: I92 t, si auferantur 92, remanere deberent 4i; at quia 'a superant Io, censendum est remanere 4ῖ,
Modus extrahendi radicem quadratam enumeris majoribus parum distere a praecedenti, dc hic est. Expone ut antea lineisam rectam A B, dc centro A, usque ad punctum decimum Lineae Geometricae describe arcum C D, in eoque applica centum partes Lineae Arithmeticae, a C usque ad D, α duc rectam A D. Aufer deinde a numero oblato tres ultimas figuras, iccum residuo procede ut dictum. Sit v. g. quaerenda radix quadrata numeri 3Σr o; ablatis tribus ultimis figuris remanent 32. Ex centro igitur A, per punctum 3r Lineae Geometricae, describe arcum v. g. E F;e jusque subtensam L F transfer in Lineam Arithmeticam; ea indicabit tibi numerum pro radice quaesita, nempe in exemplo posito i7' pro radice proxima numeri propositi 32i o. Notandum hic etiam est, si tres ultimae figurae excedunt soci, addi debere ad residuum unitatem, prout diximus paulo ante in praecedenti R:gula. Ex minoribus denique numeris sic radicem extrahes. Expone rectam A B, ut dictum;describe per punctum decimum sextum Lineae Geometricae arcum C D; applica in eo partes o Lineae Arithmeticae, a C usque ad D, ducta recta AD; numerum propoli tum quaere in Linea Geometrica, dc ad ipsius intervallum describe ex A centro arcum, sive citra, sive ultra arcum C D, prout occasio feret. Subtensa hujus arcus translata supra Arithmeticam indicabit tibi radicem quaesitam.
448쪽
Dati numeri radicem cubicam invenire .
TIt per lineam Arithmeticam&Stereometricam. Duas autem. praxes praescribemus, unam pro n umeris minoribus, at teram Pro majoribus. Minores numeros hic appello illos, a quibus si detrahas uni taces, decades,& centenarios a dextra versus sinistram, residuum non excedit Ir numerum scilicet punctorum in Lineastereometrica notatorum. Ex his ergo numeris minoribus sic ex-τ exvii trahitur radiX cubica, V. g. eZ numero I6OOO. Duc lineam A B ae qualem lineae stereometricae; di centro A, intervallo usque ad punctum S lineae stereometricae, fac arcum C D,in eoque applica intercapedinem ro parrium ex Linea Arithmerica acceptarum, Cusque ad D,&duc rectam A D. Deinde numernm illum ex quo extraheda est radix cubi ea, aut ejus partem millesimam detractis tribus figuris, dextra versus sinistram ) nempe in exemplo posito numerum is, quaere in linea stereometrica, dc ad e)as inotervallum deseribe ex A centro alium arcum E F. Hu)us subten. in Lineam Arithmeticam translata dabit radicem cubicam quaesitam 23 quam proXimeὰ Arcus CD potest etiam describi ad intervassum sexagesimi quarti puncti Lineae stereometricae, eique subtendi linea C D partium lineae Arithmeticae. Ex majoribus numeris sic extrahes eandem radicem cubi-Cam , v. g. eX numero II 'iOI6. Ducta A B, fac centro A, intervarato usque ad punctum centesimum Lineae steteometricae, arcum v. g. GH, in eoque applica subtensam centum partium linea: Arithmeticae, a G usque ad H, ducta recta A H. His factis, au ferquatuor ultimas figuras propositi numeri,& remanent i I . Cenarro igitur eodem A, intervallo usque ad centesimum decimum nonum punctum Lineae stereo metricae fac alium arcum, v. g. E F. Ejus subtensa in Lineam Arithmeticam translata dabit num rum radicis cubicae desideratae, nempe Ios.
449쪽
usu linearum ponearum in divisio.
olymetra: nostra: sineae inserviunt inter alia divisioni linea- 1 rum, superficierum,& corporum. Agemus hoc capite de duvisione linearum, tequentibus de di visione superficierum, oc cora
Datam lineam recitam dividere in quotlibet partes aquales: sive ex data linea auferre quamlibet
PRobteina absolvitur opesineae, cui adscripturn est, Lineae Recta divisio. Sit itaque data linea G, quae sit dividenda in quatuor partes, seu ex qua sumenda sit pars quarta. E ponatur linea A C, ERVui aequalis lineae praedictae Instrumenti ;& centro A, intervallo A Cie ,.xxin aequali Lineae praedictae Instrumenti describatur arcus DC, cui applicetur data linea G, a C usque ad D,&per punctum D ducatur recta A D. His factis, eodem centro A, intervallo A A praedictae Lineae instrumenti, fiat arcus E F, quem secet recta AD in F; eritque recta E F quarta pars lineae G. DVo triangula AEFRA CD Juni aequiangula, ut demonstravimus in
praecedenti cap. problem. F. ergo, per quartam Sexti , ut A E ad Ep, ita A C ad C Dii est permutando, per decimam sextam Quinti, ut AE ad AC ia EF ad C D: sed A F eis pars quarta totius lineae A C ex con- fructionefacta, ergo ct EF es pars quarta toris, linea C D, hocin, si-
450쪽
. . . LRIrita linea G dividenrisit in partes, γε is Linea In m-ηαρυ- O dicta non continentur, v.g. in ΑΟ,3o, 3 6 sc. dividatur in irarum submultiplices, nimirum, in αo, ty, t8 sec. se hari m quaelibet deinde dividatur in partes duas, tres sec. II. Si major esset linea G data, quam sinea Infrumenti e procede. Divide lineam in Euari tre quatuor sec. partes, se cum una inrumproceri ut dictum, , inmentam partem quartam aQ quamlibet aliam Jduplica, triplica, quadruplica Ac. se habebis quartam partem totivi lianeae data. III. Si ars accipienda esset nimisyrris, se consequenter arcus EF fieret nimisparvus, o nimis prope A, ita ut difficulter ipsius siubtensa posset duci, v g.si accipienda esse ars vigesima, trigesima, quadragesima alicujus lineae parva diindenaeae in parara vlivii, triginta sci accipiatur ipsius dupla, tripla se. O divida - - potatitur: deinde partis inventa acci atur circino quasit sandopars dimidia, tertia Oc.
Idem efficere ope Linea Arithmetice.
SIt ut antea data lineaG,exeaque accipienda pars octava, Multiplica 8 per io, ut fiant 8o. Deinde duc rectam AC, productam quantumlibet, & ex linea Arithmetica intercipe circino 8 o particulas, ad ipsarum intervallum forma arcum C D,eique applica lineam G datam, a Cusque ad D v. g. ducta recta AD. Tandem intercapedine decem particularum lineae Arithmeticae fac alium arcum E F; eritque recta EF octava pars lineae G datae.
'Riangula FA E, DA C, aequiangulaserit, ut patet: ergo ut A E ad EA F, ita A Cad C D i se permutando , ut A E ad AC ta EF ad CD: se A E in oecta pars ipses A C, ex constructione necta; ergo sec.