장음표시 사용
481쪽
Uarius. 381 vehies latera DE, DF, homotosta lateribus A s , dc A c , si nimirum
intra arcum C D applices primo latus A B , deinde latus A C; nam in arcu E F invenies subtensias pro lateribus DE, DF. Habitis tribus lineis E GDE, D F, construe ex illis triangulum,' ar. Libri Primi Euclidis, dc habebis quod quaerebas. Si minuendum sit triangulum in data proportione, procede contrario modo, ut diximus in praecedenti Problemate.
Latera trianguli dati augere , velmmuere IV quacum
que proportione, constituendo aliud imilesia militerque positum.
SIt datum triangulum A B C, sitque constituendum aliud DE F eckukψsimile, similiterque descriptum, cujus latera singula sint adla- IeoacXXI. tera prioris, ut 6 ad . Expone lineam A B, & accipe ex linea Arithmetica,aliave quacunque divisa in partes aequales,partes sex, eoque intervallo fac excentro A arcum CS, ineumque transfer intervallum partium 4 ex eadem linea divisa in partes aequales, Mduc rectam A CI; eritque subtensa C S partium quarum A S est 6. His factis, intervallis B C, B A, C A, describe excentro A tres arcus, D E, F G. H l. Horum arcuum subtensae D E, F G, H I, erunt tria latera futuri trianguli D E F, construendi per vigesimam secundam Primi Euclid.
Propositae cuicunque sigura aliam similem similiterque deseriptam in quacunque proportione exhibere.
Figuram propositam, qualiscunque ea sit, & quotcunque late-Figura CCrum,resolve in triangula,& aucto vel diminuto uno ex illis,au- 2 eskige vel diminue reliqua contigua modo dicto. Sit augendum ut 8' antea in proportione sesquialtera trapeZium ABC D, in traperium EFGH. Ducta diagonali BC, resolve trapeatum datum in duo triangula. Inventis deinde tribus A B, AC, B C,tribus aliis
482쪽
triangulum E F G. Iterum inventis tribus B D, D C, B C, tribus aliis proportionalibus F H, H G, F G, constitue triangulum F HG, priori contiguum supra eandem basim FG.dc habebis inten
Si minuenda sit figura, procede contrario modo, ut diximus in praecedentibus. Atque in hunc modum licebit quamlibet fi - guram augere, Vel minuere.
Tropositae c*uscunque figurae latera augere, vel mianuere, in data proportione, constituendo aliam
Colemus plerumque, dum totam figuram augere vel minuere volumus secundum proportionem aliquam , adhibere duas
scalas, ut vocant, majorem unam, & minorem alteram, hoc est, duas lineas, quarum una di visa sit in partes aequales maiores, altera in minores; una illarum utimur ad mensuranda latera figurae datae, altera ad latera figurae construendae essicienda proportionalia lateribus figurae datae. Hu)usmodi duas scaIas suppeditat nobis Linea nostra Arithmetica,aut quaevis alia in partes aequales divisa, tali pacto. Sit proposita figura ABCD E, cui constituenda sit alia simi Iis, duplo minor quoad singula latera, ita ut latus FG, homologum lateri CD, sit illo duplo minus; dc latus GH, homologum lateri D E, sit illo etiam duplo minus, Hic adhibendae forent duae scalae, quarum partes aequales essent in dupla proportione, nempe major pro figura constructa, minor pro construenda. At per solam lineam Arithmeticam id fieri potest sic. Supra lineam A Bsuperioris figura: Probl. 3. transfer lineam CD figurae praesentis, ab A usque ad F, v. g. & fac arcum F G, in eoque applica lineam FG figurae futurae, ab F usque ad G, ducta recta AC I ; eritque Figura CC constructus angulus G A F, qui inserviet pro scala reliquorum la-i . xxxi terum figura: Construendae. Nam si ad intervallum lineae CB fi gurae datae describas ex Acentro arcum SC, erit subtensa SCIatus homologum lateris C B. Si item ad intervallum lateris B A
483쪽
Uarius. facias arcum D E , erit subtensa D E latus homologum lateri B A,& sic de caeteris. Si igitur figuram datam dividas in triangula ut vides, & ex subietas inventis constituas totidem triangula sib contigua, modo dicto in praecedentibus; habebis figuram datae similem similiterque positam, in proportione subdupla. Si augenda euet figura, deberes procedere contrario modo. Eodem vero modo quaelibet aliae figurae planae augeri, minuive
PROBLEMA ULInter aeua figuras planasimiles iuvenire pro
T. Ata sint duo quadrata, A & B, & scire velis quam inter se ha a beant proportionem quoad capacitatem. Applica tam latus Α, quam latus B, supra lineam Geometricam, incipiendo a Figur Ciprincipio dictae lineae. Si praecise terminentur in duobus diver- ζ xxxi
sis punctis in linea notatis, v. g. A in puncto primo, B in secundo habebunt quadrata proportionem duplam. Si non terminentur praecisε in duobus punctis, sic procede. Exposita linea A B superioris figura: Problem. 3. sume circino ex Linea Geometrica intervallum aliquoipunctorium, v. g. decem, x ex centro A describe arcum, qui sit v. g. F G, in eoque applica latus B, ab F usque ad G, & duc rectam A G. Deinde ad intervallum aliorum punctorum lineae Geometricae, rig. , describe alios arcus ex Acentro,&vide quern illorum praecise subrendat latus quadrati A. Subtendat v. g. arcum descriptum ex puncto F. Erit ergo quadratum A ad quadratum B, ut 3 ad Io, seu ut I ad a.
Duar, pluresve uras planas , similes addere, hoc e L
constituere unam aqualem duabus, aut pluribus datis.
C Int addenda duo quadrata, A & B, antea posita , hoc est, inve niendum sit quadratum aequale utrique quadrato propositu Inqui-
484쪽
Inquire modo dicto in praecedenti Problemate, in quae puncta Lineae Geometricae cadant subtensae aequales lateribus Α& B, nempe Alin punctum I,&Bin punctum a. Adde inter se i& r,fient 3. Subtensa arcus ad intervallum puncti tertii Lineae Geometri caedescripti, v.g. linea aerit latus quadrati aequalis duobus Quadratis datis. Si inveniendum esset quadratum aequale tribus datis, qua .rum latera essent A, B, C, subtendentia arcus descriptos expun.ctis i,2,3; addendi essent hi tres numeri in unam summam 5, & accipienda subtensa arcus ex puncto 6 descripti pro latere quadrati tribus datis aequalis. Eodem modo procedendum est, si plura quadrata essent addenda. Quod diximus de quadratis, dicendum etiam est de quibus cunque figuris similibus, & etiam de circulis.
Vna guram planam ab altera similis trahere me inter duassimiles oe in aquales invenire tertiam Aimilem, s aqualem disserentia dum
xxxi x. TT iEc Propositio est conversa praecedentis, & ejus praxis haec Ieo XXXI. LIest. Dati sint duo circuli in aequales, & majoris diametersit A Α, minoris B B; sitque minor detrahendus a masori, dc invenienda diameter Cc, cujus circulus sit aequalis differentiae inter duos datos. Quaere modo dicto in praecedentibus primo subtensam aequalem diametro A A , deinde subtendam aequalem diametro HB, cadatque prima in punctum 6, secunda in punctum et Lineae Geometricae. Subtrahe 1 a 6,oc ad intervallum residuorum qu tuor punctorum describe arcum; eritque ejus subtensa diameter C C quaesitλ. Eodem modo operandum est in aliis figuris simili
485쪽
Circulum , s alias figuras regulares quadrare , itomomnes figuras regulares invicem transimu
TIt hoc per lineam Reductionis planorum, in qua notatae sunt F. x figurae circuli, trianguli, quadrati,pentagoni &c. Sit itaque in. I veniendum quadratum aequale circulo AB. Exposita linea AB, aequali Lineae Reductionis planorum, ex A centro, intervallo in. ter initium lineae praedictae&signum O, describe arcum O C, de applica illi diametrum A B datam ab O usque ad C, ducta recta AC. Deinde centro A, intervallo usque ad signum praedictae liisneae, fac arcum T D. Subtensa hujus arcus erit latus quadrati circulo dato aequalis. Si centro A, intervallo usque ad signum Δ, facias alium a cum, erit e)us subtensa latus trianguli aequila teri praedi cto circulo aequalis. Eodem modo invenies latera pentagoni, hexagoni, & aliarum figurarum regularium dato circulo aequalium. Si quadrato dato velis invenire circulum aequalem, procedecum latere quadrati, ut processisti cum diametro, dc contriti Eadem ratione mutabis quamcunque figuram regularem datam in aliam quamcunque aequalem.
Pluribus figuris regularibus, etiam intersi dissimilis
bus, unam aequalem consituere.
P Ropositus sit circulus,triangulum ςquilaterum,pentagonum,1 dc hexagonum, debeatq; invens ri quadratum omnibus simulsi mptis aequale. Per praecedens Problema primum inveniantur quatuor quadrata datis quatuor figuris aequalia, & per Problema praeced CS i DVeniatur unum quadratum omnibus quatuor quadratis aequale ; dc habebis quod quaeritur.
486쪽
Eodem modo inveniri potest circulus, triangulum, aut alia quaevis figura regularis, omnibus propositis figuris simul sumptis aequalis.
ύιivis figura rectilina irregulari constituerefiguram
Flauram rectilineam irregularem resolve in triangula quotquot potes; triangula vero resolve in totidem quadrata, quadratis omnibus constitue aequalem circulum,aut quadratum,aut pentagonum dcc. per praecedens Problema ; & habebis intentatum. Triangulo porro cuilibet dato constitui potest quadratum aequale ut sequitur.
Cuilibet triangulo aequale quadratum constituere.
AB angulo quocunque trianguli ad latus oppositum , etiam L productum, si opus fuerit, demitte perpendicularem; interi. xxxii quam, & inter semissem lateris in quod cadit, si quaeras mediam ' 'proportionalem per dicta Capite primo hujus, & capite primo Libri octavi, erit ea latus quadrati triangulo aequalis. Sit datum triangulum AB C. Ab angulo A, ad latus B C, demitte perpendicularem A D: inter A B, 6c dimidium lateris B C, quaere mediam proportionalem, quae erit latus quadrati triangulo dato aequalis. Ratio patet ex dictis Lib. 8.
Rectangulum in siuadratum aequale Commutare.
IN ter latus majus &. minus rectanguli qua re mediam proportionalem, per dicta supra i csic calatuS quadrati rectangulo aequalis.
489쪽
De Usu linearum Polymetrarum insolidis
augendis, minuendis, permutandis; sive Problemata Metamorphotica solidorum.
SEquentia Problemata solvuntur priecipue per lineam StereΟ- metricanar in iis vero solvendis tape necessaria est radicis cubicae extractio, & duarum mediarum proportionalium inventio; de quibus egimus in praecedentibUS.
Datum Corpus in data proportioue augere, vel
Numeros datam proportionem exprimentes qua re in linea F. CXLli
Stereometri ea,&ducta recta A B, Uesupra, centro A, intervallo usque ad primum terminum proportioniS, in Linea Stereometrica inventum, fac arcum, in eoque applica Viametrum, aut latus corporis dati. Deinde eodem centro A ,in cervallo usque ad alterum terminum proportionis in eadem Linea acceptum, fac alium arcum. Plu)us subtensa dabit diametrum , aut latus Corporis in data proportione aucti, Vel diminuti. Propositus sit v. g. globus, cujus diametersit decem partium Lineae Arithmeticae, aut alterius cujuscunque divisae in partes aequaleS, augendus in tri. pla proportione, vel diminuenduS. Quaere numeros, datam proportionem triplam continenteS, in linea Stereo metrica, quales sunt V. g. lolc 3C, aut sedc 27, aut 8&24&c. Deinde ducta recta AB, centro A, intervallo usque ad decimum punctum lineae S te, re ametricae, fac frcum v. g, C D, in eoque applica diametrum globi dati, vel ejus loco intercapedinem decem partium ex Lin CaArithmetica acceptam, a C Usque ad D. ducta recta A D. Talaridem eodem centro A, interVallo usque ad trigesin um punctum ejusdem linea: Stereomotricae, ne allum a reum, V. g. EF. Sub-
490쪽
tensia hujus arcus dabit diametrum sphaera triplo majoris, quae iacasu posito erit partium i LSi minuendus est globus in proportione tripla, procedendum est contraria ratione, describendo scilhcet primo arcum expuncto o, deinde eX IO.
OVa ratione process M in diametro adaugendum vel minuendum globum, eadem ratione procedendum eis cum lateribus aliorum cor-ie XXX ii. pomm reg lari m, od illa a genaea vel min enaea. Vt si duplicandus esset Cubin A, deser ibi deberet ad intervastam puncti imx Lineae Stereometricae arcus C D, in eoque applicari latus b C: deinde ad intervastam puncti 2 ejusdem Lineae, arcus E F; hum enim Subtensa daret latus d e Cubi duplo majoris. Si idem cub- A ariendus esset in sextupla proportione, eri deberet primὸ arcus adintervallum puncti i, deinde ad inter Lumpune ii 6. In minuendo autem cubo contrarim ordo tenendus ea.
Datis duobur solidis psimilibus, invenire eorum pro
portionem mutuam. SInt dati duo cubi A dc B eadem est ratio de sphaeris, & de aliis
quibuscunque solidis similibus regularibus Sc velis scire quam habeant inter se proportionem; sic operare. Exposita, ut supra, linea AB,centro A, intervallo quocunque Lineae Stereo metricatav. g. usque ad punctum I, fac arcum C D, in eoque applica latus bc cubi dati, a Cusque ad D, & duc rectam A D. Deinde eodem centroΑ,intervallo aliorum diversorum punctorum ejusdem Lineae Stereometricae , fac alios di versos arcus, & vide quem ex illis praecise subtendat latus d ecubi B. Subtendat arcum descriptum eX punctor. Habebit ergo cubus B ad cubum A proportionem duplam, hoc est, erit ad ipsum ut 2 ad I.
Propositis quotlibet solidis similibus, constituere unum omNibus aequale ac simile.